13. c) 1.296
362 =1.296⇒ 1.296, número cuadrado perfecto
d) 136
112=121136144=122 ⇒136, número no cuadrado perfecto
21.- Determina la cifra de las unidades en los siguientes cuadrados perfectos:
a) 3882
82=64⇒ cifra de las unidades=4
b) 253 2
32=9⇒ cifra de las unidades=9
c) 2.550 2
0 2=0 ⇒ cifra de las unidades=0
d) 999.9992
92 =81⇒ cifra de las unidades=1
22.- La potencia x 2 representa a los números cuadrados perfectos. Si un número cuadrado
perfecto tiene 1 como cifra de unidades, ¿qué cifras puede tener como unidades la base de la
potencia x 2 ?
U U U U U
0 2=0 12 =1 2 2=4 32 =9 4 2=16
U U U U U
52 =25 62 =36 72 =49 82 =64 92 =81
23.- Un número cuadrado perfecto tiene 2 como cifra de las unidades. ¿Verdadero o falso?.
Unidades de un número cuadrado perfecto=0, 1, 4, 5, 6 ∨ 9 ⇒ Falso
Números no cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera
24.- Utilizando dos números cuadrados perfectos consecutivos, calcula la raíz cuadrada entera y el
resto en los siguientes casos:
a) 15
32=9 15 16=4 2
9 15 16
3 154
15=3 r =15−3 2=15−9=6
24. j) 468.864
684
46 88 64
– 36 128 · 8 = 1.024
1088
– 1024 1364 · 4 = 5.456
006464 468.864=684 ; r=1.008
– 5456 Comprobación:
r= 1008 6842 1.008=467.8561.008=468.864
Resolución de problemas
30.- En una clase de 1º de ESO hay 5 filas de mesas y en cada fila hay 5 mesas. ¿Cuántas mesas
hay en la clase?
5 filas ·5 mesas=52 mesas=25 mesas
31.- Un teatro tiene 25 filas de butacas y en cada fila hay 25 butacas. ¿Cuántas butacas tiene el
teatro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
25 filas · 25 butacas=252 butacas=625 butacas
32.- Un barco ha descargado en el puerto de Cádiz 20 contenedores, dentro de cada contenedor
hay 20 cajones de madera, en cada cajón hay 20 cajas de cartón y cada caja contiene 20 latas
de atún en aceite de oliva. ¿Cuántas latas de atún se han descargado?
20 contenedores · 20 cajones· 20 cajas· 20 latas=204 latas de atún=160.000 latas de atún
33.- Un paquete tiene 12 cajas. Cada caja tiene 12 estuches. Cada estuche, 12 rotuladores. Escribe
en forma de potencia el número de rotuladores y halla el resultado.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
12 cajas ·12 estuches · 12 rotuladores=12 3 rotuladores=1.728 rotuladores
34.- Tenemos 5 cajas. Cada caja contiene 5 montones de 5 billetes de 5 €. Escribe en forma de
potencia el número de billetes y el número de euros que hay en las cinco cajas.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
5 cajas ·5 montones · 5 billetes=53 billetes=125billetes
53 billetes ·5 € =5 4 € =625 €
35.- Ana cuenta una noticia a 5 personas. A la hora siguiente, cada una de ellas se la cuenta a otras 5
y así sucesivamente. ¿Cuánto tardan en conocerla 100.000 personas?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
0 h 50=1 persona
25. 1 h 5051=15=6 personas
0 1 2
2 h 5 5 5 =625=31 personas
3 h 5051 5253=31125=156 personas
0 1 2 3 4
4 h5 5 5 5 5 =156625=781 personas
0 1 2 3 4 5
5 h 5 5 5 5 5 5 =7813.125=3.906 personas
0 1 2 3 4 5 6
6 h 5 5 5 5 5 5 5 =3.90615.625=19.531 personas
7 h 505 1525 35455 5657=19.53178.125=97.656 personas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 h 5 5 5 5 5 5 5 5 5 =97.656390.625=488.281 personas
8 horas tardan en conocerla 100.000 personas
36.- Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos. Calcula cuántas
bacterias se han generado en dos horas y media.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
0 min 2 0=1 bacteria
1
5 min 2 =2 bacterias
10 min 2 2=4 bacterias
3
15 min 2 =8 bacterias
4
20 min 2 =16 bacterias
··············································
50: 5 10
50 min 2 =2 =1.024 bacterias
·······························································
100: 5 20
100 min 2 =2 =1.048.576 bacterias
·········································································
2,5 h=150 min 2150 :5 =230=1.073.741.824 bacterias
37.- Calcula el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
Volumen del cubo=5 cm ·5 cm ·5 cm=53 cm3=125 cm 3
5 cm
26. 38.- En un contenedor cúbico de 1,5 m de arista se introducen cubos de 1 dm3 de arista, hasta
llenarlo completamente. ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en el contenedor?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
1,5 m
Arista 1,5 m ·10=15 dm
Volumen del contenedor 15 dm· 15 dm·15 dm=153 dm 3=3.375 dm 3
39.- Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 7 cm de lado.
7 cm
Área=lado ·lado=l ·l=l 2=7 cm2=49 cm2
Perímetro=l lll=4 l=4 · 7 cm=28 cm
40.- Un campo cuadrangular tiene 10.000 m2 de superficie.
a) ¿Cuánto mide su lado?
b) ¿Cuál es su perímetro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
Área=l 2
10.000 m2 l 2= A⇒ l 2 = A⇒ l= 10.000 m 2=100 m
Perímetro=4 ·l =4 ·100 m=400 m
41.- Se desea vallar un campo cuadrangular de 256 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de valla se
necesitan?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
l= A= 256 m2=16 m
256 m2
P=4 ·l=4 ·16 m=64 m de valla se necesitan
42.- Representa, gráficamente, el número cuadrado perfecto 16.
