25. Oktober 2005
Schwach dissipative Timoshenko Systeme
mit second sound –
Globale Existenz und exponentielle
Stabilität
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Timoshenkos Balkentheorie
Stephan Timoshenko
(1878-1972)
Balken sind im allgemeinen
mehrdimensionale Festkörper.
Die Balke...
Beispiel
Beispiel: Eine Brücke kann als Balken betrachtet werden,
indem man die Querschwingungen vernachlässigt.
Schwingende Saite
•Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines
elastischen Körpers) kann eine schwingende Saite...
Schwingende Saite
Die Schwingungen werden durch die hyperbolische
Differentialgleichung
0),,0(,0
),(),(
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Kopplung mit Wärmeleitung
• Die elastischen Schwingungen eines Körpers sind mit
dem Wärmefluss eng verbunden.
• Bei der re...
Wärmeleitung
Wärmeleitung
Die Wärmeleitung lässt sich durch die parabolische Differentialgleichung
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Exponentielle Stabilität
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Mathematische Balkentheorie
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Klassisches Timoshenko System
• Es wurde für Timoshenko Systeme schon
gezeigt:
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Fourier vs. Cattaneo Gesetz
Die klassischen Wärmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz)
0=− xxt θθ
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Diplomarbeitsziel
• Meine Aufgabe ist es, die exponentielle
Stabilität und globale Lösbarkeit des
nichtlinearen Timoshenko...
Anwendung
• Reinigung von Chips mithilfe von Lasern
• Konstruktion von Brücken bei großen
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  1. 1. 25. Oktober 2005 Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound – Globale Existenz und exponentielle Stabilität Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Lehrstuhl Prof. Dr. R. Racke Diplomand: Michael Pokojovy Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke
  2. 2. Timoshenkos Balkentheorie Stephan Timoshenko (1878-1972) Balken sind im allgemeinen mehrdimensionale Festkörper. Die Balkentheorien beschäftigen sich mit gewissen Approximationen, welche das elastische Verhalten von Festkörpern aufgrund ihrer Längscharakteristiken beschreiben.
  3. 3. Beispiel Beispiel: Eine Brücke kann als Balken betrachtet werden, indem man die Querschwingungen vernachlässigt.
  4. 4. Schwingende Saite •Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines elastischen Körpers) kann eine schwingende Saite dienen:
  5. 5. Schwingende Saite Die Schwingungen werden durch die hyperbolische Differentialgleichung 0),,0(,0 ),(),( 2 2 2 2 ≥∈= ∂ ∂ − ∂ ∂ =− tLx x xtu t xtu uu xxtt beschrieben. Diese Gleichung heißt Wellengleichung. Man definiert die Energie der Lösung der Wellengleichung: ( )∫ += L xt dxxtuxtutE 0 22 ),(),( 2 1 )( Die Energie bleibt erhalten, d.h. constEtE == )0()( kinetische Energie potentielle Energie
  6. 6. Kopplung mit Wärmeleitung • Die elastischen Schwingungen eines Körpers sind mit dem Wärmefluss eng verbunden. • Bei der reinen Wellengleichung ist dieser Zusammenhang aber nicht berücksichtigt. • Um die physikalischen Phänomene adäquater zu beschreiben, benötigt man kompliziertere mathematische Modelle. Ergo:
  7. 7. Wärmeleitung
  8. 8. Wärmeleitung Die Wärmeleitung lässt sich durch die parabolische Differentialgleichung 0),,0(,0 ),(),( 2 2 ≥∈= ∂ ∂ − ∂ ∂ =− tLx x xtu t xtu uu xxt beschreiben. Diese Gleichung heißt Wärmeleitungsgleichung. Man definiert die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung: ∫= L dxxtutE 0 2 ),( 2 1 )( Die Energie fällt exponentiell ab, d.h. )0,()0()( 2 >≤ − αα cecEtE t Wärmeenergie
  9. 9. Exponentielle Stabilität t )(tE Die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung klingt exponentiell ab. Diese Eigenschaft heißt exponentielle Stabilität.
  10. 10. Mathematische Balkentheorie • Die von Timoshenko vorgeschlagene Balkentheorie ist die Verallgemeinerung der klassichen mechanischen Balkentheorie von Euler und Bernoulli. Ihre mathematische Formulierung ergibt ein System partieller Differentialgleichungen. • Im R1 hat das Timoshenko System die Gestalt: ( ) 0 0 0),( 3 2 1 =+− =+++− =− txxxt xxxxtt xxtt kb γψκθθρ γθψϕψψρ ψϕσϕρ (Zuzüglich Anfangs- und Randbedingungen)
  11. 11. Energie des Timoshenko Systems ( )∫ +++++= L xxtt dxxtkbtE 0 2 3 222 2 2 1 ),( 2 1 )( θρψϕψψρϕρ Energie exponentielle obere Schranke
  12. 12. Klassisches Timoshenko System • Es wurde für Timoshenko Systeme schon gezeigt: 1) Existenz einer eindeutigen globalen Lösung 2) Exponentielle Stabilität wegen Dissipation (Dämpfung durch Wärme) unter der Voraussetzung: kb 21 ρρ =
  13. 13. Fourier vs. Cattaneo Gesetz Die klassischen Wärmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz) 0=− xxt θθ modellieren unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dieses physikalische Paradoxon wird für einige Situtationen behoben durch ein hyperbolisches Cattaneo Gesetz: )(0 kleinxxttt τθθτθ =−+
  14. 14. Diplomarbeitsziel • Meine Aufgabe ist es, die exponentielle Stabilität und globale Lösbarkeit des nichtlinearen Timoshenko Systems mit second sound (Cattaneo Gesetz) zu untersuchen.
  15. 15. Anwendung • Reinigung von Chips mithilfe von Lasern • Konstruktion von Brücken bei großen Temperaturschwankungen
  16. 16. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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