Ce chapitre est une introduction aux langages formels. Il aborde les notions de mots, alphabets, langages, opérations sur les mots et opérations sur les langages.

1. Chapitre 1 :
Introduction aux langages formels
Prof. A. Dargham
Facult´ des Sciences, Oujda
e
Fili`re SMI- S4
e
Universit´ Mohamed Premier
e
Septembre, 2012

2. Sommaire du chapitre 1
Alphabets, mots et langages
Op´rations sur les mots
e
Mono¨ıdes
Op´rations sur les langages
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

3. Alphabets, mots et langages
Aphabets
D´finition 1.1
e
Un alphabet est un ensemble fini de symboles (ou lettres).
Exemples 1.2
A = {0, 1}
A = {a, b, c, ..., x, y , z}
A = {if , else, a, b}
A = {←, →, ↑, ↓}
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

4. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

5. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
C’est une concat´nation de symboles.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

6. Alphabets, mots et langages
Mots
D´finition 1.3
e
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,
e
´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet.
e ee
C’est une concat´nation de symboles.
e
Exemples 1.4
A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A.
A = {a, b, c, ..., x, y , z}. ”smi ” et ”tlc” sont deux
mots sur A.
A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A.
A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

7. Alphabets, mots et langages
Mot vide
D´finition 1.5
e
Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide
e e
correspondant ` une s´quence vide de symboles de A.
a e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

8. Alphabets, mots et langages
Mot vide
D´finition 1.5
e
Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide
e e
correspondant ` une s´quence vide de symboles de A.
a e
Ce mot est unique pour tout les alphabets, et on le note
par ε.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

9. Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
D´finition 1.6
e
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le
nombre de symboles constituant ce mot. On la note
par |w |.
Le mot vide ε est de longueur 0.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

10. Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
D´finition 1.6
e
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le
nombre de symboles constituant ce mot. On la note
par |w |.
Le mot vide ε est de longueur 0.
Exemples 1.7
Sur A = {0, 1} : |10001| = 5 et |11| = 2.
Sur A = {if , else, a, b}. |if a else b| = 4.
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11. Alphabets, mots et langages
Notations
Notations 1.8
Soient A un alphabet, u et w des mots sur A.
|w | = 0 ⇔ w = ε.
Si |w | = n ≥ 1, on note par wi le i eme symbole de w , et
l’on ´crit w = w1 w2 ...wn .
e
On note par |w |u le nombre d’occurrences du mot u dans
le mot w : c’est le nombre de fois o` le mot u apparaˆ
u ıt
dans w comme facteur.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

12. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.9
e
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini
ou infini) de mots sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

13. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.9
e
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini
ou infini) de mots sur A.
Exemples 1.10
A = {0, 1} : L = {0, 00, 10, 000, 010, 100, ...} est un
langage sur A.
A = {a, b}. Le langage des mots sur A de longueur
inf´rieure ` 3 est L = {a, b, aa, ab, ba, bb}.
e a
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14. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

15. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel
e
sur A).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

16. Alphabets, mots et langages
Langages
D´finition 1.11
e
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet
A.
C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel
e
sur A).
Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulement
si L ⊆ A∗ .
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17. Op´rations sur les mots
e
Concat´nation ou produit
e
D´finition 1.12
e
Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux
mots sur A de longueurs respectives n et m.
La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v
e a
juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,
e
not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm .
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

18. Op´rations sur les mots
e
Concat´nation ou produit
e
D´finition 1.12
e
Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux
mots sur A de longueurs respectives n et m.
La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v
e a
juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,
e
not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm .
e
Exemples 1.13
A = {0, 1}, u = 101 et v = 001.
Alors uv = 101001 et vu = 001101
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

19. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

20. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

21. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concat´nation n’est pas commutative.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

22. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la concat´nation
e e e
Proposition 1.14
1 La concat´nation est associative :
e
∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw
2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation :
ee e
∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concat´nation n’est pas commutative.
e
∗
4 ∀u, v ∈ A : |uv | = |vu| = |u| + |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

