Modul ini membahas tentang derivatif fungsi aljabar, implisit, dan trigonometri. Terdapat rumus-rumus dasar untuk menghitung derivatif berbagai fungsi termasuk contoh soalnya."

1. MODUL 4
DERIVATIVE
Oleh: Muchammad Abrori
A. Pengertian Derivative
Diberikan fungsi y = f(x). Harga fungsi di titik x adalah f(x) sedangkan harga fungsi di
titik (x + x) adalah : f(x + x), dengan x dimaksud penambahan perubah x. Untuk
setiap penambahan x diperoleh penambahan y sedemikian, hingga :
y+ y = f(x + x)
y = f(x) -
y = f(x + x) – f(x)
y f (x x) f ( x)
Dipandang untuk : =
x x
y
Kemudian harga diambil limitnya untuk x 0, diperoleh :
x
Limit y Limit f ( x x) f ( x)
=
x 0 x x 0 x
Limit y
Jika = ada dikatakan bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan pertama
x 0 x
dy df ( x)
(derivative pertama) di titik x, dengan simbol atau
dx dx
atau y atau f (x) atau Dxf dan seterusnya.
d2y d 2 f ( x)
atau atau y atau f (x) atau dxxf disebut : Turunan kedua fungsi f(x) di
dx 2 dx 2
titik x.
Setiap fungsi f(x) yang mempunyai turunan di titik x disebut differensibel (differentiabel)
di titik x.
dy
Lambang sebagai notasi turunan diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan
dx
German Goltfried Wilhelm Leibnir (1646 – 1716) sedangkan notasi f diperkenalkan oleh
matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813).
1

2. Beberapa contoh soal :
1. Carilah turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 + 1
2. Carilah turunan pertama fungsi f(x) = x di x = 2
Limit f ( x x) f ( x)
Pada perhitungan , apabila diadakan substitusi x = h maka
x 0 x
untuk x 0 mengakibatkan h 0, sehingga :
Limit f ( x x) f ( x) Limit f ( x h) f ( x)
=
x 0 x h 0 h
Perhitungan-perhitungan secara definisi, jarang kita jumpai oleh sebab itu lebih baik
langsung menggunakan rumus-rumus hitung differensial (rumus derivative) yang ada.
B. Penafsiran Derivative Secara Ilmu Ukur
Diberikan fungsi y = f(x). Ditinjau dua titik P(x,y) dan Q(x + x, y y ), selisih absis
kedua titik = x dan selisih kedua ordinatnya = y , titik P dianggap tetap.
y
0 x
y f (x x) f ( x)
Dipandang bentuk = = tg
x x
Apabila titik Q bergerak menuju titik P, maka x 0 dan y 0 , sehingga sudut
mendekati dan :
Limit y Limit f ( x x) f ( x)
f (x) = = =
x 0 x x 0 x
2

3. Limit f ( x x) f ( x)
= = tg
x 0 x
Berarti bahwa f (x) adalah menunjukkan besarnya koefisien arah (tangen arah) garis
singgung kurva y = f (x) di titik P. Dan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(a, b)
adalah: y – b = f (a).(x – a). Selain turunan pertama diartikan sebagai besarnya koefisien
arah garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik x, maka turunan pertama dapat juga
diartikan sebagai besarnya kecepatan sesaat pada suatu gerakan. Perhatikan ilustrasi
sebagai berikut:
Misalkan kita mengendarai sebuah mobil dari kota A ke kota B yang jaraknya 80
km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata adalah 40 km/jam, artinya kecepatan
rata-rata adalah selisih jarak dibagi waktu atau jarak antara posisi tempat A dengan
tempat B dibagi waktu.
selisih jarak
V=
waktu
Contoh lain apabila sebuah benda P dijatuhkan dari suatu ketinggian dengan benda P
jatuh sejauh 16 t2 meter setelah t detik atau dalam fungsi dapat dirumuskan sebagai
S(t)_=_16 t2, t 0.
Pada detik pertama benda jatuh sejauh S(1) = 16 meter dan pada detik kedua benda jatuh
sejauh S(2) = 64 meter, sehingga kecepatan rata-rata jatuhnya benda dari t1 = 1 detik
sampai t2 = 2 detik adalah
S (t2 ) S (t1 )
V=
t2 t1
64 16
= = 48 meter/detik
2 1
Sedangkan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,5 adalah
S (1,5) S (1) 20
V= 40 meter/detik
1,5 1 0,5
Dan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,1 adalah
S (1,1) S (1) 3,36
V= 33,6 meter/detik
1,1 1 0,1
Adapun kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,01 adalah
3

