Cumplimiento con la asignacion de la actividad propuesta, parte teórica de la misma

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”.
Barquisimeto- Estado Lara.
Integrante:
Darly Vargas.
Cedula:
22.264.803.
Facilitador:
Marienny Arrieche
Sección:
S2.
Enero, 2016.

3. Trabajo y energía en el movimiento armónico simple
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales
de tiempo, estos sonllamados movimientos periódicos. En Físicase ha
idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, El estudio del oscilador
armónico constituye en Físicaun capítulo muy importante, ya que son muchos
los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido
producidos porel hombre.
El movimiento armico simple es también denominado movimiento vibratorio
armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en
ausencia de fricción, producido porla acción de una fuerza recuperadora que
es directamente proporcionala la posición, y que queda descrito en función
del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un
movimiento requiriese más de una función armónica.
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se
mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del
tiempo t por la ecuación.
x=A·sen (ωt+φ)
Donde
A es la amplitud.
ω La frecuencia angular.
 t+ la fase.
 La fase inicial.
Características de un M.A.S. son:
 Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -
A.

4.  La función seno es periódica y se repite cada 2, portanto, el
movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se
incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal
que (t+T)+= t++2.
T = 2/
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dadala posición de un móvil, obtenemos la
velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la
expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene
dada porla ecuación:
x = A sen (t + )
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
v = A  cos (t +)
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
a = - A 2
sen ( t +  ) = - 2
x
Condiciones iniciales
Conociendo la pulsación , la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en
el instante t=0).
x0=A·sen v0=A·cos
Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

5. Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza
necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es
proporcionalal desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
F = m a = - m2
x
En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento
armónico simple es una fuerza del tipo:
F = -K x
Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcionala
la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o
constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores,
que está relacionada con la pulsación:
K = m2
Teniendo en cuenta que  = 2/T podemos deducir el periodo del
movimiento armónico simple:
Como se origina un m.a.s.
Siempre que sobreuna
partícula, desplazada una
longitud x de su posición
de equilibrio, actúe una
fuerza que es proporcional
al desplazamiento x, y de
sentido contrario a éste, tal
como se muestra en el ejemplo de la figura.
Energía de un M.A.S.

6. En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y
viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y
en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la
energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su
energía potencial más su energía cinética.
Todapartícula sometida a un movimiento armónico simple poseeuna energía
mecánica que podemos descomponeren: Energía Cinética (debida a que la
partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el
movimiento armónico es producido poruna fuerza conservativa).
Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética
Ec = 1/2 m v2
Y el valor de la velocidad del m.a.s.
v = dx / dt = A  cos ( t + o)
Sustituyendo obtenemos
Ec = 1/2 m v2
= 1/2 m A2
2
cos2
( t + o)
Ec = 1/2 k A2
cos 2
( t + o)
A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2 + cos2 = 1
Ec = 1/2 k A2
[1 - sen 2
( t + o)]
Ec = 1/2 k [A2
- A2
sen 2
(t + o)]
De donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda
Ec = 1/2 k [ A2 - x2]

7. Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo
cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose
su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.
La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario
para llevar la partícula desdela posición de equilibrio hasta el punto de
elongación y.
Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado porla
expresión
Ep = 1/2 k x2
Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía
potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica
de una partícula que describeun m.a.s. será:
Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2
E = 1/2 k A2
En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento,
por ello su amplitud permanece también constante.
Descripción del M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular
uniforme.
En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento
Armónico Simple (M. A. S.),
relacionándolo conel movimiento
circular uniforme.
En la figura, se observala interpretación
de un M.A.S. como proyección sobreel
eje X, del extremo de un vector
rotatorio de longitud igual a la

8. amplitud A, que gira con velocidad angular igual a la frecuencia angular del
M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale:
El ángulo t +  que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina
fase del movimiento. El ángulo  que forma en el instante t=0, se denomina
fase inicial.
Curva de energía potencial
La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen,
que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.
Las región dondese puede mover la partícula está determinada por la
condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En
otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía
potencial E>=Ep. Si la
partícula tiene una
energía total E, la
partícula solamente se
podrámover en la región
comprendida entre -
A y +A, siendo A la
amplitud de su M.A.S.
El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados porla pendiente de la recta
tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobrela partícula es
negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio,
que porcoincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

