1. Instituto Tecnológico Superior de
Zacapoaxtla
Departamento de Desarrollo
Académico
María del Consuelo Valle Espinosa

2. M. en C. María del Consuelo Valle Espinosa
 Media aritmética.
 Media armónica.
 Media geométrica.
 Mediana.
 Moda.

3. En tiempos pasados, cuando los azares de los viajes marinos eran más
serios que en la actualidad, cuando los barcos golpeados por las
tormentas tiraban por la borda una parte de su carga, se reconoció que
aquellos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar una justa
indemnización a expensas de aquellos cuyos bienes llegaban si novedad.
El valor de los bienes perdidos se pagan mediante un acuerdo entre todos
los que tenían mercancías en el mismo buque. El daño causado por el
mar al cargamento se conocía como HAVARIA. De esta palabra latina se
deriva la moderna palabra inglesa AVERAGE (promedio)

4. El propósito de un promedio es representar un grupo de
valores individuales de una manera simple y concisa de
modo que la mente pueda hacerse con una rápida visión el
tamaño general de los individuos en el grupo sin que la
distraigan las variaciones fortuitas y sin importancia.
El promedio ha de actuar como REPRESENTANTE y es una
cifra con significado que permite hacer deducciones.
Los promedios suelen ser muy desorientadores por eso se
han definido diferentes tipos de promedios con la finalidad
de escoger el apropiado para el tipo de datos y su
propósito.
Los promedios también son conocidos como:
«MEDIADAS DE TENDENCIA CENTRAL»
Calculan el valor alrededor del cual se acumulan los
diversos valores diferentes.

5. !El tipo de medida de
tendencia central adecuada
depende siempre de los
términos del problema en
curso, las fórmulas no se
han de aplicar nunca de
manera indiscriminada!

6. Media Aritmética de un conjunto de números:
Se calcula sumando los elementos del conjunto y dividiendo el total por
el número de individuos del conjunto (los elementos a promediar han de
ser del mismo tipo).
Media Aritmética para un conjunto de números ordenados:
Es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las
frecuencias de los mismos.
Para la tabla de valores siguientes:
La media aritmética se calcula como:

7. La Media Armónica es el reciproco de la media aritmética de los
recíprocos de los valores que queremos promediar.
Ejemplo:
Un aeroplano vuela alrededor de un cuadrado cuyo lado
tiene 100 km de largo; el primer lado lo recorrer a 100
k/h, el segundo 200 km/h, el tercero a 300 km/h y el
cuarto a 400 km/h. ¿Cuál es la velocidad media?
n 4 4
192 km / h
n
1 1 1 1 1 25
i 1 xi 100 200 300 400 1200
La media armónica es adecuada porque los tiempos eran
variables con distancias constantes.

8. La Media Geométrica:
Es la media que hay que usar cuando se quiere promediar
cantidades que siguen un progresión geométrica o
exponencial.
Para calcularla se multiplican entre sí todas las cantidades
que se quieren promediar y después se obtiene la raíz
enésima del producto.
Media geométrica n x1 x 2 xn

9. Algunos inconvenientes de los promedios
Uno de ellos es que es que son muy sensible a los
valores extremos de la variable: ya que todas las
observaciones intervienen en sus cálculos. La
aparición de una observación extrema, hará que el
promedio se desplace en esa dirección. En
consecuencia, no es recomendable usarlos como
medida central en las distribuciones muy asimétricas.
Si consideramos una variable discreta, por ejemplo,
el número de hijos, el valor de los promedios puede no
pertenecer al conjunto de valores de la variable.

