diagwnisma_arsakeio_psychikou

1. Β΄ Αρσάκειο Γενικό Λύκειο Ψυχικού
Επαναληπτική Γραπτή Εξέταση
Ονοματεπώνυμο : Ημερομηνία : 17 – 03 – 2016
ΘΕΜΑ Α
Α1 Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ΄ ένα διάστημα ( ),α β , με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0
x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να
αποδείξετε ότι, αν f (x) 0′ < στο ( )0
,xα και f (x) 0′ > στο ( )0
x ,β , τότε το ( )0
f x
είναι τοπικό ελάχιστο της f .
Μονάδες 7
Α2 Να ορίσετε πότε η ευθεία 0( ) : x xε = καλείται κατακόρυφη ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f .
Μονάδες 4
Α3 Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής του
διαφορικού λογισμού.
Μονάδες 4
Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α. Η γραφική παράσταση κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου
βαθμού δέχεται οριζόντια εφαπτόμενη.
β. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( , )α β και ισχύει ότι f ΄(x) 0≥
για κάθε x ( , )∈ α β , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )α β .
γ. Αν f παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, σε ένα διάστημα Δ και το
0x είναι θέση σημείου καμπής της f , τότε θα είναι και θέση τοπικού
ακροτάτου της f′ .
δ. Η ευθεία y x= είναι ασύμπτωτη στο +∞ της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης x
f(x) e x−
= + .
ε. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( , )α β και δεν παρουσιάζει
ακρότατα, τότε θα ισχύει f (x) 0′ ≠ , για κάθε x ( , )∈ α β .
Μονάδες 10

2. ΘΕΜΑ Β
Β1 Δίνεται η γραφική παράσταση
της παραγώγου f′ μίας
συνάρτησης f στο διάστημα
[0,5]. Αν ξέρετε ότι f(0)=1, τότε
να επιλέξετε από τα
παρακάτω ερωτήματα τη
σωστή απάντηση :
Ι. Το πλήθος των θέσεων των τοπικών ακροτάτων της f στο [0,5] είναι :
Α. κανένα Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 1
ΙΙ. Το πλήθος των θέσεων σημείων καμπής της Cf στο [0,5] είναι :
Α. κανένα Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 1
ΙΙΙ. Η τιμή του
x 0
f(x) x
lim
x→
− συν
είναι :
Α. 0 Β. 1 Γ. δεν υπάρχει Δ. +∞ Ε. -∞
Μονάδες 9
Β2 Δίνεται η συνάρτηση
ln x
f(x)
x 1
=
−
.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να την εξετάσετε ως προς τις κατακόρυφες
ασύμπτωτες.
Μονάδες 9
β) Να βρεθούν οι ,α β∈ℝ για τους οποίους
x
ln x
lim x 0
x 1→+∞
 
− α −β = 
− 
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Γ1 Να αποδείξετε ότι:
x 0
1 x 1
lim
x x 2→
− + συν
= −
ηµ
.
Μονάδες 4
Γ2 Δίνεται η συνάρτηση
x
1 x
, x , 0
f(x) x 2
e x 1, x [0,1]
− + συν π 
∈ − = ηµ  
 − − ∈
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ,1
2
π 
−  
και να βρείτε τα
κρίσιμα σημεία της.

3. Μονάδες 5
β. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να
βρείτε το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 6
γ. Να βρεθεί το πλήθος λύσεων της εξίσωσης f(x) = α , για τις διάφορες
τιμές του πραγματικού α.
Μονάδες 5
δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο ,0
2
π 
−  
.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη, με
συνεχή δεύτερη παράγωγο, στο διάστημα [0,2], για την οποία ισχύουν:
i. f(0) 1= και f (x) 0′′ ≠ για κάθε x [0,2]∈ .
ii. Το σύνολο τιμών της f (x)′ είναι το [1,3] .
iii. f(2) f (1) f (1)′< + .
Τότε :
Δ1 Να δείξετε ότι f(x) 0> για κάθε x [0,2]∈ και ότι η f είναι κοίλη.
Μονάδες 6
Δ2 Να δείξετε ότι η εξίσωση 2
f(x 1) f(x) 3x+ − = έχει μοναδική λύση στο (0,1) .
Μονάδες 6
Δ3 Αν h(x) ln f(x)= για κάθε x [0,2]∈ , να δείξετε ότι η εφαπτομένη της hC στο
σημείο A(0,h(0)) είναι η ( ) : y 3xε = .
Μονάδες 6
Δ4 Αν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα [0,2] με g(1) g (1) 3′= = τότε να
δείξετε ότι: g(x)
f(x) e< για κάθε x [0,2]∈ .
Μονάδες 7
Καλή επιτυχία

4. ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
Α1 Απόδειξη σελίδα 262 του σχολικού βιβλίου.
Α2 Ορισμός σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου.
Α3 Ορισμός σελίδα 247 του σχολικού βιβλίου.
Α4 α. Σωστό , β. Λάθος (Αντιπαράδειγμα ( )f x 2016,x= ∈R με f ΄(x) 0 0= ≥ για κάθε
x ( , )∈ α β ) , γ. Σωστό , δ. Σωστό , ε. Λάθος (Αντιπαράδειγμα ( ) 3
f x x ,x= ∈R
γνησίως αύξουσα με ( )f 0 0= ).
ΘΕΜΑ Β
Β1. Ι. Γ. 3 , ΙΙ. Γ. 3 , ΙΙΙ. Α. 0
(προκύπτουν από τον πίνακα)
Β2. α) Για το πεδίο ορισμού της f πρέπει και αρκεί: ( ) ( )
x 0
x 0,1 1,
x 1
> 
⇔ ∈ ∪ +∞
≠ 
. Η f είναι
συνεχής στο f
D , ως εκ τούτου κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε μόνο στα
σημεία 0x 0= και 1x 1= . Είναι:
( )x 0 x 0 x 0
ln x 1
lim f x lim lim ln x
x 1 x 1+ + +
→ → →
 
= = ⋅ = +∞ 
− − 
, άρα η ευθεία x 0= αποτελεί κατακόρυφη
ασύμπτωτη της f
C .
Επιπλέον ( )
0/0
DLH
x 1 x 1 / . x 1
1
ln x xlimf x lim lim 1
x 1 1→ → συν σεις παραγ →
= = =
−
, άρα η ευθεία x 1= δεν αποτελεί κατακόρυφη
ασύμπτωτη της f
C .
β) Εξ ορισμού
x
ln x
lim x 0
x 1→+∞
 
− α −β = 
− 
, αν και μόνο αν, η ευθεία ( ): y xε = α + β είναι
ασύμπτωτη στο +∞ της f
C .(1)
Είναι για κάθε x 1> : 2
f (x) ln x
x x x
=
−
και
/
DLH
2x x
1
ln x xlim lim ...0
x x 2x 1
∞ ∞
→+∞ →+∞
= =
− −
.Επίσης
/
DLH
x x . x
1
ln x xlim f (x) lim lim ...0
x 1 1
∞ ∞
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
−
,άρα στο +∞ η f
C έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y 0= . Από
(1), για να ισχύει το ζητούμενο, αρκεί και πρέπει 0α = β = .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι
0/0 0/0
DLH DLH
x 0 / . x 0 / . x 0
1 x x x 1
lim lim lim
x x x x x x x x x 2→ συν σεις παραγ → συν σεις παραγ →
− + συν −ηµ −συν
= = = −
ηµ ηµ + συν συν + συν − ηµ
.
Γ2. α. Για
π
− ≤ <x 0
2
η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Για < ≤0 x 1 η f συνεχής ως
πράξεις συνεχών. Ελέγχουμε τη συνέχεια στο =0
x 0 , όπου:
( )x 0 x 0 x 0
1 x 1 x 1
lim f x lim lim x 0 0
x x x 2− − −
→ → →
 − + συν − + συν
= = ⋅ = − ⋅ = 
ηµ ⋅ηµ 
ή ( )x 0 x 0
1 x
lim f x lim
x− −
→ →
− + συν
= =
ηµ
x 0 1 2 3 4 5
( )f x′ + + + + −
( )f x′′ + − + − −
( )f x
Ο
Ο
Ο
Ο
Τ.ΕΤ.ΜΤ.Ε Σ.ΚΣ.ΚΣ.Κ

5. x 0
1 x
0xlim 0
x 1
x
−
→
− συν 
−  −
= = = ηµ 
 
, ( ) ( )x
x 0 x 0
lim f x lim e x 1 0+ +
→ →
= − − = και ( )=f 0 0 . Άρα f συνεχής και στο
=0
x 0 οπότε f συνεχής στο ,1
2
π 
− 
 
. Ως προς τα κρίσιμα σημεία (εσωτερικά σημεία του
,1
2
π 
− 
 
όπου η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν), έχουμε:

6. Για
π
− ≤ <x 0
2
είναι ( ) 2
x 1
f x 0
x
συν −
′ = <
ηµ
, άρα και διάφορη του μηδενός.

7. Για < ≤0 x 1 είναι ( ) x
f x e 1 0′ = − > , αφού > ⇒ > =x 0
x 0 e e 1 , άρα και διάφορη του μηδενός.

8. Ελέγχουμε την παραγωγισιμότητα στο =0
x 0 . Είναι
( ) ( )
x 0 x 0
1 x
f x f 0 x
lim lim
x 0 x− −
→ →
− + συν
− ηµ
= =
−
x 0
1 x 1
lim
x x 2−
→
− + συν
= = −
⋅ηµ
και
( ) ( )
( )
0/0
x DLH
x
/ .x 0 x 0 x 0
f x f 0 e x 1
lim lim lim e 1 0
x 0 x+ + +συν σεις παραγ→ → →
− − −
= = − =
−
. Ως εκ τούτου η
συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο =0
x 0 , άρα αυτό αποτελεί και το μοναδικό
κρίσιμο σημείο της.
β. Έχουμε βρει σε προηγούμενο ερώτημα την παράγωγο της f και έχουμε αποφανθεί
για το πρόσημό της, ως εκ τούτου για τη συνεχή συνάρτηση f στο ,1
2
π 
− 
 
έχουμε τον
πίνακα προσήμου της ′f μονοτονίας και ακροτάτων της f:
Άρα, συνοψίζοντας, έχουμε:
f γνησίως φθίνουσα στο , 0
2
π 
− 
 
και γνησίως αύξουσα στο
[ ]0,1 . Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
π
−
2
, το
 π
− = 
 
f 1
2
,
ελάχιστο στο 0 το ( )=f 0 0 και τοπικό μέγιστο στο 1 το ( )= −f 1 e 2 . Από Θ.Μ.Ε στο
,1
2
π 
− 
 
η f έχει μέγιστο που είναι το μεγαλύτερο τοπικό μέγιστο (δηλαδή το 1, αφού
− <e 2 1 ). Άρα το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης f στο ,1
2
π 
− 
 
είναι το [ ]0,1 ή
η f ως συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο , 0
2
π 
− 
 
έχει [ ]
π π
f ,0 f (0),f 0,1
2 2
      
− = − =     
      
, ενώ
ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]0,1 ισχύει [ ]( ) ( ) [ ]f 0,1 f (0),f 1 0,e 2=   = −  . Τελικά το
σύνολο τιμών της f είναι το [ ] [ ] [ ]0,1 0,e 2 0,1− =∪ .
γ. Για τη συνεχή και γνησίως φθίνουσα f στο , 0
2
π 
− 
 
ισχύει
[ ]
π π
f ,0 f (0),f 0,1
2 2
      
− = − =     
      
, ενώ ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]0,1 ισχύει
[ ]( ) ( ) [ ]f 0,1 f (0),f 1 0,e 2=   = −  .
Αρχικά, αν ( ) ( )α∈ −∞ ∪ +∞,0 1, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο ℝ .
Αν ( α∈ − e 2,1 τότε η εξίσωση έχει μια ακριβώς λύση στο , 0
2
π 
− 
 
.(Ειδικότερα αν
2
π
− 0 1
f (x)′ – +
f τ.µ. Å τ.ε. Âτ.µ.

9. 1α = η μοναδική ρίζα είναι x
2
π 
= − 

.
Αν ( α∈ − 0,e 2 τότε η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις, μια σε κάθε ένα από τα
υποδιαστήματα. , 0
2
π 
− 
 
.(Ειδικότερα αν e 2α = − δύο ρίζες από τις οποίες μία η )x 1= .
Αν α = 0 τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, την =x 0 .
δ. Είναι f συνεχής στο ,0
2
π 
− 
 
και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ,0
2
π 
− 
 
με
( )
( )συν −
′′ = = − >
ηµ
2
3
x 1
f x ... 0
x
στο ,0
2
π 
− 
 
. Άρα f κυρτή στο ,0
2
π 
− 
 
.
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Αφού το σύνολο τιμών της f ′ είναι το [1,3] θα ισχύει f (x) 0′ > και η f είναι γνησίως αύξουσα
στο [0,2] , άρα για κάθε 0 x 2≤ ≤ ισχύει f (x) f (0) 1 0≥ = > . Ισχύει ακόμα f (x) 0′′ ≠ για κάθε x [0,2]∈
και η f ′′ είναι συνεχής, οπότε διατηρεί πρόσημο άρα η f ′ είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι η f ′
είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2] . εφαρμόζοντας θεώρημα μέσης τιμής στην f στο [1,2] υπάρχει
(1,2)ξ∈ ώστε
f (2) f (1)
f ( ) f (2) f (1) f (1)
2 1
−
′ ′ξ = = − <
−
με 1ξ > , άτοπο. Οπότε η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα
στο [0,2] , άρα η f κοίλη.
Δ2. Θεωρούμε την συνάρτηση 2
(x) f(x 1) f(x) 3x , x [0,1]ϕ = + − − ∈ συνεχή και παραγωγίσιμη στο
διάστημα αυτό, ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων αντίστοιχα.(Για την f(x 1)+ έχουμε
σύνθεση συνεχών και παραγωγίσιμων). Είναι (0) f (1) f (0) 0ϕ = − > , αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης το σύνολο τιμών της f ′είναι το [1,3] και ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )
f
0 1 2 f 0 f 1 f 2 1 f 1 3
′
′ ′ ′ ′< < ⇒ > > ⇒ < <
ց
.
Άρα θα έχουμε ότι (1) f (2) f (1) 3 f (1) 3 0′ϕ = − − < − < . Οπότε από το θεώρημα Bolzano η εξίσωση
2
(x) 0 f(x 1) f (x) 3xϕ = ⇔ + − = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (0,1) . Θα αποδείξουμε ότι αυτή η λύση
είναι μοναδική. Είναι (x) f (x 1) f (x) 6x 0′ ′ ′ϕ = + − − < διότι f (x 1) f (x) 0′ ′+ − < , αφού f (x)′ είναι γνησίως
φθίνουσα, και 6x 0− ≤ για κάθε x [0,1]∈ . Άρα η ϕ είναι γνησίως φθίνουσα, ως εκ τούτου ένα προς
ένα, άρα η λύση είναι μοναδική.
Δ3. Είναι h(0) ln f (0) 0= = . Επίσης
f (x)
h (x)
f (x)
′
′ = , x [0,1]∈ . Είναι
f (0) f (0)
h (0) 3
f(0) 1
′ ′
′ = = = , αφού η f ′είναι
γνησίως φθίνουσα στο [0,2] με σύνολο τιμών το [1,3]. Άρα η εφαπτόμενη είναι η ευθεία ε με
εξίσωση ( ): y 0 3(x 0) y 3xε − = − ⇔ = .
Δ4. Θέλουμε g(x)
f(x) e lnf (x) g(x)< ⇔ < για κάθε x [0,2]∈ . Αφού g(1) g (1) 3′= = , η εφαπτόμενη της
γραφικής παράστασης της g στο M(1,1) είναι η ( ): y 3 3(x 1) y 3xε − = − ⇔ = και αφού η g είναι κυρτή
θα ισχύει: g(x) 3x≥ για κάθε x [0,2]∈ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 1= (1). Επίσης ξέρουμε,
από το Δ3, ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της h στο O(0,0) είναι η ( ) : y 3xε = . Ακόμα,
( )
2
2
f (x)f (x) f (x)f (x)
h (x) h (x) 0
f (x) f (x)
′′ ′−′
′ ′′= ⇒ = < για κάθε x [0,1]∈ αφού f (x) 0′′ < (διατηρεί πρόσημο και
f κοίλη), f (x) 0> από Δ1 και ( )
2
f (x) 0′− < για κάθε x [0,2]∈ (ισχύει f (x) 0′ ≠ ).
Άρα η h είναι κοίλη στο [0,2] οπότε θα ισχύει: h(x) 3x≤ για κάθε x [0,2]∈ με την ισότητα
να ισχύει μόνο για x 0= (2). Από (1), (2) θα ισχύει το ζητούμενο.