Breve introducción a Conjuntos de la Asignatura de Matemática I - PUCESI

1. CONJUNTOS
PUCESI

2. ¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.

Los objetos de un conjunto son llamados elementos o
miembros del conjunto.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:
números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,
etc.

Un conjunto no posee elementos repetidos. ¿?
2

3. RETO MATEMÁTICO
LOS TRES GATOS
Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos,
¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?
3

4. SIMBOLOS
4

5. SIMBOLOS
5

6. SIMBOLOS
6

7. Relación de pertenencia
Ejemplo

V
a
o
i
b


7
e
u
c
a  A (a pertenece a A)
b  A (b no pertenece a A)

8. Formas de expresión de un conjunto

Para indicar un conjunto de utilizan llaves.

Hay distintas formas de expresarlo

Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}

Indicando alguna caracterización de sus elementos
A = { x / x es una vocal }
Tal que
8

9. Conjunto vacío

Es aquel que no contiene elementos

Representación:

Ejemplo:

B={x/x
o
{}
N ^ 2x = 1}
B es un conjunto que no contiene elementos dado
que ningún número natural multiplicado por 2
puede dar como resultado 1
 B = {}
9

10. Cardinalidad de un conjunto


Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un
conjunto
Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x 

N ^ 2x = 1} es 0
Un conjunto puede contener infinitos elementos.
10

11. Igualdad de conjuntos


Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos
elementos o si ambos son vacíos
Dados los conjuntos



A = { 0 ,3 }
B = { x / x (x – 3) = 0 }
C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A=B?
A=C?
11

12. Subconjuntos de un conjunto

Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es
también elemento de A, diremos que




B es un subconjunto de A
B es una parte de A
B está incluido A.
Esto se simboliza como B  A
12
A
B

13. Subconjuntos de conjuntos

Dados los conjuntos





A = { 0 ,3 }
B = { x / x (x – 3) = 0 }
C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
AC
C  A pues 1  C y 1  A.
13

14. Conjunto de partes de un conjunto

Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto de partes de
A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A,
y lo denotaremos P(A).

En otras palabras:
P(A) = { B / B  A }
14

15. Conjunto de partes de un conjunto

Ejemplos

A = {1}
P(A) = { {}, {1} }

A = {1, 2}
P(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} }
15
A tiene 1 elemento
P(A) tiene 2 elementos
A tiene 2 elementos
P(A) tiene 4 elementos

16. Operaciones de conjuntos

Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a
partir de otros existentes:




16
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento

17. Operaciones de Conjuntos
UNION
A  B = {x / x  A  x  B }
17

18. Operaciones de Conjuntos
INTERSECCION
A  B = { x / x A  x  B }
18

19. Operaciones de Conjuntos
DIFERENCIA
B – A = {x / x  B  x  A }
19

20. Operaciones de Conjuntos
COMPLEMENTO
B
A
Si A  B CBA= {x / x  B  x  A }
CBA = B – A
20

21. Ejercicios

Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular






21
A  B = { 1,2 }
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
A–B= {3}
B – A = { 4, 5 }
ABC= {2}
A – ( B – C) = { 2, 3 }

22. Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)
22

23. Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)
23

24. Producto Cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado
A × B, es el conjunto de todos los posibles pares
ordenados cuyo primer componente es un elemento de
A y el segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }
24

25. Producto Cartesiano

Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que
A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos
A x B tiene 6 elementos.
25

26. Producto Cartesiano

Ejemplo:
A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1),
(copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note que
A tiene 4 elementos
B tiene 12 elementos
A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
26

27. Producto Cartesiano
Representación en forma de Tabla

Ejemplo:
A={
,
27
}
B={
,
,
}

28. Producto Cartesiano
Representación en forma de
Diagrama

Ejemplo:
A={
,
28
}
B={
,
,
}

29. Producto Cartesiano

Ejemplo:
A={
,
29
}
B={
,
,
}

30. Gráfico cartesiano

Dados los conjuntos
A = { 1 ,2 } y B = { 1 ,2 ,3 }
el gráfico cartesiano de A x B es:
La segunda componente
de cada elemento del
producto cartesiano es
la ordenada
La primera componente
de cada elemento del
producto cartesiano es
la abscisa
30

31. Ejercicio : indicar el gráfico
cartesiano de A x B donde
A = { x / x  R  –1 x  1 }
B= R
31

32. Ejercicio : indicar el gráfico
cartesiano de A x B donde
A={x/xR2x<5}
B = { x / x  R  1 < x  3}
32

33. Relación entre elementos de conjuntos

Hay casos en que no todos los pares ordenados de
un producto cartesiano de dos conjuntos
responden a una condición dada.
33

34. Relación entre elementos de conjuntos


Se llama relación entre los conjuntos A y B a un
subconjunto del producto cartesiano A x B.
Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman parte de
A x B.
34

35. Relaciones

Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos
de A con los de B
b está
relacionado
con 1
35
3 es el
correspondiente
de d

36. Conjuntos de salida y de llegada de
un relación

A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada
36

37. Dominio de una relación
Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R 

Dom(R) = {b, c, d}
37

38. Imagen de una relación
Im(R) =  y / yB  (x,y) R 

Im(R) = {1, 3, 4}
38

39. Notación

Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y)  R , o sea, que x está relacionado con
y por la relación R.

