Ejercicios resueltos: LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES

SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESO

LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Completa la tabla utilizando las columnas lenguaje numérico o lenguaje algebraico, según
corresponda:
LENGUAJE USUAL LENGUAJE LENGUAJE
NUMÉRICO ALGEBRAICO

1.- El doble de 7. 2·7

2.- El doble de un número. 2x

3.- El triple de 6. 3 ·6

4.- El triple de un número. 3x
8
5.- La mitad de 8. 2
x
6.- La mitad de un número. 2
x
7.- La tercera parte de un número. 3

8.- El cuádruple de 5. 4·5

9.- El cuádruple de un número. 4x

10.- El quíntuple de un número. 5x

11.- 8 disminuye en 3 unidades. 8−3

12.- Un número disminuye en 2 unidades. x−2

13.- 11 aumenta en 4 unidades. 114

14.- Un número aumenta en 3 unidades. x3

15.- El doble de 4 aumenta en 2 unidades. 2 · 42

16.- El doble de un número aumenta en 7 unidades. 2 x 7

17.- El cuadrado de 3. 32

18.- El cuadrado de un número. x2

19.- El cubo de 7. 73

20.- El cubo de un número. x3

21.- Un número elevado a la cuarta potencia. x4

22.- 3 al cuadrado más su doble. 322 ·3

23.- El cuadrado de un número más su doble. x 2 2 x

24.- 8 al cubo menos su triple. 83−3 ·8

25.- El cubo de un número menos su triple. x 3−3 x
12 12
26.- La mitad de 12 menos su tercera parte.
−
2 3
x x
27.- La mitad de un número menos su tercera parte.
−
2 3
x x
28.- La quinta parte de un número menos su sexta parte.
−
5 6

29.- El cuadrado de 5 más el cuadrado de 3. 5232

30.- La suma de los cuadrados de dos números. x2  y2

31.- El cuadrado de la suma de 3 y 8. 382

32.- El cuadrado de la suma de dos números.  x y 2

33.- El cubo de 2 más el cubo de 7. 2 373

34.- La suma de los cubos de dos números. x 3 y 3

35.- El cubo de la suma de 2 y 3. 233

36.- El cubo de la suma de dos números.  x y 3

37.- El cuadrado de la diferencia de 7 y 4. 7−42

38.- El cuadrado de la diferencia de dos números.  x− y 2

39.- La diferencia de los cuadrados de 5 y 2. 52−22

40.- La diferencia de los cuadrados de dos números. x2 − y2

41.- El cubo de la diferencia de dos números.  x− y 3

42.- La diferencia de los cubos de dos números. x 3− y 3

43.- El número natural siguiente a n. n1

44.- El número natural anterior a n. n−1

45.- Tres números naturales consecutivos. n , n1, n2

46.- Un número múltiplo de 3. 3n

47.- Un número múltiplo de 5. 5n

48.- Un número par. 2n

49.- Tres números pares consecutivos. 2 n , 2 n2, 2 n4

50.- Un número impar. 2 n1

51.- Tres números impares consecutivos. 2 n1, 2 n3, 2 n5

2.- Observa el rectángulo y la expresión que determina su perímetro. Expresa el área del
rectángulo utilizando el lenguaje algebraico. Utiliza las expresiones para calcular el perímetro y
el área de un rectángulo de 8 cm de largo y 5 cm de ancho.

y, ancho Perímetro=2· x 2 · y

x, largo

Área= x · y

Perímetro=2 · x2 · y=2 · 8 cm2 · 5 cm=16 cm10 cm=26 cm
2
Área= x · y=8 cm· 5 cm=40 cm

3.- Escribe en lenguaje algebraico:
a) El triple de un número más tres es igual a veintiuno.

3 x3=21

b) La mitad de un número es igual a ocho.

x
=8
2

c) El cubo de un número es igual a veintisiete.

x 3=27

d) Dos números pares consecutivos.

2 x , 2 x2

e) La edad de una persona dentro de diez años.

x10

f) La edad de una persona hace cinco años.

x−5

g) El perímetro de un cuadrado.

4l

h) El área de un cuadrado.

l2

i) Dos números impares consecutivos.

2 x 1, 2 x3

j) El área de un triángulo.

b·h
2

k) La diferencia de los cubos de dos números.

x 3− y 3

l) El cubo de la suma de dos números.

 x y 3

4.- Escribe en lenguaje usual:
a) y−5

Un número menos cinco.

b) x12

Un número más doce.

c) 15−m

Quince menos un número.

d) 2 x −2

El doble de un número menos dos.

e) 19−n

Diecinueve menos un número.

f) t 2−2t

El cuadrado de un número menos su doble.

g) x1

El número siguiente a x.

h) x−1

El número anterior a x.

i) ab2

El cuadrado de la suma de dos números.

j) a 2−b2

La diferencia de los cuadrados de dos números.

k) 2 x 2−3 x

El doble del cuadrado de un número menos su triple.

l) 3 x x3

El triple de un número más su cubo.

5.- Escribe las expresiones algebraicas:
a) x más y más z.

x y z La suma de tres números.

b) La diferencia entre el doble de a y el doble de b.

2 a−2 b Dos a menos dos b.

c) El doble de la suma de r y s.

2 r s Dos, r más s.

d) Dos r menos s.

2 r −s La diferencia entre el doble de r y s.

e) Tres m más n.

3 mn La suma entre el triple de m y n.

f) El doble de x más cinco es igual a diecisiete.

2 x 5=17 Dos x más cinco igual a diecisiete.

g) El triple de y sumado a dieciocho es igual a veinticuatro.

183 y=24 Dieciocho más tres y igual a veinticuatro.

h) x más dos x es igual a nueve.

x2 x=9 Un número más su doble es igual a nueve.

6.- Lee las expresiones algebraicas:
x
a)
7

La séptima parte de número.
x entre siete.

y
b) x
3

Un número más un tercio de otro.
x más y entre tres.

c) b22

El cuadrado de la suma de b y dos.
b más dos, al cuadrado.

d) 2 a−3 b

La diferencia entre el doble de a y el triple de b.
Dos a menos tres b.

e) xz

El producto de x y z.
xz.

f) x 2 y 2 z 2

El producto de los cuadrados de tres números.
x al cuadrado, y al cuadrado, z al cuadrado.

g) abc 3

El cubo de la suma de tres números.
a más b más c, al cubo.

m n
h) −
2 3

La diferencia entre la mitad de un número y la tercera parte de otro.
m entre dos menos n entre tres.

7.- Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para los valores de la letras que se
indican en cada caso:

{
a) }
5 a²b²=5 · 2232=5 · 49=209=29
a=2, b=3

b) { }
6 x−2=6 ·−2−2=−12−2=−14
x=−2

c) { }
3 x−1=3 1−1=3· 0=0
x=1

d) { 4 1−x² =41−−32=41−9=4 ·−9=−36
x=−3 }
{ }
x 1 1 1 5
3 x −1= 3· 1−1= 3−1= 2=
e) 2 2 2 2 2
x=1

{ }
x −2
3 x −1= 3 ·−2−1=−1−6−1=−8
f) 2 2
x=−2

g) { x 2−3 x 5=−12−3 ·−15=135=9
x=−1 }
h) {5x=10 · 10−6=50−6=44}
x−6=5

i) { x 25 x 3=22 5· 2 3=45 ·8=440=44
x=2 }
j) { ab2=−5122 =72=49
a=−5, b=12 }
k) {  ab2=−8−32=−8−32=−112=121
a=−8, b=−3 }

l) {x=−5, y=7
y−x=7−−5=75=12
}
m) {2 x y =2 ·−57=2· 2=4 }
x=−5, y=7

n) {2x=−5,=2 ·−5−7=−10−7=−17}
x− y
y=7

ñ) {2x=−5, ·−5· 7=−70}
xy=2
y=7

o) {3 n4=3· −24=−64=−2}
n=−2

p) {n n5=−8 ·−85=−8 ·−3=24}
n=−8

q) { n 2 n1=22 ·21=4 · 3=12
n=2 }
r) { n 2 n1=−52 ·−51=25 ·−4=−100
n=−5 }
s) { x 4−1=−34−1=81−1=80
x=−3 }
t) { x 2− y 2=−12−2 2=1−4=−3
x=−1, y=2 }
u) { x 3−2 x3=−23−2 ·−23=−843=−87=−1
x=−2 }
v) { x 4−5 x 5=−34−5 ·−35=81155=101
x=−3 }
w) {2 x−57 x1 x−4=2 ·4−57 ·41· 4−4=2 ·−17 ·5 · 0=−20=−2}
x=4

{ }
x3 43 7 7
= = =
x) 3 x −1 3 ·4−1 3 · 3 9
x=4

y)

{ }
2 2
2  x−24 x 3 2 ·4−24 ·4 3 2 · 24 ·163 44· 19 476 80
= = = = = =10
x4 44 8 8 8 8
x=4

{ }
t −20
2 t−6 =2 ·−20−6 =−40−6−10=−56
z) 2 2
t=−20

8.- Selecciona las expresiones algebraicas que sean monomios:
a) −7 x 3 → Monomio

b) −7 x−3 → No es monomio

3 2 3
c) x y z → Monomio
4

x y2
d) → No es monomio
z3

e) −xy 5 → Monomio

f) xy −5 → No es monomio

3
g) → No es monomio
x

x
h) → Monomio
3

9.- Selecciona las expresiones algebraicas que sean polinomios:
2 7 3 x4
a) 3 x 5 x y −4 2 → No es polinomio
y

5
b) x−8 → Binomio
7

c) −5 x 52 x 4−7 x 39 x 2− x−8 → Polinomio

d) 7 x 32 x−26 x9 → No es polinomio

−2 2
e) 10 x  −11 → No es polinomio
x

f) −143 x 3 y −4 x y 3 → Trinomio

10.- Determina los componentes de los siguientes monomios:
a) 5 x 2 → Coeficiente: 5 → Parte literal: x 2 → Grado: 2

b) x → Coeficiente: 1 → Parte literal: x → Grado: 1

c) xyz → Coeficiente: 1 → Parte literal: xyz → Grado: 111=3

d) 3 → Coeficiente: 3 → Parte literal: x 0 → Grado: 0

e) 7 xy → Coeficiente: 7 → Parte literal: xy → Grado: 11=2

f) 9 x 2 y → Coeficiente: 9 → Parte literal: x 2 y → Grado: 21=3

g) 12 → Coeficiente: 12 → Parte literal: x 0 → Grado: 0

h) x 2 y 2 z 3 → Coeficiente: 1 → Parte literal: x 2 y 2 z 3 → Grado: 223=7

11.- Agrupa las expresiones algebraicas que sean monomios semejantes:
a) −8 x 3 y 2 z 4 b) −8 x 7
c) x 2 y 3 z 4 d) 8 x 7
e) −8 x 6 f) −8 x 2 y 3 z 4
g) −5 x 6 h) 8 x 3 y 2 z 4

−8 x 7≈8 x 7

−8 x 6≈−5 x 6

x 2 y 3 z 4≈−8 x 2 y 3 z 4

−8 x 3 y 2 z 4≈8 x 3 y 2 z 4

12.- Calcula:
a) 4 x 35 x 3=9 x 3

b) 2 y 2 y  Distinto grado⇒ Monomios no semejantes

c) −7 x5 3 x 5=−4 x 5

d) ab  Distinta parte literal ⇒ Monomios no semejantes

e) 3 x 2−5 x 2=3 x 2 −5 x 2=−2 x 2

f) 5 p 35 q3  Distinta parte literal ⇒ Monomios no semejantes

g) 3 x 2−2 x 2= x 2

h) 10 x 3−−4 x 3 =10 x 34 x 3=14 x 3

i) 15 x 5−7 x 5=8 x 5

j) −2 x 43 x 4=x 4

k) −14 x 4−−10 x 4=−14 x 4 10 x 4=−4 x 4

l) −7 x5 −10 x 5=−7 x 5−10 x5 =−17 x 5

m) −6 x 3 y4 x 3 y =−2 x 3 y

n) 5 a2 b−−6 a2 b=5 a 2 b6 a2 b=11 a2 b

ñ) 4 a5 a3 a 27 a 2=10 a 29 a

o) 3 x 27 x 2−x 2 −2 x 2 =10 x 2−3 x 2 =7 x 2

p) −5 x 2 7 x 2−3 x 2−x 2=7 x 2−9 x 2=−2 x 2

q) 2 x 3−11 x 3−6 x 3=2 x 3−17 x3 =−15 x 3

r) 3 ab 25 ab2 −7 ab 2=8 ab2 −7 ab 2=ab 2

s) 3 x2 x−8 x=5 x−8 x=−3 x

t) 3 xy−11 xy4 xy−6 xy7 xy=14 xy−17 xy=−3 xy

u) 2 x 23 x 23 x 3− x 2 x1=3 x 35 x 2 −x 2 x1=3 x 34 x 2 x1

v) 3 x 2−9 x 28 x 2−5 x 2 =11 x 2−14 x 2=−3 x 2

w) −7 x5 −3 x 29 x 2 55 x 5−8=−2 x 56 x 2−3

13.- Comprueba si las siguientes expresiones numéricas son igualdades o desigualdades:
a)
16=8 Desigualdad
7≠8
b)
2 · 3−1=32  Igualdad
6−1=32
5=5
c)
6 · 36=3· 8 Igualdad
186=24
24=24
d)
10 26
7− =  Igualdad
2 13
7−5=2
2=2
e)
21−4 · 2=4 2  Desigualdad
21−8=16
13≠16
f)
15· 3=52 −7 Igualdad
6 · 3=25−7
18=18

g)
25−2=211  Desigualdad
23≠22
h)
86=18−51 Igualdad
14=19−5
14=14

14.- Comprueba si las siguientes igualdades algebraicas son verdaderas o falsas para los valores
dados:
a) 24−4 x=4 ; para x=5

24−4 x =4 Verdadera
24−4 · 5=4
24−20=4
4=4

b) 20=2 x ; para x=11

20=2 x  Falsa
20=2 · 11
20≠22

c) x−4=20 ; para x=24

x−4=20 Verdadera
24−4=20
20=20

d) 125 x− x=x ; para x=1

125 x−x= x  Falsa
125 · 1−1=1
125−1=1
17−1=1
16≠1

e) 5 x−2=4 ; para x=1

5 x−2=4  Falsa
5· 1−2=4
5−2=4
3≠4

f) 4 x−x=5 x 10 ; para x=−2

4 x−x =5 x10 Falsa
4 · −2−−2=5 ·−210
−82=−1010
−6≠0

15.- Clasifica las siguientes igualdades algebraicas según sean identidades o ecuaciones:
a)
12 x−3 x=9 x  Identidad
9 x=9 x
b)
4 x5−3 x2= x7  Identidad
x7=x7
c)
3 x−615=2 x25  Ecuación
3 x9=2 x25
d)
2 x 2 y2 z =2  x y z  Identidad
2 x 2 y2 z =2 x 2 y2 z
e)
3 x−6=3 x −2 Identidad
3 x−6=3 x−6
f)
2  x4=3 x− x−8 Identidad
2 x 8=3 x− x8
2 x8=2 x8
g)
 x−1−3 x−1=2 x4  Ecuación
x−1−3 x3=2 x4
−2 x2=2 x4
h)
3 x 1=3 x3 Identidad
3 x3=3 x3
i)
3 x−2 x5 x=2 x −7 Ecuación
4 x−2 x5=2 x−7
2 x 5=2 x −7
j)
5 x8−2 x=−4 x−127 x 20  Identidad
3 x8=3 x8
k)
−4 x5=−3 x −107 x −8 x−122 Identidad
−4 x −20=7 x−11 x2−22
−4 x −20=−4 x−20
l)
3 x−85 x 12=24 x3 Ecuación
8 x5=8 x6

16.- Describe las siguientes ecuaciones:
a) x 2 3 x=0

{Incógnia : x2}⇒ Ecuación de segundo grado con una incógnita
Grado:

{ }
2
1er miembro: x 23 x  Término : x
Término :3 x

2º miembro :0Término : 0 Soluciones : x 1=0 x 2=−3

b) 3 x−6=2 x 8

{Incógnita : x }⇒ Ecuación de primer grado con una incógnita
Grado:1

{
1er miembro:3 x −6 Término :3x
Término :−6 }
{
2º miembro :2 x8  Término : 2 x
Término :8 }
Solución: x=14

c) x 2  y 2=10

{Incógnitas : x ,:2y}⇒ Ecuación de segundo grado con dos incógnitas
Grado

{ }
2
1er miembro: x 2 y 2  Término : x 2
Término : y

2º miembro :10Término :10

Solución: x=¿? y=¿?

17.- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes?
a) x5=10⇒ x=5

b) x5=8⇒ x=3

c) x78=155⇒ x15=20 ⇒ x=5

d) x−8=−3⇒ x=5

Ecuaciones equivalentes :a , c , d

18.- Construye ecuaciones equivalentes a la ecuación 10 x5=25 :
a) Sumando a los dos miembros el número 3.

10 x5=25⇔ 10 x53=253⇔10 x8=28

b) Restando a los dos miembros el número 4.

10 x5=25⇔ 10 x5−4=25−4 ⇔10 x1=21

c) Sumando a los dos miembros la expresión algebraica 5x.

10 x5=25⇔ 10 x5 x5=255 x ⇔15 x5=255 x

d) Restando a los dos miembros la expresión algebraica 8x.

10 x5=25⇔ 10 x−8 x5=25−8 x ⇔ 2 x5=25−8 x

e) Multiplicando los dos miembros por el número 6.

10 x5=25⇔ 610 x5=6 · 25 ⇔60 x30=150

f) Dividiendo los dos miembros por el número 5.

10 x 5 25
10 x5=25⇔ = ⇔2 x 1=5
5 5

19.- Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando ecuaciones equivalentes:
a) x2=8

Con ecuaciones equivalentes En la práctica
x2=8 x2=8
x2−2=8−2 x=8−2
x=6 x=6

b) a−2=6

a−2=6 a−2=6
a−22=62 a=62
a=8 a=8

c) 4x =10−2

4x =10−2 4x =10−2
4x=8 4x=8
4−4x=8−4 x=8−4
x=4 x=4

d) 4 r=20

4 r =20 4 r =20
4 r 20 20
= r=
4 4 4
r=5 r =5

e) c−6=−1

c−6=−1 c−6=−1
c−66=−16 c=−16
c=5 c=5

f) −t2=3

−t2=3 −t 2=3
−t2−2=3−2 −t=3−2
−t=1 −t=1
−t 1 1
= t=
−1 −1 −1
t=−1 t=−1

g) −y 7=3

− y7=3 − y7=3
−y 7−7=3−7 − y=3−7
− y =−4 − y =−4
− y −4 −4
= y=
−1 −1 −1
y =4 y=4

h) 15−d=12

15−d =12 15−d=12
15−15−d =12−15 −d =12−15
−d =−3 −d =−3
−d −3 −3
= d=
−1 −1 −1
d=3 d=3

i) 16=4 y

16=4 y 16=4 y
4 y=16 4 y=16
4 y 16 16
= y=
4 4 4
y =4 y =4

j) 75=25 x

75=25 x 75=25 x
25 x=75 25 x=75
25 x 75 75
= x=
25 25 25
x=3 x=3

k) 4 x=−20

4 x=−20 4 x=−20
4 x −20 −20
= x=
4 4 4
x=−5 x=−5

l) 2 x 10=16

2 x10=16 2 x10=16
2 x 10−10=16−10 2 x=16−10
2 x=6 2 x=6
2x 6 6
= x=
2 2 2
x=3 x=3

m) 5 x10=7 x2

5 x10=7 x 2 5 x10=7 x2
5 x−7 x10=7 x −7 x2 5 x−7 x=2−10
−2 x10=2 −2 x =−8
−2 x10−10=2−10 −8
x=
−2 x=−8 −2
−2 x −8 x=4
=
−2 −2
x=4

n) 10 x−2=1

10  x−2=1 10  x−2=1
10 x−20=1 10 x −20=1
10 x−2020=120 10 x=120
10 x=21 10 x=21
10 x 21 21 21
= ⇒ x= x=
10 10 10 10

ñ) 6 x−2=31−5 x

6 x−2=31−5 x 6 x−2=31−5 x
6 x5 x−2=31−5 x5 x 6 x 5 x=312
11 x−2=31 11 x=33
11 x−22=312 33
x=
11 x =33 11
33 x=3
x=
11
x=3

9x 6x
o) 6= −3
3 3

9x 6x 9x 6x
6= −3 6= −3
3 3 3 3
3 x 6=2 x−3 3 x6=2 x−3
3 x −2 x6=2 x−2 x −3 3 x−2 x=−3−6
x6=−3 x=−9
x 6−6=−3−6
x=−9

p) 24x−6=506

24 x−6=506 24 x−6=506
x18=56 x18=56
x18−18=56−18 x=56−18
x=38 x=38

q) 7 x−6=x 85 x

7 x−6=x85 x 7 x−6= x85 x
7 x−6=6 x8 7 x−6=6 x8
7 x−6 x−6=6 x−6 x8 7 x −6 x=86
x−6=8 x=14
x−66=86
x=14

r) −3x=14

−3 x=14 −3 x=14
−33 x=143 x=143
x=17 x=17

s) 34 x=−75 x−1

34 x=−75 x−1 34 x =−75 x−1
4 x3=5 x−8 4 x3=5 x−8
4 x −5 x3=5 x−5 x −8 4 x−5 x=−8−3
−x3=−8 −x =−11
−x3−3=−8−3 −11
x=
−x=−11 −1
−x −11 x=11
=
−1 −1
x =11

x
t) =3
7

x x
=3 =3
7 7
7x x=3 · 7
=7 · 3
7 x =21
x=21

4 2
u) x=
3 5

4 2 4 2
x= x=
3 5 3 5
4 2 15 · 4 15· 2
3· x=3 · x=
3 5 3 5
6 20 x=6
4 x=
5 6
x=
6 20
5· 4 x=5 ·
5 3
x=
20 x =6 10
20 x 6
=
20 20
6
x=
20
3
x=
10