4. S (1,01) S (1) 0,3216
V= 32 ,16 meter/detik
1,01 1 0,01
Dari hasil perhitungan itu, maka semakin pendek selang waktu yang digunakan, maka
semakin baik hampiran kecepatan yang benar pada saat t = 1, dan yang paling ideal
adalah selang waktu t 0.
Sehingga kecepatan rata-rata pada saat t = 1 adalah :
Limit S (1 t ) S (1)
V=
t 0 t
Limit 16 (1 t ) 2 16
=
t 0 t
Limit 16 32 t ( t ) 2 16
=
t 0 t
Limit
= (32 + t ) = 32 meter/detik
t 0
Dengan demikian kita dapat mendefinisikan kecepatan sesaat V pada saat t yaitu :
Limit S (t t ) S (t )
V=
t 0 t
Teorema: Apabila f (a) ada maka f(x) kotinu di x = a
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa f(x) kontinu di x = a maka diperlihatkan
Limit
f(x) = f(a)
x a
f ( x) f ( a )
Perhatikan bahwa: f(x) = f(a) + ( x a)
x a
Limit Limit f ( x) f (a)
Sehingga f(x) = f (a) ( x a)
x a x a x a
Limit Limit f ( x) f (a) Limit
= f(a) + ( x a)
x a x a x a x a
= f(a) + f (a).0 = f(a)
Terbukti f(x) kontinu di x = a
4

5. Teorema itu tidak dapat dibalik yaitu apabila f(x) kontinu di x = a maka belum tentu f (a)
ada atau f(x) diferensial di x = a.
Untuk membuktikan hal ini diperlihatkan sebuah contoh :
y
f(x) = -x f(x) = x
x
x untuk x 0
Diambil fungsi: f(x) = x =
x untuk x 0
Limit
Fungsi f(x) = x adalah kontinu di x = 0 sebab f(x) = 0 namun dapat diperlihatkan
x 0
bahwa f(x) tidak diferensibel di x = 0 sebab :
Limit f ( x) f (0) Limit x 0 Limit x
f (0) =
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x
dan f (0) tidak ada sebab.
Limit x Limit x
1
x 0 x x 0 x
Sedangkan:
Limit x Limit x
1
x 0 x x 0 x
Dengan demikian f (0) tidak ada atau f(x) tidak diferensiabel di x = 0.
5

6. MODUL 5
DERIVATIVE FUNGSI ALJABAR, IMPLISIT DAN TRIGONOMETRI
Oleh: Muchammad Abrori
A. Derivative Fungsi Aljabar
Selain fungsi transenden (fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi
hiperbolik) disebut fungsi aljabar.
Beberapa contoh fungsi aljabar :
1. f(x) = 5x2 + x + 3
2. f(x) = 9 (x2 - 1)2
3. f(x) = x x2 x
4. f(x) = (x + 1) (x3 – 5)-2
x 3
5. f(x) =
x2 4
Rumus-rumus:
U, V, W, …. dimaksudkan fungsi-fungsi dari x yang differensiabel.
dy
1. y = C, c = konstan 0
dx
dy
2. y = x 1
dx
dy
3. y = xn n.x n 1
dx
dy dU dV dW
4. y = U + V + W + ….. .....
dx dx dx dx
dy dU
5. y = c . U, c = konstan c
dx dx
dy dV dU
6. y = U . V U V
dx dx dx
dy dW dV dU
7. y = U . V . W UV UW VW
dx dx dx dx
6

7. dU dV
V U
U dy dx dx
8. y =
V dx V2
dy dU
9. y = Un n Un 1
dx dx
dy dy dU
10. y = f(U), U = g(x)
dx dU dx
dy
dikatakan turunan pertama dari y = f(x).
dx
dy
Pada umumnya merupakan fungsi dari x lagi, maka jika :
dx
dy d dy d2y
didefferensial diperoleh: dikatakan turunan kedua, dan seterusnya
dx dx dx dx 2
sampai:
dny
dikatakan turunan ke n.
dx n
Beberapa contoh soal :
dy
1. y = xn, tentukan
dx
dy
2. y = U + V, tentukan
dx
dy
3. y = U . V, tentukan
dx
U dy
4. y = , tentukan
V dx
dy
5. y = Un, tentukan
dx
dy
6. y = f(U), U = g(x), tentukan
dx
dy
7. y = x3 – 3x2 + 2x – 5, tentukan
dx
x2 x dy
8. y = 3
, tentukan
x 1 dx
7

