Digital x Industry — Mathematical formulation of the Hydropower challenge

1. Planification Annuelle
de la production
d’énergie électrique

2. Modélisation

3. Introduction
• Vallée : succession de réservoirs et d’usines
constituées de plusieurs groupes de
pompage/turbinage
• Contraintes
• Réservoirs : volume min, max
• Turbines : débit min, max
• Vallée: topologie, débit min, max
• Nonlinéarité: rendement
• Decision variables: Turbinage/Pompage

4. Topologie d’une vallée
hydraulique
• Réseau interconnecté de
réservoirs et de conduites
d’eau (naturels – débit peut
être modulé - ou forcées)
• Ensemble de turbines et
pompes
• Ex :
• 6 turbines
• 2 pompes
o 20 réservoirs

5. Notations
• t =1,..,T : indice de temps. Granularité horaire. Pour l’année T=8760
• i =1,..,I : ensemble des réservoirs
• j = 1,..,J : ensemble des turbines
• k = 1,…, 10 000 : indice des scenario
• Vit : volume d’eau en m3 du réservoir i au temps t (au début de l’heure t)
• … : volume initial du réservoir
• ait : l’apport fatal en eau en m3 du réservoir i durant la période t [t,t+1]
• a0
it : l’apport naturel en eau (pluie, fonte des neiges) du réservoir i durant la
période t
• aq
it : l’apport résultant des eaux turbinés des réservoirs en amont au réservoir i et
qui arriverait au réservoir i durant la période t.
•ait = a0
it + aq
it

6. • qjt : quantité d’eau en m3 turbinée par l’usine j durant la période t.
• Ft : Information révélée depuis le début de l’horizon jusqu’au temps t mais
pas au-delà.
• Q(Vt,at) : ensemble des solutions réalisables (défini par les contraintes du
problème)
• fjt (qjt,Vam(j)t): production d’électricité de l’usine j si elle turbine une quantité
d’eau qjt et que le niveau de l’eau dans le réservoir en amont associé am(j)
est de Vam(j)t
• pt : prix du marché (supposé connu au moment de prise de décision)
• N l’ensemble des conduites
• deltatn : temps de trajet de la conduite n
• Nin
i: sous-ensemble de conduites arrivant au réservoir i
•Nout
i: sous-ensemble de conduites quittant au réservoir i
•sit : éventuel débordement du réservoir i pendant la période t
Notations

7. Notations
• fj
LO : borne inférieures sur la production de la turbine
• fj
UP : borne supérieure sur la production de la turbine

8. Etat du système
• Volume d’eau de chaque réservoir
• Vit : volume d’eau du réservoir i au temps t
• Quantité d’eau affluant
• ait : apport d’eau pour le réservoir i durant la période t
• Etat du système à l’instant t:
• Vecteur (Vt , at)

9. Variables de décision
• qjt : quantité d’eau en m3 turbinée par l’usine j durant la
période t.
• j = 1,..,J
• t = 1,..,T (T=8760)
• Information révélée jusqu’en t : Ft
• Information révélée depuis le début de l’horizon jusqu’au temps t mais pas au-
delà.
• Q(Vt,at) : ensemble des solutions réalisables (défini par
les contraintes du problème)

10. Profit
• Pour chaque turbine/pompe
• Revenu total au temps t
• Profit global à l’instant t (pour toutes les périodes) :
• Profit à l’instant t
• Profit estimé pour le reste de l’année :

11. Risque
• Impossible de garantir à 100% qu’aucune contrainte de
sécurité ne soit violée sur le reste de l’horizon.
• On cherche à éviter à tout prix ces situations

12. Contraintes déterministes : Conduites - Turbines
• Débits dans les conduites (turbine)
• N l’ensemble des conduites
• Changement horaire des débits limité
• delta n : delta de changement autorisé pour la conduite n (variation à la hausse
UP ou à la baisse LO)
• Temps d’écoulement (conduites longues)
• delta tn : temps de trajet de la conduite n
• Supposons que qnt : débit mesuré à l’entrée de la conduite, le débit à la sortie :
qn,t- delta tn

13. Contraintes : Turbines
• Fonction de production f(.) d’une turbine en [MWh] dépend
(débit, quantité d’eau présente dans le réservoir en amont)
• K: constante,
• h: différence de hauteur entre le niveau d’eau du réservoir et l’entrée de la turbine
• théta : coefficient de perte de charge. deltaq2 représente la perte de charge subie
par l’eau tout au long du chemin qui la mène à la turbine
• delta(q) : rendement de l’installation. Fonction non-linéaire du débit circulant.
Varie suivant le type de turbine. Généralement concave. Atteint un rendement
maximal pour un débit généralement inférieur à qUP
j. Rendement médiocre pour
un débit faible

