SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 6
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Tujuan:
Ruang Hasil Kali Dalam
1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali
Dalam.
2. Memahami definisi umum Ruang Hasil Kali Dalam dan sifat-
sifatnya.
3. Memahami definisi norm, jarak, keortogonalan.
4. Memahami himpunan orthogonal dan orthonormal.
Dipelopori oleh Euclid of Alexandria (
Ruang Euclid
Greek: Εὐκλείδης) (c. 325–c.
265 BC), menulis buku The Element berisi 6 postulat, diantaranya:
Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai
pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri Non-
Euclid, yang didasarkan perbedaan pengertian 2 garis
sejajar/parallel.
Ruang Euclid
n
R :
- merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi:
penjumlahan dan perkalian dengan scalar, sehingga 8 aksioma
berlaku.
- merupakan ruang hasil kali dalam karena mempunyai operasi hasil
kali dalam (bernama perkalian titik untuk ruang Euclid):
1 1 2 2 n nu v u v u v u v⋅ = + + +
 

untuk setiap u

dan v

vektor di
n
R .
Sifat-sifat perkalian titik:
Jika u

, v

dan w

adalah vektor di
n
R , k adalah skalar
1. u

∙ v

= v

∙ u

2. u

∙ ( v

+ w

) = u

∙ v

+ u

∙ w

3. k( u

∙ v

)= (k u

) ∙ v

4. v

∙ v

> 0 jika v

≠ 0, dan v

∙ v

= 0 jika v

= 0
Norm: panjang dari vektor
1/2 2 2 2
1 2( ) nv v v v v v= = + + +
  
 
Jarak antara 2 vektor:
2 2 2
1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )n nd u v u v u v u v u v= − = − + − + + −
 

Ruang Hasil Kali Dalam (umum):
Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V
adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u

dan v

di V
dengan suatu bilangan Real, diberi symbol ,u v
 
, sehingga berlaku
aksioma di bawah ini. Untuk u

, v

dan w

di V,
1. , ,u v v u=
   
2. , , ,u v w u w v w+ = +
      
3. , ,ku v k v u=
   
4. , 0v v ≥
 
dimana , 0v v =
 
jika dan hanya jika v

=0.
Contoh hasil kali dalam :
1. Perkalian titik di ruang Euclid.
2. 1 1 2 2, 3 2u v u v u v= +
 
3. 1 1 1 2 2 2, n n nu v w u v w u v w u v= + + +
 
 di mana 1 2, , , nw w w adalah
bilangan real positif, disebut bobot (weight).
Contoh bukan hasil kali dalam:
4. 1 2 2 1, 3 2u v u v u v= +
 
Norm (panjang) vektor di ruang hasil kali dalam:
1/2
,v v v=
  
Jarak antara 2 vektor:
1/2
( , ) ,d u v u v u v u v= − = − −
     
Latihan:
Hasil Kali Dalam (hkd) Euclid berbobot: 1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v= + +
 
- Tunjukan hkd tersebut memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam.
- Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya.
Sudut antara dua vektor:
,
cos
v w
v w
θ =
 
 
Dua vektor u

dan v

orthogonal jika: ,u v
 
=0.
Teorema Pythagoras yang diperumum:
2 2 2
u v u v+ = +
   
Definisi: Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam
disebut himpunan orthogonal jika setiap pasangan berbeda dari
himpunan tersebut orthogonal.
Suatu himpunan orthogonal di mana setiap vektornya bernorm 1
(satu) disebut orthonormal.
Misal : 1 2 3(0,1,0), (1,0,1), (1,0, 1)u u u= = = −
  
pada ruang
Euclid yang memiliki perkalian titik.
1. Tunjukan himpunan { }1 2 3, ,S u u u=
  
orthogonal.
2. Apakah S orthonormal? Ubah S menjadi himpunan orthonormal.
3. Apakah S dapat menjadi basis?
Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor
orthonormal disebut basis orthonormal.
Teorema:
Jika { }1 2, , , nS v v v=
  
 adalah suatu basis orthonormal untuk ruang
hasil kali dalam V, dan u

adalah sebarang vektor di V, maka
1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v= + + +
         

Artinya: u

merupakan kombinasi linier dari 1 2, , , nv v v
  
 dengan
masing-masing koefisiennya adalah 1 2, , , , , , nu v u v u v
     
 .
Latihan:
Jika
2
1 2p x= +

,
2
3q x x= + +

dan 2
3 2v x x= − +

adalah tiga vektor di
2P (ruang vektor polinom berderajat dua), dan hasil kali dalam
0 0 1 1 2 2,p q a b a b a b= + +
 
.
Apakah himpunan tiga vektor itu orthonormal?

