1. Repaso UNI ̅
Álgebra
Números complejos y ecuaciones √ ⃗
Problema 01. Calcule el valor de √ si se sabe que √( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) √( ) ( )
( ) ( )
A) 256 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 Cuya gráfica es una corona circular de centro ( ) y radios 3 y 6:
Resolución. Basta analizar los cuatro primeros términos, pues
vemos que cada cuatro términos se repiten los mismos valores:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
De igual manera
Nos piden hallar el área de la región sombreada:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
y así sucesivamente.
Luego, en el dato:
(
⏟ ) ( ) ( ) ( ) Problema 04. Dado el número complejo
. /
. /
Por lo tanto, √ √ . Halle el módulo de .
Problema 02. Siendo y dos números complejos tal que A) 6 B) 2 C) 3 D) 1 E) 4
| | | | √ ; halle el valor de .
| |
Resolución. El complejo se puede expresar como
( ̅ )
. /. /
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
. . / . //
Resolución. Primero hallemos el valor de | | :
| | ( )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
( )( ̅ ̅ ) . /
⏟ ̅ ̅ ̅ ⏟ ̅
| | ⏟ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ | |
( ( ) ( ))
√ ( ̅ ) √
( ̅ ) ( )
( ̅ )
. /
Reemplazando en :
| | ( ̅ ) ( )
( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) Luego,
( ̅ ) Por lo tanto, | | .
Por lo tanto, .
Problema 05. Sean y las raíces de la ecuación
Problema 03. Calcule el área de la región que generan todos los ( )
números complejos que satisfacen la desigualdad halle el número de valores de si se sabe que
| | .
A) B) C) D) E)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución. Sea . Lo reemplazamos en la relación:
| | Resolución. Por dato
| |
|( ) ( )|
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2. Repaso UNI ̅
Álgebra
Números complejos y ecuaciones √ ⃗
Resolución. Se tiene la ecuación de raíces , y
. Por el teorema de Cardano:
De la ecuación formemos la expresión ( ):
⏟ (
⏟ )
( ) (Por Cardano)
( ) ( )
⏟
Se descarta, pues ninguna ( )
⏟
raíz puede ser cero.
( )
√ √ Nos piden calcular
Por lo tanto, el número de valores de es 2.
( ) ( ) ( )
Problema 06. Dada la ecuación cuyo conjunto ( )
solución es * +. Se plantea las siguientes proposiciones:
( ) ( ) ( )
( )
I.
II. Como , entonces se cumple que:
III. Si donde , entonces ( ) ( ) ( ) ( )
Luego, en :
¿Cuáles son verdaderas? ( )
( )
( )
A) I y II B) I y III C) II y III D) Todas E) Solo II ( )
( )
( )
Resolución. Se tiene la ecuación de raíces y . Por lo tanto, .
Por el teorema de Cardano:
Problema 08. Dada la ecuación cúbica cuyo
Analicemos cada proposición. conjunto solución es * +
I. Verdadero determine el valor de .
Pues, ( ) ( )( ) . ( ) ( ) ( )
II. Verdadero ( ) ( ) ( )
( )
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E)
( ) ( )
Resolución. Por el teorema de Cardano:
III. Verdadero Analicemos la primera fracción:
Recuerde que: ( )
Si y son las raíces de la ecuación y ⏞
, entonces ( )
( ) ( ) ( )
Por dato se tiene:
( )
( )
Multiplicamos por 2: ( )
( )
( )
Lo cual verifica la propiedad anterior.
( )
Problema 07. Dada la ecuación cúbica de raíces
, y ; y la expresión matemática ( ) ( )
. Determine el valor
de la expresión De forma análoga:
( ) ( ) ( ).
( ) ( )
( ) ( )
A) 1 B) 3 C) D) 9 E) Luego,
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3. Repaso UNI ̅
Álgebra
Números complejos y ecuaciones √ ⃗
Resolución. Como es una ecuación recíproca, entonces una de sus
Por lo tanto, . raíces debe ser o , en este caso, 1.
Factorizamos el polinomio por el método de los divisores binómicos:
Problema 09. Tres números reales y diferentes , y verifican
las siguientes condiciones:
√
√ Entonces la ecuación se expresa como:
( )( )
√
Lo factorizamos por
determine el valor de aspa doble especial
Luego, la ecuación queda factorizado como
A) B) C) D) E) 5 (
⏟ )⏟
( )⏟( )
raíz real
raíces reales raíces no reales
Resolución. De los datos: y y
Nos piden calcular el producto de las raíces reales:
√
( )( )
√
√ Problema 12. Indique el mínimo grado posible del polinomio
Entonces, podemos considerar a los números , y como las raíces ( ) con coeficientes racionales tal que √ es una raíz
de la ecuación .
simple, es una raíz de multiplicidad 4, √ √
Por el teorema de Cardano:
es una raíz de multiplicidad 2.
Además, como se sabe que
A) 11 B) 14 C) 16 D) 17 E) 18
( )
Nos piden calcular
Resolución. Analicemos la paridad de cada raíz:
( ) ( )( )
 Como √ es una raíz simple, entonces
√ es otra raíz simple.
Problema 10. Dada la ecuación polinomial  Como es una raíz de multiplicidad 4, entonces
es otra raíz de multiplicidad 4.
de raíces , , y . Calcule el valor de  Como √
⏟ √ es una raíz de multiplicidad 2, entonces
√
√ es otra raíz de multiplicidad 2.
Luego, sumando las multiplicidades, se llega a la conclusión de que
el polinomio de menor grado posible con coeficientes racionales
A) B) C) D) E)
tiene grado 14.
Resolución. Como las raíces son , , y ; hallemos la suma de Problema 13. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación
productos binarios aplicando el teorema de Cardano: fraccionaria.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
A) { } B) { } C) { } D) * + E)
⏟
Resolución. Se tiene la ecuación
Por lo tanto, .
( ) ( )
Problema 11. Si * + es el conjunto formado por las Sean y
raíces reales de la ecuación Luego, en la ecuación
halle el valor de .
A) B) C) D) 1 E) 0
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4. Repaso UNI ̅
Álgebra
Números complejos y ecuaciones √ ⃗
(verifica la condición)
Entonces, es una solución.
b) Si , la ecuación es equivalente a
(verifica la condición)
{ } Entonces, es una solución.
c) Si , la ecuación es equivalente a
Problema 14. Halle el número de soluciones de la
siguiente ecuación.
√ √ √ (verifica la condición)
Entonces, es una solución.
Nos piden calcular:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
| | | | | |
Resolución. Primero hallemos el CVA:
Problema 16. Determine el número de soluciones de la
siguiente ecuación.
( )( ) | | | |
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
Resolviendo se obtiene: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
√
* + , -
Resolución. La ecuación se puede expresar como
Ahora consideremos y . | | | | ( )
( ) ( )
Además, vemos que .
| | ( ) | | ( )( )
Luego, reemplazando en la ecuación se obtiene: ( )
| | ( ) | | ( )( )
√ ( )
| |
( ) √
| | ( )
| | | | ( )/
( ).
(
⏟ ) | | | |
⏟ ⏟
| |
( )( ) Ya que .
Factorizando cada uno de los factores se obtiene:
( )( )( )( )( ) Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones.
√ Obs: No hay alternativa correcta.
√
es solo es es es no es
solución solución solución solución solución
Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación es 4.
Problema 15. Calcule la suma de los valores absolutos de
las soluciones de la siguiente ecuación.
| | | |
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Resolución. Analizamos la ecuación por tramos. Para eso
igualamos a cero cada valor absoluto y encontramos los puntos
críticos: y .
a) Si , la ecuación es equivalente a
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