14. Contraintes: Turbines
• Hauteur d’eau: liée au volume
• Volume fonction quadratique de la hauteur
• Production électrique fonction :
• Etat du système
• Variables de décision

15. Contraintes sur le Réservoir
• Volume d’eau des réservoirs (min, max)
• Pénalité importante. Pénalité pour un débordement par m3 déversé.
• Balance dans le réservoir
• Nin
i: sous-ensemble de conduites arrivant au réservoir i
• Nout
i: sous-ensemble de conduites quittant au réservoir i
• sit : éventuel débordement du réservoir pendant cette période si niveau réservoir
dépasse le maximum

16. Contraintes : Production
• Minimum et maximum technique de production d’une
turbine
• Liée au fonctionnement de l’alternateur
• fj
LO : borne inférieures sur la production de la turbine
• fj
UP : borne supérieure sur la production de la turbine
• ujt : variable binaire si oui ou non la turbine fonctionne

17. Contraintes sur le Volume
• Volume minimum pour alimenter une turbine
• Un réservoir peut alimenter plusieurs usines via des canalisations distinctes
• Conduites peuvent être branchées à différentes hauteurs
• Si volume au dessous de la conduite, le turbine correspondant ne pourra pas
marcher
• Débit de la conduite n ne peut être non-nul que si le volume dans le réservoir
correspondant est au moins égal au volume nécessaire pour alimenter la prise
d’eau

18. Contraintes sur les Turbines
• Durée minimale et maximale de fonctionnement turbines
• Limiter l’usure de certaines machines
• Temps de fonctionnement et/ou arrêt minimaux
• Unit commitment problem
• deltaON
j : Durée minimale de fonctionnement
• deltaOFF
j : Durée minimale d’arrêt
• Si temps minimum de fonctionnement est supérieur à une période
• Si temps d’arrêt entre deux périodes de fonctionnement est supérieur à une
heure

19. Contraintes sur les Turbines

20. Contraintes sur les Turbines
• Plage de fonctionnement constant
• Production soit constante par périodes de deux (ou plusieurs) heures
consécutives au moins
• qj
UP : période constante
• wjt : variable binaire indiquant si le niveau de production a changé entre les
périodes t-1 et t

21. Contraintes sur les pompes
• Stations de pompage
• Pompes : consomment de l’électricité pour faire remonter l’eau dans les
réservoirs situés en amont.
• Considèrent comme turbines particulières
• Production électrique est négative
• Fonction de production
• Fonction non-linéaire semblable à celle des turbines
• Contraintes spécifiques (comme turbines)
• Fonctionnement minimum technique
• Arrêt si niveau d’eau du réservoir l’alimentant descend sous un certain seuil

22. Contraintes sur les Turbines
• Contraintes couplant plusieurs usines
• Deux usines (turbines ou pompes) ne peuvent pas fonctionner simultanément
• Satisfaction de la contrainte: construction, réparation
• Somme de production de certaines turbines n’excède pas un certain niveau

23. Contraintes production intermédiaire
• Pallier de production intermédiaire
• Usines doivent passer par un palier de production intermédiaire Pj
ARR avant
d’être arrêtées.
• Généralement largement inférieur à la capacité maximale de production de la
turbine
• Délicat à modéliser sous forme MIP
• Peut être

24. Contraintes fuite d’eau
• Débit de fuite dépendant du volume d’eau
• Débit de fuite d’un réservoir : débit qui sortira du réservoir quelle que soit la
décision de turbinage
• Débit de fuite est fonction de la hauteur d’eau dans le réservoir considéré

25. Contraintes rampes de prise en charge
• Rampes de prise en charge
• Limitation sur la variation du débit turbiné d’un pas de temps au suivant
• Cette limitation peut, dans certains cas, dépendre du niveau de production (ou
du débit turbiné) d’une autre usine auquel cas devient une fonction

26. Contraintes (cas par cas)
• Rampes sur les variations de débit dans les conduites
• Fluctuation de débit soit borné au sein d’une même journée
• d(t): indice du jour correspondant à l’instant t
• Autre variante
• : Débit moyen au cours d’une journée d
• Ratio entre débit instantané et débit moyen quotidien soit borné
• Ou encore
• Ratio pris par rapport au débit moyen du jour précédent
• Contraintes applicables que durant certaines périodes de l’année.