4
4
27. 43.- Los caramelos de un montón se han dispuesto en 7 filas y en 7 columnas, y sobran 15
caramelos. ¿Cuántos había en el montón?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
7 filas · 7 columnas=72 caramelos=49 caramelos
49 caramelos15 caramelos=64 caramelos
44.- Con 81 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y
columnas?
81=9 ; r=0⇒ Se puede formar un cuadrado
45.- Con 50 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y
columnas?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
50=7 ; r =1⇒ No se puede formar un cuadrado
46.- Calcula la raíz cuadrada entera del número que representa la figura. Calcula el resto.
Calcula cuanto falta para que sea cuadrado perfecto.
2
Nº de fichas cuadradas=6 9=369=45
45=6 ; r =45−6 2=45−36=9
2
7 −45=49−45=4 fichas cuadradas faltan
47.- ¿Cuántas fichas cuadradas, como mínimo, hay que añadir a la figura para formar un cuadrado?
Nº de fichas cuadradas=526=256=31
Siguiente cuadrado perfecto 6 2=36
36−31=5 fichas cuadradas hay que añadir
28. 48.- Observa la figura y determina la raíz cuadrada entera y el resto del número 56.
56=7 ; r =56−72=56−49=7
49.- Tenemos 144 fichas cuadradas y queremos colocarlas de forma ordenada para que formen un
cuadrado lo más grande posible.
a) Calcula el número de fichas que habrá que colocar en cada lado del cuadrado.
144=12 fichas en cada lado
b) Calcula el número de fichas necesarias para formar otro cuadrado con 3 fichas más de lado.
123=15 fichas de lado 152 =225 fichas serán necesarias
50.- Si queremos formar un cuadrado con 625 fichas cuadradas. ¿Cuántas fichas colocaremos en
cada lado?. ¿Sobrará alguna ficha?
625=25 fichas en cada lado
r =625−252=625−625=0 fichas sobran
51.- Comprueba si el número 676 tiene raíz cuadrada exacta.
676=26 ; r =0 ⇒ raíz cuadrada exacta
52.- Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto.
a) Calcula su raíz.
64=8
b) Calcula el número de fichas que habrá que añadir para que la raíz cuadrada exacta sea
2 unidades mayor que la anterior.
2
x=82 ⇒ x=10⇒ x =10 2 ⇒ x=100
100−64=36 fichas habrá que añadir
29. 53.- Observa la figura:
¿Cuántos fichas cuadradas hay que añadir para que el cuadrado tenga 12 fichas de lado?
112=121 fichas cuadradas
2
12 =144 fichas cuadradas
144−121=23 fichas cuadradas habrá que añadir
54.- La raíz cuadrada exacta de un número es 85. ¿Cuántas unidades habrá que sumar a dicho
número para que la raíz cuadrada del resultado sea exacta y de una unidad mayor?
x=85 ⇒ x=852 ⇒ x=7.225
y=851=86⇒ y=86 2=7.396
7.396−7.225=171 unidades hay que añadir
55.- La cumbre más elevada de España es el Teide. Averigua su altitud con estos datos:
· Su raíz cuadrada entera es igual a 60.
· Si se le sumara 3, sería un cuadrado perfecto.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
x=60 ; raíz entera⇒ x=60 2r ⇒ Cuadrado perfecto siguiente=612
x3=612 ⇒ x 3=3.721 ⇒ x =3.718 m
56.- Comprueba: La suma de n números impares consecutivos es igual a n2.
1=1=12
13=4=2 2
30. 135=9=32
1357=16=42
13579=25=5 2
··········································
13579=n 2 n
57.- El doble del cuadrado de un número es igual a 32. Calcula dicho número.
2 · x =32⇒ x =16 ⇒ x = 16 ⇒ x =4
2 2 2
58.- El cuadrado del triple de un número es igual a 75. Calcula dicho número.
3· x 2=225⇒ 3 · x2= 225⇒ 3 · x =15⇒ x=5
59.- Se tienen dos cuadrados, tales que uno de ellos tiene por lado el doble que el otro. ¿Cuántas
veces es mayor la superficie de uno respecto del otro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
2·l
l
A1=l · l=l 2
A2 = 2· l ·2 · l=2· l · 2 · l=4· l 2
A2 4 · l 2
= 2 =4 ⇒ A2 cuatro veces mayor que A1
A1 l
60.- El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Su superficie es de 512 m2. ¿Cúal
es el perímetro del terreno?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
l
2·l
2 · l· l=512 m2 ⇒ 2· l · l=512 m2 ⇒ 2· l 2=512 m2 ⇒ l 2=256 m2 ⇒
⇒ l 2 = 256 m2 ⇒l=16 m
P=2· l2· 2 ·l =2 · l4 · l=6 ·l=6· 16 m=96 m
31. 61.- La raíz cuadrada entera de un número es 15 y su resto es el menor posible. ¿Cuál es el número?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
{r , menor posible⇒x=15}⇒ x=15 1=2251=226
r =1
2
62.- La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el
resto?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
x ; ¿ r , mayor posible ?
322 =1.024 x1.089=33 2 ⇒ r , mayor posible=1.088−1.024=64
63.- Observa la figura:
¿Cuántas fichas cuadradas habrá que añadir al cuadrado para obtener otro cuadrado cuyo lado
tenga 2 unidades más que el primero?
64 fichas cuadradas ⇒ 8 fichas cuadradas de lado
82=10 fichas cuadradas de lado ⇒ 102 =100 fichas cuadradas
100−64=36 fichas cuadradas habrá que añadir