1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 17: Diagonalización Ortogonal
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) La matriz ortogonal
1 1
2 2
1 1
2 2
Q
diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica
4 1
1 4
A
b) Para cualquier valor de la matriz
1 0 0
0
0
Q Sen Cos
Cos Sen
es ortogonal
c) :, Rtr
)()(
)()(
trSentCos
tCostrSen
A es ortogonal
d) Si Q es una matriz ortogonal, entonces det 1Q
e) Si A es una matriz ortogonal simétrica, entonces
2
A I
f) Sea nxnA M una matriz ortogonal. Si es un valor propio de A , entonces 1
Tema 2
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la siguiente matriz:
3 9 7
9 7 3
7 3 9
A
Tema 3
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la siguiente matriz:
5 3 2
3 5 2
2 2 4
A
Tema 4
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica
5108
1022
8211
A
Y compruebe que AQQD T
, donde D es la matriz diagonal semejante a la matriz A
2. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea la transformación lineal
33
: RRT con regla de correspondencia:
cba
ca
cba
c
b
a
T
324
22
423
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 6
Sea la transformación lineal
33
: RRT con regla de correspondencia:
8 2 4
2 8
4 4
a a b c
T b a b c
c a b c
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 7
Sea la transformación lineal
33
: RRT con regla de correspondencia:
4 5 5
5 2 3
5 3 2
a a b c
T b a b c
c a b c
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 8
Sea 2PV el espacio vectorial con producto interno estándar y VVT : un operador lineal con matriz asociada
respecto a la base canónica de V :
202
422
523
TA
Determine:
a) Una base ortonormal B del )(TNu
b) Una base ortonormal de V que contenga a B