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Enunciados Examenes Selectividad Matematicas II Andalucia 2002-2013

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Clases Online Matematicas Fisica Quimica

Se dan clases online de las asignaturas de Matemáticas, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, Física, Química, Estadística, Bioestadistica y Análisis de Datos. Clases individuales o en grupos reducidos. También resolvemos exámenes o relaciones de ejercicios por encargo. Contacto en granada.clases.particulares@gmail.com

Bildung
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Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com ENUNCIADOS EXAMENES SELECTIVIDAD ANDALUCIA MATEMATICAS II 2002-2013
MODELO 1 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ ÄҴܵ Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ Ó ½º Ë Ö ÕÙ Ø ÖÑ Ò ´Üµº Ü ×Ø ÔÙÒØÓ× Í× ´ µ ½³ ÖÚ Ð Ñ Ó  ½ Ó ¾º Ë Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÔÓÖ Ö ¬ × ÙÒ ÓÒ ×Ø ÔÓÖ Ó ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ü ÓÖÑ ÄҴܵ Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ê ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÙÝ Ð ¬ ÙÖ º Ð ¬Ò Ü ´ÄҴܵµ¾ Ò Ó ÕÙ Ð Ø Ú Ö Ð ½ ´Üµ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ê ÜÝ× ¾Ê Ô Ö ÐÓ× º (2,2) Y 0 X (4,–1) (–1,–2) ÔÙÒØÓ× ×ØÙ Ð Ö ×Ù× ÜØÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ׺ Ñ ÒØÓ Ý Ð ×ØÙ ÝÐ ´ µ ½³ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ò Ð × ØÓÖ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÑÔÖ × × ¼³ º Ð ÙÐ ¹ Ð ÔÖ Ó Ð ¹ Ð ÔÖ Ó Ó ÔÓÖ ¹ Ð ÔÖ Ó ÔÓÖ º Ö Ó ´ µ ½³¾ ´ µ ½³¾ × Ð º ÓÒ Ú ÔÙÒØÓ× Ó ¿º ¾³ Ò ÓÑÔ Ø Ò Ö Ð ÓÒ × Ð ÔÙÒØÓ× × Ò× Ö ÓÒÚ Ü Ð × ÐÓ× ÔÖ Ù Ð Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÈÙ Ñ ÒØÓ Ý  ¿ ¾µ Ý Ú ÖØ Ò­ Ü ÓÒ Ð Ð ÒÞ Ö ¬ ØÙÒ × × Ò Ù ×Ó¸ ØÖ × ÑÔÖ × × ¸ Ý ¸ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ó ÔÓÖ ÑÔÖ × × Ò Ó ÕÙ Ú Ö ¬ Ò Ð × × Ù ÒØ × Ó× ÐÓ× ÔÖ Ý Ð ÔÖ ´½ ½ ¾µ Ý × Ó ´½ ½ × ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ÔÙÒØÓ× À ÐÐ ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ Ð × ÓÓÖ Ò ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓº Ó× ×Ø Ð Ó× ÔÓÖ Ý º º ¾ ÙÖÓ× Ñ × ¾» ´½ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÓÒ º Ì Ò ÔÙÒØÓ× ÙÖÓ× Ñ ÒÓ× ÕÙ Ð Ñ ×Ð Ñ ÑÔÖ × ÓÒ× Ð ÔÖ Ö Ó ÔÓÖ Ñ × ½»¿ Ð ÔÖ Ó Ó  ½µº ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÂÙ×Ø ¬ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÕÙ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ê Ö Ó ¾º ¾³ Ö Ø Ý Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ü¿ · ¿Ü¾ · Ü · Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ê ÔÓÖ ´Üµ ¬Ò ¿Ü · º Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × Ý × Ò Ó ÕÙ Ð Ö ¬ Ø Ò ÓÑÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ò ×Ù ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÒ ÓÒ Ò­ Ü ÓÒ Ð     Ü¿ · ¾Ü¾ ¾Ü · ¿ Ü Ü¾ ½ Ö Ó ¿º ÓÒ× Ö Ð × Ñ ØÖ × ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ Ð Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ ´ µ ¼³ ÔÙÒØÓ× Ö Ó º ÓÒ× ½¾ ½¾ Ý Ø ÖÑ Ò Ü ´ µ ½³¾ ÔÓÖ Ð Ý ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ð × Ý º ¼ ¼ ½ Ü ½ ¼ Ý ¼ ¼ ½ º Ý Ø Ð ÕÙ º Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ø ÖÑ Ò ¼ º ´½ ½ ½µ ´ µ ½³¾ ½ Ù ÓÒ Ù º ÓÒ × ´¾ ¾ ¾µ ´½ ½ ¼µ Ý Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö Ø Ø ÖÑ Ò ´½ ¼ ¼µ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ý ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ý ÒÓ ÓÖØ Ó× Ð Ö Ø ÐÓ× × Ñ ÒØÓ×
MODELO 2 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ´ µ ½³ × Ø ÖÑ Ò Ð ÔÙÒØÓ×  ½¾º Ð ÙÐ Ð ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ×Ù Ö ¬ º Ù Ê Ó ¾º Ë Ö Ê ´ µ ¼³ ÔÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ× ×ØÙ ÓÒ Ð × ÓÞ Ð ´ µ ¼³ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ó ¿º ¾³ ÖÚ ÐÖ ÓÒ× Ö Ð ÔÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó ¼ Ó º ¾³ « ½ ¾   ½ Ø ÖÑ Ò «¸ × Ø Ò ÔÙÒØÓ× ½ ¿  « ½ ½ ¾ ¿ Ð ÔÓÖ ´Üµ Ð ÒÜ ÒØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾Ü¿ ´Üµ Ö ¬ Ü Ü   ܾ Ý ÕÙ ×Ù Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ×   Ò­ Ü ÓÒ º º Ó ÔÓÖ Ð Ö ¬ Ý Ð × × ×º Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ×  ½ ¾µ Ö ×Ô ØÓ ´½ ¿ ¼µ Ý Ë Ò ¼ « ½ ½ ¼ ÙÒÓ ´¼ ¼ ½µ Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ¼ ½ «     × ÔÓ× Ð ¸ Ô Ö ÕÙ ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ò Ò¬Ò Ø × ×ÓÐÙ ÓÒ × ´ Ò Ó ÕÙ º ´½ À ÐÐ ¬Ò Ö ¬ ×Ù Ê× Ð × Ö Ø × Ø Ò ÒØ × ÙÒ ÓÒ Ð Ö ÔÙÒØÓ× Ê ÙÒ ÓÒ  ½ ½ Ý º Ù ¼  ¾ ½ ¿ ¾ ¼ ¼  ½ ½ ¼   ÓÒ × ´ Ó× Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐÓ×µº http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ¼Ü½ Ý Þ Ðµ
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÒ × Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ µ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö ÐÖ ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð ÙÖÚ Ý ½ ¾ Ü ÝÐ Ö Ø Ý ¿ º Y 9 0 ÒØÖ ÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × ØÙ ¾³ ÔÙÒØÓ× Ë Ó× Ý Ð × Ö ¬ × Ö Ó ¾º Ö Ó ¿º Ë × ÓÓÖ Ò Ù ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ð Ð ¬ ÙÖ ¸ Ù ÓÒ Ù ÓÒ ¿Ü Ð ÔÐ ÒÓ ÓÒ Ó º ÓÒ×   Ý · ¾Þ   ½ ÕÙ Ð ÔÐ ÒÓ ¾ Ö Ö Ô ÖÔ Ò Ð ÙÐ ¸ × Ö Ñ ÜÑ º   ¼ ¼ ½    ½ ÒÚ Ö× Ñ Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò ½ ½   ½ ½ Ô Ö ÐÓ× ÕÙ Ð Ñ ØÖ Þ ¿ × ÔÓ× Ð ¸ Ð Ý Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ È ´½ ÙÐ Ö Ü Ý·Þ ¾Ü · Ý Þ ¼½ Ö Ð Ñ ØÖ Þ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÙÒØÓ× Ð ÕÙ Ø Ò ¼¸ × Ô Ö Ð ÐÓ ¾ ´ µ ½³ Ø ÖÑ Ò ÄҴܵ Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ Üº × ÓÞ Ð Ö ÒØÓ Ð Ñ Ø Ð × ÙÒ ÓÒ × Ý ½ Ý ÄҴܵº Ð ÙÐ ×Ù Ö º Ð ÔÐ ÒÓ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð ´ µ ½³ Ó× ÓÑÓ Ð X Ð Ñ ØÖ Þ Ø Ò ¾ ÒÚ Ö× º Ô Ö ¼º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ó ÔÓÖ ÐÓ×  ¾ ¾µº Ð Ö Ø
MODELO 3 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö ÓÒ× Ó ½º Ü ´Üµ Ö ÑÓ× ´Øµ ¼ غ ÔÙÒØÓ× Ë Ù × Ð ÙÒ ÓÒ ÙÝ Ö ¬ Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × ¬ÖÑ ÓÒ ×¸ Ö ÞÓÒ Ò Ó Ð Ö ×ÔÙ ×Ø Ò Ð ´ µ ½³ µ ¼ ¼º × Ö ÓÒ× Ó ¾º ´ µ ½³ º Ñ ÔÙÒØÓ× Óº ÓÒ× ÔÙÒØÓ× ØÔ Ð× × Ð ÙÐ Ð ÙÐ Ö ¬ Ö ¬ Ö ×Ô ØÓ ¼ Ð Ù Ð X ¾   Ö Ð ÔÐ ÒÓ Ô ÖÔ Ò Ø ¼ Ø ¾ ½ ¿ ¼ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ ´ ½ ¼ Ô Ö Ü ½º º Ö Ð Ñ ØÖ Þ ´½ ¼ ¾µ Ý Ð Ö Ü¾   ¾Ü · ¾ Ü ½ ÔÓÖ ´Üµ Ð Ð α Ôؽ· ½ º ¬Ò Ö ÐÓ× ÕÙ ÄÓ× ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ ÙÒ ÓÒ Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÙÐ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ º Ó 0 «µº ´½µ × Ò Ó ´Øµ Ö Ð ×ØÙ Ó ¿º ¾³ Ö Ò ´¼ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö ÒØ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ö ×Ó ¼º ´«µ µ × ×ÓÒ Ú Ö Y ´«µ µ Ù Ó¸ Ò ×Ù× × ÒØÓØ ×º ½ × ÔÓ× Ø ÚÓ Ý  ¾µ ×ÓÒ Ú ÖØ ÐÐ × ÓÔÙ ×ØÓ× Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ð ÒÞ Óº Óº ÙÐ Ö Ð × Ñ ÒØÓ ÜØÖ ÑÓ× Ý http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ×Ù ÔÙÒØÓ
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º Ó ÁÒ×ØÖÙ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ×ØÙ ÔÙÒØÓ× Ð ´Üµ ÖÚ Ð Ô¿ · ܾ   Ü ½ Ü Ð ÙÐ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ó ¾º ¾³ ÖÚ Ó ¿º Ð ÙÐ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö × Ü¾ ½ Ü ¿Ü¿ · ½ ¾ Ð × Ù ÒØ × ×Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ¸ × ×ÓÐÓ ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒº Ø ÖÑ Ò ¸ × Ñ ÒÓ× Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× Ö Ó º Ù ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ö ½ ÓÒ × Ð ÔÐ ÒÓ Ù ÓÒ Ñ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ü   Ý · ¾Þ Ð Ö Ø Ô ÖÔ Ò Ð ÔÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó ¿ Ñ ÑÔ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ø ÖÑ Ò ¸ × ÓÒ× ÔÓÖ Ü  Ü ¾ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ×ÓÐÙ ÓÒº ¬Ò ½ Ü × Ê ´¼ · µ Ü ¼ Ü · ¿Ý · Þ ¾Ü · ÑÝ · Þ ¿Ü · Ý · ÑÞ ´ µ ¼³ ½ ÙÒ ÓÒ º ¼ Ö · Ð Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÑÔ ÙÐ Ö ÒØ × ×Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ý Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÕÙ ¿ Ý Ð ÔÙÒØÓ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ñ ÒÓ Ø Ò     ´ ½ ¾µº ÕÙ Ô × ÔÓÖ º º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ð
MODELO 4 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × µ ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ý × Ö Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ÓÒ× Ö Ð Ê ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ÔÓÖ ¾Ü ܾ ·½ ´Üµ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ Ö Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ö Ñ ÒØÓ Ý ´ÔÙÒØÓ× ÓÒ × Ó Ø Ò Ò Ý Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÞ Òµº Ó ¾º ¾³ Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó È ´Üµ ÔÙÒØÓ× Ó ¿º ¾³ Ö Ó º ¾³ Ü·Ý È ´¾µ   Ö Ð ÙÐ Ð Ù ¼ ÓÒ Ð Ö Ø × Ö ¾ ¼ Ñ ÒØÓ¸ Ý ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× × ÙÒ Ó Ö × Ñ ØÖ ´ Ó× Ò Ó ÕÙ ½ ¿ È ´Üµ Ü ÓÒ ÓÒ ×Ù ØÖ ×ÔÙ ×Ø µ × ½ ¿ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Ü Ý ¾ Þ·½ Ý × Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ¿   Ü ¿Ü · Ý     ¿Ý · Þ   ½ Ò Ó    ½¾ ¾  ½  ¿ Ý ÔÙÒØÓ×  Þ· ½ Ý Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ø´ µ ÔÐ ÒÓ º ÔÙÒØÓ× È ´¼µ ÕÙ Ö ¬ ¼ ¼ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ÒØ Ö× ÓÒ Ð
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ó ½º Ë Ö Ð ÙÒ ÓÒ ¬Ò ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ´ µ ¼³ Ö ÐÑØ Ö ÔÙÒØÓ× Ó ¾º Ó ÔÓÖ Ð ¾³ Ó ¿º ¾³ ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö ¬ Ö Ê Ñ ÒØÓ Ý Ê Ð × ÓÓÖ Ò ´Üµ¸ ÐÓ× ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ Ó º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ Ð Ö ´½ ½ ¾µ Ö Ö ¬ Ñ ÒØÓ º º   ÕÙ Ú Ö ¬ ½ ¼ Ð Ý ½ ¼ ¼ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ú ÖØ   Ö ¾º ÙÒ ÓÒ ¬Ò ÔÓÖ ´Üµ Ü  Ü º × ÓÞ Ó× Ý Ð Ö Ø Ü ½º Ð ÙÐ ×Ù Ö º Ø ÖÑ Ò Ð Ñ ØÖ Þ ¼ ¼ÝÜ º ØÓ× Ó Ø Ò Ó׸ × ÓÞ Ð ÔÙÒØÓ× Ë ÙÖÚ Ý     Ü ¿ Ô Ö Ü Ü¾ ¾Ü ÔÓÖ ´Üµ ´½ ¼  ½µ Ý ´½ Ù ¼ ½ ½ ÓÒ ½ ½ ½ ½     ×  ¿ ¾µ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/   Ð Ö × Ò Ó ÒØÓ
MODELO 5 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ ÈÊÍ ÓÒ × ÍÌ ËÇ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Ê Æ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Å ÄÁÄÄ ½ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ µ Ì Ò × ÕÙ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º µ ÓÒØ ×Ø ÓÖÑ Ö ÞÓÒ Ý × Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ µ ÁÒ×ØÖÙ Ë ÙÖ ÓÒ ÇÔ ÓÒ Ö ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö Ü Ó ½º ¾³ Ó ¾º ¾³ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö Ð ÙÒ ÓÒ ½ Ý Ü  ¿º ´Üµ Ø ÖÑ Ò Ö Ý × Ó ¿º Ò Ó ÕÙ ÓÒ× Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ê ¿ Ü· Ü´ Ü· µ ¬Ò ¬Ò Ê ÔÓÖ ´Üµ ¾Ü¾ · ½¼Ü Ô Ö Ü¾ · ¾Ü   ¿ ÔÓÖ × Ü ¼ × Ü ¼ × ÖÚ Ð º ¼ Ñ  ½ ½ ½ ¾ ¿ ½  Ñ ¾  ¾ ¼Ü½ Ý Þ Ý È Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ × Ñ Ø Ò ÒÚ Ö× Ð Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ê ×Ù ÐÚ ¸ Ô Ö Ñ ¾¸ Ð × ×Ø Ñ Ù ÓÒ × ¼¾½ ½ ½ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ Ö Ó º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÒÓ ÓÖØ Ð ÔÐ ÒÓ ÔÙÒØÓ Ñ × Ö ÒÓ Ð ÓÖ Ò × ´½ ¾ ¿µº º Ù ÓÒ Ü   Ý · Þ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ý ÙÝÓ
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ ÈÊÍ ËÇ ÍÌ Ê Æ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Å ÄÁÄÄ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ ½ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ µ Ì Ò × ÕÙ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º µ ÓÒØ ×Ø ÓÖÑ Ö ÞÓÒ Ý × Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ µ ÁÒ×ØÖÙ Ë granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ × ÙÖ ÓÒ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º Ë Ê Ð ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ´Üµ Ý× ÔÓÖ Ü¿   ܾ · Ü · ¿ Ù ÓÒ ¾Ü · Ý º ½³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö ¬ Ò Ð ÕÙ Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ × Öº ½ ÔÙÒØÓ À Ý Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö¬ Ò Ð ÕÙ Ð Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ð Ö ¬ × Ö ÂÙ×Ø ¬ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ö ´ µ ´ µ Ö Ð Ö Ø Ó ¾º ÓÒ× Ö Ð ÙÖÚ Ù ÓÒ Ü¿ · ¾Ü ܾ   ¾Ü   ¿ Ý ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö ´ µ ½³ Ó ¿º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ Å Ø Ð Ñ ØÖ Þ ØÖ ×ÔÙ ×Ø ÙÒ Ñ ØÖ Þ Å º ÓÒ× Ö ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½  ¿  ½ ¿¡ Ý ¾  ¾    ½ ½   Ð ÙÐ ´ ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ø ÖÑ Ò ×Ù× × ÒØÓØ ×º ÓÖØ Ð ÙÖÚ Ð ÙÒ ×Ù× × ÒØÓØ × Ò Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ ÂÙ×Ø ¬ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ó º ¾³ µØ Ý ´ Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ë ½ ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ ¾ · ´ µØ Ò Ó ÕÙ Ð × Ö Ø × Ü·Ý Þ Ü Ý Ö × ÓÖØ Ò¸ Ø ÖÑ Ò µØ º Ý Ð ÔÙÒØÓ ½ ¾ Ý × Ü   ¾Ý   Þ ¾Ü · Þ ÓÖØ º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ º