Ej: b R 1 porque (b,1)  R
39

40. Relación definida en un conjunto

Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una
relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es
una relación definida en A, o, simplemente, una relación
en A.

Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 =
A xA
40

41. Relación definida en un conjunto

Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es
madre de”


R es una relación en H. Por qué?
Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)
 R.

41
Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H
x H.

42. Representación de una relación

Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Los vértices del
grafo son los
elementos A y las
aristas dirigidas
representan los
elementos de R
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un
número finito de elementos
42

43. Representación de una relación

Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica que
hay relación y 0 que no hay relación
43

44. Propiedades de las relaciones
definidas en un conjunto

Si establecemos una relación entre los elementos de un
mismo conjunto, existen cinco propiedades
fundamentales que pueden cumplirse en esa relación


Propiedad simétrica

Propiedad asimétrica

Propiedad antisimétrica

44
Propiedad reflexiva
Propiedad transitiva

45. Propiedad reflexiva

La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de
un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R
45

46. Propiedad simétrica

La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está
relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par (y,x)
también pertenece a R
46

47. Propiedad Simétrica

Ejemplo

Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son
simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
47

48. Propiedad asimétrica

Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la
relación cumple la propiedad simétrica.
48

49. Propiedad antisimétrica

Una relación es
antisimétrica cuando
sólo cumplen la
propiedad simétrica los
pares de elementos
iguales y no la cumplen
los pares formados por
distintos elementos.
49

50. Propiedad antisimétrica

Ejemplo

Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son
antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
50

51. Propiedad transitiva

La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con
un tercero, el primer elemento está relacionado con el
tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R
51

(x,z)  R

52. Propiedad transitiva

Ejemplo

Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son
transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
52

53. Ejercicio

Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las
siguientes relaciones

R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.

R2 = {(1, 1)}.

R3 = {(1, 2)}.

R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
53

54. Ejercicio

Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}

Escribir por extensión a R.
54

55. Casos especiales

Como casos especiales de las relaciones en un conjunto
se define:

Relaciones de orden: Permite ordenar los
elementos a través de la relación.

Relación de equivalencia: Permite marcar
características similares entre los elementos
de un conjunto
55

56. Relación de orden


La relación de orden es aquella en que los elementos pueden
ordenarse a través de la relación.
Ejemplo
56

57. Relación de Orden

Pueden definirse dos tipos de relación:


57
Relación de orden amplio.
Relación de orden estricto.

58. Relación de orden amplio

Una relación de orden amplio es aquella que cumple las
propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
58

59. Relación de orden amplio
Ejemplo: R = “… es menor o igual
que…”
59

60. Ejemplo: Indicar si las siguientes
relaciones son de orden amplio


Sea A es el conjunto de los naturales y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x divide a y”}
Sea A es el conjunto de los subconjuntos de un
conjunto dado y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x está incluído en y”}
60

61. Relación de orden estricto

Una relación de orden estricto es aquella que cumple
con las propiedades asimétrica y transitiva, y no
cumple con la propiedad reflexiva.
61

62. Relación de orden estricto
Ejemplo: R = “… es menor que…”
62

63. Relación de equivalencia

Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto
63

64. Relación de equivalencia

Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto mediante su clasificación,
determinando una partición del mismo en clases de
equivalencia.
Se llama partición de un
conjunto A, a todo
conjunto de subconjuntos
no vacíos, disjuntos dos a
dos, de modo que la unión
de dichos conjuntos
formen el conjunto A.
64

65. Clase de Equivalencia

Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre
el que está definida, llamaremos clase de equivalencia
del elemento a  K, al subconjunto a de K formado por
todos los elementos de K que están relacionados con a
por R. Esto es:
a = {x / x  K ^ a R x }
Así, llamamos representante
de la clase al elemento a y
diremos que, si x  a, a es
equivalente a x por R
65

66. Conjunto Cociente

Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre
el que está definida, llamaremos conjunto cociente K
por R y lo notaremos K/R a la partición de K formada
por todas las clases de equivalencia determinadas en K
dada R.
Es decir, el conjunto cociente es el
conjunto de todas las clases de
equivalencia que se puedan formar
con los elementos de K, dada R.
66

67. Ejemplo de Relación de Equivalencia

Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}

R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de
si mismo.

R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es
compatriota de x".

R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es
compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
67

68. Ejemplo de Relación de Equivalencia

Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}

Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará
formada por sus compatriotas.

El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto
formado por todas las clases de equivalencias.

H/R es una partición de H.
68

69. Ejercicio

¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de
equivalencia?

R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},
donde S = {a / a es cualquier persona}

S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es
congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el
mismo resto al ser divididos por 2.
69

70. MUCHAS GRACIAS
PREGUNTAS /
COMENTARIOS
LUIS DAVID NARVÁEZ MATEMÁTICA