1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
1) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j
− 2 se i > j
2 ) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij= 1 se i = j
3 se i < j
3) Encontre a transposta da matriz A= (aij)3x2 tal que aij = j-2i
i + j se i = j
4) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que: cij =
− i − j se i ≠ j
5) Escreva a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
a) A e uma matriz do tipo 3 x 4 com:
aij = -1 para i = 2j
aij = a para i ≠ 2j
b) A é uma matriz quadrada de 4a ordem com:
aij = 0 para i+j = 4
aij -1 para i+j ≠ 4
c) A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1
1 −2
1 2 −3
6) Dadas as matrizes A = e B= 3 0 determine A + 2Bt
4 5 0
4 −3
7) Determinar x e y sabendo que:
x 2 − 1 9 − 1 x + y 2 4 x − y 0 x + 3y 0 8
=
a) 2x − y 0 b) 3 1 = 3 1 c) 2 5 = 2 y 2 + 1
4 0
− 1 2 5 0 − 2 3
8) Considere as matrizes: A = 0 1 − 4 B = 1 4 − 5 , determine:
3 − 2 7
− 3 2 0
a) At + Bt b) (A+B)t c) Compare os resultados a) e b)
2x − 5 0 0
9) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade 0 1 0
0 y+x 1
1 3 − 2 1 − 1 − 2
10) Dadas as matrizes A= 0 2 B = 0 − 3 e C= − 3 0 encontre a matriz X tal que X + 2C = A +3B
1 −1
1 4 0
11) Dadas as matrizes: A= e B= − 1 1 , calcule:
1 −3 1
5 0
a) A . B b) B . A c) Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta.
0 1 − 1 1
12) Se A =
3 e B=
0 1 , verifique que (A .B) = B . A
t t t
2
1 1
13) Se A=
−1 2
, calcule A -2A +3I
2
1
2. 1 2 1 0 1 − 1
14) Dadas as matrizes: A= 3 4 , B = 2 3 e C = 0 1 , teste as propriedades:
a) A . (B+C) = AB + AC b) A.(B.C) = (A.B).C
1 3 0
− 5 8
15) Determine a inversa da matriz A = 2 − 3 e da matriz B = − 4 − 2 1
3 − 1 2
16) Resolva e classifique os sistemas:
3x + 2 y + 3z = 0 − 2 x + y − 3z = 0 x + 2y − z = 1 3x − y = 5 − 2 z
a) x+ y+z = 1 b) x − y − 5 z = 2 c) 2 x − 3 y + 4 z = 2 d) 2 x + 3 y − 4 z = 2
− 2 x − 3 y + 3 z = − 5 3x − y + 3 z = 3
3x − 2 y − 2 z = − 3 y− z = x
3x − 4 y + kz = − 1
17) Determine o valor de k para que o sistema seja possível determinado 2 x − y − z = − 5
x − 3y − z = − 6
x + 2 y − mz = − 1
18) Determine os valores de m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema: 3 x − y + z = 4
− 2 x + 4 y − 2 z = k
px + y − z = 4
19) Qual o valor de p para que o sistema x + py + z = 0 admita uma única solução.
x− y = 2
x+ y−z = b
20) Determine os valores de a e b, de modo que o sistema seja impossível x − y = 4
ax + y − z = 6
RESPOSTAS:
1 3 3 2 − 3 − 4 a a a a
2 1 0 t −1 − 3 − 5
1) A= 11 10 9 2) B= − 2 1 3 3) A = 0 − 2 − 4 4) C= − 3 4 − 5 5) a) A= − 1 a a a
− 2 − 2 1 − 4 − 5 6 a a a a
−1 −1 0 −1
4 7 10
−1 0 −1 −1 3 8 5
b) A= c) A= 6 9 12 6) 0 5 − 6 7) a) (x,y) = (3,2) ou (-3,-10) b) x=3 e y=1
0 −1 −1 −1 8 11 14
− 1 − 1 − 1 − 1
−1 1 0
− 3 10 − 3 3
c) (2,2) ou (14,-2) 8) A +B = 0 5 0 = (A+B)t 9) x=3 e y=-3 10) X=
t t
6 − 7 11) A.B= 9 − 4
8 − 9 7
0 7 − 1
0 − 3 1 0
B.A= 0 − 7 1 A.B ≠ B.A (produto de matrizes não é comutativo) 12) (A .B)t=Bt.At=
1 5 13) 0 1
5 20 0
6 7 5 1 -1 3 8 − 3 − 6 3
14) a) A.(B+C)=AB+BC= b) A.(B.C)=(AB).C
11 1 15) A = 2 5 e B = 11 2 − 1 /30
-1
14 13 10
10 10
16) a) Possível determinado b) Impossível c) Possível indeterminado d)Possível determinado
17) k ≠ -2 18) m=3/5 e k= -6 19) p ≠ -1 20) a=1 e b ≠ 6