MODELO 6 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ð × ÕÙ ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º Ö Ó ¾º ÓÒ× Ð Ö Ð ÒØÖ ØÓ ÙÖÚ × Ð × Ö Ø × ÕÙ Ô × Ò ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò ×¸ Ø ÖÑ Ò ½ ¾ Ü · Ü· º Ð ÙÐ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ò Ù ÓÒ Ý Ê ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ܾ ´Üµ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ü ÐÑ  ½ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ó Ø Ò Ò Ý Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÞ Òµº Ó ¿º ÓÒ× Ö Ð × ×Ø Ñ ´Üµ ÔÙÒØÓ× Ð × Ù Ö Ó ÔÙÒØÓ È ´½ º ¾³  ½ ¼µº ÔÙÒØÓ× À ÐÐ ÐÑ ½ Ü ·   Ý ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ Ð × ´ÔÙÒØÓ× ÓÒ × ½ Ñ·¾ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñº ÓÑÔ Ø Ð Ð ÔÙÒØÓ ´Üµ ÓÒ × ÐÓ × ÙÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ê ×Ù ÐÚ ÐÓ Ù Ò Ó × ¾ Ý Ü ÑÝ · Þ Ü·Ý·Þ Ü · Ý · ÑÞ ´ µ ½³ Ü ÑÓÒÓØÓÒ ´ µ ½³ Ö ÔÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ø Ö Óº Ü · ¿Ý · Þ Ý·Þ ½  ½ ÕÙ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ×Ø Ñ × Ö ÒÓ Ð
Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × µ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ×ØÙ ÔÙÒØÓ× Ð ÖÚ Ð Ð × Ò´Üµ Ü Ö Ó ¾º ¾³ Ö Ó ¿º ¾³ × Ü × Ü × ÓÞ Ð Ö ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð Ö ¬ Ö ¬ Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ð ÔÙÒØÓ × × Ü ÓÖ Ò ×º Ð ÙÐ ×Ù Ö º ÔÙÒØÓ× Ë Ò × ÖÖÓÐÐ ÖÐÓ¸ ¼ Ð ÙÐ Ö Ð × ÔÖÓÔ Ó º ÓÒ× × ÕÙ Ý × Ù× ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò      ½ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð Ù ÓÒ × ½ Ð     ¾µ   ¾¸ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ´Ü ¿¸ Ð × Ñ ÔÓ× Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ × Ù ÒØ × Ü· Þ Ý Þ Ý ÔÓÖ Óº Ö Ð Ö Ø Ö Ý Ð ÔÐ ÒÓ Ö Ð Ú ÐÓÖ ½· Ü ¾· Ý ¿· Þ Ü Ý Þ ¾ ¿ Ý ÒÙÒ ¬Ò ¼ ÔÙÒØÓ× Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ Ð Ý Ð× Ñ Ò Ø ÚÓ Ê ¼ ½ ´Üµ Ê ÙÒ ÓÒ ¼ ¼ Ò Ó ÕÙ Ö ×Ø ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ¾Ü ÓÒØ Ò ÓÒØ Ò ÖÝ×  Ý Ò º Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ º ¾ × × ×
MODELO 1 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula Ln(1 + x) − sen x , x · sen x siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x. lim x→0 Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = ex/3 . o (a) [1 punto] ¿En qu´ punto de la gr´fica de f la recta tangente a ´sta pasa por el origen de coordenadas? e a e Halla la ecuaci´n de dicha recta tangente. o (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto acotado que est´ limitado por la gr´fica de f , la recta a a a tangente obtenida y el eje de ordenadas. Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 0 A =  1 m 0 , 1 1 1   0 1 1 B= 1 0 0  0 0 0   1 0 0 y C =  0 1 0 . 1 0 1 (a) [1’25 puntos] ¿Para qu´ valores de m tiene soluci´n la ecuaci´n matricial A·X + 2B = 3C ? e o o (b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial dada para m = 1. o Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0, −1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son v´rtices consecutivos de un e paralelogramo ABCD. (a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D. (b) [1’5 puntos] Halla el ´rea del paralelogramo. a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1)Ln(x), donde o Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (1, −3/2). a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funci´n f : R −→ R definida por o  x  si x = −1 y x = 1, 1 − |x| f (x) =  0 si x = −1 o x = 1.     −2 −2 1 x 1 −2  y X =  y . Ejercicio 3. Considera las matrices A =  −2 1 −2 −2 z (a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A·X = 3X e interpreta geom´tricamente el conjunto de todas e sus soluciones. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son v´rtices consecutivos de un rect´ngulo e a ABCD. Adem´s, se sabe que los v´rtices C y D est´n contenidos en una recta que pasa por el origen de a e a coordenadas. Halla C y D. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 2 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gr´fica de una funci´n f que est´ a o a definida en el intervalo (−3, 3) y que es sim´trica respecto al origen de coordenadas. e (a) [0’75 puntos] Razona cu´l debe ser el valor a de f (0). ¢ ¡ (b) [0’75 puntos] Completa la gr´fica de f . a       ¡ ¢ - ¡ - ¢ (c) [1 punto] Halla f (x) para los x ∈ (−3, 3) en los que dicha derivada exista.   ¡ ¢ - Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax2 + bx + c o tiene m´ximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gr´fica pasa por el punto (1, 4) y que a a 3 32 f (x) dx = . Halla a, b y c. 2 −1 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente ecuaciones 2x + y + z = x + 2y + z = x + 2y + 4z = los valores de m para los que el sistema de  mx  my  mz tiene m´s de una soluci´n. a o Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 1, −1), es paralela al o plano 3x − y + z = 4 y corta a la recta intersecci´n de los planos x + z = 4 y x − 2y + z = 1. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d es o tal que f (0) = 4 y que su gr´fica tiene un punto de inflexi´n en (1, 2). Conociendo adem´s que la recta a o a tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d. a Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la gr´fica a de la par´bola de ecuaci´n y = x2 /4. Halla el valor de m para el que las ´reas de las superficies rayadas a o a son iguales.   ¡   ¢ Ejercicio 3. a (a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cu´nto vale el determinante de la matriz 4A?   1 2 0 1 , ¿para qu´ valores de λ la matriz 3B + B 2 no e (b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =  λ 0 0 1 −2 tiene inversa? Ejercicio 4. Considera la recta r ≡ x+y−z = 1 y el plano π ≡ x − 2y + z = 0. y = 2 (a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r. (b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela al plano z = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 3 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c o tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f (1) = 1. Calcula a, b y c. Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 − 2x + 2. o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , la recta tangente obtenida y a a el eje OY. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices   −1 1 0 0  A =  3 −2 1 5 −1  y  −5 0 3 1 , B =  1 −1 −2 4 −3 halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At )t . Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡ x+y+z+2 = 0 2x − 2y + z + 1 = 0. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a la recta r. o (b) [1’5 puntos] Determina el punto de r m´s pr´ximo a P . a o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de su o dominio, siendo x−1 si 0 < x ≤ 2, f (x) = −x + 3 si 2 < x < 3, y que f (1) = 0. Halla la expresi´n anal´ o ıtica de f . Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n continua definida por o f (x) = |2 − x| x2 si x < a, − 5x + 7 si x ≥ a, donde a es un n´mero real. u (a) [0’5 puntos] Determina a. (b) [2 puntos] Halla la funci´n derivada de f . o   1 1 1 Ejercicio 3. Dada la matriz A =  m2 1 1 , se pide: m 0 1 (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,   x=t  x=α  y=t y=α (t ∈ R) (α, β ∈ R).   z=0 z=β (a) [1’25 puntos] Estudia la posici´n relativa de la recta r y el plano π. o (b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera que el tri´ngulo formado por los puntos A, B y C sea rect´ngulo en B. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 4 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2 ) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R la funci´n definida por f (x) = Ln(1 − x2 ). Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). o a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c o tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gr´fica tiene un punto de inflexi´n en el a o 1 punto de abscisa x = −1. Conociendo adem´s que a f (x) dx = 6, halla a, b y c. 0 → → → Ejercicio 3. Considera los vectores − = (1, 1, 1), − = (2, 2, a) y − = (2, 0, 0). u v w → → → (a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores − , − y − son linealmente indepenu v w dientes. → → − → (b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores − + − y → − − son ortogonales. u v u w Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas r≡x=y=z y   x = 1+µ y = 3+µ s≡  z = −µ se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que est´n a m´ a ınima distancia. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Dadas la par´bola de ecuaci´n y = 1 + x2 y la recta de ecuaci´n y = 1 + x, se pide: a o o ´ (a) [1’5 puntos] Area de la regi´n limitada por la recta y la par´bola. o a (b) [1 punto] Ecuaci´n de la recta paralela a la dada que es tangente a la par´bola. o a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = (x + 3) e−x . o (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexi´n de su gr´fica. o a (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 3. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0’5 puntos] El determinante de A3 . (b) [0’5 puntos] El determinante de A−1 . (c) [0’5 puntos] El determinante de 2A. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 − C3 , 2C3 y C2 . y+1 z x−1 = = que equidista de Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ 2 1 3 los planos   x = −3 + λ y = −λ + µ π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡  z = −6 − µ. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 5 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea la funci´n f : R −→ R definida por o f (x) = x2 + 3 si x ≤ 1, x2 si x > 1. 2− (a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci´n f . o Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el ´rea del recinto limitado por a 2 y la recta y = λx es 1. la par´bola y = x a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:  x + my − z = −2 + 2my  mx − y + 4z = 5 + 2z  6x − 10y − z = −1. (a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema seg´n los valores de m. u (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n del plano Π. o (b) [1 punto] Calcula el ´rea del tri´ngulo ABC. a a (c) [0’75 puntos] Obt´n un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o √ 3 x. (a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1. a (b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´fica de f y la recta tangente obtenida. a (c) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior. a Ejercicio 2. Considera la funci´n f definida para x = −2 por f (x) = o 2x2 + 2 . x+2 (a) [1’25 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’25 puntos] Estudia la posici´n relativa de la gr´fica de f respecto de sus as´ o a ıntotas. Ejercicio 3. Considera la matriz   2x 0 0 M (x) =  0 1 x  , 0 0 1 donde x es un n´mero real. u (a) [1’5 puntos] ¿Para qu´ valores de x existe (M (x))−1 ? Para los valores de x obtenidos, calcula la e matriz (M (x))−1 . (b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuaci´n M (3)·M (x) = M (5). o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular com´n a las u     x=1+α y=α y s≡ r≡   z = −α rectas x=β y = 2 + 2β z = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 6 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula el o ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente a a al m´ximo relativo de la funci´n. a o Ejercicio 2. Dada la funci´n f definida para x = −1 por f (x) = o x3 , determina: (1 + x)2 (a) [1’5 puntos] Las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha gr´fica con sus as´ a ıntotas. Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 −1 3 , A= 0 m 4 1 −m   1 B =  −1  3  y  x X =  y . z (a) [0’75 puntos] ¿Para qu´ valores de m existe la matriz A−1 ? e (b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B. (c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1. Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x − 2y + 1 = 0 y la recta r ≡ x − 3y + z = 0 x − y + az + 2 = 0. (a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta est´ contenida en el plano. a (b) [1’25 puntos] Calcula el ´ngulo formado por el plano π y la recta s ≡ a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ x − 3y + z = 0 x − y + z + 2 = 0.
