Este documento presenta información sobre diferentes tipos de operaciones con matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación de matrices y escalares, propiedades de estas operaciones, y tipos de matrices como matrices identidad, cero, triangulares, simétricas y antisimétricas.
1. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
CON MATRICES
1
Ing. Luis David Narváez
2. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GENERALIDADES
Traza
De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los
valores de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5
2
7513
070
985
3. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Suma de dos matrices
Sean dos matrices
conformables para la suma
(mismo orden), se define la
suma como:
[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo
orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la suma
del correspondiente elemento
de [A] y [B]
ci,j = ai,j + bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
+ =
3
97
23
57
48
140
25
4. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Resta de dos matrices
Sean dos matrices
conformables para la resta
(mismo orden), se define la
resta como:
[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo
orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la resta algebraica
de los correspondientes elementos de
[A] y [B]
ci,j = ai,j - bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
Ejemplo
- =
4
97
23
57
48
414
611
5. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Propiedades de la Suma y Resta Matricial
Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar
• [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n
• [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa
• [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa
• k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un
escalar por la izquierda o derecha en la suma
• Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 5
6. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Producto de una matriz por un escalar
Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de una
matriz por un escalar como
[C]m,n = k [A]m,n
En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)
Ejemplo
[C] = 3 [A]
3 = 6
97
23
2721
69
7. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Producto de dos matrices
Dos matrices se dice ser
conformables para la
multiplicación si:
[A]ma,na [B]mb,nb
El número de columnas de [A] es
igual al número de filas de [B]
El producto de dos matrices
es
[C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb
Con
ci,j= Sk=1 ai,k x bk,j
(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)
7
=
na
8. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
x =
Ejemplo
[C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb
Son conformables para la multiplicación ya que na = mb
8
132
201
0
1
1
2
2
5
0
3
1
4
9. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Leyes de la suma y la Multiplicación
Sean tres matrices [A] [B] [C]
conformables para la suma y
multiplicación
Primera Ley Distributiva
[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
Segunda Ley Distributiva
([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C]
Ley Asociativa
[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]
En general
1) [A] [B] [B] [A]
2) [A] [B] = [0]
No necesariamente
[A] = [0] o [B] = [0]
3) [A] [B] = [A] [C]
No necesariamente
[B] = [C]
9
10. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Matriz Transpuesta
Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como:
[A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na
mb = na y nb = ma
También se denotar como [A]’
[A] = [A] =
10
T
TT
5
4
7
1
3
2
5
7
3
4
1
2
11. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
OPERACIONES
Propiedades de la Matriz Transpuesta
Sean las matrices [A] [B]
con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar
i) [A’]’= [A]
ii) (k [A])’ = k [A]’
La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus
transpuestas
( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’
La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden
inverso de sus transpuestas.
( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 11
12. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
TIPOS DE MATRICES
Matriz Identidad [ I] o Unidad
Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la
diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás
elementos.
[ I] =
12
100
010
001
13. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Cero o Nula
Es una matriz cuadrada en
la cual el valor de todos los
elementos es cero.
000
000
000
13
Ejemplo
[ 0 ] =
[ 0 ] =
TIPOS DE MATRICES
14. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Opuesta o Negativa.
- [A]
Se obtiene de la matriz [A]
multiplicando cada
elemento por el escalar -1
128
954
421
128
954
421
14
Ejemplo
Sea la matriz
[A] =
-1 [A] =
TIPOS DE MATRICES
15. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matrices Iguales
Son aquellas que tienen el mismo orden y cada
elemento de una es igual al correspondiente
elemento de la otra.
[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n
Ejemplo
15
075
876
243
075
876
243=
TIPOS DE MATRICES
16. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matrices Conmutativas
Son aquellas matrices para las cuales se cumple :
Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que
[A] x [B] = [B] x [A]
=
16
14
41
14
41
36
63
36
63
TIPOS DE MATRICES
17. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los
elementos son cero excepto en la diagonal.
