Ejercicios Resueltos sobre Equilibrio en el Espacio - Estática

1. http://carlos2524.jimdo.com/
96
CAP.3 EQUILIBRIO DE UNA PARTíCULA
Ejemplo 3.6
El cilindro de 90 lb que se muestra en lafigura 3.9a está
sostenido por dos cables y un resorte de rigidez k = 500 Ib/ft.
Determine la fuerza en los cables y el alargamiento del resorte para que haya equilibrio. El cable AD se encuentra en el
plano x- y y el cable AC en el plano x-z.
x
(a)
SOLUCIÓN
El alargamiento del resorte puede medirse una vez determinada la fuerza en el resorte.
Diagrama de cuerpo libre. Se elige la conexión en A para el
análisis puesto que las fuerzas de los cables concurren ahí.
Figura 3.9b.
FB
90 lb
.r
- - - y Las ecuaciones de equilibrio. Por inspección, se resuelve fácilmente cada fuerza en sus componentes x, y, Z, y en consecuencia se aplican las tres ecuaciones escalares de equilibrio. si se
consideran "positivas" las componentes que se dirijan por los
ejes positivos, tenemos,
(b)
r.Fx
r.Fy
Fig.3.9
=
=
r.Fz =
O;
O;
O;
FD sen 30° - W = O
e
-FD cos 30° + F B = O
~Fe - 90 lb = O
(1)
(2)
(3)
Si se resuelve la ecuación 3 para Fo la ecuación 1 para FD, Y
por último la ecuación 2 para F B , tenemos
Fe = 150 lb
FD = 240 lb
F B = 208 lb
Resp.
Resp.
Resp.
El alargamiento del resorte es por lo tanto
F B = ksAB
208 lb = 500 lb/ft (SAB)
sAB = 0.416 ft
Resp.

2. http://carlos2524.jimdo.com/
SECo 3.4 SISTEMAs DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES
97
Ejemplo 3.7
Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza F en la figura 3.lOa, que se requieren para el
equilibrio de la partícula O.
SOLUCIÓN
Diagrama eh! cuerpo libre. Sobre la partícula O, figura 3.lOb,
actúan cuatro fuerzas.
Ecuaciones de equilibrio. Se usará un análisis vectorial cartesiano para la solución con el propósito de formular las componentes de F3' Así,
I:F = O;
H
F)=700 N
F
.::..2.:.:.:
m.L.--,-'-_---~-FI-=4-0-0-- y
N
(1)
Si se expresa cada una de estas fuerzas en forma vectorial cartesiana, notando que las coordenadas de B son B(- 2, - 3, 6),
tenemos
x
(al
Fl = {400j} N
F 2 = {- 800k} N
(r = 560 N [
r
B
F3 =fJhUB = F 3
)
B
;
=
F
{-20Oi - 300j + 600k} N
=
-2i - 3j + 6k ]
(- 2)2 + (- 3)2 + (6)2
Fx i + Fy j + Fz k
F) = 700 N
Sustituyendo en la ecuación 1 se tendrá
.400j - 800k - 200i - 300j + 600k + Ft i + Fyj + Fz k = O
F 2 = 800 N
Al igualar las respectivas componentes i, j, k, a cero, tenemos
I:Fx = O;
I:Fy = O;
I:Fz = O;
-200 + Fx = O
400 - 300 + Fy = O
- 800 + 600 + Fz = O
Fx =200N
Fy = - 100 N
Fz =200N
x
(O)
Así,
F
=
F
=
z
{20Oi - 100j + 200k} N
./(200)2 + (-100)2 + (200)2
F 200. 100. 200
UF = F = 300· - 30(}l + 300 k
a = cos-
1
( ~~~ ) = 48.2°
100
f3 = cos- 1 ( -300 ) = 11 0°
=
300N
Resp.
F= 300 N
4X. 2"
J
} - - - ' - - - --
Resp.
Resp.
x
r=
cos-1 (~~~) = 48.2°
(e )
Resp.
La magnitud y dirección correcta de F se muestran en la figura 3.1Oc.
Fig.3.10
y