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rect´ngulos que tienen uno de sus v´rtices en el origen de a e 2x2 (x > 1), uno de sus lados situado sobre coordenadas, el opuesto de este v´rtice en la curva y = 2 e x −1 el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene ´rea a m´ ınima. Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por f (x) = 6 − x2 y g(x) = |x|. (a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que est´ limitado por las gr´ficas de f y g. a a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior. a Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematogr´fica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios a de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un d´ la recaudaci´n conjunta de las ıa o tres salas fue de 720 euros y el n´mero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A u hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudaci´n de 20 o euros m´s. Calcula el n´mero de espectadores que acudi´ a cada una de las salas. a u o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuaci´n de una circunferencia que pase por el punto (−1, −8) y sea o tangente a los ejes coordenados. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 1 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o 2 Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 e−x . o (a) [0’75 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x |x|. o (a) [0’75 puntos] Dibuja la regi´n acotada del plano que est´ limitada por la gr´fica de f y la bisectriz o a a del primer y tercer cuadrante. (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n descrita en el apartado anterior. a o Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones  x + αy = 1  x + αz = 1  y+z = α tiene una unica soluci´n. ´ o (a) [1’25 puntos] Prueba que α = 0. (b) [1’25 puntos] Halla la soluci´n del sistema. o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo de v´rtices A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C la a a e proyecci´n ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Halla una funci´n f : R −→ R tal que su gr´fica pase por el punto M (0, 1), o a que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x − y + 3 = 0 y que f (x) = 3x2 . Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ex + 4e−x . o (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y las rectas a a x = 0 y x = 2. Ejercicio 3. Sabiendo que x y z t u v a b c = −6, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [0’75 puntos] −3x −y −z 3t u v . 3a b c (b) [0’75 puntos] −2y x z −2u t v . −2b a c (c) [1 punto] x t 2x − a y u 2y − b z v . 2z − c x − 2y + z = 0 y el plano 2x − z = −4 π ≡ x − 2y − z = 2. Halla la ecuaci´n de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1, −1), la recta r ≡ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 2 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3 . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm 2 y para la base se emplea un material un 50 % m´s caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea m´ a ınimo. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el ´rea de la superficie soma breada. y = Ln x PSfrag replacements 1 3 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 1  −x + y + 2z = −1  ax + by + z = 4 tiene al menos dos soluciones distintas. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Se sabe que el tri´ngulo ABC es rect´ngulo en el v´rtice C, que pertenece a a a e la recta intersecci´n de los planos y + z = 1 e y − 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos v´rtices son A(2, 0, 1) o e y B(0, −3, 0). Halla C y el ´rea del tri´ngulo ABC. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
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MODELO 3 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula 0 −2 x2 1 dx. + 2x − 3 Ejercicio 2. Se sabe que la funci´n f : (−1, 1) −→ R definida por o   2x2 − 1 x + c  si −1 < x < 0, 2 f (x) =  √  1−x si 0 ≤ x < 1. es derivable en el intervalo (−1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. (b) [0’5 puntos] Calcula la funci´n derivada f . o (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´fica de f que son paralelas a la recta a de ecuaci´n y = −x. o Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + λy = λ  λx + y + (λ − 1)z = 1 .  λx + y = 2 + λ (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera las rectas r≡ x=y z=2 y s≡ x+y =1 z = 3. Halla la ecuaci´n de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] −→ R la funci´n definida por f (x) = ex (cos x + sen x). o (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1) e2x . Calcula la o primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (1, e2 ). a Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3 e las del tipo B y a 4 e las del tipo C, entonces obtiene un total de 20 e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3 e las del B y a 6 e las del C, entonces obtiene un total de 25 e . (a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el n´mero de botellas de cada tipo u que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el n´mero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? u (Ten en cuenta que el n´mero de botellas debe ser entero y positivo). u Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0, −1) y B(2, −1, 3). (a) [1’5 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B. (b) [1 punto] Calcula el ´rea del paralelogramo de v´rtices consecutivos ABCD sabiendo que la recta a e determinada por los v´rtices C y D pasa por el origen de coordenadas. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 4 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o 9 Ejercicio 1. Considera la integral definida I = 1 1 √ dx. 1+ x (a) [1’5 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 + √ x = t. (b) [1 punto] Calcula I. Ejercicio 2. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la par´bola y = x 2 que es paralela a la recta o a −4x + y + 3 = 0. (b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la par´bola y = x 2 que pasan por el a punto (2, 0). Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M . (a) [1 punto] Sabiendo que A = a b c d y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes: det (−3At ) y 2b 2a . −3d −3c (b) [0’75 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I. Calcula det(B). (c) [0’75 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C −1 = C t . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la distancia entre las rectas   x=0 z−2 r≡ y s≡  y−1= −3 x−1=1−z y = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o 1 2 Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = − x2 + x + 1. o 3 3 (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en un punto de la misma de o a ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n del plano limitada por la gr´fica de f , la recta tangente a o a obtenida y el eje de ordenadas. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  mx + 2y + z = 2  x + my = m .  2x + mz = 0 (a) [0’5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es soluci´n del sistema. o (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. (c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera los puntos P (6, −1, −10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de intersecci´n del plano π ≡ 2x + λy + z − 2 = 0 y la recta o r≡ x+y+z−1=0 y = 1. Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R est´n alineados. a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 5 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = 2 − x |x|. o (a) [0’75 puntos] Esboza la gr´fica de f . a (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. (c) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2. o a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera las funciones f : (0, +∞) −→ R y g : R −→ R definidas, respectivamente, por f (x) = Ln x y g(x) = 1 − 2x , siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el ´rea del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 a y las gr´ficas de f y g. a Ejercicio 3. [2’5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 0  2x − 13y + 2z = 0 .  (a + 2)x − 12y + 12z = 0 Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la soluci´n trivial y resu´lvelo para dicho o e valor de a. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
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MODELO 6 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. De la funci´n f : (−1, +∞) −→ R se sabe que f (x) = o 3 y que f (2) = 0. (x + 1)2 (a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2). o (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´fica de f en el punto de a abscisa x = 1. (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . ¿Tiene puntos de inflexi´n o la gr´fica de f ? a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones mx − y = 1 x − my = 2m − 1 . (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores de m. u (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una soluci´n en la que x = 3. o Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3). (a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos est´n en el mismo plano. Halla la ecuaci´n de dicho plano. a o (b) [0’75 puntos] Demuestra que el pol´ ıgono de v´rtices consecutivos ABCD es un rect´ngulo. e a (c) [0’75 puntos] Calcula el ´rea de dicho rect´ngulo. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
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MODELO 1 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe o que tiene un m´ximo en x = −1, y que su gr´fica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tiene a a un punto de inflexi´n en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, adem´s, que la recta o a tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9. a Ejercicio 2. Se sabe que las dos gr´ficas del dibujo corresponden a la funci´n f : R −→ R definida por a o f (x) = x2 ex y a su funci´n derivada f . o (a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cu´l es la gr´fica de f y cu´l la de f . a a a PSfrag replacements a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n sombreada. o 1 2 −1 −3 −4 1 2 3 2 −2 1 Ejercicio 3. Sean las matrices A = 2 1 3 −2 , B= 0 1 0 3 −1 2 y C= 1 2 0 −1 1 4 . (a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calc´lala. u (b) [1’5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A·X + C ·B t = B ·B t , siendo B t la matriz transpuesta de B. Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡ x + 2y = 6 z = 2. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a P y a r. o (b) [1’5 puntos] Calcula el punto sim´trico de P respecto de la recta r. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