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear
Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar LinearMerentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear
Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar LinearMuhammad Alfiansyah Alfi
 
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector SpacesLinear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector SpacesDiponegoro University
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfPawit Ngafani
 
Mrv 4.1 fitriana & fatmala yunita ruang n- euclidis
Mrv 4.1   fitriana & fatmala yunita  ruang n- euclidisMrv 4.1   fitriana & fatmala yunita  ruang n- euclidis
Mrv 4.1 fitriana & fatmala yunita ruang n- euclidisNunink Apriani
 
Pertemuan09&10
Pertemuan09&10Pertemuan09&10
Pertemuan09&10Amri Sandy
 
rekursi dan relasi rekurens
rekursi dan relasi rekurensrekursi dan relasi rekurens
rekursi dan relasi rekurenstedi_apendi
 
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannyaContoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannyaAyuShaleha
 
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updated
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updatedBab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updated
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updatedwahyuddin S.T
 

Was ist angesagt? (17)

Modul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensiModul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensi
 
Basis dan Dimensi
Basis dan DimensiBasis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
 
SubRuang Vektor
SubRuang VektorSubRuang Vektor
SubRuang Vektor
 
Presentation2
Presentation2Presentation2
Presentation2
 
Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear
Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar LinearMerentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear
Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear
 
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector SpacesLinear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
 
Mrv 4.1 fitriana & fatmala yunita ruang n- euclidis
Mrv 4.1   fitriana & fatmala yunita  ruang n- euclidisMrv 4.1   fitriana & fatmala yunita  ruang n- euclidis
Mrv 4.1 fitriana & fatmala yunita ruang n- euclidis
 
Vektor di Rn
Vektor di RnVektor di Rn
Vektor di Rn
 
Pertemuan09&10
Pertemuan09&10Pertemuan09&10
Pertemuan09&10
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
rekursi dan relasi rekurens
rekursi dan relasi rekurensrekursi dan relasi rekurens
rekursi dan relasi rekurens
 
R5 g kel 6 allin2 2
R5 g kel 6 allin2 2R5 g kel 6 allin2 2
R5 g kel 6 allin2 2
 
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannyaContoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
 
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updated
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updatedBab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updated
Bab 8-solusi-pdp-dengan-mbh-updated
 
Ring
RingRing
Ring
 

Ähnlich wie 5 ruang-hasil-kali-dalam-v2011

Matematika Elektro part 2.pdf
Matematika Elektro part 2.pdfMatematika Elektro part 2.pdf
Matematika Elektro part 2.pdfMasjudinUntirta
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfPawit Ngafani
 
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptx
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptxPertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptx
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptxChristianPS2
 
geometri
geometrigeometri
geometriSEP
 
Vektor Eigen dari Matriks Simetris
Vektor Eigen dari Matriks SimetrisVektor Eigen dari Matriks Simetris
Vektor Eigen dari Matriks Simetrisbernypebo
 
Vektor Eigen Dari Matriks Simetris
Vektor Eigen Dari Matriks SimetrisVektor Eigen Dari Matriks Simetris
Vektor Eigen Dari Matriks Simetrisbernypebo
 
3 vektor-dan-operasinya-v2011
3 vektor-dan-operasinya-v20113 vektor-dan-operasinya-v2011
3 vektor-dan-operasinya-v2011leowendry
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierSartiniNuha
 
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruangVektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruangSebastian Rizal
 
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel b
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel bBab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel b
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel bMuhammad Ali Subkhan Candra
 

Ähnlich wie 5 ruang-hasil-kali-dalam-v2011 (20)