27. Contraintes puissances
• Puissance maximale fonction des niveaux de deux retenues
• Hauteur de chute dépende de la différence de niveau entre le réservoir
amont et le réservoir aval de la turbine.
• Complique le calcul de la fonction h(V) puisqu’il faut considérer une
fonction à deux variables Vam(j),t et Vav(j)t où l’indice aval correspond au
réservoir en aval de la turbine j.
• Puissance maximale dépendant d’une autre usine
• Fonctionnement d’une usine peut dégrader la puissance maximale
développable par une autre usine si elles fonctionnent simultanément

28. Contraintes (cas par cas)
• Variantes de rémunération
• Toutes les usines ne voient pas forcément leur production
rétribuée au prix spot de l’électricité
• Certaines installations bénéficient de tarifs prédéfinis avec
obligation d’achat (obligation sujette à une limite sur le volume total)
• L’énergie consommée par les pompes pour remonter l’eau vers
des réservoirs amont peut être facturée au prix spot.

29. • Limites de variation des volumes dans les retenues
• Souhaiter limiter la fluctuation du niveau d’eau dans un réservoir
entre deux heures consécutives ou deux jours consécutifs
(tourisme)
• Souhaite borner la variation absolue du volume d’eau (ou la
hauteur)
Contraintes (cas par cas): volume

30. • Contraintes non-permanentes sur les niveaux d’eau
• Niveau d’eau soit au-dessus d’un certain minimum pendant
certaines périodes de l’année
Contraintes dynamiques sur le volume

31. • Transparence d’un réservoir
• Deux types de contraintes de transparence :
1. Quand les apports d’eau d’un réservoir dépassent une certaine valeur
(ou si c’est le WE) alors tout doit passer par une conduite qui sort du
réservoir et rien ne peut être turbiné
2. Si les apports d’eau naturels du réservoir amont ne suffisent pas à
respecter le débit réservé, alors on fait passer uniquement les apports
mais on ne déstocke pas des retenues pour respecter les débits
réservés.
Contraintes (cas par cas)

32. • Modélisation des éclusées pour de petites retenues
• Appliquée pour des petites retenues comme des chambres d’eau
• Si l’apport d’eau est inférieur à un certain seuil débit qj,0, on imposera le
fonctionnement suivant:
• On remplit la chambre d’eau jusqu’à ce qu’elle soit pleine, sans faire fonctionner
la turbine, ensuite on la vide en faisant fonctionner l’usine à un niveau déterminé
• Une fois vidée on la remplit à nouveau et ainsi de suite …
• Autres contraintes
• Usines situés en parallèle d’un barrage
• Peut choisir entre turbiner l’eau ou la diriger
vers un barrage
o Lorsque le barrage déverse, le débit max
turbinable par l’usine reste inchangé mais la
puissance développable est réduite
o Rendement de l’usine diminue lorsque le barrage
déverse
Contraintes (cas par cas)

33. Evaluation des
performances

34. Incertitude Prix spot
• Scenario
• Price week (01/01 – 07/01)
• pt : prix au temps t
• Price rest of the horizon (08/01 – 31/12)
• ptk : prix au temps t du scenario k

35. Incertitude apports d’eau (réservoirs)
• Scenario
• Apport d’eau naturel (01/01 – 07/01)
• a0
it : apport du réservoir i à la période t
• Apport naturel reste de l’horizon (08/01 – 31/12)
• a0
itk : apport réservoir i à la période t du scenario k

36. Benchmark : Modèle 1
• Conduites
• Débit réservé de 2m3/s toute l’année (qLO=2m3/s dans
l’équation (2) du document
• Pas de qUP
• Temps de transfert deltatn =1h
• Réservoir 1
• Volume minimum VLO est de 0 m3
• Volume maximum VUP est de 25 000 000 m3
• Turbines
• Production vendue au prix spot
• Turbine 1
• Débit maximal qUP = 230 m3/s
• Production = 1.07 * Débit
• Turbine 2
• Débit maximal qUP=180 m3/s
• Production = 1.1 * Débit

37. Benchmark : Modèle 2
• Turbines
• Production vendue au prix spot
• Turbine 1
• Débit maximal qUP = 230 m3/s
• Minimum de fonctionnement f LO = 27 MW
• Production = f(Débit, Volume) voir tableau
• Optionnel : Usine tourne au minimum 2 heures
consécutives
• Optionnel : l’usine ne peut démarrer que 3 fois dans la
même journée au max.
• Turbine 2
• Débit maximal qUP=180 m3/s
• Minimum de fonctionnement f LO = 135 MW
• Production = f(Débit, Volume) voir tableau
• Optionnel : Usine doit s’arrêter 3 heures au minimum avant
de pouvoir redémarrer
• Optionnel : l’usine ne doit pas fonctionner si le Réservoir 1
est en dessous de 3 350 000 m3