clase de esfuerzo de una masa de suelo del Ing. Pablo Cesar PERI DOMINGUEZ profesor de la Universidad Nacional de Ingenieria - Facultad de Ingenieria Civil Lima,Peru.

1. Problemas de Deformaciones Planas Típicos. Muro de Contención Terraplén Cimentación Corrida z Y X z Y X z Y X

2. Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b) plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento, e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real. Esfuerzo Deformación (a) F Esfuerzo Deformación (c) Esfuerzo Deformación (e) Esfuerzo Deformación (b) Esfuerzo Deformación (d) F F R F = Significa en la Falla R = Significa Valor Residual

3. Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

5. a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principales

6. Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas

7. Concepto de Esfuerzos Efectivos Consideración del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltración H A Area de Corte Transversal = Ā a a Agua de Poro Partícula Sólida H

8. Fuerzas que actúan en los puntos de contacto de las partículas de suelo en el nivel del punto A. Concepto de Esfuerzos Efectivos Area de Corte Transversal = Ā a 1 a 2 a 3 a 4 P 1 P 2 P 3 P 4

9. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo Entrada Válvula (abierta) H 1 Z B C A H 2 h * z H 2 h Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba

10. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia arriba. Profundidad Profundidad Profundidad Esfuerzo Total,  Presión de Poros  Esfuerzo Efectivo  ’ H 1  W H 1  W  z  sat H 1  W (H 1  z + zi)  w z(  ’ – i  w ) H 1  W  H 2  sat (H 1 + H 2 + h)  w H 2  ’ - h  w o o o H 1 H 1 + z H 1 + H 2 (a) (b) (c)

11. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo Salida Válvula (abierta) H 1 Z B C A H 2 h * z H 2 h Entrada Q Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo

12. Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo. Profundidad Profundidad Profundidad Esfuerzo Total,  Presi ó n de Poro  Esfuerzo Efectivo  ’ H 1  W H 1  W  z  sat H 1  W (H 1  z - zi)  w z(  ’ + i  w ) H 1  W  H 2  sat (H 1 + H 2 - h)  w H 2  ’ + h  w o o o H 1 H 1 + z H 1 + H 2 (a) (b) (c)

13. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Puntual. Z y L X r Z X P  y  z  x y A

14. Esfuerzos causados por un Carga Puntual Boussinesq (1883) resolvió el problema de los esfuerzos “producidos en cualquier punto de un medio homogéneo, elástico e isótropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solución de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P es

15. Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntual y donde:  = relación de poisson

16. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita z X N Q por metro  x  z

17. Esfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de una carga lineal Q por metro, son

18. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita) q = carga por área unitaria B X X - r  z A  dr r  x z

19. Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinita Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presión uniforme q que actúa sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho B , son los siguientes:

20. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja Carga de Franja flexible a a Planta q B 2B 2.5B B 2B 3B 4B 5B 0.7 0.5 0.3 0.2 0.06 0.08 0.1 0 B 2B  q = 0.9  q =

21. Franja infinita con ca r ga uniformemente distribuida: a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja

22. Carga con Distribución Triangular sobre una Franja Infinita Z N   X  X  V q B R 1 R 2

23. Carga con Distribución Triangular sobre una Franja Infinita Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a través del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribución triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por:

24. Carga uniformemente distribuida sobre una área circular El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de una área circular flexible de radio R cargada con una presión uniforme q esta dado por Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como

25. Factor influencia l σ Valores del factor de influencia / σ para calcular el incremento de esfuerzo vertical total  σ v bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board ). z R

26. Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).

27. a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme

28. El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de un área rectangular cargada uniformemente viene dado por: Incremento de Presiones Verticales Bajo un Área Rectangular con Carga Uniforme Donde I  es función de m y n, parámetros definidos como :

29. Valores del factor de influencia I  para calcular el incremento de esfuerzo vertical total  v bajo la esquina de una área rectangular uniformemente cargada (Según Fadum, 1948)

30. Cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirámide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B , el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estará dado aproximadamente por

31. Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto de subáreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terreno Método aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo vertical total bajo un área uniformemente cargada.

32. Ejercicio Una cimentación superficial cuadrada de 2m de lado , perfectamente flexible, transmite a un depósito de suelo homogéneo e isotrópico una carga uniforme  q = 200 KN/m 2 . Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo vertical, (  v ) bajo el centro de la zapata considerando una carga distribuida y una carga puntual equivalente . Estimar a partir de que profundidad los errores entre estas distribuciones son inferiores a 0.1  q . a) Carga uniformemente distribuida

33. Utilizando el Ábaco de Fadum

34. Carga puntual Expresión de Boussinesq

35. Comparación entre las dos distribuciones de  v A partir de Z>2,20m  error absoluto (  `  v-  ) /Dq < 0.1

36. ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO CÍRCULO DE MOHR

38. Representación de los esfuerzos mediante el círculo de Mohr. El esfuerzo tangencial máximo en un punto,  max es siempre igual a (  1-  3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial máximo se produce en planos que forman ± 45° con la dirección del esfuerzo principal mayor.

39. Ejemplo Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

41. Respuesta Sobre BB  = 2.5 kg/cm 2  = -0.87 kg/cm 2

42. Otra solución . Los pasos 1 y 2 igual que antes. 3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical. 4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo O p . Los pasos 5 y 6 análogos al caso anterior. Solución por medio de las ecuaciones ( preguntas para el alumno . ¿Por qué es  =120  ? ¿El resultado habria sido diferente si  = 300  ?)

43. DIAGRAMAS p-q En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra del suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el diagrama después de dibujar todos los círculos . Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas son

44. + si  1 forma un ángulo igual o menor de ± 45° con la vertical - si  1 forma un ángulo menor de ± 45° con la horizontal En la mayoría de los casos en los que se utiliza la representación puntual, los esfuerzos principales actúan sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la ecuación se reduce a

45. Este método equivale a representar un punto único de un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador. Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la información necesaria para dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos.