Introdução à Matemática Discreta: Conjuntos e Operações Básicas

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Luciana Fidelis e Alesanco Andrade
Revisão Ortográfica: Ivanda Martins
Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos

Sumário

Plano da Disciplina ...................................................................................... 6

Ementa .................................................................................................. 6

Objetivo Geral........................................................................................ 6

Objetivos Específicos ............................................................................ 6

Conteúdo Programático......................................................................... 6

Referências ........................................................................................... 7

Apresentação ............................................................................................... 8

Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. .............................................. 9

1.1 Definições. ....................................................................................... 9

Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? ...... 18

2.1 Operações entre conjuntos................................................................ 18

2.2 Partição de um conjunto .................................................................... 28

2.3. Cardinal da união e da interseção. ................................................. 29

2.4. Produto Cartesiano. .......................................................................... 35

2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos.................................................... 37

2.6. Identidades de conjuntos. ................................................................. 38

Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática.......................................... 43

3.1 Proposições compostas..................................................................... 44

3.2 Tautologias e Contradições ............................................................... 51

3.3 Negação de conjunção e de disjunção ............................................. 53

3.4 Álgebra das proposições. .................................................................. 54

3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. ......................................... 59

3.5.1 Quantificadores. ......................................................................... 59

3.5.2 Negação de sentenças quantificadas ........................................ 60

Capítulo 4 - Portas Lógicas....................................................................... 65

4.1 Porta Not (Não).................................................................................. 65

4.2 Porta Or (Ou) .................................................................................... 66

4.3 Porta And (E) ..................................................................................... 67

4.4. Porta Nand e Porta Nor. ................................................................... 68

4.5. Portas XOR e XNOR ........................................................................ 68

4.6 Portas Lógicas Equivalentes ............................................................. 69

4.7 Propriedades das Portas Lógicas. ..................................................... 69

Plano da Disciplina

Ementa

Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios
de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução
Matemática.

Objetivo Geral

O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que
realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para
a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na
construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.

Objetivos Específicos

• Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas
concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se
referem a situações práticas

• Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional

• Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica

• Conhecer técnicas de resolução de problemas

• Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).

Conteúdo Programático

Módulo 1 – Fascículo 1

Carga horária do Módulo 1: 20 h

• Conjuntos.

• Introdução à Lógica Matemática.

• Portas Lógicas.


Carga horária do Módulo 2: 20 h

Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações


Carga horária do Módulo 3:

• Funções.

• Recursão. Técnicas de provas.

• Indução Matemática.

Referências

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de
Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

Livros de referência:

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo
McGraw Hill:, 1997

ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
1995.

ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall,
1999.

TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley.
1999.

LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática
Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

Apresentação

Caro (a) cursista,

A importância da Matemática Discreta nos Cursos de Computação e Informática é
destacada nas Diretrizes Curriculares do MEC ao se afirmar que “A Matemática, para
a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição
formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos, etc)”. E ainda:
“Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertence ao domínio
discreto, a Matemática Discreta é fortemente empregada”.

A Matemática Discreta dá ênfase aos temas, matemáticos tomando por base os
conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. A Matemática do Continuum, ao contrário da
Matemática Discreta, enfatiza os temas matemáticos baseados em conjuntos não-
contáveis, como o conjunto dos números reais, em disciplinas como o Cálculo Diferencial
e Integral.

Iremos abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam
interface com os cursos das áreas relacionadas à informática. Para tanto, o material será
apresentado em fascículos que tratarão de maneira sistemática os seguintes assuntos:
Conjuntos, Operações com conjuntos, Introdução à Lógica Matemática, Portas lógicas,
Somas, Matrizes, Princípios de Contagem, Relações, Funções, Recursão, Técnicas de
Provas e Princípio de Indução Finita.

Matemática Discreta

Capítulo 1 - Conjuntos: uma
breve revisão.

A idéia de conjuntos é largamente utilizada em Computação e
Informática, tendo em vista que, praticamente todos os conceitos
dessas áreas, bem como os resultados correspondentes, são
baseados em conjuntos ou as construções sobre conjuntos. Por isso,
que tal fazermos uma revisão dos principais elementos da teoria dos
conjuntos?