11. Consideramos una variable discreta X cuyas
observaciones en una tabla estadística han sido
ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana,
al primer valor de la variable que deja por debajo de
sí al 50% de las observaciones.
En el caso de variables continuas, las clases vienen
dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana
se complica un poco más (pero no demasiado):
Sea (l , l ] el intervalo donde hemos encontrado que
i 1 i
por debajo están el 50% de las observaciones.
Entonces se obtiene la mediana a partir de las
frecuencias absolutas acumuladas, mediante
interpolación lineal (teorema de Thales)

12. Esto equivale a decir que la mediana divide al histograma
en dos partes de áreas iguales a 1/2 .

13. Un ejemplo de cálculo de media y mediana
Obtener la media aritmética y la mediana en la distribución
siguiente.
Determinar gráficamente cuál de las dos medidas de tendencia
central es más significativa.
Solución:

14. La media aritmética es:
xi ni 6500
x 32 . 75
n 200
La mediada es:
La primera frecuencia absoluta acumulada que
supera el valor n/2 = 100 es Ni = 140. Por ello el
intervalo mediano es [10; 20). Así:
n/2 Ni 1 100 60
M ed li 1
ai 10 80
10 15
ni

16. Propiedades de la mediana
Entre las propiedades de la mediana, vamos a destacar las
siguientes:
Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada
por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores
que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es
adecuado su uso en distribuciones asimétricas.
Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.
A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es
siempre un valor de la variable que estudiamos.

17. Moda
Llamaremos moda el valor que aparece más
comúnmente.
Es muy fácil de calcular.
Puede no ser única.
La moda es una base my pobre para cualquier cálculo
posterior de naturaleza aritmética, porque ha excluido
deliberadamente precisión aritmética a fin de presentar
el resultado más común.
Puede que no sea única.

18. Cuartiles

19. Para una variable discreta, se define los cuartiles, como
aquellas observaciones, Q25, Q50, Q75 que dejan por debajo de
si el 25%, 50% y 75% de los datos respectivamente, la
Mediana es el cuartil Q50

20. Ejemplo 1:
Dada la siguiente distribución en el número de hijos de
cien familias, calcular sus cuartiles.
Primer Cuartil. Segundo Cuartil.
n/4 = 25; Primera Ni > 25 es 39; 2n/4 = 50; Primera Ni >
luego 50 es 65; luego Q2 =3
Q1 =2
Tercer Cuartil.
3n/4 = 75; Primera Ni > 75 es 85;
luego Q3 =4

21. Ejemplo2:
Calcular los cuartiles en la siguiente distribución
de una variable continua:

23.  Intervalo
 Intervalo intercuártico
 Desviación media
 Varianza
 Desviación estándar

24. Los estadísticos de tendencia central o posición nos
indican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. Los
de variabilidad o dispersión nos indican si esas
puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por
el contrario están o muy dispersas.
¿Cómo se puede obtener una medida de la
variabilidad alrededor del valor medio?

25. Intervalo
Diferencia entre el mayor y el menor valor
NOTA:
Esta medida de dispersión está afectada por los valores extremos.
Intervalo intercuártico
Diferencia entre el tercer y primer cuartil, es la longitud del intervalo
que la mitad central de los datos.
Desviación media:
El promedio del valor absoluto de la diferencia entre cada uno de los
elementos y su media
x x
Desviación media
n

26. Las medidas; intervalo, intervalo cuártico, desviación media se
usan en el trabajo elemental, a causa de su facilidad de cálculo
y comprensión pero no se usa en la inferencia estadística. Los
grandes teoremas que le dan sustento matemático a la
inferencia están fundamentados en la medidas de dispersión
llamada desviación estándar.
Varianza:
La varianza, se define como la media de las diferencias
cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media
aritmética.
Esta medida es siempre una cantidad positiva, con
propiedades interesantes para la realización de
inferencia estadística

27. La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej.
si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en
metros cuadrados.
Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma
dimensionalidad que las observaciones bastaría con tomar su raíz
cuadrada. Por ello se define la desviación estándar.
n
x x
s
n
Es sensible a la variación de cada una de las puntuaciones, es
decir, si una puntuación cambia, cambia con ella la varianza o la
desviación estándar.
No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco lo sea el de
la media como medida de tendencia central.