20.- Resuelve:
a) 3 x−5=4

3 x−5=4
3 x=45
3 x=9
9
x=
3
x=3

b) 6−7 x=20

6−7 x=20
−7 x=20−6
−7 x=14
14
x=
−7
x=−2

c) 5 x−30=0

5 x−30=0
5 x=030
5 x =30
30
x=
5
x=6

d) −7 x3=3

−7 x3=3
−7 x=3−3
−7 x=0
0
x=
−7
x =0

e) 19−2 x=3

19−2 x=3
−2 x=3−19
−2 x=−16
−16
x=
−2
x=8

f) 7 x−6=5 x

6
7 x−6=5 x ⇒ 7 x−5 x=6 ⇒ 2 x=6 ⇒ x= ⇒ x=3
2

g) 30−2 x=4 x

30−2 x=4 x
−2 x−4 x=−30
−6 x=−30
−30
x=
−6
x=5

h) 3 x−4=24− x

3 x−4=24− x
3 x x=244
4 x=28
28
x=
4
x=7

i) 2 x 3=5−3 x

2 x3=5−3 x
2 x3 x=5−3
5 x=2
2
x=
5

j) x5=−x13

x5=−x13
x x=13−5
2 x=8
8
x=
2
x=4

k) 2 x 5=74 x

2 x5=74 x
2 x−4 x=7−5
−2 x =2
2
x=
−2
x=−1

l) 9 x810 x=7 x155 x

9 x 810 x=7 x155 x
19 x8=12 x15
19 x−12 x =15−8
7 x=7
7
x= ⇒ x=1
7

m) 2 x −57 x=−3 x198 x

2 x−57 x=−3 x198 x
9 x −5=5 x19
9 x−5 x=195
4 x =24
24
x=
4
x=6

n) −3 x 5=2 x−1x −9 x

−3 x5=2 x−1x−9 x
−3 x 5=3 x−9 x−1
− 3 x5=−6 x−1
−3 x6 x=−1−5
3 x=−6
−6
x=
3
x=−2

ñ) −x53 x −1=−2 x22 x

−x53 x −1=−2 x22 x
2 x4=−x22
2 x x=22−4
3 x=18
18
x=
3
x=6

o) −5 x−110 x−23 x=0

−5 x−110 x−23 x=0
13 x−5 x−3=0
8 x−3=0
8 x =03
8 x=3
3
x=
8

21.- Resuelve:
a) 33 x1− x−1=6  x10

9 x3−x1=6 x60
8 x4=6 x60
8 x−6 x=60−4
2 x=56
56
x=
2
x=28

b) 53− x−4  x1=−4 x1

53− x−4  x1=−4 x1
15−5 x−4 x−4=−4 x1
−9 x11=−4 x1
−9 x4 x=1−11
−5 x=−10
−10
x=
−5
x=2

c) 2  x3−6 5x =3 x4

2 x3−65x =3 x4
2 x6−30−6 x=3 x4
−4 x−24=3 x 4
−4 x−3 x=424
−7 x =28
28
x=
−7
x=−4

d) 52−x 3 x6=10−4 62 x

52−x 3 x6=10−4 62 x
10−5 x3 x18=10−24−8 x
−2 x28=−8 x−14
−2 x8 x=−14−28
6 x =−42
−42
x=
6
x =−7

e) 3 x8−5 x −5=2  x6−7 x

3 x8−5 x−5=2 x 6−7 x
−2 x3=2 x12−7 x
−2 x3=−5 x12
−2 x5 x=12−3
3 x=9
9
x=
3
x=3

f) 4  x−21=5 x1−3 x

4  x−21=5 x1−3 x ⇒ 4 x−81=5 x5−3 x ⇒ 4 x −7=2 x5 ⇒ 4 x−2 x=57 ⇒
12
⇒ 2 x=12 ⇒ x = ⇒ x =6
2

g) 3 x −1−2 x=5 2− x−12

3 x −1−2 x=5 2− x−12
3 x−3−2 x=10−5 x−12
x−3=−5 x−2
x5 x=−23
6 x=1
1
x=
6

h) 3 x −3=5 x−1−6 x

3 x−3=5 x−1−6 x
3 x−9=5 x−5−6 x
3 x−9=−x−5
3 x x=−59
4 x=4
4
x=
4
x=1

i) 35 x9−3 x−7=11 x−27

35 x9−3 x−7=11  x−27
15 x27−3 x21=11x−227
12 x48=11 x−15
12 x−11 x=−15−48
x =−15−48
x=−63

j) 4  x−23 x−1=38

4 x−23  x−1=38
4 x −83 x−3=38
7 x−11=38
7 x=3811
7 x=49
49
x=
7
x=7

k) 7−x10−2 x−5=−1

7−x10−2 x−5=−1
−7 x70−2 x10=−1
−9 x80=−1
−9 x=−1−80
−9 x=−81
−81
x=
−9
x =9

l) −2 x 31=4  x−2

−2 x 31=4  x−2
−2 x−61=4 x−8
−2 x−5=4 x−8
−2 x−4 x=−85
−6 x=−3
−3
x=
−6
1
x=
2

m) 5 x−3− x=2 x−3 x 13

5 x−3− x=2 x−3 x13
5 x −15−x=2 x−3 x−33
4 x−15=−x
4 xx=15
5 x=15
15
x=
5
x=3

n) 5[ x−46 ]=4 x6

5[ x−46]=4 x6
5 x−430=4 x 6
5 x−2030=4 x24
5 x10=4 x24
5 x−4 x=24−10
x=14

ñ) 2 [ x5 x−2]=3 2 x−17

2[ x5 x−2]=32 x−17
2 x10 x−2=3 2 x−17
2 x10 x−20=6 x−37
12 x−20=6 x4
12 x−6 x=420
6 x=24
24
x=
6
x=4

0) 5[9−2 x −7]=3 x −5

45−10 x −7=3 x −5⇒ 45−10x70=3 x−15⇒−10 x115=3 x−15 ⇒
−130
⇒−10 x−3 x =−15−115⇒−13 x=−130 ⇒ x= ⇒ x =10
−13

p) 3 x −4−2=2[ x−3 2 x−15]

3  x−4−2=2[ x −32 x −15]
3 x −4−2=2 x−6 2 x−15
3 x−12−2=2 x −12 x90
3 x−14=−10 x90
3 x10 x=9014
13 x=104
104
x=
13
x=8

q) 2 [3 2 x1−5 x ]=3 [ x−2  x−6] x−2

2[3 2 x1−5 x ]=3 [x −2 x−6] x−2
62 x1−10 x=3 x−6  x−6 x−2
12 x 6−10 x=3 x−6 x36 x−2
2 x6=4 x−6 x 34
2 x6=−2 x34
2 x2 x=34−6
4 x=28
28
x=
4
x=7

22.- Resuelve:
x x
a)  =6
3 6

x x
 =6
3 6
6x 6x
 =6 · 6
3 6
2 x x=36
3 x=36
36
x=
3
x=12

x x
b)  =5
8 12

x x
 =5
8 12
24 x 24 x
 =24 · 5
8 12
3 x2 x=120
5 x=120
120
x=
5
x=24

x x
c) − =1
6 9

x x
− =1
6 9
18 x 18 x
− =18 · 1
6 9
3 x−2 x=18
x =18

x
d) 3=x
2

x
3=x
2
2x
2 · 3=2 x
2
x6=2 x
x −2 x=−6
−x=−6
−6
x=
−1
x=6

2x
e) x2= 1
3

2x
x2= 1
3
3·2 x
3 x3 · 2= 3· 1
3
3 x6=2 x3
3 x−2 x=3−6
x=−3

5x
f) 2=202
2

5x
2=202
2
5x
2=22
2
2· 5 x
2 · 2=2 · 22
2
5 x4=44
5 x=44−4
5 x=40
40
x=
5
x=8

x3
g) =x 5
3

x3
= x5
3
3 x3
=3 x3 ·5
3
 x3=3 x15
x3=3 x15
x −3 x=15−3
−2 x=12
12
x=
−2
x=−6

x−1 x−2 x−3
h) = 
2 3 4

x−1 x−2 x−3
= 
2 3 4
12  x−1 12  x−2 12 x−3
= 
2 3 4
6 x −1=4  x−23 x−3
6 x−6=4 x−83 x−9
6 x−6=7 x−17
6 x−7 x=−176
−x=−11
−11
x=
−1
x =11

