Slides apresentados durante o curso de Inteligência Artificial do ITA sobre o algoritmo de busca A*.

1. ALGORITMO A*
Provando sua otimalidade
Dionisio Chiuratto Agourakis

2. IDEIAS PRINCIPAIS
 Estratégia best-first
 Sempre expande o nó mais promissor
 Busca informada - heurística
 Heurística  Quão bom parece este nó?
 Diferente da estratégia greedy (gulosa)
 Leva em consideração o custo já incorrido
 Não perde tempo em explorar nós que já ficaram
caros

3. IDEIAS PRINCIPAIS
 Forma:
𝑓 𝑛 = ℎ 𝑛 + 𝑔(𝑛)
Custo ótimo (mínimo),
passando por n
Custo ótimo (mínimo)
de n até o objetivo
Custo ótimo (mínimo)
da origem até n

4. IDEIAS PRINCIPAIS
 Blefe
 Encontrar f(n) é nosso objetivo
 Não conhecemos h(n) nem g(n)
 Ideia: estimar h(n) e g(n) para guiar a busca

5. IDEIAS PRINCIPAIS
 Nova Forma:
f 𝑛 = ℎ 𝑛 + 𝑔(𝑛)
Custo estimado,
passando por n
Custo estimado
de n até o objetivo
Custo realizado
da origem até n
^ ^ ^

6. EXEMPLO: A CLÁSSICA VIAGEM
 Vamos de Arad para Bucharest!
Origem:
Arad
Objetivo:
Bucharest

7. 366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara

8. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Arad(366)}
f(n) = 366
h(n) = 366
+
g(n) = 0

9. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Sibiu(393), Timisoara(447), Zerind(449)}
f(n) = 393
h(n) = 253
+
g(n) = 140

10. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Rimnicu(413), Fagaras(417), Timisoara(447), Zerind(449),
Oradea(526), Arad(646)}
f(n) = 413
h(n) = 193
+
g(n) = 80+140

11. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Pitesti(415), Fagaras(417), Timisoara(447), Zerind(449),
Oradea(526), Craiova(526), Sibiu(553), Arad(646)}
f(n) = 415
h(n) = 98
+
g(n) = 220+97

12. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Fagaras(417), Bucharest(418), Timisoara(447), Zerind(449),
Oradea(526), Craiova(526), Sibiu(553), Rimnicu(607), Craiova(615), Arad(646)}
f(n) = 417
h(n) = 178
+
g(n) = 140+99

13. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Bucharest(418), Timisoara(447), Bucharest(450),
Zerind(449), Oradea(526), Craiova(526), Sibiu(553), Sibiu(591), Rimnicu(607),
Craiova(615), Arad(646)}
f(n) = 418
h(n) = 0
+
g(n) = 317+101

14. OTIMALIDADE
 Pressupostos
 A heurística h(n) é admissível
 Nunca superestima o custo até o objetivo
 “Otimista”
 Fator de ramificação é finito
 O problema tem fim
 Custo de expansão positivo

15. OTIMALIDADE
 Passo 1: Provar que nós-objetivos aparecem na fila
para expansão
Respeitando-se o pressuposto de que o fator de ramificação é finito,
isto é, o problema tem fim, podemos afirmar que o algoritmo A* é
completo, isto é, ele encontrará ao menos uma solução.
 A* não fica preso em ciclos ...

16. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Rimnicu(413), Fagaras(417), Timisoara(447), Zerind(449),
Oradea(526), Arad(646)}
f(n) = 413
h(n) = 193
+
g(n) = 80+140

17. OTIMALIDADE
 Passo 2: Provar que nós-objetivos sub-ótimos
nunca serão expandidos/encontrados
Supondo um estado sub-ótimo G2 (Bucharest) na fila de expansão.
Sabemos que h(G2) = 0 e, portanto, f(G2) = g(G2) + 0 > C* (custo mínimo)
Um nó n, pertencente ao caminho ótimo, possui: f(n) = g(n) + h(n) onde h(n)
nunca superestima o custo até o objetivo, logo f(n) < C*.
***Portanto, f(n) aparecerá antes de G2 na fila para expansão.***

18. Arad
Zerind
Sibiu
Arad
Oradea
Fagaras
Sibiu
Bucharest
Rimnicu
Craiova
Pitesti
Rimnicu
Craiova
BucharestSibiu
Timisoara
366
449
646
591
607
393
447
526
417
413
450
526
415
553
615
418
Fila de Prioridades: {Bucharest(418), Timisoara(447), Bucharest(450),
Zerind(449), Oradea(526), Craiova(526), Sibiu(553), Sibiu(591), Rimnicu(607),
Craiova(615), Arad(646)}
f(n) = 418
h(n) = 0
+
g(n) = 317+101
f(G2) > C*
450 > 418

19. 646
Fila de Prioridades: {Bucharest(418), Timisoara(447), Bucharest(450),
Zerind(449), Oradea(526), Craiova(526), Sibiu(553), Sibiu(591), Rimnicu(607),
Craiova(615), Arad(646)}
G2 não seria expandido...
antes que verificássemos
caminhos mais promissores.
Mesmo se não tivéssemos encontrado C*,
Por isso podemos afirmar que caso G2 fosse expandido, ele seria ótimo.

20. OTIMALIDADE
 Passo 3: Provar que nós pertencentes ao caminho
ótimo estarão na fila
Decorrência da demonstração do Passo 2:
Sabemos que h(G2) = 0 e, portanto, f(G2) = g(G2) + 0 > C* (custo mínimo)
Um nó n, pertencente ao caminho ótimo, possui: f(n) = g(n) + h(n) onde h(n)
nunca superestima o custo até o objetivo, logo f(n) < C*.
Então podemos afirmar que A* expandirá todos os nós com f(n) < C*,
até encontrar a solução ótima.

21. OTIMALIDADE
 A* é ótimo
 Caso seja implementado em grafo
 Heurística deve ser consistente (que implica
admissibilidade)
 ℎ 𝑛 ≤ 𝑐 𝑛, 𝑛′
+ ℎ(𝑛′
)
 f(n) é não-decrescente