29. El coeficiente de variación de una variable medida en metros es
una cantidad adimensional que no cambia si la medición se realiza
en centímetros.
Presenta problemas ya que a diferencia de la desviación estándar
este coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello es
importante que todos los valores sean positivos y su media dé, por
tanto, un valor positivo.
A mayor valor del coeficiente de variación mayor heterogeneidad de
los valores de la variable; y a menor Cv, mayor homogeneidad en
los valores de la variable.
Para su mejor interpretación se expresa como porcentaje.

30. S S
Cv Cv 100
x x
Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la
media aritmética, mostrando una mejor interpretación
porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o
estándar.
Depende de la desviación estándar y en mayor medida
de la media aritmética, dado que cuando ésta es 0 o muy
próxima a este valor Cv pierde significado, ya que puede
dar valores muy grandes, que no necesariamente
implican dispersión de datos.
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno
u ocho. Sin embargo, en ciertas distribuciones puede ser 1
o mayor que 1.

31. Ejemplo:
A continuación se dan los resultados obtenidos con
una muestra de 50 universitarios. La característica
es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo:
1. calcular:
 Media
 Mediana
 Moda
 Varianza
 Desviación estándar
 Primer cuartil
 Segundo cuartil
 Tercer Cuartil
2. Encontrar el dato mayor y el dato menor
3. Construir :
 Tabla de frecuencia
 Histograma
 Diagrama de caja y bigotes.

32. Un diagrama de caja y bigotes consiste en
una caja rectangular, donde los lados más largos
muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está
dividido por un segmento vertical que indica donde se
posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los
cuartiles primero y tercero(recordemos que el segundo
cuartil coincide con la mediana).
Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene
como extremos los valores mínimo y máximo de la variable.
Las líneas que sobre salen de la caja se llaman bigotes.
Estos bigotes tienen un límite de prolongación, de modo
que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de
este rango es marcado e identificado individualmente

33. 0.11
0.11 Media 0.113988
0.126 Mediana 0.113 Q1 0.10725
0.112 Moda 0.112 Q2 0.113
0.117 Varianza 9.72807E-05 Q3 0.12
0.113 Desviación estándar 0.009863096 M 0.135
0.135 Coeficiente de variación 0.086527497 m 0.094
0.107 Primer cuartil 0.10725
0.122 Segundo cuartil 0.113
0.113 Tercel cuartil 0.12
0.098 Dato mayor 0.135
0.122 Dato menor 0.094
0.105
0.103
0.119 Clase Frecuencia
0.1 0.094 1
0.117 0.09985714 2
0.113 0.10571429 7
0.124 0.11157143 11
0.118 0.11742857 11
0.132 0.12328571 10
0.108 0.12914286 4
0.115 y mayor... 4
0.12
0.107
0.123
0.109
0.117
Histograma
0.111
0.112
11 11 10
0.101
0.112
7
0.111 4 4
0.119
1 2
0.103
0.1
0.108
0.12
0.099
0.102
0.129
0.115
0.121
0.13
0.134
0.118
0.106
0.128
0.094
0.1114

34. Ejercicio:
Tomando como base de datos el largo de la
cabeza de los peces de la familia Scorpaniedae de
Isla de Guadalupe, Baja California, México,
1. calcular:
 Media
 Mediana
 Moda
 Varianza
 Desviación estándar
 Primer cuartil
 Segundo cuartil
 Tercer Cuartil
2. Encontrar el dato mayor y el dato menor
3. Construir :
 Tabla de frecuencia
 Histograma
 Diagrama de caja y bigotes.

35. Referencias:
Bioestadística: métodos y aplicaciones
Autores: Francisca Ríus Díaz, Francisco Javier Barón
López, Elisa Sánchez Font y Luis Parras Guijosa.
Universidad de Málaga .
Sitio en Internet:
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/
SIGMA EL MUNDO DE LAS MATEMATICAS VOLUMEN III
NEWMAN JAMES R., GRIJALBO
ISBN 9788425312922