Cours sur les Suites par WinAkademy Soutien Scolaire
1. CHAPITRE : SUITE REELLE
A. Démonstration par récurrence.
Soit ܲ une propriété dépendant d’un entier naturel ݊, et ݊ un entier naturel fixé.
Méthode
Pour démontrer que ܲ est vraie pour tout entier ݊ ݊ on procède en trois étapes.
Initialisation de la propriété : On vérifie que la propriété ܲ est vraie pour
l’entier ݊ .
1.
vraie pour un entier ݊ ݊ (hypothèse de récurrence) alors elle est vraie
2. Caractère héréditaire de la propriété On démontre que si la propriété P est
pour l’entier ݊ 1.
propriété P est vraie pour tout entier ݊ ݊ .
3. Conclusion On peut conclure, d’après l’axiome de récurrence, que la
1. Définition d’une suite Une suite est une fonction définie sur l’ensemble Գ
B. Quelques rappels sur les suites
des entiers naturels ou à partir du rang ݊ , ݊ אԳ.
2. Deux façons de définir une suite
Par la donnée explicite de Un en fonction de n
Exemples
• ܷ ൌ ିଷ définie à partir du rang 4.
!
• ܷ ൌ ݂ሺ݊ሻ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √ ݔ 3 définie sur Գ.On dit alors que ܷ est une
suite fonctionnelle.
ܷ ൌ 1
Par la donnée du premier terme et d’une relation de récurrence
Exemple : la suite ሺܷ ሻאԳ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √ ݔ 3 définie par ൜
ܷାଵ ൌ 2ܷ െ 3
Remarque : cette suite récurrente est telle que pour tout ݊ de Գ, ܷାଵ ൌ ݂ሺܷ ሻ avec
݂ሺݔሻ ൌ 2 ݔെ 3
C. Sens de variation d’une suite
1) Définition
Soit ሺܷ ሻאԳ une suite définie sur Գ. On dit que ሺܷ ሻest
2)
- croissante si pour tout ݊ אԳ, ܷାଵ ܷ
- décroissante si pour tout ݊ אԳ, ܷାଵ ܷ
- constante si pour tout ݊ אԳ,ܷାଵ ൌ ܷ .
- monotone si elle est soit croissante soit décroissante
Remarques
• on adaptera les définitions si la suite est définie à partir du rang ݊
• la suite ሺܷ ሻ définie sur par ܷ ൌ ሺെ1ሻ n’est pas monotone : elle prend
alternativement les valeurs + 1 et - 1.
2. Méthodes d’étude de la monotonie d’une suite
• Pour déterminer le sens de variation d’une suite ሺܷ ሻ définie à partir du rang ݊
• Montrer que , pour tout ݊ ݊ , la différence ܷାଵ െ ܷ garde le même signe,
on peut utiliser l’une des méthodes suivantes en choisissant la mieux adaptée
suites du type ܷାଵ ൌ ݂ሺܷ ሻ dans le cas ou ݂ est croissante sur un intervalle
éventuellement à l’aide d’une démonstration par récurrence (en particulier pour les
contenant tous les termes ܷ
శభ
• Si la suite est à termes strictement positifs, étudier la place du quotient
par
rapport à 1.
• La suite ሺܷ ሻ est alors croissante si pour tout ݊ ݊ , 1 ; décroissante si
శభ
0 1
శభ
• pour les suites (fonctionnelles) du typeܷ ൌ ݂ሺ݊ሻ, si ݂ est monotone sur ሾ݊ ; ∞ሾ
alors la suite ሺܷ ሻ est monotone et varie dans le même sens que ݂ (Attention :
condition suffisante mais pas nécessaire !)
D. Suite majorée, minorée, bornée.
1) Définitions
Une suite ሺܷ ሻ définie à partir du rang n0 est :
- majorée s’il existe un réel M tel que pour tout ݊ ݊ ,ܷ ; ܯ
- minorée s’il existe un réel m tel que pour tout ݊ ݊ ,ܷ ݉
- bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Une suite croissante est minorée par son premier terme.
• Une suite décroissante est majorée par son premier terme
2) Théorème Pour les suites du type ܷ ൌ ݂ሺ݊ሻ si ݂ est bornée sur ሾ݊ ; ∞ሾ alors
la suite ሺܷ ሻ l’est aussi.
E. Convergence des suites monotones.
Théorème
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
F. Suites adjacentes.
1) Définition Deux suites ሺܷ ሻ et ሺܸ ሻ sont dites adjacentes si l’une d’elles
est croissante, l’autre décroissante, et silim՜ାஶ ሺܷ െ ܸ ሻ ൌ 0.
2) Si deux suites ሺܷ ሻ et ሺܸ ሻ définies sur Գ sont adjacentes, ሺܷ ሻ étant
Théor la suite croissante et ሺܸ ሻ la suite décroissante, alors :
ème - Pour tout ݊ de Գ, ܷ ܸ
- Les suites ሺܷ ሻ et ሺܸ ሻ convergent vers la même limite L
- Pour tout ݊ de Գ , ܷ ܮ ܸ
3. Exemple classique : ces deux suites sont adjacentes et convergent vers݁ ൌ
ܷ ൌ 1 ଵ! ଶ! ڮ! ൌ ∑ !
ଵ ଵ ଵ ଵ
2,7182818 ቐ
ୀଵ
ܸ ൌ ܷ ! ൌ ∑ ! !
ଵ ଵ ଵ
ୀଵ
3) Théorèmes d’existence de limite
Si une suite ( U n ) est croissante et majorée, alors elle converge. On ne
sait rien de sa limite. Si une suite ( U n ) est décroissante et minorée,
alors elle converge
4) Théorèmes sur les limites
Composée :
Soit f définie sur I. ሺܸ ሻest une suite dont tous les termes appartiennent à
I lim՜ஶ ܸ ൌ ܾ
et si lim՜ஶ ݂ሺݔሻ ൌ ܿ alors,
lim՜ஶ ݂ሺܸ ሻ ൌ ܿ
5) Suite Arithmétique et suite géométrique :
Type de la suite Forme générale Somme Limites
ܷାଵ ൌ ܷ ݎ
݊ ൈ ሺ݊ 1ሻ Si ݎൌ 0
ܷ ൌ ܷ ݊ݎ ܷ ൌ ሺ݊ 1ሻ ൈ ܷ ݎൈ lim ܷ ൌ ݎ
2
ܷ ൌ ܷ ሺ െ ݍሻݎ
՜∞
ୀ
Si ݎ 0
ݍ
Suite
lim ܷ ൌ ∞
Arithmétique
՜∞
Si ݎ൏ 0
lim ܷ ൌ െ∞
՜∞
ܸାଵ ൌ ܸݍ Si ݍൌ 1 Si | |ݍ൏ 1
ܸ ൌ ݍ ܸ
lim ݍ ൌ 0
ܸ ൌ ݍି ܸ ܸ ൌ ሺ݊ 1ሻ ൈ ܸ ՜∞
Si | |ݍ 1
݊
Suite
ୀ
lim ݍ ൌ ∞
Si 1 ് ݍ
géométrique
՜∞
1െݍ ାଵ Si ݍ൏ െ1
ܸ ൌ ൈ ܸ
1െݍ
La limite n’existe pas
ୀ
Dans ce tableau:
Les réels ݎet ݍsont les raisons respectifs de ሺܷ ሻאԳ et ሺܸ ሻאԳ
Les réels ܷ et ܸ sont les premiers termes respectifs de ሺܷ ሻאԳ et ሺܸ ሻאԳ
4. 6) Récurrence d’ordre 1
Soit ሺܷ ሻ une suite définie de manière récurrente par :
ܷ
൜
ܷାଵ ൌ ݂ሺܷ ሻ pour tout ݊ אԳ
Il faut étudier le sens de variations de f. Si f
est croissante sur I, si ݂ሺܫሻ ,ܫ ؿalors, la suite ሺܷ ሻest monotone. Si de plus
l’équation ݂ሺݔሻ ൌ ݔadmet une solution dans I, alors c’est la limite
de la suit ሺܷ ሻ
7) Et pour finir :
Dans l’exemple ci dessus, on a tracé la courbe de f et la droite
d’équation ൌ . ݔCes deux courbes se coupent en un point d’abscisse inférieure
à 4. Si on prend u0 sur ሺܱݔሻ, le point d’abscisse u0 de Cff a comme
ordonnée. ܷଵ ൌ ݂ሺܷ ሻ On projette alors ce point sur la droite d’équation ݕൌ ݔ
f
puis sur ሺܱݔሻ. On a donc maintenant u1 sur ሺܱݔሻ. On réitère le processus et on
visualise ainsi ܷଶ ; ܷଷ et ܷସ On peut avoir l’intuition que la suite converge vers
le réel solution de l’équation ݔൌ ݂ሺݔሻ. Attention, on voit l’importance du
premier terme. Si u0 est supérieur à 4, il est clair que la suite tend vers l’infini.
Un deuxième exemple est fourni avec une fonction décroissante ݂ሺݔሻ ൌ 1
; on définit ܷାଵ ൌ ݂ሺܷ ሻ et ܷ ൌ 1
ଵ
௫
1
f := x → 1 +
x