9. Trabajo de rotación
El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando ésta describe
circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girado se le
representa con la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de rotación
o velocidad angular se representa conω y se mide en radianes/segundo.
La relación entre las magnitudes angulares y las del movimiento lineal son
sencillas si recordamos la expresión de la
longitud de la circunferencia (l = 2 · π · r)
Distancia = ángulo · radio
d = θ · r
v = ω · r
Con estas expresiones, la energía cinética de rotación de una partícula se
expresa como:
𝐸𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛=
1
2
⋅ . 𝑚 . 𝑣2
=
1
2
⋅ m.𝑟2
. 𝜔2
Cuando se trata de un sólido conmuchas
partículas, la energía de rotación del
sólido es la suma de todas las energías de
cada una de las partículas o trozos que lo
componen:
𝐸𝑟= ∑(
1
2
. 𝑚𝑖 . 𝑟𝑖
2
. 𝜔2
)=
1
2
. ( ∑ (𝑚𝑖 . 𝑟𝑖
2
) ) .
𝜔2
La expresión Σ (𝑚𝑖. 𝑟𝑖
2
) se denomina momento de inercia, y de forma análoga
a la masa (o masa de inercia), mide la dificultad que tiene un objeto a ponerse
en movimiento de rotación respecto a un eje de giro. La energía de rotación
viene dada por la siguiente expresión:

10. 𝐸𝑟=
1
2
. 𝐼 . 𝜔2
Al igual que una fuerza realiza trabajo cuando produceun desplazamiento, en
la mecánica de rotación se realiza un trabajo
cuando se produceun giro porefecto de una
fuerza.
El trabajo de la fuerza F viene dado porla
expresión: W = F · d y,
Como la distancia recorrida es: d = θ · r
Se obtiene como trabajo de rotación: W = F · θ · r
Y, porfín, al producto dela fuerza por la distancia del punto de aplicación de
ésta al eje de giro mide la capacidad de producir un giro de esa fuerza, y se
denomina par o momento de la fuerza, con lo cual, la expresión del trabajo de
rotación queda como: 𝑊𝑟 = 𝑀. 𝜃
Y la potencia de rotación es la velocidad con que se produce un trabajo
de rotación, esto es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:
𝑃 𝑟=
𝑊𝑟
𝑡
=𝑀.ω

11. Con todo esto, la equivalencia entre magnitudes del movimiento lineal y del
movimiento de rotación es la siguiente:
Sistema Masa-Resorte.
Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-
resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla
fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se suponemovimiento sin
rozamiento sobrela superficie horizontal.

12. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud
normal, en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se
deforma alargándose o acortándoseen una magnitud “x”
llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una
constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que
aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesto a la fuerza
externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza
recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a:

13. En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de
equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo),
hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a
moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este
dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que va hacia la
izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso
la deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será
máxima pero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante
(recuperadora) conla aceleración a (t).

14. Péndulo simple.
Un péndulo simple es un sistema mecánico, constituido poruna masa puntual,
suspendida de un hilo inextensible y sin
peso. Cuando se separa hacia un lado de su
posición de equilibrio y se le suelta, el
péndulo oscila en un plano vertical bajo la
influencia de la gravedad. El movimiento
es periódico y oscilatorio. Un péndulo
simple es un punto pesante, suspendido en
un punto fijo por un hilo inextensible,
rígido y sin peso. Sus Objetivos es estudiar
el comportamiento del periodo en función
del ángulo de oscilación y la masa de

15. oscilación.
Método de Newton.
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si
desplazamos la partícula desdela posición
de equilibrio hasta que el hilo forme un
ángulo Θ conla vertical, y luego la
abandonamos partiendo del reposo, el
péndulo oscilará en un plano vertical bajo la
acción de la gravedad. Las oscilaciones
tendrán lugar entre las posiciones extremas
Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo
largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, del hilo.
El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir
la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobreun arco de circunferencia bajo la acción de dos
fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz
la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda
ley de Newton obtenemos:
siendo at, la aceleración tangencial y dondehemos incluido el signo negativo
para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto
al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
Siendo la aceleración angular, de modo que la ecuación diferencial del
movimiento es:

