Problemas resueltos de límites de funciones

1. Problemas resueltos sobre
límites y continuidad de
funciones

2. Repaso de Problemas típicos
x  3x  2
2 x3  x2  x  1
1 lim 2 lim
x  x 3  3 x 2  5 x  2
x 2 x 2
3 lim x  1  x  1 2 2 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1
x  x 
2x s en  3 x 
5 lim 6 lim
x 0
2x  x  1  x  3 x  1
2 2 x 0 6x
 
s en x 2
7 sen  sen  x   8 lim
x 0 x s en  x 
lim
x 0 x
x  2sen  x  t g x 
9 lim 10 lim e
x 0
x  2sen  x   1  sen  x   x  1
2 2 
x 
2
Calculators

3. Repaso de Problemas
11 ¿Dónde es y  t g  x  continua?
 1 
12 ¿Dónde es continua f    sen  2
  1
?
 
x2  x
13 ¿Qué ha de valer f  0  para que la función f  x   , x  0,
x 1
sea continua en x  0?
14 Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones
en los puntos indicados:
x 2  2x  8 x 1
a) f x  , x0  2, b) g x   , x0  1
x2 x 1
 1
c) h  t   t s en   , t0  0
t 
15 Demostrar que la ecuación sen  x   ex tiene  solutiones.
Calculators

4. Métodos para el cálculo de Límites
1 Casos de indenterminación:
0 
00 , , ,   ,0, 0 ,1.
0 
2 Aritmética del  :
a 
 0,  ,    númber o negativ o   .
 número positivo
Si la función, de la que se está calculando el límite, está
3
definida por una expresión algebraica que toma un valor finito
en el punto límite, ese valor es el límite buscado.
Si la función, de la que se está calculando el límite, no se
4
puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una
indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma
que se pueda calcular el límite.
Calculators

5. Simplificaciones y Métodos
1 Factorizar ó simplificar:  a  b  a  b  a2  b2.
Eliminar factores comunes en functiones racionales:
2
x 2  1  x  1  x  1
  x  1  2.
x 1

x 1 x 1
3 Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la
expresión conjugada:
x 1  x 2 
 x 1  x 2  x 1  x 2 
x 1  x 2

 x  1   x  2  3
 0
x 
x 1  x 2 x 1  x 2
s en  x 
4 Usar el hecho: lim  1.
x 0 x
Calculators

6. Continuidad de Funciones
Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones
1
elementales de polinomios, funciones racionales,
trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se
calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable
independiente.
Si la función f es continua en el punto x = a entonces:
2
lim f  x   f  a . Se utiliza para
x a demostrar que
una ecuación
Ejemplos de funciones no continuas en x = 0: tiene solución.
3 1 1 x
f  x   , g  x   s en   ,h  x   .
x x x
4 Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas
Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c
entre a y b tal que f(c) = 0.
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7. Límites: factorizar y simplificar:
x 2  3x  2
Problema 1 lim
x 2 x 2
x 2  3 x  2  x  1 x  2
Solución Re-escribir   x  1.
x 2 x 2
x 2  3x  2
Por tanto lim  lim  x  1  1.
x 2 x 2 x 2
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8. Límites elementales
Problema 2
x3  x2  x  1
lim 3
x  x  3 x 2  5 x  2
Solución 1 1 1
1   3
x3  x2  x  1 x x 2 x  1.
 x 

x3  3x 2  5x  2 1 3  5 2
 3
2
x x x
Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos
de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los
coeficientes principales.
x3  x2  x  1 1
Problema 2 lim 3  1
x  x  3 x  5 x  2
2
1
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9. Límites: expresión conjugada
Problema 3 lim x 2  1  x 2  1
x 
Solución Re-escribimos
x 1 x
2 2
1 
 x2  1  x2  1  x2  1  x2  1 
x2  1  x2  1
   
2 2

x 1 
2
x 1
2

x 2
 
 1  x2  1  2
x2  1  x2  1 x2  1  x2  1 x2  1  x2  1
2
Por tanto lim x  1  x  1  lim
2 2
 0.
x  x 
x 1 x 1
2 2
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10. Límites
Problema 4 lim x 2  x  1  x 2  x  1
x 
Solución Re-escribimos
x2  x  1  x2  x  1 
 x  x 1 x  x 1
2 2
 x2  x  1  x2  x  1
x2  x  1  x2  x  1

x 2
 
 x  1  x2  x  1  2x  2
x2  x  1  x2  x  1 x2  x  1  x2  x  1
Ahora nos
2x 2 quedamos con los

x 
 1 términos de mayor
x2  x2 2
grado en x.
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11. Límites
2x
Problema 5 lim
x 0
2x 2  x  1  x 2  3 x  1
Solución Re-escribimos
2x

2x  x  1  x  3 x  1
2 2
2x  2x 2  x  1  x 2  3 x  1 
 2x 2  x  1  x 2  3 x  1  
2x 2  x  1  x 2  3 x  1

2x    2 x  2 x  x  1  x  3 x  1
2x 2  x  1  x 2  3 x  1 2 2
 2x  x  1   x  3 x  1 x  4x
2 2 2
2 2
Menor grado en x.
2  2x  x  1  x  3 x  1
2 2
2  1  1
  1 x 0
x4 4
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12. Límites
s en  3 x 
Problema 6 lim
x 0 6x
sen  
Solución Usamos que lim  1.
 0 
sen  3 x  1 sen  3 x 
Re-escribimos 
6x 2 3x
sen  3 x  sen  3 x  1
Como lim  1 se concluye que lim
,  .
x 0 3x x 0 6x 2
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13. Límites
sen  sen  x  
Problema 7 lim
x 0 x
Solución Re-escribimos:
sen  sen  x   sen  sen  x   sen  x 
  1 
x sen  x  x x 0
s en  
como lim  1. En lo anterior, se aplicó
 0 
primero al sustituir   s en  x  .
s en  s en  x  
Por tanto lim  1.
x 0 s en  x 
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14. Límites
 
s en x 2
Problema 8 lim
x 0 x s en  x 
Solución Re-escribimos:
 
sen x 2 sen x 2   x
 1 
x sen  x  x2 sen  x  x 0
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15. Límites
Problema 9 x  2sen  x 
lim
x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1
x 0
Solución Re-escribimos
x  2s en  x 

x  2s en  x   1  s en  x   x  1
2 2
 x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1 
 x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1 

 x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1 
x 2
 
 2s en  x   1  s en2  x   x  1 

 x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1 
x 2  s en2  x   2s en  x   x
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16. Límites
x  2sen  x 
Problema 9 lim
Solución x 0
x 2  2sen  x   1  sen2  x   x  1
(cont.) Re-escribimos
x  2s en  x 
x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1

 x  2s en  x    x 2  2s en  x   1  s en2  x   x  1  Dividimos por x.
x 2  s en2  x   2s en  x   x
s en  x  

 1 2
x

 x  2s en  x   1  s en  x   x  1
2 2

32
     2.
s en  x  s en  x  x 0
2 1
x  s en  x  2 1
x x
Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0.
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17. Límites Laterales
t g x 
Problema 10 lim e

x 
2
Solución

Para  x   , t g  x   0 and lim t g  x   .
2 
x 
2
t g x 
Por tanto lim e  0.

x 
2
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18. Continuidad
Problema 11 ¿Dónde es continua la función y  t g  x  ?
Solución
s en  x 
y  t g x   es continua siempre que cos  x   0.
cos  x 

Por tanto y  t g  x  es continua para x   n , n  .
2
Calculators

19. Continuidad
 1 
Problema 12 ¿Dónde es continua la función f    sen  2  ?
   1
 1 
Solución La función f    s en  2  es continua en todos los puntos
   1
donde toma valores finitos.
1  1 
Si   1, no es finito, y sen  2  no está definido.
 1
2
   1
1  1 
Si   1 2
, es finito, y sen  2  está definido y es finito.
 1    1
 1 
Por tanto sen  2  es continua para   1.
   1
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20. Continuidad
Problema 13 Determinar f  0  para que la función
x2  x
f x  , x  0, sea continua en x  0.
x 1
Solución
La condición de continuidad de una función f en un punto x0 es:
lim f  x   f  x0  . Por tanto f  0  debe cumplir f  0   lim f  x  .
x  x0 x 0
x2  x x  x  1
Es decir f  0   lim  lim  lim x  0.
x 0 x  1 x 0 x 1 x 0
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21. Continuidad
Un número x0 en el que una función f  x  está indefinida or
es infinito se llama una singularidad de la función f . La singularidad es
evitable, si f  x0  se puede definir de tal manera que
la función f se convierte en continua en x  x0 .
Problema 14 ¿Qué funciones de las siguientes tienen
singularidades evitables en los puntos indicados?
solución
x 2  2x  8
a) f x  , x0  2
x2 Evitable
x 1
b) g x   , x0  1
x 1 No evitable
 1
c) h  t   t s en   , t0  0
t  No evitable
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22. Continuidad
Problema 15 Demostrar que la ecuación sen  x   e x tiene
inifinitas soluciones.
Solución sen  x   ex  f  x   sen  x   e x  0.
Por el Teorema de valor medio, una función continua toma
cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la
función f cambia de signo infinitas veces.
 
Nótese que 0  ex  1 para x  0, y que sen   n    1 , n  .
n
2 

Por tanto f  x   0 para x   n si n is un número impar negativo
2

y f  x   0 para x   n si n es un número par negativo.
2
  
Por tanto en cada intervalo de la forma   2n ,   2n  1   , n  and n  0,
2 2 
hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.
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