3. http://carlos2524.jimdo.com/
98
CAP. 3 EQUILIBRIO DE UNA PARTiCUlA
Ejemplo 3.8
Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los cables que sostienen la caja de 40 lb de la figura 3.11a.
SOLUCIÓN
e
Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 3.11b,
se considera el diagrama de cuerpo libreA para "exponer" las
tres fuerzas desconocidas en los cables y obtener por ese medio sus magnitudes.
•
Ecuaciones de equilibrio
r.F = O;
y
(1)
Ya que las coordenadas de los puntos B y e son B (-3, -4, 8) Y
e (-3,4,8), tenemos
F -F
(a)
B-
B
-3i - 4; + 8k ]
.
[ -1(-3)2 + (-4f+ (8)2
F -F [
-3i + 4j + 8k
c- e -I(-3)2+(4f+(8)2
=
-0.318Fc i
+
0.424Fc.i
J.
+
0.848Fc k
FD = FDi
W=-40k
Al sustituir estas fuerzas en la ecuación 1 se tiene
-O.318FB i - 0.424FB j+ 0.848FB k- 0.318Fc i + 0.424Fd
+ 0.848Fe k + FD i - 40k = O
Si se igualan las respectivas componentes i, j, k a cero:
"
- W=40 lb
(b)
Fig.3.11
.Y
L.Fx
L.Fy
L.Fz
=
=
=
O;
O;
O;
-0.318FB - 0.318Fc + FD = O
-O.424FB + 0.424Fc = O
0.848FB + 0.848Fc - 40 = O
(2)
(3)
(4)
La ecuación 3 afirma que F B = F c. Así, al resolver la ecuación 4 para obtener F B y F c y sustituir el resultado en la ecuación 2 para obtener FD, tenemos
FB = Fc = 23.6 lb
FD = 15.0 lb
Resp.
Resp.

4. http://carlos2524.jimdo.com/
SECo 3.4 SISTEMAS DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES
Ejemplo 3.9
El cilindro de 100 kg de la figura 3.12a está sostenido por
tres cuerdas, una de las cuales está unida a un resorte. Determine la tensión en cada cuerda y el alargamiento del resorte.
SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. La fuerza en cada cuerda puede
obtenerse si se analiza el diagrama del cuerpo libre puntual A,
figura 3.12b. ¿Por qué? El peso del cilindro es W = 100(9.81) =
981 N.
Ecuaéiones de equilibrio
(1)
r.F = O;
(a)
Cada uno de estos vectores puede expresarse en forma vectorial cartesiana. si se usa la ecuación 2.11 para Fe, y se observa
el punto D(-1, 2, 2) para F D, tenemos
FB = FlJi
Fe = Fe cos 1200 i + Fe cos 135°j + Fe cos 60 0 k
= - 0.5Fe i - 0.707Fd + 0.5Fe k
F -F [
D-
D
-ti + 2j + 2k ]
';(-1)2+(2)2+(2)2
JIf-c---y
= - 0.333FD i + 0.667FD j + 0.667FD k
W = - 981k
Si se sustituyen estas fuerzas en la ecuación 1, se obtiene
x
W=981 N
(b)
FBi - O.5Fe i - 0.707Fd + 0.5Fe k- 0.333FD i + 0.667FD j
+ 0.667FD k - 981k = O
Igualando a cero las componentes respectivas correspondientes a i,j, k
r.F = O'
r.Fy = O;
r.Fz = O;
.T
,
FB- O.5Fe - 0.333FD = O
- 0.707Fe + 0.667FD = O
O.5Fe + 0.667FD - 981 = O
(2)
(3)
(4)
Al resolver la ecuación 3 para F D en términos de Fe y sustituir
en la ecuación 4 se tiene Fe. FD se determina de la ecuación 3.
Finalmente, al sustituir los resultados en la ecuación 2 se tendráFB • Así
.
F e = 813 N
F D = 862N
FB = 693.7N
Resp.
Resp.
Resp.
El alargamiento del resorte es, por tanto,
F=ks;
693.7
=
150&
s = 0.462 m
Resp.
Fig.3.12
99