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MODELO 2 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f la funci´n definida para x = 1 por f (x) = o ex . x−1 (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . (d) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula la integral 3x3 + x2 − 10x + 1 dx. x2 − x − 2 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 5  mx + 2z = 0 .  my − z = m (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una unica soluci´n. Calcula ´ o dicha soluci´n para m = 1. o (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. (c) [0’5 puntos] ¿Hay alg´n valor de m para el que el sistema no tiene soluci´n? u o Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0, −3) y la recta r ≡ 2x − y − 1 = 0 x + z = 0. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a P y es perpendicular a r. o (b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim´trico de P respecto de r. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina los puntos de la par´bola de ecuaci´n y = 5 − x 2 que est´n a o a m´s pr´ximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de a o coordenadas. Ejercicio 2. Se sabe que la funci´n f : [0, +∞) −→ R definida por o  √  ax si 0 ≤ x ≤ 8,  2 f (x) =  x − 32  si x > 8. x−4 es continua en [0, +∞). (a) [0’5 puntos] Halla el valor de a. 10 f (x) dx. (b) [2 puntos] Calcula 0 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla la matriz X que cumple que A· X · A − B = siendo A = 3 1 −2 −1 y B= 5 −2 1 3 0 0 0 0 , . Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) est´n en un mismo plano. a (a) [1’5 puntos] Halla m y calcula la ecuaci´n de dicho plano. o (b) [1 punto] ¿Est´n los puntos B, C y D alineados? a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 3 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que x − α sen x x2 es finito. Determina el valor de α y calcula el l´ ımite. lim x→0 Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por o   2x + 4 f (x) =  (x − 2)2 si x ≤ 0, si x > 0. (a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gr´fica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gr´fica. a a (b) [1’5 puntos] Halla el ´rea de la regi´n acotada que est´ limitada por la gr´fica de f y por el eje de a o a a abscisas. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  (b + 1)x + y + z = 2  x + (b + 1)y + z = 2 .  x + y + (b + 1)z = −4 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro b. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. Se sabe que las rectas x+y−z−3=0 x + 2y − 2 = 0 r≡ y s≡ ax + 6y + 6 = 0 x − 2z + 2 = 0 son paralelas. (a) [1’5 puntos] Calcula a. (b) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a las rectas r y s. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x = 0, por x2 − 1 , x siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o f (x) = g(x) = e1/x y h(x) = Ln |x|, (a) [1’75 puntos] Halla las ecuaciones de las as´ ıntotas de las gr´ficas de f , g y h. a (b) [0’75 puntos] Identifica, entre las que siguen, la gr´fica de cada funci´n, justificando la respuesta. a o Gr´fica 1 a Gr´fica 2 a Gr´fica 3 a Gr´fica 4 a 0 Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o −1  0 Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =  −1 1  0 −1 1 −1 . 0 b (a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A2 − 2A + I = O. (b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A·X − 2At = O, donde At denota la matriz transpuesta de A. Ejercicio 4. Considera las rectas r ≡ x+z−2=0 x−y−1=0 y s≡ x z =y−1= . 2 3 (a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano π que contiene a s y es paralelo a r. o (b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 4 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o 5x + 8 . +x+1 x2 (a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gr´fica de f con los ejes coordenados. a (b) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (d) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x2 − 5x + 4. o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n acotada que est´ limitada por el eje de ordenadas, por a o a la gr´fica de f y por la recta tangente obtenida. a Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = 2 1 1 2 . (a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA + bI = O. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas   x = 6+λ 2x − 3y + 1 = 0 y = 1 − 2λ r≡ y s≡ 3x − y − 2 = 0.  z = 5 − 7λ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea m´ ınima. Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales: (a) [0’5 puntos] cos (5x + 1) dx. 1 (b) [0’5 puntos] (x + 2)3 1 (c) [1’5 puntos] dx. xe−3x dx. 0 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  5x + 2y − z = 0  x + y + (m + 4)z = my .  2x − 3y + z = 0 (a) [1 punto] Determina los valores del par´metro m para los que el sistema tiene una unica soluci´n. a ´ o (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una soluci´n en la que o z = 19. Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los v´rtices de un tri´ngulo. e a (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n del plano π que contiene al tri´ngulo. o a (b) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de o coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el ´rea del tri´ngulo ABC. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 5 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Se sabe que la gr´fica de la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x 3 + ax2 + bx + c es a o la que aparece en el dibujo. (a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n sombreada. a o y = f (x) PSfrag replacements −2 −1 1 2 1 x2 − 4x + 3 . x−2 (a) [1 punto] Estudia y determina las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Sea f la funci´n definida para x = 2 por f (x) = o (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el m´ximo y el m´ a ınimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o ´ ´ Ejercicio 3. [2’5 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Ejercicio 4. Considera el punto A(0, −3, 1), el plano π ≡ 2x−2y+3z = 0 y la recta r ≡ x+3 = y = (a) [1 punto] Determina la ecuaci´n del plano que pasa por A y contiene a r. o (b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ z−3 . 2
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. De la funci´n f : (0, +∞) −→ R definida por f (x) = o a su gr´fica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = −2. a ax2 + b se sabe que la recta tangente x (a) [1’5 puntos] Calcula a y b. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 sen(2x). Calcula la o primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + my + z = 0  x + y + mz = 2 .  mx + y + z = m (a) [1 punto] ¿Para qu´ valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? e (b) [1’5 puntos] ¿Para qu´ valores de m el sistema admite soluci´n en la que x = 1? e o Ejercicio 4. Se sabe que las rectas   x=1+t y = −1 − t r≡  z =b+t y s≡ x−y+z =3 6x + 2z = 2 est´n contenidas en un mismo plano. a (a) [1’25 puntos] Calcula b. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a las rectas r y s. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 6 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. De una funci´n f : R −→ R se sabe que f (0) = 2 y que f (x) = 2x. o (a) [1 punto] Determina f . (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de f , por el eje de abscisas y por a o a las rectas de ecuaciones x = −2 y x = 2. Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1)2 e−x . o (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavaci´n arqueol´gica se han encontrado sortijas, monedas y o o pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Adem´s, 4 a sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. Ejercicio 4. Considera un plano π ≡ x + y + mz = 3 y la recta r ≡ x = y − 1 = z−2 . 2 (a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos. (b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares. (c) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de m para que la recta r est´ contenida en el plano π? u e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. De una funci´n f : [0, 5] −→ R se sabe que f (3) = 6 y que su funci´n derivada est´ dada o o a por  5x − 2 si 0 < x < 1,  f (x) =  2 x − 6x + 8 si 1 ≤ x < 5. (a) [1 punto] Calcula la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o 8 1 √ dx. 1+x−1 3 √ (a) [1’25 puntos] Expr´sala aplicando el cambio de variables 1 + x − 1 = t. e Ejercicio 2. Considera la integral definida I = (b) [1’25 puntos] Calcula I. Ejercicio 3. Sabiendo que |A| = a b c d e f g h i = 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [1 punto] | − 3A| y |A−1 |. (b) [0’75 puntos] c b a f e d . 2i 2h 2g (c) [0’75 puntos] a b a−c d e d−f g h g−i . Ejercicio 4. Sean los planos π1 ≡ 2x + y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x + 2y + z + 2 = 0. (a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que est´ en el plano π 1 y que su a proyecci´n ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0, −3). o (b) [1 punto] Calcula el punto sim´trico de P respecto del plano π2 . e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 1 - 2005/2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funci´n logaritmo o o neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la funci´n f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci´n). o o (b) [1’5 puntos] Calcula la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de inflexi´n de o a o abscisa negativa. Ejercicio 2. Sea f la funci´n definida por o f (x) = ex − 1 si x ≥ 0 2 xe−x si x < 0 (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta a a x = −1. → → − Ejercicio 3. Sean − = (x, 2, 0), − = (x, −2, 1) y → = (2, −x, −4x) tres vectores de R3 . u v w (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.   x = a+t x−1 y+2 z y = 1 − 2 t y s la recta de ecuaci´n Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaci´n o o = =  2 1 3 z = 4−t (a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. (b) [1 punto] Calcula el punto de corte.
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula l´ ım x→ 1 1 1 − Ln x x − 1 siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o  a  − si x ≤ −1  x Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o   2 x + 1 si x > −1 (a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a (c) [1’25 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y las rectas a a x + 2 = 0 y x − 2 = 0. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx + y − z = 1  x + λy + z = λ  x + y + λz = λ2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resu´lvelo para λ = 2. e Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuaci´n x = y = z y un punto B de la o recta s de ecuaci´n x = o z+1 y = de forma que la distancia entre A y B sea m´ ınima. −1 2 http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
MODELO 2 - 2005/2006 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 − |x| o (a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci´n). o Ejercicio 2. Calcula (a) [1’5 puntos] (b) [1 punto] 5x2 − x − 160 dx. x2 − 25 (2x − 3) · tg (x2 − 3x) dx, siendo tg la funci´n tangente. o Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx − y − z = −1  x + λy + z = 4  x+y+z = λ+2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. x = 0 z−3 y−1 = 2 equidistan del plano π de ecuaci´n x + z = 1 y del plano π de ecuaci´n y − z = 3. o o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ que
Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las ´reas de ambos recintos sea m´ a ınima. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla la funci´n f : R −→ R sabiendo que f (x) = 12x − 6 y que la recta o tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuaci´n 4x − y − 7 = 0. a o Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve A B t X = −2 C, siendo B t la matriz traspuesta de B y A= 1 0 3 2 −1 0 , B= −1 3 0 0 2 −2 y C= 1 4 0 −1 . Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, −2) y B(−2, 3, 1). (a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo de v´rtices A, B y C, donde C es un punto de la recta a a e de ecuaci´n −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la elecci´n concreta del punto C? o o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
Enunciados Examenes Selectividad Matematicas II Andalucia 2002-2013