2 x−3 x5
i) =
3 2

2 x3 x5 6 2 x−3 6  x5
= ⇒ = ⇒2 2 x−3=3 x5⇒ 4 x −6=3 x 15⇒
3 2 3 2
⇒ 4 x−3 x=156 ⇒ x =21

x2 x1
j) − =2
4 6

x2 x1
− =2
4 6
12  x2 12 x1
− =12 · 2
4 6
3 x2−2 x1=24
3 x6−2 x−2=24
x4=24
x=24−4
x=20

3 x−7 2 x−3 x −1
k) = −
12 6 8

3 x−7 2 x−3 x−1
= −
12 6 8
24 3 x−7 242 x −3 24  x−1
= −
12 6 8
2 3 x−7=4 2 x−3−3 x−1
6 x−14=8 x−12−3 x3
6 x−14=5 x−9
6 x−5 x=−914
x=5

x −2 x−3
l) 7− = 5
4 3

x−2 x−3
7− = 5
4 3
12  x−2 12 x−3
12 · 7− = 12 ·5
4 3
84−3 x−2=4  x−360
84−3 x6=4 x−1260
−3 x90=4 x48
−3 x−4 x=48−90
−7 x =−42
−42
x=
−7
x=6

x10
m) =2 x−8
4

x10 4  x10
=2 x−8⇒ =4 · 2 x−4 ·8 ⇒ x10 =8 x −32⇒ x10=8 x−32 ⇒
4 4
−42
⇒ x−8 x=−32−10 ⇒−7 x=−42⇒ x= ⇒ x=6
−7

x3 x−3 x −5
n) − = −1
8 10 4

x3 x−3 x −5
− = −1
8 10 4
40  x3 40 x −3 40  x−5
− = −40 · 1
8 10 4
5  x3−4 x−3=10  x−5−40
5 x15−4 x12=10 x−50−40
x27=10 x −90
x −10 x=−90−27
−9 x=−117
−117
x= ⇒ x=13
−9

x4 x−4 3 x −1
ñ) − =2
3 5 15

x4 x−4 3 x −1
− =2
3 5 15
15 x4 15 x−4 153 x −1
− =15 · 2
3 5 15
5 x4−3 x−4 =303 x−1
5 x20−3 x12=303 x−1
2 x32=3 x29
2 x−3 x=29−32
−x=−3
−3
x=
−1
x=3

x1 x4 x3
o)  − =1
2 5 4

x1 x4 x3
 − =1
2 5 4
20  x1 20 x 4 20 x3
 − =20 ·1
2 5 4
10  x14 x4−5  x3=20
10 x104 x16−5 x−15=20
14 x−5 x26−15=20
9 x11=20
9 x =20−11
9 x=9
9
x=
9
x=1

2 x−6 x 5 x17
p)  =
9 27 18

2 x−6 x5 x17
 =
9 27 18
542 x −6 54  x5 54  x17
 =
9 27 18
6 2 x−62 x5=3 x17
12 x−362 x10=3 x51
14 x−26=3 x51
14 x−3 x=5126
11 x=77
77
x=
11
x=7

2 x−3 x−2 3 x−4 2 x−7
q)  = −
18 9 12 36

2 x−3 x−2 3 x−4 2 x−7
 = −
18 9 12 36
36 2 x−3 36 x−2 36 3 x−4  36 2 x−7
 = −
18 9 12 36
22 x−34  x−2=33 x−4− 2 x−7
4 x−64 x−8=9 x−12−2 x7
8 x −14=7 x −5
8 x−7 x=−514
x =9

x1 x4 1
r) − =2
6 3 4

x1 x4 1
− =2
6 3 4
12  x1 12  x4 12 · 1
− =12 · 2
6 3 4
2  x1−4  x4=243
2 x2−4 x−16=27
−2 x−14=27
−2 x=2714
−2 x=41
41
x=
−2
41
x=−
2

2 x−2 x−4 x
s) − =
4 2 8

2 x −2 x−4 x
− =
4 2 8
8 · 2  x−2 8 x−4 8x
− =
4 2 8
4 x−2−4 x −4= x
4 x−8−4 x16=x
8=x
x=8

3 x1 7  x−1 2 x1
t)  =
4 12 6

3 x1 7 x −1 2 x1 12 · 3 x 1 12· 7  x−1 12 2 x1
 = ⇒  = ⇒
4 12 6 4 12 6
⇒9  x17  x−1=2 2 x1⇒ 9 x97 x−7=4 x2 ⇒16 x2=4 x2 ⇒
0
⇒16 x −4 x=2−2 ⇒12 x=0⇒ x= ⇒ x=0
12

7 x−6 52 x −13 1
u) − =−
12 8 24

7 x−6 5 2 x−13 1
− =−
12 8 24
24 · 7 x−6 24 · 52 x −13 24 ·1
− =−
12 8 24
14  x−6−15 2 x−13=−1
14 x−84−30 x 195=−1
−16 x111=−1
−16 x=−1−111
−16 x=−112
−112
x=
−16
x=7

11  x−1 7 2  x3
v)  =
12 36 9

11 x−1 7 2 x3
 =
12 36 9
36· 11 x −1 36 ·7 36 · 2  x3
 =
12 36 9
33 x−17=8 x3
33 x −337=8 x24
33 x−26=8 x 24
33 x−8 x=2426
25 x=50
50
x=
25
x=2

7 4 2 x−9 3 3 x−16
w) − =
5 15 10

7 4 2 x−9 33 x−16
− =
5 15 10
30· 7 30 · 4 2 x−9 30 ·3 3 x −16
− =
5 15 10
42−82 x−9=93 x−16
42−16 x72=27 x−144
−16 x114=27 x−144
−16 x −27 x=−144−114
−43 x=−258
−258
x=
−43
x=6

23.- En el curso 2010/2011 se han matriculado en el Instituto 62 alumnos. Hay 2 chicos más que
chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?

Chicas  x
Chicos  x 2

xx 2=62
2 x2=62
2 x=62−2
2 x=60
60
x=
2
x=30

Chicas  x=30
Chicos  x2=302=32

Comprobación:30 chicas32 chicos=62 alumnos

24.- Calcula tres números consecutivos y tales que su suma sea 48.

1er número x
2º número x1
3er número x2

x x1 x2=48
3 x3=48
3 x=48−3
3 x=45
45
x=
3
x=15

1er número x=15
2º número  x1=151=16
3er número  x2=152=17

Comprobación:151617=48

25.- Calcula tres números pares consecutivos y tales que su suma sea 24.