23. Op´rations sur les mots
e
Puissance
D´finition 1.15
e
Soient A un alphabet, n un nombre entier et w un mot sur A.
On d´finit la puissance neme du mot w par :
e
ε si n = 0;
wn =
w n−1 w si n ≥ 1.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

24. Op´rations sur les mots
e
Puissance
Exemples 1.16
Soit A = {a, b} et w = bab.
w0 = ε.
w1 = w 0 w = w = bab.
w2 = w 1 w = ww = babbab.
w3 = w 2 w = www = babbabbab.
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25. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s de la puissance
e e
∀w ∈ A∗ : w 0 = ε.
∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : (w n )m = w nm .
∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : w n w m = w n+m .
∀w ∈ A∗ , ∀n ≥ 0 : |w n | = n|w |.
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26. Op´rations sur les mots
e
Egalit´ de deux mots
e
D´finition 1.17
e
Deux mots u et v sur un mˆme alphabet A sont ´gaux
e e
(u = v ), si et seulement si :
ils ont la mˆme longueur : |u| = |v | (disons un entier n).
e
l’ordre des symboles dans u est identique ` celle dans v .
a
Autrement dis, u = v si et seulement si ui = vi , pour tout i
allant de 1 ` n o` n = |u| = |v |.
a u
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27. Op´rations sur les mots
e
Miroir
D´finition 1.18
e
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w ,
not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des
e
symboles dans w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

28. Op´rations sur les mots
e
Miroir
D´finition 1.18
e
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w ,
not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des
e
symboles dans w .
Voici une d´finition r´cursive du miroir d’un mot :
e e
ε si w = ε;
w=
au si w = ua, u ∈ A∗ , a ∈ A.
Exemples 1.19
Soit w = ababca sur A = {a, b, c}. Alors w = acbaba.
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29. Op´rations sur les mots
e
Propri´t´s du miroir
e e
Proposition 1.20
w = w (le miroir est une op´ration involutive).
e
uv = v u.
|w | = |w |.
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30. Op´rations sur les mots
e
Palindromes
D´finition 1.21
e
Un mot w sur un alphabet A est un palindrome si w est
identique ` son miroir, c’est-`-dire, si w = w .
a a
Exemples 1.22
1001, 10101 sont des palindromes sur A = {0, 1}.
radra, ´t´, non et ici sont des palindromes Fran¸ais.
e e c
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31. Op´rations sur les mots
e
Facteurs
D´finition 1.23
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un facteur d’un
mot w si, w = xuy pour certains mots x ∈ A∗ et y ∈ A∗ .
Exemples 1.24
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les facteurs de w sont :
ε, a, b, c, ab, bc, ca, abc, bca, abca = w .
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32. Op´rations sur les mots
e
Pr´fixes
e
D´finition 1.25
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un pr´fixe ou
e
facteur gauche d’un mot w si, w = uv pour un certain mot
v ∈ A∗ .
Exemples 1.26
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les pr´fixes de w sont :
e
ε, a, ab, abc, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

33. Op´rations sur les mots
e
Suffixes
D´finition 1.27
e
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un suffixe ou
facteur droit d’un mot w si, w = vu pour un certain mot
v ∈ A∗ .
Exemples 1.28
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les suffixes de w sont :
ε, a, ca, bca, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

34. Op´rations sur les mots
e
Sous-mots
D´finition 1.29
e
Soit A un alphabet. Un sous-mot u d’un mot w est une suite
extraite de w . Autrement dis, on obtient le mot u en
supprimant un certain nombre (´ventuellement nul) de
e
symboles de w .
Exemples 1.30
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les sous-mots de w sont :
ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bc, ca, aba, abc, aca, abca = w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