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  • 2. MODELO 1 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ ÄҴܵ Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ Ó ½º Ë Ö ÕÙ Ø ÖÑ Ò ´Üµº Ü ×Ø ÔÙÒØÓ× Í× ´ µ ½³ ÖÚ Ð Ñ Ó  ½ Ó ¾º Ë Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÔÓÖ Ö ¬ × ÙÒ ÓÒ ×Ø ÔÓÖ Ó ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ü ÓÖÑ ÄҴܵ Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ê ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÙÝ Ð ¬ ÙÖ º Ð ¬Ò Ü ´ÄҴܵµ¾ Ò Ó ÕÙ Ð Ø Ú Ö Ð ½ ´Üµ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ê ÜÝ× ¾Ê Ô Ö ÐÓ× º (2,2) Y 0 X (4,–1) (–1,–2) ÔÙÒØÓ× ×ØÙ Ð Ö ×Ù× ÜØÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ׺ Ñ ÒØÓ Ý Ð ×ØÙ ÝÐ ´ µ ½³ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ò Ð × ØÓÖ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÑÔÖ × × ¼³ º Ð ÙÐ ¹ Ð ÔÖ Ó Ð ¹ Ð ÔÖ Ó Ó ÔÓÖ ¹ Ð ÔÖ Ó ÔÓÖ º Ö Ó ´ µ ½³¾ ´ µ ½³¾ × Ð º ÓÒ Ú ÔÙÒØÓ× Ó ¿º ¾³ Ò ÓÑÔ Ø Ò Ö Ð ÓÒ × Ð ÔÙÒØÓ× × Ò× Ö ÓÒÚ Ü Ð × ÐÓ× ÔÖ Ù Ð Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÈÙ Ñ ÒØÓ Ý  ¿ ¾µ Ý Ú ÖØ Ò­ Ü ÓÒ Ð Ð ÒÞ Ö ¬ ØÙÒ × × Ò Ù ×Ó¸ ØÖ × ÑÔÖ × × ¸ Ý ¸ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ó ÔÓÖ ÑÔÖ × × Ò Ó ÕÙ Ú Ö ¬ Ò Ð × × Ù ÒØ × Ó× ÐÓ× ÔÖ Ý Ð ÔÖ ´½ ½ ¾µ Ý × Ó ´½ ½ × ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ÔÙÒØÓ× À ÐÐ ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ Ð × ÓÓÖ Ò ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓº Ó× ×Ø Ð Ó× ÔÓÖ Ý º º ¾ ÙÖÓ× Ñ × ¾» ´½ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÓÒ º Ì Ò ÔÙÒØÓ× ÙÖÓ× Ñ ÒÓ× ÕÙ Ð Ñ ×Ð Ñ ÑÔÖ × ÓÒ× Ð ÔÖ Ö Ó ÔÓÖ Ñ × ½»¿ Ð ÔÖ Ó Ó  ½µº ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÂÙ×Ø ¬ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÕÙ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 3. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ê Ö Ó ¾º ¾³ Ö Ø Ý Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ü¿ · ¿Ü¾ · Ü · Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ê ÔÓÖ ´Üµ ¬Ò ¿Ü · º Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × Ý × Ò Ó ÕÙ Ð Ö ¬ Ø Ò ÓÑÓ Ö Ø Ø Ò ÒØ Ò ×Ù ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÒ ÓÒ Ò­ Ü ÓÒ Ð     Ü¿ · ¾Ü¾ ¾Ü · ¿ Ü Ü¾ ½ Ö Ó ¿º ÓÒ× Ö Ð × Ñ ØÖ × ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ Ð Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ ´ µ ¼³ ÔÙÒØÓ× Ö Ó º ÓÒ× ½¾ ½¾ Ý Ø ÖÑ Ò Ü ´ µ ½³¾ ÔÓÖ Ð Ý ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ð × Ý º ¼ ¼ ½ Ü ½ ¼ Ý ¼ ¼ ½ º Ý Ø Ð ÕÙ º Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ø ÖÑ Ò ¼ º ´½ ½ ½µ ´ µ ½³¾ ½ Ù ÓÒ Ù º ÓÒ × ´¾ ¾ ¾µ ´½ ½ ¼µ Ý Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö Ø Ø ÖÑ Ò ´½ ¼ ¼µ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ý ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ý ÒÓ ÓÖØ Ó× Ð Ö Ø ÐÓ× × Ñ ÒØÓ×
  • 4. MODELO 2 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ´ µ ½³ × Ø ÖÑ Ò Ð ÔÙÒØÓ×  ½¾º Ð ÙÐ Ð ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ×Ù Ö ¬ º Ù Ê Ó ¾º Ë Ö Ê ´ µ ¼³ ÔÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ× ×ØÙ ÓÒ Ð × ÓÞ Ð ´ µ ¼³ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ó ¿º ¾³ ÖÚ ÐÖ ÓÒ× Ö Ð ÔÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó ¼ Ó º ¾³ « ½ ¾   ½ Ø ÖÑ Ò «¸ × Ø Ò ÔÙÒØÓ× ½ ¿  « ½ ½ ¾ ¿ Ð ÔÓÖ ´Üµ Ð ÒÜ ÒØÓ Ð Ñ Ø ¼ ¾Ü¿ ´Üµ Ö ¬ Ü Ü   ܾ Ý ÕÙ ×Ù Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ×   Ò­ Ü ÓÒ º º Ó ÔÓÖ Ð Ö ¬ Ý Ð × × ×º Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ×  ½ ¾µ Ö ×Ô ØÓ ´½ ¿ ¼µ Ý Ë Ò ¼ « ½ ½ ¼ ÙÒÓ ´¼ ¼ ½µ Ð Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ¼ ½ «     × ÔÓ× Ð ¸ Ô Ö ÕÙ ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ò Ò¬Ò Ø × ×ÓÐÙ ÓÒ × ´ Ò Ó ÕÙ º ´½ À ÐÐ ¬Ò Ö ¬ ×Ù Ê× Ð × Ö Ø × Ø Ò ÒØ × ÙÒ ÓÒ Ð Ö ÔÙÒØÓ× Ê ÙÒ ÓÒ  ½ ½ Ý º Ù ¼  ¾ ½ ¿ ¾ ¼ ¼  ½ ½ ¼   ÓÒ × ´ Ó× Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐÓ×µº http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ¼Ü½ Ý Þ Ðµ
  • 5. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÒ × Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ µ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö ÐÖ ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð ÙÖÚ Ý ½ ¾ Ü ÝÐ Ö Ø Ý ¿ º Y 9 0 ÒØÖ ÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × ØÙ ¾³ ÔÙÒØÓ× Ë Ó× Ý Ð × Ö ¬ × Ö Ó ¾º Ö Ó ¿º Ë × ÓÓÖ Ò Ù ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ð Ð ¬ ÙÖ ¸ Ù ÓÒ Ù ÓÒ ¿Ü Ð ÔÐ ÒÓ ÓÒ Ó º ÓÒ×   Ý · ¾Þ   ½ ÕÙ Ð ÔÐ ÒÓ ¾ Ö Ö Ô ÖÔ Ò Ð ÙÐ ¸ × Ö Ñ ÜÑ º   ¼ ¼ ½    ½ ÒÚ Ö× Ñ Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò ½ ½   ½ ½ Ô Ö ÐÓ× ÕÙ Ð Ñ ØÖ Þ ¿ × ÔÓ× Ð ¸ Ð Ý Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ È ´½ ÙÐ Ö Ü Ý·Þ ¾Ü · Ý Þ ¼½ Ö Ð Ñ ØÖ Þ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÙÒØÓ× Ð ÕÙ Ø Ò ¼¸ × Ô Ö Ð ÐÓ ¾ ´ µ ½³ Ø ÖÑ Ò ÄҴܵ Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ Üº × ÓÞ Ð Ö ÒØÓ Ð Ñ Ø Ð × ÙÒ ÓÒ × Ý ½ Ý ÄҴܵº Ð ÙÐ ×Ù Ö º Ð ÔÐ ÒÓ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð ´ µ ½³ Ó× ÓÑÓ Ð X Ð Ñ ØÖ Þ Ø Ò ¾ ÒÚ Ö× º Ô Ö ¼º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ó ÔÓÖ ÐÓ×  ¾ ¾µº Ð Ö Ø
  • 6. MODELO 3 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö ÓÒ× Ó ½º Ü ´Üµ Ö ÑÓ× ´Øµ ¼ غ ÔÙÒØÓ× Ë Ù × Ð ÙÒ ÓÒ ÙÝ Ö ¬ Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × ¬ÖÑ ÓÒ ×¸ Ö ÞÓÒ Ò Ó Ð Ö ×ÔÙ ×Ø Ò Ð ´ µ ½³ µ ¼ ¼º × Ö ÓÒ× Ó ¾º ´ µ ½³ º Ñ ÔÙÒØÓ× Óº ÓÒ× ÔÙÒØÓ× ØÔ Ð× × Ð ÙÐ Ð ÙÐ Ö ¬ Ö ¬ Ö ×Ô ØÓ ¼ Ð Ù Ð X ¾   Ö Ð ÔÐ ÒÓ Ô ÖÔ Ò Ø ¼ Ø ¾ ½ ¿ ¼ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ ´ ½ ¼ Ô Ö Ü ½º º Ö Ð Ñ ØÖ Þ ´½ ¼ ¾µ Ý Ð Ö Ü¾   ¾Ü · ¾ Ü ½ ÔÓÖ ´Üµ Ð Ð α Ôؽ· ½ º ¬Ò Ö ÐÓ× ÕÙ ÄÓ× ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ ÙÒ ÓÒ Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÙÐ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ º Ó 0 «µº ´½µ × Ò Ó ´Øµ Ö Ð ×ØÙ Ó ¿º ¾³ Ö Ò ´¼ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö ÒØ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ö ×Ó ¼º ´«µ µ × ×ÓÒ Ú Ö Y ´«µ µ Ù Ó¸ Ò ×Ù× × ÒØÓØ ×º ½ × ÔÓ× Ø ÚÓ Ý  ¾µ ×ÓÒ Ú ÖØ ÐÐ × ÓÔÙ ×ØÓ× Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ð ÒÞ Óº Óº ÙÐ Ö Ð × Ñ ÒØÓ ÜØÖ ÑÓ× Ý http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ×Ù ÔÙÒØÓ
  • 7. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ÓÒ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º Ó ÁÒ×ØÖÙ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ×ØÙ ÔÙÒØÓ× Ð ´Üµ ÖÚ Ð Ô¿ · ܾ   Ü ½ Ü Ð ÙÐ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ó ¾º ¾³ ÖÚ Ó ¿º Ð ÙÐ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö × Ü¾ ½ Ü ¿Ü¿ · ½ ¾ Ð × Ù ÒØ × ×Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ¸ × ×ÓÐÓ ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒº Ø ÖÑ Ò ¸ × Ñ ÒÓ× Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× Ö Ó º Ù ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× À ÐÐ Ö ½ ÓÒ × Ð ÔÐ ÒÓ Ù ÓÒ Ñ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ü   Ý · ¾Þ Ð Ö Ø Ô ÖÔ Ò Ð ÔÙÒØÓ × Ñ ØÖ Ó ¿ Ñ ÑÔ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ø ÖÑ Ò ¸ × ÓÒ× ÔÓÖ Ü  Ü ¾ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ×ÓÐÙ ÓÒº ¬Ò ½ Ü × Ê ´¼ · µ Ü ¼ Ü · ¿Ý · Þ ¾Ü · ÑÝ · Þ ¿Ü · Ý · ÑÞ ´ µ ¼³ ½ ÙÒ ÓÒ º ¼ Ö · Ð Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÑÔ ÙÐ Ö ÒØ × ×Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ý Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÕÙ ¿ Ý Ð ÔÙÒØÓ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ø Ñ ÒÓ Ø Ò     ´ ½ ¾µº ÕÙ Ô × ÔÓÖ º º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ð
  • 8. MODELO 4 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × µ ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ý × Ö Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ÓÒ× Ö Ð Ê ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ÔÓÖ ¾Ü ܾ ·½ ´Üµ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ Ö Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ö Ñ ÒØÓ Ý ´ÔÙÒØÓ× ÓÒ × Ó Ø Ò Ò Ý Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÞ Òµº Ó ¾º ¾³ Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó È ´Üµ ÔÙÒØÓ× Ó ¿º ¾³ Ö Ó º ¾³ Ü·Ý È ´¾µ   Ö Ð ÙÐ Ð Ù ¼ ÓÒ Ð Ö Ø × Ö ¾ ¼ Ñ ÒØÓ¸ Ý ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× × ÙÒ Ó Ö × Ñ ØÖ ´ Ó× Ò Ó ÕÙ ½ ¿ È ´Üµ Ü ÓÒ ÓÒ ×Ù ØÖ ×ÔÙ ×Ø µ × ½ ¿ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Ü Ý ¾ Þ·½ Ý × Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ¿   Ü ¿Ü · Ý     ¿Ý · Þ   ½ Ò Ó    ½¾ ¾  ½  ¿ Ý ÔÙÒØÓ×  Þ· ½ Ý Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ø´ µ ÔÐ ÒÓ º ÔÙÒØÓ× È ´¼µ ÕÙ Ö ¬ ¼ ¼ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ÒØ Ö× ÓÒ Ð
  • 9. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ó ½º Ë Ö Ð ÙÒ ÓÒ ¬Ò ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ð ÙÐ Ð × × ÒØÓØ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ´ µ ¼³ Ö ÐÑØ Ö ÔÙÒØÓ× Ó ¾º Ó ÔÓÖ Ð ¾³ Ó ¿º ¾³ ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö ¬ Ö Ê Ñ ÒØÓ Ý Ê Ð × ÓÓÖ Ò ´Üµ¸ ÐÓ× ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ Ó º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ Ð Ö ´½ ½ ¾µ Ö Ö ¬ Ñ ÒØÓ º º   ÕÙ Ú Ö ¬ ½ ¼ Ð Ý ½ ¼ ¼ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ú ÖØ   Ö ¾º ÙÒ ÓÒ ¬Ò ÔÓÖ ´Üµ Ü  Ü º × ÓÞ Ó× Ý Ð Ö Ø Ü ½º Ð ÙÐ ×Ù Ö º Ø ÖÑ Ò Ð Ñ ØÖ Þ ¼ ¼ÝÜ º ØÓ× Ó Ø Ò Ó׸ × ÓÞ Ð ÔÙÒØÓ× Ë ÙÖÚ Ý     Ü ¿ Ô Ö Ü Ü¾ ¾Ü ÔÓÖ ´Üµ ´½ ¼  ½µ Ý ´½ Ù ¼ ½ ½ ÓÒ ½ ½ ½ ½     ×  ¿ ¾µ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/   Ð Ö × Ò Ó ÒØÓ
  • 10. MODELO 5 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ ÈÊÍ ÓÒ × ÍÌ ËÇ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Ê Æ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Å ÄÁÄÄ ½ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ µ Ì Ò × ÕÙ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º µ ÓÒØ ×Ø ÓÖÑ Ö ÞÓÒ Ý × Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ µ ÁÒ×ØÖÙ Ë ÙÖ ÓÒ ÇÔ ÓÒ Ö ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö Ü Ó ½º ¾³ Ó ¾º ¾³ ÔÙÒØÓ× ÓÒ× Ö Ð ÙÒ ÓÒ ½ Ý Ü  ¿º ´Üµ Ø ÖÑ Ò Ö Ý × Ó ¿º Ò Ó ÕÙ ÓÒ× Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ê ¿ Ü· Ü´ Ü· µ ¬Ò ¬Ò Ê ÔÓÖ ´Üµ ¾Ü¾ · ½¼Ü Ô Ö Ü¾ · ¾Ü   ¿ ÔÓÖ × Ü ¼ × Ü ¼ × ÖÚ Ð º ¼ Ñ  ½ ½ ½ ¾ ¿ ½  Ñ ¾  ¾ ¼Ü½ Ý Þ Ý È Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ × Ñ Ø Ò ÒÚ Ö× Ð Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ê ×Ù ÐÚ ¸ Ô Ö Ñ ¾¸ Ð × ×Ø Ñ Ù ÓÒ × ¼¾½ ½ ½ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ ´ µ ½³ Ö Ó º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÒÓ ÓÖØ Ð ÔÐ ÒÓ ÔÙÒØÓ Ñ × Ö ÒÓ Ð ÓÖ Ò × ´½ ¾ ¿µº º Ù ÓÒ Ü   Ý · Þ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ Ý ÙÝÓ
  • 11. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ ÈÊÍ ËÇ ÍÌ Ê Æ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ Å ÄÁÄÄ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ ½ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ µ Ì Ò × ÕÙ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º µ ÓÒØ ×Ø ÓÖÑ Ö ÞÓÒ Ý × Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ µ ÁÒ×ØÖÙ Ë granada.clases.particulares@gmail.com ÓÒ × ÙÖ ÓÒ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º Ë Ê Ð ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ´Üµ Ý× ÔÓÖ Ü¿   ܾ · Ü · ¿ Ù ÓÒ ¾Ü · Ý º ½³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö ¬ Ò Ð ÕÙ Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ × Öº ½ ÔÙÒØÓ À Ý Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ö¬ Ò Ð ÕÙ Ð Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Ð Ö ¬ × Ö ÂÙ×Ø ¬ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ö ´ µ ´ µ Ö Ð Ö Ø Ó ¾º ÓÒ× Ö Ð ÙÖÚ Ù ÓÒ Ü¿ · ¾Ü ܾ   ¾Ü   ¿ Ý ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö ´ µ ½³ Ó ¿º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ Å Ø Ð Ñ ØÖ Þ ØÖ ×ÔÙ ×Ø ÙÒ Ñ ØÖ Þ Å º ÓÒ× Ö ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½  ¿  ½ ¿¡ Ý ¾  ¾    ½ ½   Ð ÙÐ ´ ÔÙÒØÓ× ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ö Ø ÖÑ Ò ×Ù× × ÒØÓØ ×º ÓÖØ Ð ÙÖÚ Ð ÙÒ ×Ù× × ÒØÓØ × Ò Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ ÂÙ×Ø ¬ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º Ó º ¾³ µØ Ý ´ Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÔÙÒØÓ× Ë ½ ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ ¾ · ´ µØ Ò Ó ÕÙ Ð × Ö Ø × Ü·Ý Þ Ü Ý Ö × ÓÖØ Ò¸ Ø ÖÑ Ò µØ º Ý Ð ÔÙÒØÓ ½ ¾ Ý × Ü   ¾Ý   Þ ¾Ü · Þ ÓÖØ º http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ º
  • 12. MODELO 6 - 2001/2002 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ ÓÒØ ×Ø µ Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ÓÒ ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ý × Ö Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ð Ö º Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ð × ÕÙ ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º Ö Ó ¾º ÓÒ× Ð Ö Ð ÒØÖ ØÓ ÙÖÚ × Ð × Ö Ø × ÕÙ Ô × Ò ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò ×¸ Ø ÖÑ Ò ½ ¾ Ü · Ü· º Ð ÙÐ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ò Ù ÓÒ Ý Ê ÙÒ ÓÒ Ê ¬Ò ܾ ´Üµ Ð ÙÐ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ü ÐÑ  ½ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ó Ø Ò Ò Ý Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÞ Òµº Ó ¿º ÓÒ× Ö Ð × ×Ø Ñ ´Üµ ÔÙÒØÓ× Ð × Ù Ö Ó ÔÙÒØÓ È ´½ º ¾³  ½ ¼µº ÔÙÒØÓ× À ÐÐ ÐÑ ½ Ü ·   Ý ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ Ð × ´ÔÙÒØÓ× ÓÒ × ½ Ñ·¾ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñº ÓÑÔ Ø Ð Ð ÔÙÒØÓ ´Üµ ÓÒ × ÐÓ × ÙÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ´ µ ½ ÔÙÒØÓ Ê ×Ù ÐÚ ÐÓ Ù Ò Ó × ¾ Ý Ü ÑÝ · Þ Ü·Ý·Þ Ü · Ý · ÑÞ ´ µ ½³ Ü ÑÓÒÓØÓÒ ´ µ ½³ Ö ÔÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ø Ö Óº Ü · ¿Ý · Þ Ý·Þ ½  ½ ÕÙ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ ×Ø Ñ × Ö ÒÓ Ð