Vektor dan ruang euclid
Vektor dan ruang euclidVektor dan ruang euclid
Vektor dan ruang euclid
 
Matematika Elektro part 2.pdf
Matematika Elektro part 2.pdfMatematika Elektro part 2.pdf
Matematika Elektro part 2.pdf
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
 
Bab 5
Bab 5Bab 5
Bab 5
 
Alin 3.1 3.3
Alin 3.1 3.3Alin 3.1 3.3
Alin 3.1 3.3
 
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptx
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptxPertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptx
Pertemuan_7_RUANG_VEKTOR 2.pptx
 
Tgs ale kel 2 vektor
Tgs ale kel 2 vektorTgs ale kel 2 vektor
Tgs ale kel 2 vektor
 
geometri
geometrigeometri
geometri
 
Vektor Eigen dari Matriks Simetris
Vektor Eigen dari Matriks SimetrisVektor Eigen dari Matriks Simetris
Vektor Eigen dari Matriks Simetris
 
Vektor Eigen Dari Matriks Simetris
Vektor Eigen Dari Matriks SimetrisVektor Eigen Dari Matriks Simetris
Vektor Eigen Dari Matriks Simetris
 
3 vektor-dan-operasinya-v2011
3 vektor-dan-operasinya-v20113 vektor-dan-operasinya-v2011
3 vektor-dan-operasinya-v2011
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar Linier
 
Pdp jadi
Pdp jadiPdp jadi
Pdp jadi
 
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruangVektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
 
Bab 2 vektor
Bab 2 vektorBab 2 vektor
Bab 2 vektor
 
Modul VEKTOR
Modul VEKTORModul VEKTOR
Modul VEKTOR
 
Bab 3 (vektor)
Bab 3 (vektor)Bab 3 (vektor)
Bab 3 (vektor)
 
2260 bilqis-if-pertemuan 4 alin bilqis
2260 bilqis-if-pertemuan 4 alin bilqis2260 bilqis-if-pertemuan 4 alin bilqis
2260 bilqis-if-pertemuan 4 alin bilqis
 
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel b
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel bBab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel b
Bab ii pembahasan a. persamaan schrodinger pada gerak partikel b
 
VEKTOR (Merva juniarti)
VEKTOR (Merva juniarti)VEKTOR (Merva juniarti)
VEKTOR (Merva juniarti)
 

Mehr von Dickdick Maulana

Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit
Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit
Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit Dickdick Maulana
 
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs Kepmenkes 1087-standar-k3-rs
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs Dickdick Maulana
 
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri Dickdick Maulana
 
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerja
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerjaPmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerja
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerjaDickdick Maulana
 
Materi HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes Jabar
Materi  HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes JabarMateri  HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes Jabar
Materi HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes JabarDickdick Maulana
 
Perda no. 2 thn 2014 b3 final otentifikasi
Perda no. 2 thn 2014  b3 final otentifikasi Perda no. 2 thn 2014  b3 final otentifikasi
Perda no. 2 thn 2014 b3 final otentifikasi Dickdick Maulana
 
Pengelolaan Sampah Melalui Pengurangan
Pengelolaan Sampah Melalui PenguranganPengelolaan Sampah Melalui Pengurangan
Pengelolaan Sampah Melalui PenguranganDickdick Maulana
 
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatan
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatanPp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatan
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatanDickdick Maulana
 
Sufg clean coal technologies report
Sufg clean coal technologies reportSufg clean coal technologies report
Sufg clean coal technologies reportDickdick Maulana
 
Pharmaceutical in drinking water
Pharmaceutical in drinking water Pharmaceutical in drinking water
Pharmaceutical in drinking water Dickdick Maulana
 
Sakit dan lingkungan hidup
Sakit dan lingkungan hidup Sakit dan lingkungan hidup
Sakit dan lingkungan hidup Dickdick Maulana
 
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn.
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn. Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn.
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn. Dickdick Maulana
 
Lingkungan air (hidrosphere)
Lingkungan air (hidrosphere) Lingkungan air (hidrosphere)
Lingkungan air (hidrosphere) Dickdick Maulana
 