1er número par 2 x
2º número par  2 x2
3er número par 2 x4

18
2 x 2 x22 x4=24⇒ 6 x6=24 ⇒ 6 x=24−6 ⇒6 x=18⇒ x= ⇒ x=3
3
er
1 número par 2 x =2 · 3=6
2º número par  2 x2=2 · 32=62=8 Comprobación: 6810=24
3er número par 2 x4=2 · 34=64=10

26.- Calcula tres números impares consecutivos y tales que su suma sea 51.

1er númeroimpar  2 x1
2º número impar  2 x3
3er número impar  2 x5

2 x12 x32 x5=51
6 x9=51
6 x=51−9
6 x=42
42
x=
6
x=7
er
1 número impar  2 x1=2 · 71=141=15
2º número impar 2 x 3=2· 73=143=17
3 er número impar 2 x 5=2 · 75=145=19


27.- La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números.

1er número x

x x1 x2=2  x21
x x1 x2=2 x41
3 x3=2 x5
3 x−2 x =5−3
x=2

1er número x=2
2º número  x1=21=3
3er número  x2=22=4

Comprobación: 234=2 · 41⇒ 9=9

28.- Encuentra dos números consecutivos y tales que la suma del primero más el doble del segundo
sea 26.

1er número x
2º número  x1

24
x2 x1=26 ⇒ x 2 x2=26 ⇒3 x2=26⇒ 3 x=26−2⇒ 3 x=24 ⇒ x= ⇒ x=8
3

1er número x=8 Comprobación :82 · 9=818=26
2º número  x1=81=9

29.- La suma de tres números consecutivos es 27. ¿Cuáles son esos números?

1er número x

24
x x1 x2=27 ⇒ 3 x3=27⇒ 3 x=27−3 ⇒3 x=24 ⇒ x= ⇒ x=8
3

1er número x=8
2º número  x1=81=9 Comprobación :8910=27
3er número  x2=82=10

30.- La suma de dos números es 23 y la diferencia es 7. ¿Cuáles son esos números?
1er número x 1er número x
2º número 23−x 2º número  x7

x−23− x=7 x x7=23
x−23x=7 2 x7=23
2 x−23=7 2 x=23−7
2 x=723 2 x=16
2 x=30 16
x=
30 2
x=
2 x=8
x=15

1er número x=15 1er número x=8
2º número 23−x=23−15=8 2º número  x7=87=15

Comprobación: 15−8=7 Comprobación :158=23

31.- Calcula dos números desconocidos sabiendo que su diferencia es 10 y que el menor es igual a
la sexta parte del mayor.
Nº menor  x Nº mayor  x 10 x
Nº mayor  x Nº menor 
6
x10
x=
6 x
x− =10
6 x 10 6
6 x=
6 6x
6 x − =6 · 10
6 x =x10 6
6 x −x=10 6 x− x=60
5 x=10 5 x=60
10 60
x= ⇒ x=2 x= ⇒ x=12
5 5

Nº menor  x=2 x 12
Nº mayor  x=12 Nº menor  = =2
Nº mayor  x10=210=12 6 6

12 Comprobación:12−2=10
Comprobación: 2=
6

································································································································································
32.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es 4 m mayor que la altura y que
su perímetro es de 40 m.

Ancho  x m
xm
Largo  x4 m

(x + 4) m

x4x x4x=40
4 x 8=40
4 x=40−8
Ancho  x m=8 m
4 x =32
Largo  x4 m=84 m=12 m
32
x=
4
x=8

Comprobación:12 m8 m12 m8 m=40 m

33.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es el doble del ancho más 5 cm
y que su perímetro es de 34 cm.

Ancho  x cm
x cm
Largo 2 x5 cm
(2 x + 5) cm

2 x5x2 x5 x=34
6 x10=34
6 x=34−10
6 x=24
24
x=
6
x=4

Ancho  x cm=4 cm
Largo 2 x5 cm=2 · 45 cm=85cm=13 cm

Comprobación:13 cm4 cm13 cm4 cm=34 cm

34.- La base de un rectángulo es cuatro veces mayor que su altura y su perímetro es de 40 cm. Halla
las dimensiones del rectángulo.

Base  x cm 40
4 xx4 x x=40 ⇒ 10 x=40⇒ x= ⇒ x =4
Altura  4 x cm 10

Base  x cm=4 cm Altura  4 x cm=4 · 4 cm=16 cm

Comprobación:16 cm4 cm16 cm4 cm=40 cm

35.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm. El lado desigual mide la mitad de uno de
sus lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?
B
AB=x cm
BC =x cm
x
AC = cm
2

A C

x
x x =20
2
2x
2 x2 x =2 · 20 AB=x cm=8 cm
2 BC = x cm=8 cm
2 x 2 x x=40 x 8
5 x=40 AC = cm= cm=4 cm
2 2
40
x=
5
x =8

Comprobación:8 cm8 cm4 cm=20 cm

36.- El modelo representa una pieza de madera que tiene un perímetro de 38 cm. Calcula el valor de
los lados desconocidos; el inferior y el superior.

2x+4

5

9 4
9–5=4

2x

2 x92 x4544=38
4 x26=38
4 x =38−26
4 x =12
12
x=
4
x=3

Lado inferior  2 x=2 · 3=6 cm
Lado superior  2 x4=2· 34=64=10 cm

Comprobación:6 cm9 cm10 cm5 cm4 cm4 cm=38cm

37.- Los lados de un rectángulo miden 25 y 18 cm respectivamente. Quitamos a cada lado el mismo
número de centímetros y obtenemos otro rectángulo de 66 cm de perímetro. ¿Cuántos
centímetros hemos quitado a cada lado?

Quitamos  x cm

 25−x 18−x 25− x18−x =66
25− x18− x25−x18−x=66
−4 x86=66
−4 x=66−86
−4 x=−20
−20
x=
−4
x=5

Quitamos  x cm=5 cm

25−5 cm18−5cm25−5 cm18−5cm=20 cm13 cm20 cm13 cm=66 cm

38.- Un segmento que mide 22 cm se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 cm más
que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo?

22 cm

x cm (22 – x) cm

x=22− x6
x=22−x6
x=−x28
x x=28 1er trozo  x cm=14 cm
2 x =28 2º trozo22−x cm=22−14cm=8 cm
28
x=
2
x=14

Comprobación:14=86

39.- Una barra mide 80 cm y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces
mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color.
80 cm

x cm (80 – x) cm

80−x  560
x=14 · ⇒ x=7 ·80−x ⇒ x=560−7 x ⇒ x7 x=560⇒ 8 x=560⇒ x= ⇒ x=70
2 8

Azul  x=70 cm
Blanco 80−x=80 cm−70 cm=10 cm

10
Comprobación: 14 · =14· 5=70
2
································································································································································

40.- La edad del padre es cuatro veces mayor que la de Javier y el padre tiene 30 años más que
Javier. ¿Cuáles son sus edades?

Edad de Javier  x años
Edad del padre  4 x años

30
4 x=x30⇒ 4 x −x=30 ⇒ 3 x=30 ⇒ x = ⇒ x =10
3

Edad de Javier  x años=10 años
Comprobación: 40=1030
Edad del padre 4 x años=4 · 10 años=40 años

41.- La suma de las edades de Luis y de Pedro es 18 años. Si Luis tiene el doble de años que Pedro.
¿Cuáles son sus edades?

Edad de Luis x años
Edad de Pedro 18− x años

36
x=218− x ⇒ x=36−2 x ⇒ x2 x=36 ⇒3 x=36⇒ x= ⇒ x=12
3

Edad de Luis x años=12 años
Edad de Pedro 18−x años=18−12 años=6 años

Comprobación:12 años=2 ·6 años

42.- Mi padre tiene el triple de mi edad y entre los dos sumamos 60 años. ¿Cuáles son nuestras
edades?