  • 13. Clases Online de Matemáticas, Física y Química ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÈÊÍ µ µ Ì Ò × ÕÙ Ó ÁÒ×ØÖÙ µ Ä ÔÙÒØÙ ÓÒ × µ ÀÁÄÄ Ê ÌÇ Å Ì Å ÌÁ Ë ÁÁ Æ ÄÍ Á ËÇ ÓÒ ½ ÙÖ granada.clases.particulares@gmail.com Ä ÍÆÁÎ ÊËÁ ÓÖ Ý ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ Ð Ö ÒØÖ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ö Ó× Ð ÇÔ ÓÒ º ÓÒ ÓÒØ ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÖÑ Ö ÞÓÒ ×Ø Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ ×º ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð ØÖ Ý × Ö Ð Ö º µ ÈÙ × Ù× Ö Ð ÙÐ ÓÖ ´ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò Ö Ô ÒØ ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ Ù ÒØ × Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó× ÒØ Ñ ÒØ Ù×Ø ¬ Ó׺ Ö ¬ µ¸ Ô ÖÓ Ò ×Ø Ö ×Ù¬¹ ÇÔ ÓÒ Ö Ó ½º ¾³ ×ØÙ ÔÙÒØÓ× Ð ÖÚ Ð Ð × Ò´Üµ Ü Ö Ó ¾º ¾³ Ö Ó ¿º ¾³ × Ü × Ü × ÓÞ Ð Ö ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð Ö ¬ Ö ¬ Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ð ÔÙÒØÓ × × Ü ÓÖ Ò ×º Ð ÙÐ ×Ù Ö º ÔÙÒØÓ× Ë Ò × ÖÖÓÐÐ ÖÐÓ¸ ¼ Ð ÙÐ Ö Ð × ÔÖÓÔ Ó º ÓÒ× × ÕÙ Ý × Ù× ´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò      ½ ´ µ ½ ÔÙÒØÓ À ÐÐ Ð Ù ÓÒ × ½ Ð     ¾µ   ¾¸ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ´Ü ¿¸ Ð × Ñ ÔÓ× Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ × Ù ÒØ × Ü· Þ Ý Þ Ý ÔÓÖ Óº Ö Ð Ö Ø Ö Ý Ð ÔÐ ÒÓ Ö Ð Ú ÐÓÖ ½· Ü ¾· Ý ¿· Þ Ü Ý Þ ¾ ¿ Ý ÒÙÒ ¬Ò ¼ ÔÙÒØÓ× Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ Ð Ý Ð× Ñ Ò Ø ÚÓ Ê ¼ ½ ´Üµ Ê ÙÒ ÓÒ ¼ ¼ Ò Ó ÕÙ Ö ×Ø ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ¾Ü ÓÒØ Ò ÓÒØ Ò ÖÝ×  Ý Ò º Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ º ¾ × × ×
  • 14. MODELO 1 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula Ln(1 + x) − sen x , x · sen x siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x. lim x→0 Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = ex/3 . o (a) [1 punto] ¿En qu´ punto de la gr´fica de f la recta tangente a ´sta pasa por el origen de coordenadas? e a e Halla la ecuaci´n de dicha recta tangente. o (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto acotado que est´ limitado por la gr´fica de f , la recta a a a tangente obtenida y el eje de ordenadas. Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 0 A =  1 m 0 , 1 1 1   0 1 1 B= 1 0 0  0 0 0   1 0 0 y C =  0 1 0 . 1 0 1 (a) [1’25 puntos] ¿Para qu´ valores de m tiene soluci´n la ecuaci´n matricial A·X + 2B = 3C ? e o o (b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuaci´n matricial dada para m = 1. o Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0, −1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son v´rtices consecutivos de un e paralelogramo ABCD. (a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D. (b) [1’5 puntos] Halla el ´rea del paralelogramo. a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 15. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1)Ln(x), donde o Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (1, −3/2). a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funci´n f : R −→ R definida por o  x  si x = −1 y x = 1, 1 − |x| f (x) =  0 si x = −1 o x = 1.     −2 −2 1 x 1 −2  y X =  y . Ejercicio 3. Considera las matrices A =  −2 1 −2 −2 z (a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A·X = 3X e interpreta geom´tricamente el conjunto de todas e sus soluciones. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son v´rtices consecutivos de un rect´ngulo e a ABCD. Adem´s, se sabe que los v´rtices C y D est´n contenidos en una recta que pasa por el origen de a e a coordenadas. Halla C y D. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 16. MODELO 2 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gr´fica de una funci´n f que est´ a o a definida en el intervalo (−3, 3) y que es sim´trica respecto al origen de coordenadas. e (a) [0’75 puntos] Razona cu´l debe ser el valor a de f (0). ¢ ¡ (b) [0’75 puntos] Completa la gr´fica de f . a       ¡ ¢ - ¡ - ¢ (c) [1 punto] Halla f (x) para los x ∈ (−3, 3) en los que dicha derivada exista.   ¡ ¢ - Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax2 + bx + c o tiene m´ximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gr´fica pasa por el punto (1, 4) y que a a 3 32 f (x) dx = . Halla a, b y c. 2 −1 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente ecuaciones 2x + y + z = x + 2y + z = x + 2y + 4z = los valores de m para los que el sistema de  mx  my  mz tiene m´s de una soluci´n. a o Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 1, −1), es paralela al o plano 3x − y + z = 4 y corta a la recta intersecci´n de los planos x + z = 4 y x − 2y + z = 1. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 17. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d es o tal que f (0) = 4 y que su gr´fica tiene un punto de inflexi´n en (1, 2). Conociendo adem´s que la recta a o a tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d. a Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la gr´fica a de la par´bola de ecuaci´n y = x2 /4. Halla el valor de m para el que las ´reas de las superficies rayadas a o a son iguales.   ¡   ¢ Ejercicio 3. a (a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cu´nto vale el determinante de la matriz 4A?   1 2 0 1 , ¿para qu´ valores de λ la matriz 3B + B 2 no e (b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =  λ 0 0 1 −2 tiene inversa? Ejercicio 4. Considera la recta r ≡ x+y−z = 1 y el plano π ≡ x − 2y + z = 0. y = 2 (a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r. (b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela al plano z = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 18. MODELO 3 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c o tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f (1) = 1. Calcula a, b y c. Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 − 2x + 2. o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , la recta tangente obtenida y a a el eje OY. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices   −1 1 0 0  A =  3 −2 1 5 −1  y  −5 0 3 1 , B =  1 −1 −2 4 −3 halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At )t . Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡ x+y+z+2 = 0 2x − 2y + z + 1 = 0. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a la recta r. o (b) [1’5 puntos] Determina el punto de r m´s pr´ximo a P . a o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 19. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de su o dominio, siendo x−1 si 0 < x ≤ 2, f (x) = −x + 3 si 2 < x < 3, y que f (1) = 0. Halla la expresi´n anal´ o ıtica de f . Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n continua definida por o f (x) = |2 − x| x2 si x < a, − 5x + 7 si x ≥ a, donde a es un n´mero real. u (a) [0’5 puntos] Determina a. (b) [2 puntos] Halla la funci´n derivada de f . o   1 1 1 Ejercicio 3. Dada la matriz A =  m2 1 1 , se pide: m 0 1 (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,   x=t  x=α  y=t y=α (t ∈ R) (α, β ∈ R).   z=0 z=β (a) [1’25 puntos] Estudia la posici´n relativa de la recta r y el plano π. o (b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera que el tri´ngulo formado por los puntos A, B y C sea rect´ngulo en B. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 20. MODELO 4 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2 ) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R la funci´n definida por f (x) = Ln(1 − x2 ). Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). o a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c o tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gr´fica tiene un punto de inflexi´n en el a o 1 punto de abscisa x = −1. Conociendo adem´s que a f (x) dx = 6, halla a, b y c. 0 → → → Ejercicio 3. Considera los vectores − = (1, 1, 1), − = (2, 2, a) y − = (2, 0, 0). u v w → → → (a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores − , − y − son linealmente indepenu v w dientes. → → − → (b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores − + − y → − − son ortogonales. u v u w Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas r≡x=y=z y   x = 1+µ y = 3+µ s≡  z = −µ se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que est´n a m´ a ınima distancia. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 21. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Dadas la par´bola de ecuaci´n y = 1 + x2 y la recta de ecuaci´n y = 1 + x, se pide: a o o ´ (a) [1’5 puntos] Area de la regi´n limitada por la recta y la par´bola. o a (b) [1 punto] Ecuaci´n de la recta paralela a la dada que es tangente a la par´bola. o a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = (x + 3) e−x . o (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexi´n de su gr´fica. o a (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 3. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0’5 puntos] El determinante de A3 . (b) [0’5 puntos] El determinante de A−1 . (c) [0’5 puntos] El determinante de 2A. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 − C3 , 2C3 y C2 . y+1 z x−1 = = que equidista de Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ 2 1 3 los planos   x = −3 + λ y = −λ + µ π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡  z = −6 − µ. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 22. MODELO 5 - 2002/2003 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea la funci´n f : R −→ R definida por o f (x) = x2 + 3 si x ≤ 1, x2 si x > 1. 2− (a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funci´n f . o Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el ´rea del recinto limitado por a 2 y la recta y = λx es 1. la par´bola y = x a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:  x + my − z = −2 + 2my  mx − y + 4z = 5 + 2z  6x − 10y − z = −1. (a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema seg´n los valores de m. u (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n del plano Π. o (b) [1 punto] Calcula el ´rea del tri´ngulo ABC. a a (c) [0’75 puntos] Obt´n un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 23. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o √ 3 x. (a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1. a (b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´fica de f y la recta tangente obtenida. a (c) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior. a Ejercicio 2. Considera la funci´n f definida para x = −2 por f (x) = o 2x2 + 2 . x+2 (a) [1’25 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’25 puntos] Estudia la posici´n relativa de la gr´fica de f respecto de sus as´ o a ıntotas. Ejercicio 3. Considera la matriz   2x 0 0 M (x) =  0 1 x  , 0 0 1 donde x es un n´mero real. u (a) [1’5 puntos] ¿Para qu´ valores de x existe (M (x))−1 ? Para los valores de x obtenidos, calcula la e matriz (M (x))−1 . (b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuaci´n M (3)·M (x) = M (5). o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular com´n a las u     x=1+α y=α y s≡ r≡   z = −α rectas x=β y = 2 + 2β z = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 24. MODELO 6 - 2002/2003 BACHILLERATO IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula el o ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente a a al m´ximo relativo de la funci´n. a o Ejercicio 2. Dada la funci´n f definida para x = −1 por f (x) = o x3 , determina: (1 + x)2 (a) [1’5 puntos] Las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha gr´fica con sus as´ a ıntotas. Ejercicio 3. Considera las matrices   1 0 −1 3 , A= 0 m 4 1 −m   1 B =  −1  3  y  x X =  y . z (a) [0’75 puntos] ¿Para qu´ valores de m existe la matriz A−1 ? e (b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B. (c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1. Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x − 2y + 1 = 0 y la recta r ≡ x − 3y + z = 0 x − y + az + 2 = 0. (a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta est´ contenida en el plano. a (b) [1’25 puntos] Calcula el ´ngulo formado por el plano π y la recta s ≡ a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ x − 3y + z = 0 x − y + z + 2 = 0.