Metode penelitian survai editor masri singarimbun, sofian effendi
Metode penelitian survai   editor masri singarimbun, sofian effendiMetode penelitian survai   editor masri singarimbun, sofian effendi
Metode penelitian survai editor masri singarimbun, sofian effendiDickdick Maulana
 
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbah
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbahSni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbah
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbahDickdick Maulana
 

Mehr von Dickdick Maulana (20)

Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit
Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit
Uu no. 44_th_2009_ttg_rumah_sakit
 
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs Kepmenkes 1087-standar-k3-rs
Kepmenkes 1087-standar-k3-rs
 
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri
Pmk no. 541_ttg_program_tugas_belajar_sdm_kesehatan_depkes_ri
 
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerja
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerjaPmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerja
Pmk no. 1199 ttg pedoman pengadaan tenaga kesehatan dengan perjanjian kerja
 
Materi HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes Jabar
Materi  HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes JabarMateri  HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes Jabar
Materi HSP Sanitarian RS 2014 Dinkes Jabar
 
Perda no. 2 thn 2014 b3 final otentifikasi
Perda no. 2 thn 2014  b3 final otentifikasi Perda no. 2 thn 2014  b3 final otentifikasi
Perda no. 2 thn 2014 b3 final otentifikasi
 
Pengelolaan Sampah
Pengelolaan SampahPengelolaan Sampah
Pengelolaan Sampah
 
Pengelolaan Sampah Melalui Pengurangan
Pengelolaan Sampah Melalui PenguranganPengelolaan Sampah Melalui Pengurangan
Pengelolaan Sampah Melalui Pengurangan
 
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatan
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatanPp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatan
Pp no. 19_th_2003_ttg_pengamanan_rokok_bagi_kesehatan
 
Sufg clean coal technologies report
Sufg clean coal technologies reportSufg clean coal technologies report
Sufg clean coal technologies report
 
Kesling 2
Kesling 2 Kesling 2
Kesling 2
 
Water quality strategy
Water quality strategy Water quality strategy
Water quality strategy
 
Pharmaceutical in drinking water
Pharmaceutical in drinking water Pharmaceutical in drinking water
Pharmaceutical in drinking water
 
Sakit dan lingkungan hidup
Sakit dan lingkungan hidup Sakit dan lingkungan hidup
Sakit dan lingkungan hidup
 
Kesehatan lingkungan
Kesehatan lingkungan Kesehatan lingkungan
Kesehatan lingkungan
 
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn.
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn. Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn.
Lingkungan air (hidrosphere) lnjtn.
 
Lingkungan air (hidrosphere)
Lingkungan air (hidrosphere) Lingkungan air (hidrosphere)
Lingkungan air (hidrosphere)
 
Metode penelitian survai editor masri singarimbun, sofian effendi
Metode penelitian survai   editor masri singarimbun, sofian effendiMetode penelitian survai   editor masri singarimbun, sofian effendi
Metode penelitian survai editor masri singarimbun, sofian effendi
 
Tetraethyl orthosilicate
Tetraethyl orthosilicateTetraethyl orthosilicate
Tetraethyl orthosilicate
 
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbah
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbahSni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbah
Sni 6989.59 2008 metoda pengambilan contoh air limbah
 

Kürzlich hochgeladen

power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranapriandanu
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKTaufik241763
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfSMP Hang Kasturi, Batam
 
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfSertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfWahyuHid3
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfbayuputra151203
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxPutriSoniaAyu
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUTeric214073
 
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)RezaWahyuni6
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridDonyAndriSetiawan
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daWijaya Kusumah
 
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuciPAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersucietiernawati20
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Shoffan shoffa
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 

Kürzlich hochgeladen (20)

power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
 
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfSertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptxDEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
 
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)
Materi Pertemuan 1.pdf (Pengantar Pendidikan Pancasila di Perguruan Tingg)
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
 
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuciPAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
 
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptxELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 