Mi edad  x años
Edad de mi padre  3 x años

60
x3 x=60 ⇒ 4 x=60 ⇒ x= ⇒ x=15
4

Mi edad  x años=15 años
Edad de mi padre  3 x años=3 ·15 años=45 años

Comprobación: 15 años45 años=60 años

43.- Si mi hermano mayor tiene el triple de edad que mi hermano menor y a su vez; mi hermano
mayor tiene 22 años más que mi hermano menor. ¿Cuáles son sus edades?

Edad de mi hermano menor  x años Edad de mi hermano mayor  3 x años

22
3 x=x 22 ⇒3 x− x=22 ⇒ 2 x=22⇒ x= ⇒ x =11
2

Edad de mi hermano menor  x años=11 años
Edad de mi hermano mayor 3 x años=3 · 11 años=33 años

Comprobación:33 años=11 años22

44.- La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años
menos que ella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia?

Patricia  x años
Hermana mayor  x6 años
Hermana menor  x−8 años

x x6 x−8=37
3 x−2=37
3 x=372 Patricia x años=13 años
3 x=39 Hermana mayor  x6años=136 años=19 años
39 Hermana menor  x−8 años=13−8años=5 años
x=
3
x=13


45.- El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y este, tiene 24 años menos que su padre.
¿Cuántos años tiene cada uno?

David  x años
Padre  3 x años

x=3 x−24
x−3 x=−24
−2 x=−24 David  x años=12 años
−24 Padre 3 x años=3 ·12 años=36 años
x=
−2
x=12

Comprobación:12 años=36 años−24 años

································································································································································
46.- Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel
será el doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Ahora Dentro de 4 años
x x4
Cristina
4 años 44=8 años
x8 x84=x12 · 2 → Comprobación
Daniel
48=12 años 412=16 años

x12=2 x4
x 12=2 x8
x −2 x=8−12
− x=−4
−4
x=
−1
x=4

47.- La edad de mi abuelo es siete veces la mía. Dentro de 16 años la edad de mi abuelo será triple
de la mía. Calcula nuestras edades.

Hoy Dentro de 16 años
x x16
Nieto
8 años 816=24 años
7x 7 x16 · 3 → Comprobación
Abuelo
7 ·8=56 años 5616=72 años

7 x16=3 x16
7 x16=3 x 48
7 x−3 x=48−16
4 x=32
32
x=
4
x=8

48.- Su padre tiene 25 años más que Juan. Dentro de 15 años la edad del padre será el doble de la de
Juan. ¿Qué edades tienen?

x x15
Juan
10 años 1015=25 años
x25 x2515= x40 · 2 → Comprobación
Padre
1025=35 años 1040=50 años

−10
x40=2 x15⇒ x40=2 x 30 ⇒ x −2 x=30−40⇒− x=−10⇒ x= ⇒ x=10
−1

49.- La madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será
triple de la del hijo?

Hoy Dentro de x años
x=5 años
10 años 10 x
Hijo
105=15 años
40 años 40x · 3 → Comprobación
Madre
405=45 años

−10
40x =310 x ⇒ 40 x=303 x ⇒ x−3 x=30−40 ⇒−2 x=−10 ⇒ x= ⇒ x=5
−2

50.- Hoy el padre tiene 80 años y su hijo 40 años. ¿Cuántos años hace que la edad del padre fue
triple que la del hijo?

Hoy Hace x años
x=20 años
40 años 40−x
Hijo
40−20=20 años
80 años 80− x · 3 → Comprobación
Padre
80−20=60 años

40
80− x=3 40− x ⇒80− x=120−3 x ⇒− x3 x=120−80⇒ 2 x=40 ⇒ x= ⇒ x=20
2

51.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14 años y su padre 40 años. ¿Dentro de cuántos años
la edad del padre será igual a la suma de las edades de su dos hijos?

Hoy Dentro de x años
x=10 años
16 años 16 x
Andrea
1610=26 años
14 años 14 x
 → Comprobación
Paco
1410=24 años
40 años 40x
Padre
4010=50 años

−10
40x =16 x14 x ⇒ 40x=2 x30 ⇒ x−2 x =30−40 ⇒−x=−10 ⇒ x = ⇒ x=10
−1

52.- La suma de las edades de padre e hijo es 31 años. Dentro de 22 años el padre doblará la edad de
su hijo. ¿Cuáles son sus edades en la actualidad?

x x22
Padre
28 años 2822=50 años
31− x 31− x22=53− x · 2 → Comprobación
Hijo
31−28=3 años 53−28=25 años

84
x22=253− x ⇒ x 22=106−2 x ⇒ x2 x =106−22⇒ 3 x=84 ⇒ x = ⇒ x=28
3

53.- Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre
tenía 27 años cuando nació su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

Hoy Hace 12 años
x x−12
Hijo
21 años 21−12=9 años
x27 x27−12=x15 · 4 → Comprobación
Madre
2127=48 años 2115=36 años

−63
x15=4  x−12⇒ x15=4 x −48 ⇒ x −4 x =−48−15 ⇒−3 x=−63⇒ x= ⇒ x =21
−3

54.- En una granja hay conejos y gallinas, siendo 40 las cabezas y 136 las patas. ¿Cuántos conejos y
gallinas hay?

Cabezas Patas
x 4x
Conejos
28 4 · 28=112
40−x 2 40−x =80−2 x
Gallinas
40−28=12 80−2 · 28=80−56=24
40 136

56
4 x80−2 x=136 ⇒ 2 x80=136⇒ 2 x=136−80 ⇒2 x=56⇒ x= ⇒ x=28
2

55.- En una casa de campo hay vacas y avestruces. Se han contado 61 cabezas y 196 patas.
¿Cuántas vacas y avestruces hay?

Cabezas Patas
x 4x
Vacas
37 4 · 37=148
61− x 2 61−x =122−2 x
Avestruces
61−37=24 122−2 ·37=122−74=48
61 196

74
4 x122−2 x=196 ⇒ 2 x122=196 ⇒ 2 x=196−122 ⇒2 x=74 ⇒ x = ⇒ x=37
2

56.- Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. El total de habitaciones es 55 y el número de
camas es 85. ¿Cuántas habitaciones de cada clase hay?

Habitaciones Camas
x x
Sencillas
25 25
55− x 2 55−x =110−2 x
Dobles
55−25=30 110−2 · 25=110−50=60
55 85

−25
x110−2 x=85⇒− x110=85⇒− x=85−110 ⇒−x =−25⇒ x= ⇒ x=25
−1

57.- Tengo 11 monedas; unas de 1 € y otras de 0,50 €. En total tengo 9 €. ¿Cuántas monedas tengo
de cada tipo?

Monedas Euros
x x
1€
7 7
11− x 0,50 11−x =5,5−0,50 x
0,50 €
11−7=4 5,5−0,50 · 7=5,5−3,5=2
11 9

3,5
x5,5−0,50 x=9⇒ 0,50 x5,5=9⇒ 0,50 x=9−5,5 ⇒0,50 x=3,5⇒ x= ⇒ x=7
0,50

································································································································································
58.- Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el
triple que Alicia. Si entre los tres gastan 72 €. ¿Cuánto ha gastado cada uno?