1.1 Definições.

Conjuntos são geralmente designados por letras maiúsculas e
reservam-se as letras minúsculas para representar os seus elementos.

A expressão x∈A significa que x é elemento do conjunto A. Se x não

é elemento do conjunto A, escrevemos x∉A.

Várias maneiras podem ser usadas para descrever um conjunto.
Entre elas, destacamos as seguintes:

• Listando seus elementos, isto é, nomeando explicitamente
todos os seus elementos, colocando-os entre chaves e
separados por vírgula.

Exemplo: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d }.
Acesse
• Definindo uma propriedade de seus elementos. Em geral
escrevemos {x : P(x) }, isto é, o conjunto dos x tal que x tem a 1. http://paginas.
terra.com.br/
propriedade P. educacao/calculu/
Historia/venn.htm
Exemplo A = { x : x é uma letra vogal do alfabeto português},
B = { x : x é uma das quatro primeiras letras minúsculas do
alfabeto português }.

• Por meio de um Diagrama de Venn1 (1834 -1923): O conjunto
constituído por todos os elementos sob consideração numa

9


determinada situação é denominado conjunto universo U
e será, em geral, representado por um retângulo. Dentro do
retângulo, círculos (ou outras figuras geométricas) representam
conjuntos. Dentro dos círculos são colocados os elementos
desses conjuntos.

Por exemplo: Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12} e os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 4, 6,
7, 8 }

A idéia de conjunto universo U estará sempre presente mesmo
quando não seja explicitamente mencionado num determinado
problema ou situação. Em Matemática, há conjuntos que constituem
muito freqüentemente os universos do discurso, sendo conveniente
indicar nomes para eles. Entre os mais importantes, destacaremos:

• N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números naturais.

(Perceba que 0 ∈ N)

• N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }é o conjunto dos números naturais
positivos.

• Z = { x : x é um número inteiro } = { ..., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, ...}

• Q = { x : x é um número racional } é o conjunto de todos os
números que podem ser escritos sob a forma de fração.

• R = { x : x é um número real }

• I = { x : x é um número irracional) é o conjunto dos números
reais não racionais, isto é, não podem ser escritos sob a forma
de fração.

Conjunto vazio é o conjunto sem elementos, pode ser

representado pelos símbolos ∅ ou { }

Exemplo: A = { x ∈ N : 1 < x < 2 } é uma conjunto vazio, pois não
existe número natural entre 1 e 2.

10


Exemplo: B = { x ∈ Z : x2 = 3 } também é um conjunto vazio. Você
sabe por quê? Existe número inteiro cujo quadrado seja igual a 3?

Conjuntos iguais. Dois conjuntos são iguais se e somente se

contém os mesmos elementos. Por exemplo: Os conjuntos A = {x∈ Z
: x2 = 4 } e B = { -2, 2} são iguais.

Subconjunto. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se
todo elemento do conjunto A é também elemento de B. Usamos a
notação A ⊆ B para denotar que A é subconjunto de B e lemos “A está
contido em B”.

Por exemplo, A = {1,2} é subconjunto de B = {1, 2,3} mas não é
subconjunto de C = {1,3,4}.

Agora, vamos lembrar algumas conclusões relacionas a
subconjunto.

Observação 1. De acordo com a definição de subconjunto,
o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, ∅
⊆ A. Isso parece estranho a você? Mas, existe algum elemento no
conjunto ∅ que não esteja no conjunto A? A sua resposta foi não!
Logo, o conjunto vazio é subconjunto do conjunto A.

Também dizemos que A ⊆ A, qualquer que seja o
conjunto A. Isso é verdade, pois todo elemento de A, é elemento de
A.

Observação 2. Se A ≠ B e A é subconjunto de B, escrevemos
A ⊂ B para dizer que A é subconjunto próprio de B. Por exemplo,
{1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,4,5}.

Temos também que N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R. Veja a figura a seguir.

Observação 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C.

11


Exemplo: {1, b} ⊂ { 1, 2, b, c } ⊂ { 1, 2, 3, a, b, c }.

Exemplo: A figura da observação 2 mostra que N ⊂ Z e Z ⊂ R
então N ⊂ R.

Observação 4. Para provarmos que A ⊆ B teremos que

provar que, dado x ∈ A então x ∈ B.

Cardinal. Se A um conjunto com exatamente n elementos,
tal que n é um inteiro não negativo, dizemos que A é um conjunto
finito e que o cardinal de A é n. Assim, o cardinal de um conjunto
A, denotado por #A é o número de elementos do conjunto A. Desse

modo, se A = { x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 7 } então #A = 5. É claro que #∅ = 0.

Observe que um conjunto A é finito se podemos estabelecer
uma correspondência entre seus elementos e os elementos de um
conjunto da forma {1, 2, 3, ..., n} onde n é o cardinal de A. Por exemplo,
A = { a, b, c, d, e } é finito pois, podemos estabelecer a seguinte
correspondência entre seus elementos e os elementos do conjunto {
1, 2, 3, 4, 5 }:

a 1, b 2, c 3, d 4, e 5. Você então conclui que o
cardinal do conjunto A é 5.

Conjunto infinito. Um conjunto A é infinito se não é finito.
Por exemplo, os conjuntos N, Z, Q e R são conjuntos infinitos. Você

concorda com a afirmação de que o conjunto A = {x∈R : 0 < x < 1}é
infinito?

Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto constituído
por todos os subconjuntos de A e será denotado por P(A). Exemplo,

se A = {a, b} então P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }. O cardinal de P(A) é o
número de subconjuntos de A. Assim #P(A) = 4.

Agora, escreva o conjunto das partes do conjunto A = {x, y, z}.
Quantos são os subconjuntos de A? O lembrete ao lado dá uma dica.

12


Nesse caso #A = 3, #P(a)=2³=8.

Atenção

Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1 De um modo geral
se #A= n então
#P(A) = 2n.
Demonstre que você entendeu bem os assuntos dessa seção,
resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios são
apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com
professores e tutores da disciplina.

1) Considere N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liste os elementos de cada um
dos seguintes conjuntos:

a) {n ∈ N : n é divisível por 3}

b) {x : x = 2n-1 , n ∈ N*} Atenção

c) {x : x = 2y +1 : y∈N e y < 8 } Um número natural

n ∈ N, n >1 é primo
d) {x = 2n : n ∈ N } se os seus únicos
divisores são 1 e n.

e) {x : x =1/n : n ∈ N* e n < 6}

f) {n ∈ N* : n + 1 é primo}

2. Liste os elementos dos seguintes conjuntos e informe que
conjuntos são vazios.

a) { n ∈ N : n2 = 9 }

b) { n ∈ Z : n2 = 9 }

c) { x ∈ R : x2 = 9 }

d) { n ∈ N : 3 < n < 7 }

e) { n ∈ Z : | n | < 7 }

f) { x ∈ R : x2 ≤ 0 }

g) { n ∈ N : n2 = 3 }

h) { x ∈ Q : x2 = 3 }

13


i ) {x ∈ R: x2 = -4 }

j) { n ∈ N : n é primo e n ≤ 15 }

3. Determine o cardinal dos seguintes conjuntos:

a) A = { x : x = 2n + 1, 3 ≤ n ≤ 6, n ∈ N }

b) B = { y = -x +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

c) C = { y = x2 +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

4. Se A = { x∈Z : 4 divide x } e B = { x∈Z : 2 divide x } . A é
subconjunto próprio de B ?

5. Relacione todos os subconjuntos X do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }
tais que #X = 2.

6. Represente os conjuntos abaixo indicados por uma propriedade
características de seus elementos:

A = { -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } B = { 13, 11, 9, 7, 5 }

C = { 2, 6, 10, 14, ..., 42 }.

7. Sejam X = { 1, 2, 3 }, Y = { 2, 3, 4 } e Z = { 2 } . Encontre o maior
conjunto W satisfazendo as seguintes condições W ⊂ X , W
⊂ Y e Z ⊂ W . Faça diagramas de Venn.

8. Dados os conjuntos A = { um , dois }, B = { dois, tres, quatro } e
C = { um , quatro } identifique o menor conjunto D tal que A
⊂ D , B ⊂ D e C ⊂ D. Faça diagramas de Venn.