  • 25. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD BACHILLERATO ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rect´ngulos que tienen uno de sus v´rtices en el origen de a e 2x2 (x > 1), uno de sus lados situado sobre coordenadas, el opuesto de este v´rtice en la curva y = 2 e x −1 el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene ´rea a m´ ınima. Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por f (x) = 6 − x2 y g(x) = |x|. (a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que est´ limitado por las gr´ficas de f y g. a a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior. a Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematogr´fica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios a de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un d´ la recaudaci´n conjunta de las ıa o tres salas fue de 720 euros y el n´mero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A u hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudaci´n de 20 o euros m´s. Calcula el n´mero de espectadores que acudi´ a cada una de las salas. a u o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuaci´n de una circunferencia que pase por el punto (−1, −8) y sea o tangente a los ejes coordenados. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 26. MODELO 1 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o 2 Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 e−x . o (a) [0’75 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x |x|. o (a) [0’75 puntos] Dibuja la regi´n acotada del plano que est´ limitada por la gr´fica de f y la bisectriz o a a del primer y tercer cuadrante. (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n descrita en el apartado anterior. a o Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones  x + αy = 1  x + αz = 1  y+z = α tiene una unica soluci´n. ´ o (a) [1’25 puntos] Prueba que α = 0. (b) [1’25 puntos] Halla la soluci´n del sistema. o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo de v´rtices A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C la a a e proyecci´n ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x + y + z = 1. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 27. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Halla una funci´n f : R −→ R tal que su gr´fica pase por el punto M (0, 1), o a que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x − y + 3 = 0 y que f (x) = 3x2 . Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ex + 4e−x . o (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y las rectas a a x = 0 y x = 2. Ejercicio 3. Sabiendo que x y z t u v a b c = −6, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [0’75 puntos] −3x −y −z 3t u v . 3a b c (b) [0’75 puntos] −2y x z −2u t v . −2b a c (c) [1 punto] x t 2x − a y u 2y − b z v . 2z − c x − 2y + z = 0 y el plano 2x − z = −4 π ≡ x − 2y − z = 2. Halla la ecuaci´n de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1, −1), la recta r ≡ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 28. MODELO 2 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3 . Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm 2 y para la base se emplea un material un 50 % m´s caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea m´ a ınimo. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el ´rea de la superficie soma breada. y = Ln x PSfrag replacements 1 3 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 1  −x + y + 2z = −1  ax + by + z = 4 tiene al menos dos soluciones distintas. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Se sabe que el tri´ngulo ABC es rect´ngulo en el v´rtice C, que pertenece a a a e la recta intersecci´n de los planos y + z = 1 e y − 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos v´rtices son A(2, 0, 1) o e y B(0, −3, 0). Halla C y el ´rea del tri´ngulo ABC. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 29. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. De una funci´n f : [0, 4] −→ R se sabe que f (1) = 3 y que la gr´fica de su funci´n derivada o a o es la que aparece en el dibujo. PSfrag replacements 1 1 2 3 4 (a) [0’5 puntos] Halla la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1. a (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . ¿En qu´ punto alcanza e la funci´n f su m´ximo absoluto? o a (c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto acotado que est´ limitado por la recta y = 2x y a a x2 por las curvas y = x2 e y = . 2 Ejercicio 3.  3 (a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A =  1 −1 (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema de  3  1 −1  −2 1 −4 −2  tiene rango 2, ¿cu´l es el valor de a? a a−1 a ecuaciones     −2 1 x 1 −4 −2   y  =  0  . −6 −5 z −1 Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular com´n a las rectas u    x=1  x=β y=1 y =β−1 r≡ y s≡   z=α z = −1. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 30. MODELO 3 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula 0 −2 x2 1 dx. + 2x − 3 Ejercicio 2. Se sabe que la funci´n f : (−1, 1) −→ R definida por o   2x2 − 1 x + c  si −1 < x < 0, 2 f (x) =  √  1−x si 0 ≤ x < 1. es derivable en el intervalo (−1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. (b) [0’5 puntos] Calcula la funci´n derivada f . o (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´fica de f que son paralelas a la recta a de ecuaci´n y = −x. o Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + λy = λ  λx + y + (λ − 1)z = 1 .  λx + y = 2 + λ (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera las rectas r≡ x=y z=2 y s≡ x+y =1 z = 3. Halla la ecuaci´n de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 31. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] −→ R la funci´n definida por f (x) = ex (cos x + sen x). o (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1) e2x . Calcula la o primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (1, e2 ). a Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3 e las del tipo B y a 4 e las del tipo C, entonces obtiene un total de 20 e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3 e las del B y a 6 e las del C, entonces obtiene un total de 25 e . (a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el n´mero de botellas de cada tipo u que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el n´mero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? u (Ten en cuenta que el n´mero de botellas debe ser entero y positivo). u Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0, −1) y B(2, −1, 3). (a) [1’5 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B. (b) [1 punto] Calcula el ´rea del paralelogramo de v´rtices consecutivos ABCD sabiendo que la recta a e determinada por los v´rtices C y D pasa por el origen de coordenadas. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 32. MODELO 4 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o 9 Ejercicio 1. Considera la integral definida I = 1 1 √ dx. 1+ x (a) [1’5 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 + √ x = t. (b) [1 punto] Calcula I. Ejercicio 2. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la par´bola y = x 2 que es paralela a la recta o a −4x + y + 3 = 0. (b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la par´bola y = x 2 que pasan por el a punto (2, 0). Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M . (a) [1 punto] Sabiendo que A = a b c d y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes: det (−3At ) y 2b 2a . −3d −3c (b) [0’75 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I. Calcula det(B). (c) [0’75 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C −1 = C t . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la distancia entre las rectas   x=0 z−2 r≡ y s≡  y−1= −3 x−1=1−z y = 0. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 33. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o 1 2 Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = − x2 + x + 1. o 3 3 (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en un punto de la misma de o a ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n del plano limitada por la gr´fica de f , la recta tangente a o a obtenida y el eje de ordenadas. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  mx + 2y + z = 2  x + my = m .  2x + mz = 0 (a) [0’5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es soluci´n del sistema. o (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. (c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera los puntos P (6, −1, −10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de intersecci´n del plano π ≡ 2x + λy + z − 2 = 0 y la recta o r≡ x+y+z−1=0 y = 1. Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R est´n alineados. a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 34. MODELO 5 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = 2 − x |x|. o (a) [0’75 puntos] Esboza la gr´fica de f . a (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. (c) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2. o a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera las funciones f : (0, +∞) −→ R y g : R −→ R definidas, respectivamente, por f (x) = Ln x y g(x) = 1 − 2x , siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el ´rea del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 a y las gr´ficas de f y g. a Ejercicio 3. [2’5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 0  2x − 13y + 2z = 0 .  (a + 2)x − 12y + 12z = 0 Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la soluci´n trivial y resu´lvelo para dicho o e valor de a. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 35. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que lim x→0 ex a 1 − − 1 2x es finito. Determina el valor de a y calcula el l´ ımite. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el ´rea del recinto limitado por la a 1 2 par´bola de ecuaci´n y = ( x − b) y los ejes coordenados es igual a 8. a o 3 Ejercicio 3. Se sabe que a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = −2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [0’75 puntos] 3 a11 3 a12 15 a13 a21 a22 5a23 a31 a32 5a33 (b) [0’75 puntos] 3 a21 3 a22 3 a23 a11 a12 a13 a31 a32 a33 (c) [1 punto] a11 a12 a13 a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33 a31 a32 a33 Ejercicio 4. Las rectas r≡ x+y−2=0 2x + 2y + z − 4 = 0 y s≡ x+y−6=0 x+y−z−6=0 contienen dos lados de un cuadrado. (a) [1’25 puntos] Calcula el ´rea del cuadrado. a (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano que contiene al cuadrado. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 36. MODELO 6 - 2003/2004 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. De la funci´n f : (−1, +∞) −→ R se sabe que f (x) = o 3 y que f (2) = 0. (x + 1)2 (a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2). o (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´fica de f en el punto de a abscisa x = 1. (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . ¿Tiene puntos de inflexi´n o la gr´fica de f ? a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones mx − y = 1 x − my = 2m − 1 . (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores de m. u (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una soluci´n en la que x = 3. o Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3). (a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos est´n en el mismo plano. Halla la ecuaci´n de dicho plano. a o (b) [0’75 puntos] Demuestra que el pol´ ıgono de v´rtices consecutivos ABCD es un rect´ngulo. e a (c) [0’75 puntos] Calcula el ´rea de dicho rect´ngulo. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 37. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Se sabe que la funci´n f : (−1, +∞) −→ R definida por o   x2 − 4x + 3 si −1 < x < 0,  f (x) = x2 + a   si x ≥ 0. x+1 es continua en (−1, +∞). (a) [1’25 puntos] Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0? (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el ´rea de la regi´n limitada por la a o 2 y la recta y = bx es igual a 9/2. curva y = x Ejercicio 3. Considera las matrices A= 1 0 1 0 1 2 ,   1 0 B= 0 1  0 0   1 0 y C =  0 2 . 1 0 (a) [1’25 puntos] Calcula A·B, A·C, At ·B t y C t ·At , siendo At , B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. (b) [1’25 puntos] Razona cu´les de las matrices A, B, C y A·B tienen matriz inversa y en los casos en a que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. − − − Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dados los vectores → = (2, 1, 0) y → = (−1, 0, 1), halla un vector unitario → u v w → y → y ortogonal a →. − − − que sea coplanario con u v v http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 38. MODELO 1 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe o que tiene un m´ximo en x = −1, y que su gr´fica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tiene a a un punto de inflexi´n en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, adem´s, que la recta o a tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9. a Ejercicio 2. Se sabe que las dos gr´ficas del dibujo corresponden a la funci´n f : R −→ R definida por a o f (x) = x2 ex y a su funci´n derivada f . o (a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cu´l es la gr´fica de f y cu´l la de f . a a a PSfrag replacements a (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n sombreada. o 1 2 −1 −3 −4 1 2 3 2 −2 1 Ejercicio 3. Sean las matrices A = 2 1 3 −2 , B= 0 1 0 3 −1 2 y C= 1 2 0 −1 1 4 . (a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calc´lala. u (b) [1’5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A·X + C ·B t = B ·B t , siendo B t la matriz transpuesta de B. Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡ x + 2y = 6 z = 2. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a P y a r. o (b) [1’5 puntos] Calcula el punto sim´trico de P respecto de la recta r. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 39. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o x2 + 1 . x (a) [1 punto] Estudia y determina las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a Ejercicio 1. Sea f la funci´n definida para x = 0 por f (x) = o (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = e−x/2 . o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 0. o a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n acotada que est´ limitada por la gr´fica de f , la recta de a o a a ecuaci´n x = 2 y la recta tangente obtenida en (a). o Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + y + z = −2  −λx + 3y + z = −7 .  