35. Op´rations sur les mots
e
Facteur, pr´fixe, suffixe et sous-mot propre
e
D´finition 1.31
e
Soit A un alphabet. Un facteur (resp. pr´fixe, suffixe ou
e
sous-mot) propre d’un mot w est un facteur (resp. pr´fixe,
e
suffixe ou sous-mot) u tel que u = ε et u = w .
On note par :
Fact(w ) : l’ensemble des facteurs de w .
Pref (w ) : l’ensemble des pr´fixes de w .
e
Suff (w ) : l’ensemble des suffixes de w .
SMots(w ) : l’ensemble des sous-mots de w .
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36. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

37. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

38. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

39. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

40. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨
ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

41. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨
ıde.
(IN, ×, 1) est un mono¨
ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

42. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes
D´finition 1.32
e
Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de
ıde
composition interne qui soit :
associative.
et possedant un ´l´ment neutre.
ee
Exemples 1.33
(IN, +, 0) est un mono¨ ıde.
(IN, ×, 1) est un mono¨ ıde.
(A∗ , ., ε) le langage universel sur A muni de la
concat´nation est un mono¨
e ıde.
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43. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

44. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

45. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

46. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
X ⊆ E.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

47. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E ,
ıde , e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

48. Mono¨
ıdes
Sous-mono¨
ıdes
D´finition 1.34
e
Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie
ıde ıde
X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est
e
un mono¨ıde.
Proposition 1.35
(X , ) est un sous-mono¨ de (E , , e) si et seulement si :
ıde
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi : x y ∈ X , ∀x, y ∈ X .
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49. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

50. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

51. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

52. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +).
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

53. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs
e e
D´finition 1.36
e
Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble
ıde
de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e}
e e ee
s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E .
e ee
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +).
e e
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble de
g´n´rateurs de (IN, ×).
e e
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54. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
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55. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

56. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

57. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de
e e e
(IN, +).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

58. Mono¨
ıdes
Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants
e e e
D´finition 1.38
e
Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si
e e
chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique
ee e e
dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de E .
e
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de
e e e
(IN, +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemble
de g´n´rateurs ind´pendants de (IN, ×).
e e e
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59. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
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60. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

61. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Exemples 1.41
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

62. Mono¨
ıdes
Mono¨
ıdes libres
D´finition 1.40
e
Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble
ıde ıde e
de g´n´rateurs ind´pendants.
e e e
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un mono¨
ıde
libre. En effet, A est un ensemble de g´n´rateurs
e e
ind´pendants de A∗ .
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

63. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

64. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

65. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

66. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

67. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.42
e
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}
(not´ L + M en th´orie des langages).
e e
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union poss`de un ´l´ment neutre : ∅.
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

68. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

69. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

70. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

71. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

72. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.44
e
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
w ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection poss`de un ´l´ment neutre : A∗ .
e ee
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

73. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

74. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.46
e
Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

75. Op´rations sur les langages
e
Op´rations ensemblistes
e
D´finition 1.46
e
Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}.
e
D´finition 1.47
e
Diff´rence : L, M ⊆ A∗ : LM = {w ∈ A∗ | w ∈ L et
e
w ∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

76. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

77. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

78. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

79. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
{ε} si n = 0;
Ln = n−1
L L si n ≥ 1.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

80. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
1 Concat´nation :
e
L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et
v ∈ M}.
∗
2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la
e
puissance neme du langage L, not´ Ln , par :
e
{ε} si n = 0;
Ln = n−1
L L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln repr´sente le langage de tous les mots obtenus en
e
concat´nant n mots pris dans L.
e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

81. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

82. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

83. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
´ e ∗
2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie
e
par :
L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
n=0
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

84. Op´rations sur les langages
e
Op´rations langagi`res
e e
∗
1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}.
´ e ∗
2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie
e
par :
L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
n=0
3 ´
Etoile positive : not´´ L+ et d´finie par :
ee e
L+ = ∪∞ Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
n=1
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

85. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

86. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

87. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

88. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

89. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

90. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

91. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

92. Op´rations sur les langages
e
Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages
e e e
Soit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi )
i=0 i=0
∗ ∞ ∞
4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L)
5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L
8 ∀L ∈ A∗ : L = L
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels