Teoria de probabilidades

Material para os estudantes do 2.º ano

TEORIA DE
PROBABILIDADES

Por: E. Seno 1
FE-UAN - 2006

Definição

A Teoria das probabilidades é a teoria das leis do
comportamento dos fenómenos aleatórios,
procurando matematizar o acaso.

A teoria das probabilidades fornece, portanto, a
base para a medição e controlo do grau de
incerteza associado aos procedimentos da
inferência estatística

Fenómeno aleatório: fenómeno sujeito à influência
do acaso, independentemente da vontade do
observador

Por: E. Seno 2
FE-UAN - 2006

Alguns conceitos básicos

Experiência:

• Processo ou conjunto de circunstâncias orientado a
produzir resultados observáveis.

• Exemplos:
1. submeter alunos a uma prova,
2. colocar um líquido num congelador durante 24 horas,
3. extrair uma carta num baralho, etc)

• Em relação ao exemplo 2, pode-se adivinhar o
resultado antes da sua realização - não aleatória;

• O mesmo não se pode dizer em relação aos exemplos
1 e 3 - aleatória

Por: E. Seno 3
FE-UAN - 2006

Características da experiência aleatória:

Pode repetir-se tantas vezes nas mesmas condições
ou em condições semelhantes;

Antes da sua realização não se pode prognosticar o
seu resultado, por mais que se queira controlar as
condições de realização;

Os resultados das suas repetições são díspares
quando tomados individualmente, mas produzem uma
impressionante regularidade estatística (estabilidade
da frequência relativa) quando tomados em conjunto,
isto a partir de um número “n” de repetições
suficientemente grande.

Por: E. Seno 4
FE-UAN - 2006

Espaço de resultados:

Ao realizar uma experiência aleatória, sai um e
somente um dos n resultados possíveis. A este
conjunto dos resultados possíveis de uma experiência
aleatória chama-se espaço de resultados ou
simplesmente espaço amostral.

Designa-se por:

Ω = (ω1 , ω2 , ω3, ..., ωi , ..., ω N )

Por: E. Seno 5
FE-UAN - 2006


Espaço de resultados - exemplos:

1. Ex. n.º 1 - E1: Lançamento de um dado equilibrado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Ex. n.º 2 - E2: Lançamento de uma moeda
Ω = {face, coroa}

3. Ex. n.º 3 - E3: Registo do sexo do bebé a nascer
Ω = {masculino, feminino}

4. Ex. n.º 4 - E4: Registo do tempo (em minutos) que um trabalhador
pode levar de casa ao local de trabalho
Ω = {t: t>0}

5. Ex. n.º 5 - E5: Lançamento de dois dados equilibrados
Ω = { (1,1); (1,2); …; (2,1); …; (5,1); …; (6,5); (6,6) }

Por: E. Seno 6
FE-UAN - 2006

Acontecimento

Quando se realiza uma experiência, existe normalmente
da parte do observador uma vontade, que pode ser
satisfeita de uma ou de muitas maneiras diferentes
dentro do espaço amostral. Essas maneiras diferentes de
satisfação daquela vontade formam um subconjunto do
espaço amostral, que se chama Acontecimento

Exemplos:
1. Ex. n.º 6 - No lançamento de um dado equilibrado, pode-
se pretender a «saída de no mínimo 3 pontos»
A = {3, 4, 5, 6}
2. Ex. n.º 7 - No lançamento de dois dados, pode-se
pretender a «saída de uma soma de 4 pontos»
B = { (1,3); (2,2); (3,1) }

Por: E. Seno 7
FE-UAN - 2006

Acontecimento impossível

Um acontecimento diz-se “impossível” sse reunido um
conjunto de condições, ele necessariamente não se
realiza
Expor uma pedra de gelo ao sol durante 12 horas e
pretender que «este continue no seu estado sólido»

Assim o acontecimento A constituído por elementos que
não pertencem a Ω, é um acontecimento impossível, e
escreve-se A = Ø, como por ex.:
Pretender a saída de 7 pontos no lançamento de um dado,
ou de uma diferença absoluta de 8 pontos no lançamento
de um par de dados

Por: E. Seno 8
FE-UAN - 2006


Acontecimento certo

Um acontecimento diz-se “certo” sse reunido um
conjunto de condições, ele necessariamente se realiza
Lançar uma pedra na água e pretender que «esta vá até ao
fundo»

Assim o acontecimento A constituído por todos os
elementos de Ω, é um acontecimento certo, e escreve-se
A = Ω, como por ex.:
Pretender que uma senhora em estado de gestação dê à
luz um bebé do sexo masculino ou feminino (de qualquer
sexo)

Por: E. Seno 9
FE-UAN - 2006


Acontecimento aleatório

Um acontecimento diz-se “aleatório” sse reunido um
conjunto de condições, tanto se pode realizar como não

Constitui o principal interesse da teoria das probabilidades

Quando um acontecimento aleatório é constituído por
apenas um elemento do espaço amostral, este diz-se
elementar
Ex. n.º 8 - Lança-se uma moeda ao ar pretende-se a saída
de coroa. Tem-se: A = {Coroa}

Aos acontecimentos, sendo subconjuntos do espaço
amostral, valem as relações e operações entre os
conjuntos.

Por: E. Seno 10
FE-UAN - 2006


Álgebra dos acontecimentos:

Diz-se que o acontecimento A está contido em B, e escreve-se
A⊂B, sse todo elemento de A∈B, isto é, se a realização de A
implica necessariamente a realização de B;
Se A⊂B e B⊂A, então os dois acontecimentos dizem-se
idênticos, e escreve-se A=B;
Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos
ou incompatíveis, sse a realização de A implica a não
realização de B e vice-versa;
O acontecimento A diz-se independente de B sse o resultado
da realização de B não condiciona o resultado de A. Se A é
independente de B e vice-versa, os dois dizem-se
independentes;
O acontecimento Ā ou Ac diz-se complementar ou contrário a
A, se é constituído por todos os elementos de Ω que não
pertencem a A;

Por: E. Seno 11
FE-UAN - 2006

Álgebra dos acontecimentos (cont.):

Chama-se intersecção ou produto lógico de A e B, e escreve-se
A∩B ou AB, ao acontecimento da realização simultânea de
ambos;
Se A e B incompatíveis, então A∩B=Ø
Chama-se união ou soma lógica de A e B e escreve-se A∪B, ao
acontecimento da realização ou de A, ou de B, ou de ambos,
isto é, de pelo menos um deles;
A∪B = A + B - A∩B
Se A e B incompatíveis, então A∪B = A + B
Chama-se diferença A e B e escreve-se A-B=A∩Bc, ao
acontecimento da realização de A sem que B se realize;
Se A e B incompatíveis, então A - B = A

A U B = A ∩ B ; AI B = AU B
Por: E. Seno 12
FE-UAN - 2006

Probabilidade
Conceito geral:

Quantidade (percentagem) que exprime o
grau de realização de um acontecimento
aleatório

Pode ser determinada segundo vários
conceitos:
Clássico;
Estatístico;
Subjectivo;
Outros.

Por: E. Seno 13
FE-UAN - 2006

Conceito clássico de Probabilidade

Definição:

Se o espaço amostral associado a uma
experiência aleatória tem N resultados
mutuamente exclusivos e equiprováveis
(igualmente possíveis), e se desse
resultados NA têm o atributo A, então a
probabilidade de que A se realize será dada
por:
N A n.º de casos favoráveis a A
P ( A) = =
N n.º total de casos possíveis

Por: E. Seno 14
FE-UAN - 2006


Exemplo:

- Ex: Consideremos o lançamento de duas moedas e pede-
Ex. n.º 9
se para calcular a probabilidade da saída de:
a) duas faces;
b) Uma coroa.

