1. TEOREMA DE LAGRANGE
EJEMPLOS
1) Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2
de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
Buscamos maximizar:
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
con restricción:
𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los multiplicadores de
Lagrange.
∇𝑉 = 𝜆∇𝑔
𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12
Entonces:
𝑉𝑥 = 𝜆𝑔 𝑥
𝑉𝑦 = 𝜆𝑔 𝑦
𝑉𝑧 = 𝜆𝑔𝑧
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:
𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑦)
𝑥𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑥)
𝑥𝑦 = 𝜆(2𝑥 + 2𝑦)
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado
izquierdo 𝑥𝑦𝑧 por lo tanto la primera la multiplicamos por 𝑥 la segunda por 𝑦 y
la tercera por 𝑧, quedaría de la siguiente manera:
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦)
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦)
𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧)
Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:
2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦
2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧
de la segunda ecuación sabemos que:
𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 entonces: 𝑦 = 2𝑧. Si se hace 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧 sustituimos en la ecuación:
2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12
Y nos quedaría de la siguiente manera: 4𝑧2
+ 4𝑧2
+ 4𝑧2
=12
Por lo tanto 𝑧 = 1
entonces: 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2.

2. 2) Calcular el valor mínimo de 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2
+ 𝑦2
+ 3𝑧2
función objeto sujeta
a la ligadura 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49
Solución:
Sea 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49. Entonces, como
∇𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 6𝑧𝑘 y 𝜆∇𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝜆𝑖 − 3𝜆𝑗 − 4𝜆𝑘
Obtenemos el sistema de ecuaciones
4𝑥 = 2𝜆 𝑓𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑦 = −3𝜆 𝑓𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49 Ligadura
La solución de este sistema es 𝑥 = 3, 𝑦 = −9 y 𝑧 = −4. Por tanto, el valor
optimo de 𝑓 es
𝑓(3,−9, −4) = 2(3)2
+ (−9)2
+ 3(−4)2
= 147
3) Sea 𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 20 + 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧2
= 3 la temperatura en cada punto de la
esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 11. Calcular las temperaturas extremas sobre la curva
intersección de la esfera con el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3.
Solución: las dos ligaduras
𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 11 y ℎ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
Teniendo en cuenta que
∇𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑖 + 2𝑗 + 2𝑧𝑘
𝜆∇𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝜆𝑥𝑖 + 2𝜆𝑦𝑗 + 2𝜆𝑧𝑘
Y
𝜇∇ℎ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜇𝑖 + 𝜇𝑗 + 𝜇𝑘

3. Llegamos al sistema de ecuaciones
2 = 2𝜆𝑥 + 𝜇 𝑇𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑥 + 𝜇ℎ 𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
2 = 2𝜆𝑦 + 𝜇 𝑇𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑦 + 𝜇ℎ 𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑧 = 2𝜆𝑧 + 𝜇 𝑇𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔𝑧 + 𝜇ℎ 𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 11 Ligadura (1)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 Ligadura (2)
Restando la segunda de la primera, el sistema se convierte en
𝜆( 𝑥 − 𝑦) = 0
2𝑧(1 − 𝜆) − 𝑢 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 11 Ligadura (1)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 Ligadura (2)
De la primera deducimos que ha de ser 𝜆 = 0 ó 𝑥 = 𝑦. Si 𝜆 = 0, es facil verificar
que los puntos criticos son (3,-1,1) y (-1,3,1). (intente comprobarlo, si bien
resulta algo laborioso). Si 𝜆 ≠ 0, entonces 𝑥 = 𝑦, en cuyo caso se puede ver
que los puntos criticos ocurren en 𝑥 = 𝑦 = (3 ± 2√3)/3 y 𝑧 = (3 ∓ 2√3)/3.
finalmente, para determinnar las soluciones optimas, comparamos las
temperaturas en los cuatro puntos criticos:
𝑇(3, −1,1) = 𝑇(−1,3,1) = 25
𝑇 (
3 − 2√3
3
,
3 − 2√3
3
,
3 + 4√3
3
) =
91
3
≈ 30,33
𝑇 (
3 + 2√3
3
,
3 + 2√3
3
,
3 − 4√3
3
) =
91
3
≈ 30,3
Por tanto, la temperatura minima sobre esa curva es 𝑇 = 25 y la maxima 𝑇 =
91
3