x + 2y + (λ + 2)z = −5 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. Sean los vectores → = (0, 1, 0), − v → = (2, 1, −1) y → = (2, 3, −1). − − v2 v3 →, → y → linealmente dependientes? − − − (a) [0’75 puntos] ¿Son los vectores v1 v2 v3 1 (b) [0’75 puntos] ¿Para qu´ valores de a el vector (4, a + 3, −2) puede expresarse como combinaci´n e o − − − lineal de los vectores →, → y →? v1 v2 v3 − − (c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a → y →. v v 1 2 http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 40. MODELO 2 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f la funci´n definida para x = 1 por f (x) = o ex . x−1 (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . (d) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula la integral 3x3 + x2 − 10x + 1 dx. x2 − x − 2 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + 3y + z = 5  mx + 2z = 0 .  my − z = m (a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una unica soluci´n. Calcula ´ o dicha soluci´n para m = 1. o (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. (c) [0’5 puntos] ¿Hay alg´n valor de m para el que el sistema no tiene soluci´n? u o Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0, −3) y la recta r ≡ 2x − y − 1 = 0 x + z = 0. (a) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a P y es perpendicular a r. o (b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim´trico de P respecto de r. e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 41. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina los puntos de la par´bola de ecuaci´n y = 5 − x 2 que est´n a o a m´s pr´ximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de a o coordenadas. Ejercicio 2. Se sabe que la funci´n f : [0, +∞) −→ R definida por o  √  ax si 0 ≤ x ≤ 8,  2 f (x) =  x − 32  si x > 8. x−4 es continua en [0, +∞). (a) [0’5 puntos] Halla el valor de a. 10 f (x) dx. (b) [2 puntos] Calcula 0 Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla la matriz X que cumple que A· X · A − B = siendo A = 3 1 −2 −1 y B= 5 −2 1 3 0 0 0 0 , . Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) est´n en un mismo plano. a (a) [1’5 puntos] Halla m y calcula la ecuaci´n de dicho plano. o (b) [1 punto] ¿Est´n los puntos B, C y D alineados? a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 42. MODELO 3 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que x − α sen x x2 es finito. Determina el valor de α y calcula el l´ ımite. lim x→0 Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por o   2x + 4 f (x) =  (x − 2)2 si x ≤ 0, si x > 0. (a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gr´fica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gr´fica. a a (b) [1’5 puntos] Halla el ´rea de la regi´n acotada que est´ limitada por la gr´fica de f y por el eje de a o a a abscisas. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  (b + 1)x + y + z = 2  x + (b + 1)y + z = 2 .  x + y + (b + 1)z = −4 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro b. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. Ejercicio 4. Se sabe que las rectas x+y−z−3=0 x + 2y − 2 = 0 r≡ y s≡ ax + 6y + 6 = 0 x − 2z + 2 = 0 son paralelas. (a) [1’5 puntos] Calcula a. (b) [1 punto] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a las rectas r y s. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 43. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x = 0, por x2 − 1 , x siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o f (x) = g(x) = e1/x y h(x) = Ln |x|, (a) [1’75 puntos] Halla las ecuaciones de las as´ ıntotas de las gr´ficas de f , g y h. a (b) [0’75 puntos] Identifica, entre las que siguen, la gr´fica de cada funci´n, justificando la respuesta. a o Gr´fica 1 a Gr´fica 2 a Gr´fica 3 a Gr´fica 4 a 0 Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o −1  0 Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =  −1 1  0 −1 1 −1 . 0 b (a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A2 − 2A + I = O. (b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A·X − 2At = O, donde At denota la matriz transpuesta de A. Ejercicio 4. Considera las rectas r ≡ x+z−2=0 x−y−1=0 y s≡ x z =y−1= . 2 3 (a) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano π que contiene a s y es paralelo a r. o (b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π. http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 44. MODELO 4 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o 5x + 8 . +x+1 x2 (a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gr´fica de f con los ejes coordenados. a (b) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (d) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Considera la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x2 − 5x + 4. o (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n acotada que est´ limitada por el eje de ordenadas, por a o a la gr´fica de f y por la recta tangente obtenida. a Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = 2 1 1 2 . (a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA + bI = O. Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas   x = 6+λ 2x − 3y + 1 = 0 y = 1 − 2λ r≡ y s≡ 3x − y − 2 = 0.  z = 5 − 7λ http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 45. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea m´ ınima. Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales: (a) [0’5 puntos] cos (5x + 1) dx. 1 (b) [0’5 puntos] (x + 2)3 1 (c) [1’5 puntos] dx. xe−3x dx. 0 Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  5x + 2y − z = 0  x + y + (m + 4)z = my .  2x − 3y + z = 0 (a) [1 punto] Determina los valores del par´metro m para los que el sistema tiene una unica soluci´n. a ´ o (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una soluci´n en la que o z = 19. Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los v´rtices de un tri´ngulo. e a (a) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n del plano π que contiene al tri´ngulo. o a (b) [0’75 puntos] Halla la ecuaci´n de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de o coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el ´rea del tri´ngulo ABC. a a http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 46. MODELO 5 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Se sabe que la gr´fica de la funci´n f : R −→ R definida por f (x) = x 3 + ax2 + bx + c es a o la que aparece en el dibujo. (a) [1’25 puntos] Determina f . (b) [1’25 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n sombreada. a o y = f (x) PSfrag replacements −2 −1 1 2 1 x2 − 4x + 3 . x−2 (a) [1 punto] Estudia y determina las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a Ejercicio 2. Sea f la funci´n definida para x = 2 por f (x) = o (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el m´ximo y el m´ a ınimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o ´ ´ Ejercicio 3. [2’5 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Ejercicio 4. Considera el punto A(0, −3, 1), el plano π ≡ 2x−2y+3z = 0 y la recta r ≡ x+3 = y = (a) [1 punto] Determina la ecuaci´n del plano que pasa por A y contiene a r. o (b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´n de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ z−3 . 2
  • 47. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. De la funci´n f : (0, +∞) −→ R definida por f (x) = o a su gr´fica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = −2. a ax2 + b se sabe que la recta tangente x (a) [1’5 puntos] Calcula a y b. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 sen(2x). Calcula la o primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). a Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones  x + my + z = 0  x + y + mz = 2 .  mx + y + z = m (a) [1 punto] ¿Para qu´ valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? e (b) [1’5 puntos] ¿Para qu´ valores de m el sistema admite soluci´n en la que x = 1? e o Ejercicio 4. Se sabe que las rectas   x=1+t y = −1 − t r≡  z =b+t y s≡ x−y+z =3 6x + 2z = 2 est´n contenidas en un mismo plano. a (a) [1’25 puntos] Calcula b. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuaci´n del plano que contiene a las rectas r y s. o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 48. MODELO 6 - 2004/2005 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. De una funci´n f : R −→ R se sabe que f (0) = 2 y que f (x) = 2x. o (a) [1 punto] Determina f . (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de f , por el eje de abscisas y por a o a las rectas de ecuaciones x = −2 y x = 2. Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = (x − 1)2 e−x . o (a) [0’5 puntos] Halla las as´ ıntotas de la gr´fica de f . a (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o (c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavaci´n arqueol´gica se han encontrado sortijas, monedas y o o pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Adem´s, 4 a sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. Ejercicio 4. Considera un plano π ≡ x + y + mz = 3 y la recta r ≡ x = y − 1 = z−2 . 2 (a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos. (b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares. (c) [1 punto] ¿Existe alg´n valor de m para que la recta r est´ contenida en el plano π? u e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 49. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA PLANES DE 1994 y DE 2002 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´ MATEMATICAS II a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. De una funci´n f : [0, 5] −→ R se sabe que f (3) = 6 y que su funci´n derivada est´ dada o o a por  5x − 2 si 0 < x < 1,  f (x) =  2 x − 6x + 8 si 1 ≤ x < 5. (a) [1 punto] Calcula la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3. o a (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funci´n). o 8 1 √ dx. 1+x−1 3 √ (a) [1’25 puntos] Expr´sala aplicando el cambio de variables 1 + x − 1 = t. e Ejercicio 2. Considera la integral definida I = (b) [1’25 puntos] Calcula I. Ejercicio 3. Sabiendo que |A| = a b c d e f g h i = 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [1 punto] | − 3A| y |A−1 |. (b) [0’75 puntos] c b a f e d . 2i 2h 2g (c) [0’75 puntos] a b a−c d e d−f g h g−i . Ejercicio 4. Sean los planos π1 ≡ 2x + y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x + 2y + z + 2 = 0. (a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que est´ en el plano π 1 y que su a proyecci´n ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0, −3). o (b) [1 punto] Calcula el punto sim´trico de P respecto del plano π2 . e http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 50. MODELO 1 - 2005/2006 UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funci´n logaritmo o o neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la funci´n f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci´n). o o (b) [1’5 puntos] Calcula la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de inflexi´n de o a o abscisa negativa. Ejercicio 2. Sea f la funci´n definida por o f (x) = ex − 1 si x ≥ 0 2 xe−x si x < 0 (a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y la recta a a x = −1. → → − Ejercicio 3. Sean − = (x, 2, 0), − = (x, −2, 1) y → = (2, −x, −4x) tres vectores de R3 . u v w (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.   x = a+t x−1 y+2 z y = 1 − 2 t y s la recta de ecuaci´n Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuaci´n o o = =  2 1 3 z = 4−t (a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. (b) [1 punto] Calcula el punto de corte.
  • 51. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o Instrucciones: c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula l´ ım x→ 1 1 1 − Ln x x − 1 siendo Ln la funci´n logaritmo neperiano. o  a  − si x ≤ −1  x Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = o   2 x + 1 si x > −1 (a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f . a (c) [1’25 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , el eje de abscisas y las rectas a a x + 2 = 0 y x − 2 = 0. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx + y − z = 1  x + λy + z = λ  x + y + λz = λ2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resu´lvelo para λ = 2. e Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuaci´n x = y = z y un punto B de la o recta s de ecuaci´n x = o z+1 y = de forma que la distancia entre A y B sea m´ ınima. −1 2 http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
  • 52. MODELO 2 - 2005/2006 IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n A o Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funci´n definida por f (x) = x2 − |x| o (a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f . (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funci´n). o Ejercicio 2. Calcula (a) [1’5 puntos] (b) [1 punto] 5x2 − x − 160 dx. x2 − 25 (2x − 3) · tg (x2 − 3x) dx, siendo tg la funci´n tangente. o Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales  λx − y − z = −1  x + λy + z = 4  x+y+z = λ+2 (a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema seg´n los valores del par´metro λ. u a (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. x = 0 z−3 y−1 = 2 equidistan del plano π de ecuaci´n x + z = 1 y del plano π de ecuaci´n y − z = 3. o o Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/ que
  • 53. Clases Online de Matemáticas, Física y Química granada.clases.particulares@gmail.com IA UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ ´ MATEMATICAS II PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD a) Duraci´n: 1 hora y 30 minutos. o b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la ´ Opci´n A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opci´n B. o ´ o c) La puntuaci´n de cada pregunta est´ indicada en las mismas. o a Instrucciones: d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero a todos los procesos conducentes a la obtenci´n de resultados deben estar sufio cientemente justificados. Opci´n B o Ejercicio 1. [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las ´reas de ambos recintos sea m´ a ınima. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla la funci´n f : R −→ R sabiendo que f (x) = 12x − 6 y que la recta o tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuaci´n 4x − y − 7 = 0. a o Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve A B t X = −2 C, siendo B t la matriz traspuesta de B y A= 1 0 3 2 −1 0 , B= −1 3 0 0 2 −2 y C= 1 4 0 −1 . Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, −2) y B(−2, 3, 1). (a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. (b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del tri´ngulo de v´rtices A, B y C, donde C es un punto de la recta a a e de ecuaci´n −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la elecci´n concreta del punto C? o o http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/