5 ruang-hasil-kali-dalam-v2011

  • 1. Tujuan: Ruang Hasil Kali Dalam 1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali Dalam. 2. Memahami definisi umum Ruang Hasil Kali Dalam dan sifat- sifatnya. 3. Memahami definisi norm, jarak, keortogonalan. 4. Memahami himpunan orthogonal dan orthonormal. Dipelopori oleh Euclid of Alexandria ( Ruang Euclid Greek: Εὐκλείδης) (c. 325–c. 265 BC), menulis buku The Element berisi 6 postulat, diantaranya:
  • 2. Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri Non- Euclid, yang didasarkan perbedaan pengertian 2 garis sejajar/parallel.
  • 3. Ruang Euclid n R : - merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi: penjumlahan dan perkalian dengan scalar, sehingga 8 aksioma berlaku. - merupakan ruang hasil kali dalam karena mempunyai operasi hasil kali dalam (bernama perkalian titik untuk ruang Euclid): 1 1 2 2 n nu v u v u v u v⋅ = + + +    untuk setiap u  dan v  vektor di n R . Sifat-sifat perkalian titik: Jika u  , v  dan w  adalah vektor di n R , k adalah skalar 1. u  ∙ v  = v  ∙ u  2. u  ∙ ( v  + w  ) = u  ∙ v  + u  ∙ w  3. k( u  ∙ v  )= (k u  ) ∙ v  4. v  ∙ v  > 0 jika v  ≠ 0, dan v  ∙ v  = 0 jika v  = 0 Norm: panjang dari vektor 1/2 2 2 2 1 2( ) nv v v v v v= = + + +      Jarak antara 2 vektor: 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )n nd u v u v u v u v u v= − = − + − + + −    Ruang Hasil Kali Dalam (umum):
  • 4. Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u  dan v  di V dengan suatu bilangan Real, diberi symbol ,u v   , sehingga berlaku aksioma di bawah ini. Untuk u  , v  dan w  di V, 1. , ,u v v u=     2. , , ,u v w u w v w+ = +        3. , ,ku v k v u=     4. , 0v v ≥   dimana , 0v v =   jika dan hanya jika v  =0. Contoh hasil kali dalam : 1. Perkalian titik di ruang Euclid. 2. 1 1 2 2, 3 2u v u v u v= +   3. 1 1 1 2 2 2, n n nu v w u v w u v w u v= + + +    di mana 1 2, , , nw w w adalah bilangan real positif, disebut bobot (weight). Contoh bukan hasil kali dalam: 4. 1 2 2 1, 3 2u v u v u v= +   Norm (panjang) vektor di ruang hasil kali dalam: 1/2 ,v v v=    Jarak antara 2 vektor: 1/2 ( , ) ,d u v u v u v u v= − = − −       Latihan: Hasil Kali Dalam (hkd) Euclid berbobot: 1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v= + +   - Tunjukan hkd tersebut memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam.
  • 5. - Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya. Sudut antara dua vektor: , cos v w v w θ =     Dua vektor u  dan v  orthogonal jika: ,u v   =0. Teorema Pythagoras yang diperumum: 2 2 2 u v u v+ = +     Definisi: Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut himpunan orthogonal jika setiap pasangan berbeda dari himpunan tersebut orthogonal. Suatu himpunan orthogonal di mana setiap vektornya bernorm 1 (satu) disebut orthonormal. Misal : 1 2 3(0,1,0), (1,0,1), (1,0, 1)u u u= = = −    pada ruang Euclid yang memiliki perkalian titik. 1. Tunjukan himpunan { }1 2 3, ,S u u u=    orthogonal. 2. Apakah S orthonormal? Ubah S menjadi himpunan orthonormal. 3. Apakah S dapat menjadi basis?
  • 6. Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor orthonormal disebut basis orthonormal. Teorema: Jika { }1 2, , , nS v v v=     adalah suatu basis orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V, dan u  adalah sebarang vektor di V, maka 1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v= + + +            Artinya: u  merupakan kombinasi linier dari 1 2, , , nv v v     dengan masing-masing koefisiennya adalah 1 2, , , , , , nu v u v u v        . Latihan: Jika 2 1 2p x= +  , 2 3q x x= + +  dan 2 3 2v x x= − +  adalah tiga vektor di 2P (ruang vektor polinom berderajat dua), dan hasil kali dalam 0 0 1 1 2 2,p q a b a b a b= + +   . Apakah himpunan tiga vektor itu orthonormal?