16. Esta ecuación. No correspondea un movimiento armónico simple (m.a.s.)
debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que
el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.
Método de Lagrange
El lagrangiano del sistema es:
Donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical)
y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
Y obtenemos la ecuación del movimiento es
De modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.
El movimiento de un péndulo simple está determinado porsu frecuencia
angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión:
El periodo de un oscilador armónico es:
Mientras que su frecuencia resulta ser:
De estas ecuaciones resulta interesante observar que, para ángulos
suficientemente pequeños, el periodo es independiente de la masa del péndulo

17. o de la amplitud de la oscilación, dependiendo únicamente de la longitud del
hilo.
Oscilación
Es una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o
sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.
Oscilación, en física, química e ingeniería es el movimiento repetido de un
lado a otro en torno a una posicióncentral, o posición de equilibrio. El
recorrido que consiste en ir desdeuna posición extrema a la otra y volver a la
primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El
número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conocecomo frecuencia de
la oscilación empleada en el MÁS (Movimiento Armónico Simple).
Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación
en una corriente eléctrica crea una onda electromagnética.
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta
detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre.
Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
Oscilación libre. La envolvente
dinámica muestra fases de
ataque y caída.
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación,
éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se

18. conocecomo fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto delchoque
de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas
cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento
(el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga.
Esto es lo que se conocecomo oscilación amortiguada.
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo
(según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar
a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se
detiene finalmente en su posición de reposo.
La representación matemática es , donde es el
coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud es también
una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y son
constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de
propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no
varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se
estuviera ante una amortiguación muy grande.)
Oscilación autosostenida.

19. Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se
pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación
autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la
cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.
Oscilación autosostenida. La envolvente dinámica presenta una fase casi
estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caída
La acción del arco sobrela cuerda repone la energía perdida debido a la
amortiguación, logrando una fase (o estado)casi estacionaria. Preferimos
llamarla fase casiestacionaria -y no estado estacionario, como suele
encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas,
resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea
exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En
consecuencia, la amplitud durante la fase casiestacionaria no es en rigor
constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de
nuestra habilidad para compensarla energía perdida.
Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde
producto dela fricción obtenemos una oscilación conamortiguación menor,
cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida
y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina
por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo
llamaríamos decrescendo.)
Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que
se pierde porla acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en
dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se
continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)

20. Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de
magnitud constante (llamada generador G) sobreun sistema oscilador
(llamado resonador R). En esos casos puedehacerse que el sistema oscile en la
frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la
frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que
se le aplica. Esto es lo que sucede porejemplo en la guitarra, cuando
encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por
simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica
sobreun sistema se produceuna oscilación forzada. La generación de una
oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del
sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.
La Hidrostática.
Es la rama de la mecánica de fluidos o de la hidráulica que estudia los fluidos
incompresibles en estado de equilibrio.
Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de
adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da
el nombre de fluidez.
Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar
fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas.
Principio fundamental de la hidrostática.
La diferencia de presión entre dos puntos de un mismo líquido es igual
al producto del peso específico dellíquido por la diferencia de niveles
P2 - P1 = . (h2 - h1) (10)
Dónde:
P2, P1: presión hidrostática en los puntos 2 y 1 respectivamente, N/m2

21. h2, h1: profundidad a la que se encuentran los puntos 2 y 1
respectivamente, m
: Peso específico del fluido, N/m3
Presión de un fluido en equilibrio
En términos de mecánica clásica, la presión de un fluido incompresible en
estado de equilibrio se puede expresar mediante la siguiente fórmula:
Donde P es la presión, ρ es la densidad del fluido, g es la aceleración de la
gravedad y h es la altura.
Principio de Pascal.
El principio de Pascales una ley enunciada porel físico y
matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume
en la frase: «el incremento de la presión aplicada a una
superficie de un fluido incompresible (generalmente se trata de
un líquido incompresible), contenido en un recipiente
indeformable, se transmite con el mismo valor a cadauna de las
partes del mismo».
Es decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible
en un recipiente cerrado, esta se transmite con igual intensidad
en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por
ejemplo, en la prensa hidráulica o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se
basan en este principio. La condición de que el recipiente sea indeformable es
necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las
paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido.
Principio de Arquímedes.
El principio de Arquímedes establece que cualquier cuerpo sólido que se
encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado en

22. dirección ascendente poruna fuerza igual al peso del volumen del líquido
desplazado porel cuerpo sólido. El objeto no necesariamente ha de estar
completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es
mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido solo
parcialmente.