Solução:
Tem-se o seguinte espaço amostral:
Ω = { (F,F); (F,C); (C,F); (C,C) } ⇒ N = 4 casos possíveis.
Sejam os acontecimentos:
A. «Saída de duas faces no lançamento de duas moedas»;
B. «Saída de uma coroa no lançamento de duas moedas».

a) A = { (F,F) } ⇒ NA = 1 caso fav., e NA 1
P( A) = = = 0,25
N 4
b) B = { (F,C); (C,F) } ⇒ NB = 2 casos fav., e NB 2
P( B) = = = 0,5
N 4

Por: E. Seno 15
FE-UAN - 2006


Limitações:
Só aplicável quando os resultados que
compõem o espaço amostral são igualmente
possíveis (têm a mesma probabilidade de
realizar-se);

Implica espaço amostral limitado, todos os
elementos conhecidos;

Problemas na determinação do n.º de casos
favoráveis e possíveis:
sistemas de eixos cartesianos;
diagrama de árvore;
Análise combinatória

Por: E. Seno 16
FE-UAN - 2006

Limitações:

Combinações (extracção em simultâneo)

⎛ n
⎞ n!
C k
n = ⎜
⎜
⎟=
⎟ k ! ( n − k )!
⎝ k ⎠
Permutações (casos de extracção em ordem e sem
reposição)
n!
P =
n
k
= n.(n − 1). ... .[n − (k − 1)]
(n − k )!

Arranjos (casos de extracção em ordem e com reposição)

--
A nk = n k
Por: E. Seno 17
FE-UAN - 2006

Conceito Estatístico de Probabilidade
Definição:

Seja o acontecimento A que, em N repetições de uma
experiência aleatória, se realizou N(A) vezes, a que
corresponderá a frequência relativa fN(A)=N(A)/N. É certo que
à medida em que N aumenta fN(A) tenderá a estabilizar-se em
torno de um número que é a probabilidade de A. Neste
conceito a probabilidade é dada pela frequência limite, ou seja:

N (A)
Se f N ( A ) = ,
N

então P(A) = Lim
N → ∞
fN (A)

Por: E. Seno 18
FE-UAN - 2006

Conceito subjectivo de Probabilidade

Definição:

Por este conceito, a probabilidade é
avançada através de uma suposição,
decorrente de uma experiência já vivida
em relação à matéria.

Por: E. Seno 19
FE-UAN - 2006

Cálculo de probabilidade

Axiomas:

Seja Ω o espaço amostral associado a uma
experiência aleatória, e seja a probabilidade P uma
aplicação que associa a cada acontecimento de Ω um
número real, esta deve satisfazer a um conjunto de
axiomas:

1) - P(A)≥0 ∀ A⊂ Ω
2) - P(Ω) = 1
3) - P(A∪B) = P(A) + P(B), se A∩B = Ø
(Axioma de probabilidade total)

Por: E. Seno 20
FE-UAN - 2006


Leis básicas de probabilidade:

1. P(Ā) = 1 – P(A)
2. P(Ø) = 0
3. Se A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(A) ≤ 1
5. P(A - B) = P(A) – P(A∩B)
6. Se B⊂A ⇒ P(A - B) = P(A) – P(B)
7. Se A∩B = 0 ⇒ P(A - B) = P(A)
8. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
9. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C)
+ P(A∩B∩C)
10. Se A1, …, AN, acontecimentos mutuamente exclusivos,
⎛ N ⎞ N
P ⎜ U Ai ⎟ =
⎜ ⎟ ∑ P (A )i
⎝ i =1 ⎠ i =1

Por: E. Seno 21
FE-UAN - 2006

Probabilidade condicional

Se ao calcular a probabilidade do acontecimento A, é necessário
ter em conta o resultado de B que já se realizou, esta diz-se
condicional
A probabilidade condicional de A dado B é a probabilidade da
realização de A calculada sob condição de que B já se realizou.
Matematicamente, define pela razão entre a probabilidade da
realização simultânea de ambos e a probabilidade daquele que já
realizou, ou seja:

P( A I B)
P ( A B ) = PB ( A) = , com P ( B ) > 0
P( B)

Por: E. Seno 22
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Ex. n.º 10 :
Consideremos a existência de uma caixa contendo 10 peças das quais
4 defeituosas. Se forem extraídas ao acaso 2 peças, uma de cada vez,
mas sem reposição, calcular a probabilidade de na segunda extracção
sair uma peça boa sabendo que na primeira já havia saído uma
defeituosa.

Solução:
Sejam os acontecimentos:
A. «Saída na 1.ª extracção de uma peça defeituosa» ⇒ P(A) = 4/10 = 0,4
B. «Saída na 2.ª extracção de uma peça boa» ⇒ P(B) = 6/10 = 0,6
(probabilidade incondicional)

Mas a probabilidade solicitada é condicional, isto é de retirar da caixa uma
peça boa, depois de nela ter sido retirada uma peça defeituosa sem ser
reposta, que é mesmo que dizer «extrair uma peça boa de uma caixa onde
só ficaram 9 peças, sendo 3 defeituosas e 6 boas», que seria igual a P(BA)
= 6/9 = 0,6667.

Por: E. Seno 23
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Ex. n.º 10 (cont.):

Este resultado poderia ser encontrado utilizando a fórmula,
calculando a probabilidade da intersecção:
6! 4! 6 × 5! 4 × 3!
× ×
P6 × P4
1 1
( 6 − 1)! ( 4 − 1)! 5! 3! = 24 = 0, 2667
P( A I B) = = =
2
P10 10! 10 × 9 × 8! 90
(10 − 2)! 8!

e,

P ( A I B ) 0,26667
P ( B A) = = = 0,6667
P ( A) 0,4

Por: E. Seno 24
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 :

Consideremos agora a seguinte distribuição do corpo docente de
uma Faculdade da UAN, por sexo e por regime, de acordo com
um estudo realizado:
Regime M F Total

T. Integral 12 4 16
T. Parcial 87 7 94
Total 99 11 110

Podemos definir os seguintes acontecimentos:
M: «Um docente é do sexo masculino»
F: «Um docente é do sexo feminino»
I: «Um docente está no regime de tempo integral»
P: «Um docente está no regime de tempo parcial»

Por: E. Seno 25
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.):

Podemos querer calcular probabilidade de um docente do sexo
masculino estar em tempo integral (que é mesmo que
determinar a proporção dos que estão em tempo integral
dentro dos docentes do sexo masculino), que seria igual:
P(IM) = 12/99 = 0,1212

Esta probabilidade poderia ser calculada utilizando a fórmula.
Antes calculamos no quadro a seguir as probabilidades dos
acontecimentos antes definidos:
Regime M F Total

T. Integral 0,1091 0,0364 0,1455
T. Parcial 0,7909 0,0636 0,8545
Total 0,9 0,1 1

Por: E. Seno 26
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.):

Nos extremos das linhas e das colunas estão
determinadas as probabilidades dos 4 acontecimentos.
Assim tem-se:

P(M) = 0,9; P(F) = 0,1; P(I) = 0,1455; P(P) = 0,8545
E na matriz interior as probabilidades das possíveis
intersecções. Desta forma poderíamos voltar a calcular a
probabilidade condicional de que I se realize dado que M
já se realizou:

12
12 P(I I M ) 0 ,1091
P(I M ) = = 110 = = = 0 ,1212
99 99 P (M ) 0 ,9
110

Por: E. Seno 27
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional - Regra de multiplicação:

Das igualdades:
P( A I B) P( A I B)
P( A B) = ; com P( B) > 0, e P( B A) = ; com P( B) > 0
P( B) P( A)
Resulta que:
P(A∩B) = P(A).P(BA) = P(B).P(AB)

No caso de três acontecimentos, ter-se-á:
P(A ∩B ∩C) = P(A).P(BA).P(CAB)

E, generalizando:
P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1).P(A2A1). … .P(ANA1. … .AN-1)
A probabilidade da realização simultânea de vários acontecimentos quaisquer é
igual ao produto da probabilidade do primeiro pelos produtos das probabilidades
condicionais dos seguintes, sendo estas calculadas sob condição de que todos os
acontecimentos anteriores já se realizaram.

Por: E. Seno 28
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional – Probabilidade total:

Para calcular P(A), tal que:
A só se pode realizar basta que se realize um dos
acontecimentos B1, B2, …, BN (Bj, com j=1, …, N);
Bi∩Bj = Ø; ∀i ≠ j (mutuamente exclusivos);
∑P(Bj) = 1, com j = 1, …, N;
Conhecidos: P(Bj) e P(ABj), com j = 1, …, N

P ( A) = P ( A I B1 ) + P ( A I B2 ) + ... + ... + P ( A I B N ) =
= P ( B1 ).P ( A B1 ) + P ( B2 ).P ( A B2 ) + .... + P ( B N ).P ( A B N ) =
N
= ∑ P ( B j ).P ( A B j )
j =1

Por: E. Seno 29
FE-UAN - 2006



No caso do exerc. n.º 11, podemos pretender calcular a
probabilidade de um docente ser do sexo feminino (F = A).
Neste caso este só pode ser ou em tempo integral (I = B1) ou
em tempo parcial (P = B2).
Temos:
P(I) = P(B1) = 0,1455; P(P) = P(B2) = 0.8545, e,
∑P(Bj) = P(B1) + P(B2) = 0,1455 + 0.8545 = 1
B1∩B2 = Ø (Não se pode estar em simultâneo em tempo
integral e parcial)
Tem-se por outro lado:
P(FI) = P(AB1) = 4/16 = 0,25
P(FP) = P(AB2) = 7/94 = 0,0745
Dai que:
P(F) = P(A) = 0,1455×0,25 + 0,8545×0,0745 = 0,1.

Por: E. Seno 30
FE-UAN - 2006



Na prática pode-se utilizar um esquema (quadro) como o
que segue:

Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj)

B1 0,1455 0,2500 0,0364

B2 0,8545 0,0745 0,0636

Total 1 P(A) = 0,1

Por: E. Seno 31
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional – Regra de Bayes:

Lembrança: (Fórmula de probabilidade total)
N
P( A) = ∑ P( B j ).P( A B j )
j =1
Suponhamos que já tem a certeza de que A já se realizou,
coloca-se a questão de «com qual das hipóteses – alternativas
(Bj, com j = 1, …, N) se realizou?»
Deve-se proceder ao cálculo da probabilidade condicional da
hipótese Bj, dado que A já se realizou, da seguinte forma:

P( A I B j ) P( B j ).P( A B j )
P( B j A) = = N
P( A)
∑ P( B ).P( A B )
j =1
j j

Por: E. Seno 32
FE-UAN - 2006


Probabilidade condicional – Regra de Bayes:

Portanto, determinar a probabilidade condicional das
hipóteses significa achar as proporções de cada parcela
da soma que constitui a probabilidade total, como
podemos demonstrar no quadro abaixo, utilizando
sempre os dados do exercício n.º 11:

Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj) P(BjA)

B1 0,1455 0,2500 0,0364 0,3636

B2 0,8545 0,0745 0,0636 0,6364

Total 1 P(A) = 0,1 1

Por: E. Seno 33
FE-UAN - 2006


Independência de acontecimentos:

Sejam dois acontecimentos A e B, e suponhamos que A
já se realizou. Se B é independente de A, logo a sua
probabilidade condicional dado que A se realizou é igual
à sua probabilidade incondicional, ou seja:
P(BA) = P(B).
Assim, a regra de multiplicação para acontecimentos
independentes resume-se a:
P(A∩B) = P(A)×P(B)
Em geral:
P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1)×P(A2)× … ×P(AN)
A probabilidade da realização simultânea de
acontecimentos independentes é igual ao produto das
probabilidades destes acontecimentos:

Por: E. Seno 34
FE-UAN - 2006


Independência de acontecimentos: Ex. n.º 12

Um levantamento permitiu apurar os níveis de
reprovação nas cadeiras de Estatística (25%),
Macroeconomia (32,5%) e Demografia (13%). Calcular
a probabilidade de um aluno seleccionado ao acaso
reprovar nas três cadeiras.

Solução. Sejam os acontecimentos:
A. «O aluno reprova a Estatística» ⇒ P(A) = 0,25
B. «O aluno reprova a Macroeconomia» ⇒ P(B) = 0,325
C. «O aluno reprova a Demografia» ⇒ P(C) = 0,13

P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = 0,25×0,325×0,13 = 0,0105625.

Por: E. Seno 35
FE-UAN - 2006

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