[ F ] =
17
2100
0100
004
B
TIPOS DE MATRICES
18. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Escalar
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los
elementos son cero excepto en la diagonal principal, que
tienen el mismo valor.
a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar
18
400
040
004
B=
B
B = -4 [ I ]
TIPOS DE MATRICES
19. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Triangular Superior
Es una matriz cuadrada cuyos
elementos en la parte superior de
la diagonal principal y en ella, el
valor es diferente de cero.
El valor de los elementos abajo de
la diagonal principal es cero
ai j = 0 para i > j
Ejemplo
19
200
470
642
TIPOS DE MATRICES
20. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo
Matriz Triangular Inferior
Es una matriz cuadrada cuyos
elementos en la parte inferior de la
diagonal principal y en ella, el valor es
diferente de cero.
El valor de los elementos arriba de la
diagonal principal es cero.
ai j = 0 para i < j
20
276
041
002
TIPOS DE MATRICES
21. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matrices simétricas
Aquellas que cumplen con:
[A]’ = [A].
Propiedad
Si [A] es una matriz
cuadrada
[A] + [A]’ es simétrica
Ejemplo:
la matriz [A] es simétrica ya que:
21
258
514
843
258
514
843[A]’ =
[A] =
TIPOS DE MATRICES
22. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Antisimétrica o
Hemisimétrica
Es una matriz cuadrada que es
igual a la opuesta (o negativa)
de su transpuesta.
Necesariamente los elementos
de la diagonal principal tienen
el valor de cero.
[A] = - 1 [A]’
Ejemplo
La matriz [A] es antisimétrica ya que:
22
058
504
840
058
504
840
-1 [A]’ =
[A] =
TIPOS DE MATRICES
23. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Periódica
Aquella matriz [A] para la cual
[A]k+1= [A]
Donde k es un entero positivo
Se dice que la matriz es de un
periodo k
23
321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
Ejemplo:
[A] es periódica, con
periodo 1
TIPOS DE MATRICES
24. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Idempotente
Es una matriz Periódica con período 1
Ejemplo
24
321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
TIPOS DE MATRICES
25. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Inversa
Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para la
multiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con:
[A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [ I]
A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A]
Ejemplo de matrices Inversas:
25
421
331
321
101
011
326
x =
100
010
001
MATRIZ INVERSA
26. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Adjunta
Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.
La manera de construirla es la siguiente:
1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M]
2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T
adj [A] = ( cofactores [M] )T
26
MATRIZ ADJUNTA
29. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Propiedades de la Matriz Adjunta
La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al
producto de las adjuntas de las matrices
adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]
29
MATRIZ ADJUNTA
30. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta
Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que
[A] x adj [A] = | A | [ I]
Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:
[A] = [I]
Entonces [A] –1 =
30
||
][
A
Aadj
||
][
A
Aadj
MATRIZ INVERSA
31. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo
Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta
Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2
Entonces [A] –1 =(-1/2)
31
572
024
331
141324
121120
6610
141324
121120
6610
MATRIZ INVERSA
32. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Transformaciones elementales en una matriz....
Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no
se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.
Se k un escalar diferente a 0
1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de
la fila uno por los elementos de la fila tres.
2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.
3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .
32
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
33. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Transformaciones elementales en una matriz
4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un
escalar k.
5. La suma a los elementos de una fila de k veces los
correspondientes elementos de otra fila.
6. La suma a los elementos de una columna de k veces los
correspondientes elementos de otra columna.
33
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
34. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matrices Equivalentes
Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de
la otra por una secuencia de transformaciones elementales.
Se denotan como [A] [B]
Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango
34
MATRIZ EQUIVALENTE
35. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales
Pasos:
1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte
derecha la matriz identidad, de orden m .
[ [ A ] [ I] ] quedando una matriz aumentada
2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz
identidad [ I] en el lugar en que estaba la matriz [A].
Y en el lugar en que estaba la matriz [ I] queda la matriz inversa
[ [ I] [ A ]-1 ]
35
MATRIZ INVERSA
36. 42
5
1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
Sea [A] =
1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [ I] ] =
2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [I]
Se intercambian los renglones 1 y 2
2da fila = 2da fila + 3 1era fila
36
1
0
0
1
4
5
1
3
0
1
1
0
5
4
3
1
3
1
1
0
7
4
0
1
41
53
MATRIZ INVERSA