Alicia  x €
Juan 2 x €
Ana 3 x €

72
x2 x3 x=72⇒ 6 x=72 ⇒ x= ⇒ x=12
6

Alicia  x € =12 €
Juan  2 x € =2 · 12 € =24 €
Ana 3 x € =3· 12 € =36 €

Comprobación:12 € 24 € 36 € =72 €

59.- La entrada del cine costaba 2 € menos que la entrada del circo. Luis pagó 16 € por dos entradas
del cine y dos del circo. ¿Cuál es el precio de las entradas?

Entrada del circo  x €
Entrada del cine   x−2€

20
2 x 2 x−2=16 ⇒ 2 x2 x−4=16 ⇒ 4 x−4=16 ⇒ 4 x=164 ⇒ 4 x=20 ⇒ x = ⇒ x=5
4

Entrada del circo x € =5 €
Entrada del cine  x−2 € =5−2€ =3 €

Comprobación: 2 ·5 € 2· 3 € =10 € 6 € =16 €

60.- La tercera parte de los euros que tenía menos 1 euro es igual a la sexta parte de los euros que
tenía. ¿Cuántos euros tenía?

Tenía x €

x x 6x 6x
−1= ⇒ −6 ·1= ⇒2 x−6= x ⇒ 2 x− x=6 ⇒ x =6
3 6 3 6

6 6
Tenía  x € =6 € Comprobación: −1= ⇒2−1=1 ⇒1=1
3 6

61.- Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 €
en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 € más que al que se quede en posición
inmediatamente inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno?

5º clasificado x €
4º clasificado  x10 €
3er clasificado  x 1010= x20 €
2º clasificado  x 2010= x30 €
1er clasificado x3010= x40 €

x x10x20 x30 x40=210
5 x100=210
5 x =210−100
5 x=110
110
x=
5
x=22

5º clasificado x € =22 €
4º clasificado 2210=32 €
3er clasificado 3210=42 €
2º clasificado 4210=52 €
1er clasificado 5210=62 €

Comprobación: 22 € 32 € 42 € 52 € 62 € =210 €

62.- Tres personas se reparten 3.000 €. Una recibe 65 € más que otra, y esta 200 € más que una
tercera. ¿Qué dinero recibe cada una?

3ª persona  x €
2ª persona x200 €
1ª persona x 20065= x265 €

xx200 x265=3.000
3 x465=3.000
3 x=3.000−465
3 x=2.535
2.535
x=
3
x=845

3ª persona  x € =845 €
2ª persona845200=1.045 € Comprobación:845 € 1.045 € 1.110 € =3.000 €
1ª persona 1.04565=1.110 €

63.- Si tenemos 2.800 € en billetes de 500 € y de 100 €, de manera que el número de estos es el
doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase?

Billetes de 500 €  x ⇒500 x €
Billetes de 100 € 2 x ⇒ 200 x €

2.800
500 x200 x=2.800 ⇒ 700 x=2.800⇒ x= ⇒ x=4
700

Billetes de 500 €  x=4
Billetes de 100 €  2 x=2 · 4=8

Comprobación: 4 ·500 € 8· 100 € =2.000 € 800 € =2.800 €

································································································································································
64.- A una fiesta acudieron el doble de mujeres que de hombres y el triple de niños que de hombres
y mujeres juntos. Si en total había 156 personas. ¿Cuántas eran hombres, mujeres y niños?

Hombres x
Mujeres  2 x
Niños 3  x2 x=3 · 3 x=9 x

156
x2 x9 x =156⇒ 12 x=156 ⇒ x = ⇒ x=13
12

Hombres  x=13
Mujeres 2 ·13=26
Niños  31326=3· 39=117


65.- A la celebración de mi cumpleaños acudieron 49 personas. El número de niños fue el doble que
el número de mujeres y el número de éstas el doble que el número de hombres. ¿Cuántos niños,
mujeres y hombres asistieron?

Hombres  x
Mujeres  2 x
Niños  2· 2 x=4 x

49
x2 x4 x=49⇒ 7 x=49⇒ x= ⇒ x =7
7

Hombres  x=7
Mujeres 2 x=2 ·7=14 Comprobación: 71428=49
Niños  2 · 2 x=4 x=4 · 7=28

66.- Una empresa ha vendido cinco veces más lavadoras que microondas y el doble de microondas
que de televisores. Si en total se han vendido 169 aparatos. ¿Cuántos televisores, microondas y
lavadoras han vendido?

Televisores x
Microondas  2 x
Lavadoras 5 · 2 x=10 x

169
x2 x10 x=169⇒ 13 x =169⇒ x= ⇒ x=13
13

Televisores  x=13
Microondas  2 x=2· 13=26 Comprobación:1326130=169
Lavadoras 5· 2 x =10 x=10 ·13=130

67.- El doble de horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por
transcurrir. ¿Qué hora es?

Horas transcurridas  x
Horas que quedan por transcurrir  24−x

2 x=4 24−x 
2 x=96−4 x
2 x4 x=96
6 x=96
96
x=
6
x=16

Horas trascurridas  x=16 ⇒ Son las 16: 00

Comprobación: 2 ·16=4 · 8⇒ 32=32

68- De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte
quedan 20 m. Halla la longitud de la pieza de tela.

Longitud de la pieza de tela  x m

x x x
x− − − =20
2 5 10
10 x 10 x 10 x
10 x− − − =10 · 20
2 5 10
10 x−5 x−2 x−x=200
2 x =200
200
x=
2
x=100

Longitud de la pieza de tela x m=100 m

100 100 100
Comprobación:100− − − =100−50−20−10=100−80=20
2 5 10

69.- En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas
blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas
bolas hay de cada color.

Bolas blancas x
Bolas rojas  x14
Bolas azules  x−6

90
x x14x−6=98⇒ 3 x8=98⇒ 3 x=98−8 ⇒3 x=90⇒ x= ⇒ x=30
3

Bolas blancas  x=30
Bolas rojas  x14=3014=44 Comprobación:304424=98
Bolas azules  x−6=30−6=24

70.- Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro
más 1. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

Alejandro  x discos
Irene 73−x  discos

−72
73− x=2 x 1⇒− x−2 x =1−73 ⇒−3 x=−72 ⇒ x = ⇒ x=24
−3

Alejandro  x discos=24 discos
Irene 73−x  discos=73−24 discos=49

Comprobación: 49=2 · 241 ⇒ 49=49

71.- La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad
tiene cada uno?

Fátima  x años
Pablo 2 x años

15
x2 x=15 ⇒3 x=15 ⇒ x= ⇒ x=5
3

Fátima  x años=5 años
Comprobación:5 años10 años=15 años
Pablo 2 x años=2 · 5años=10 años

72.- Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra
de las unidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote?

{Siglo XVIlas unidades=7}⇒ Nació 15 x 7
Cifre de
⇒ 1500−1599

15x7=17⇒ x13=17⇒ x=17−13⇒ x=4

Nació 15 x 7=1547 Comprobación:1547=17

73.- En un control de 20 preguntas se dan 10 puntos por cada pregunta acertada y se quitan 5 puntos
por cada pregunta no contestada o mal contestada. Si un alumno saca 80 puntos. ¿Cuántas
preguntas ha acertado?

Total de preguntas 20

{Preguntas acertadas  x
Puntos por pregunta acertada 10 }
{Preguntas no contestadas o mal contestadas 20−x
Puntos por pregunta no contestada o mal contestada −5 }
Total de puntos80

10 x−5 20−x =80
10 x−1005 x=80
15 x−100=80
15 x=80100
15 x=180
180
x=
15
x=12

Preguntas acertadas  x=12
Preguntas no contestadas o mal contestadas 20−x=20−12=8

Comprobación:12 · 108 ·−5=120−40=80

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