8. dy
9. y = (3x4 + 6x2 + 1)7, tentukan
dx
dy
10. y = x2 6x 3 , tentukan
dx
x2 dy
11. y = , tentukan
4 x 2 dx
x2 1 dy
12. y = 3
2
, tentukan
x 1 dx
dy
13. x = 3 1 y 2 y 4 , tentukan
dx
1 x 1 x dy
14. y = , tentukan di mana –1 x 1
1 x 1 x dx
2 dny
15. y = , tentukan
1 x dx n
B. Derivative Fungsi Implisit
Bentuk-bentuk fungsi y = f (x) disebut fungsi eksplisit, sedangkan bentuk fungsi
f(x,y)_=_0 yang kadang-kadang sukar dibawa bentuk eksplisit disebut fungsi implisit.
Sebagai contoh diberikan fungsi implisit: x3 + xy + y3 = 0, kemudian akan dicari turunan
pertamanya.
Demikian:
x3 + xy + y3 = 0
dy dy
3x2 + y + x . + 3y2 . =0
dx dx
dy
(x + 3y2) . = - (3x2 + y)
dx
dy 3x 2 y
=-
dx x 3y2
Derivative fungsi implisit akan lebih mudah jika kita menggunakan derivative total
yaitu: f(x,y) = 0
f ( x, y ) f ( x, y )
dx dy 0
x y
8

9. f ( x, y )
dy x
=-
dx f ( x, y )
y
f
=- x
f
y
Beberapa contoh soal:
dy
1. Carilah dari x3 + xy + y3 = 0
dx
dy
2. x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3 = 40, tentukan
dx
3. Tentukan koefisien garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 dititik (1, 3 ), kemudian
tulislah persamaan garis singgung tersebut
dy
4. x = 3 1 y 2 y 4 , tentukan
dx
5. Diberikan fungsi xy = 1
dy
Carilah : a. di (1, 1)
dx
d2y
b. di (1 ,1)
dx 2
c. Persamaan garis singgung melalui (1, 1)
d. Persamaan garis normal melalui (1, 1)
C. Derivative Fungsi Trigonometri
Diberikan y = sin u dengan u fungsi dari x
y+ y = sin (u + u)
y = sin u
y = sin (u + u ) – sin u
1 1
= 2 cos (u + u + u) . sin (u + u + u)
2 2
9

10. 1 1
= 2 cos (2u + u) . sin u
2 2
1 1
2 cos (2u u ) sin u
dy Limit y Limit 2 2
=
dx x 0 x x 0 x
u
sin
Limit u Limit 2 Limit u
= cos(u )
u 0 2 u 0 u x 0 x
2
du
= cos u .
dx
Rumus-rumus :
dy du
1. y = sin u = cos u .
dx dx
dy du
2. y = cos u = - sin u .
dx dx
dy du
3. y = tg u = sec2u .
dx dx
dy du
4. y = ctg u = - cosec2u .
dx dx
dy du
5. y = sec u = sec u . tg u .
dx dx
dy du
6. y = cosec u = - cosec u . cotg u .
dx dx
Beberapa contoh soal:
dy
1. y = sin 4x + cos 2x, tentukan
dx
dy
2. y = ctg (2 – x3), tentukan
dx
dy
3. y = tg3 (x2 – 2), tentukan
dx
10

11. dy
4. y = cosec x . ctg (2x – 3), tentukan
dx
dy
5. y = 2 tg x . sin 2x, tentukan
dx
1 dy
6. y = 23
,tentukan
(sec 2 x 1) dx
dy
7. y cos x = sin (x – y), tentukan
dx
8. Jika y = A sin kx + B cos kx, dengan A, B dan k konstan perlihatkan bahwa:
d2y 2 d2y
a. k y b. ( 1) k 2 n y
dx 2 dx 2
dny
9. Hitung , jika y = cos x
dx n
11