9. Suponha que A ⊂ B , B ⊂ C , 1∉A , 2∉B , 3∉C . Quais das
afirmações abaixo sempre são verdadeiras?

a) 1 ∈ B. b) 2∉ A c) 3 ∉ A

10. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Nomear os elementos dos
seguintes conjuntos:

a) B = { x ∈ A : x é par }

b) C = { x∈A : x é múltiplo de 3 }

c) D = { x ∈ A : x + 1 < 6 }

14


d) E = { x ∈ A : x < 10 }

e) F = { x ∈ A : x + 3 ∉ A }.

11. Dizer quais dos seguintes conjuntos são infinitos:

a) O conjunto das retas do plano que são paralelas ao eixo
dos x.

b) O conjunto das palavras com duas letras do alfabeto
português.

c) O conjunto dos múltiplos de cinco.

d) O conjunto dos animais existentes na Terra.

p
e) O conjunto das frações onde p, q ∈ { 1, 2, 3, 4, ..., 10 }
q
12. Represente os seguintes conjuntos por meio de uma
propriedade comum aos seus elementos:

a) A = { 4, 8, 12, 16, 20, ....}

b) B = { 4, 8, 12, .... 204}

c) C = { 7, 17, 27, 37, .....}

d) D = { 7, 17, 27, 37, .....207}

e) E = {300, 301, 302, ....., 399, 400}

f) F = { 1, 4, 9 , 16, 25, .....}

g) G = { 1, ½, ¼, 1/8, 1/16,..., 1/1024}

13. Partindo das premissas:

(1) Todo repórter é esperto.

(2) Todo repórter é formado em Jornalismo.

(3) Jamil é esperto.

(4) Adelaide é jornalista.

Pode-se concluir que

a) Adelaide é esperta?

b) Jamil é repórter?

c) Há jornalistas espertos?

15


Respostas dos exercícios 1.1

Aqui você poderá conferir as suas respostas. Caso elas não
correspondam às apresentadas abaixo, converse com seus colegas
sobre os exercícios, releia os conteúdos da seção e descubra o motivo
da divergência. Lembre-se que os tutores podem ajudá-lo. Consulte-
os!

1. a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} b) {1, 3, 5, 7, 9, ...}

c) { 1, 3, 5, 7, 9, ..., 15} d) {0, 2, 4, 8, 16, 32,..}

e) {1, ½, 1/3, ¼, 1/5 } f) { 1, 2, 4, 6, 10, 12, ... }

2. a) { 3 } b) { -3, 3 } c) { -3, 3 } d) (4, 5, 6 }

e) { -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } f) { 0 }

g) ∅ h) ∅ i) ∅

3. a) #A = 4 b) #B = 5 c) #C = 3

4. sim

5. {1, 2} , { 1, 3 } , { 1, 4} , { 2, 3 }, {2, 4} , { 3, 4 }

6. A = {x : x = 2y, y ∈ Z, -3 ≤ y ≤ 3 }

B = { x: x = 2y + 1, y ∈ N, 2 ≤ y ≤ 6 }

C = { x : x = 2 + 4n , n ∈ N n ≤ 10 }

7. W = {2,3}

8. D = { um, dois, três, quatro }

9. b) e c)

10. B = {2, 4, 6, 8 } C = { 3, 6, 9} D = { 1, 2, 3, 4 }

E=A F = { 7, 8, 9 }

11. a) e c)

12. A = {x : x = 4n, n∈N* }, B = { x : x = 4n, n∈N*, n ≤ 51 },

C = { x : x = 7 +10n, n∈N } D = { x : x = 7 +10n, n∈N, n ≤ 20}

16


E = {x : 300 ≤ x ≤ 400, x∈ Z} F = {x : x = n2, n∈ N}

Atenção
1
G = {x ; x = , n∈ N, n ≤10.
n2
A Matemática é
13. c. uma disciplina
de natureza
cumulativa.
É importante
dominar bem
seus fundamentos
Saiba Mais antes de passar
para tópicos mais
avançados.

Caro (a) cursista. Aprofunde os conhecimentos sobre conjuntos,
consultando os seguintes livros:

ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos
conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.

ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São
Paulo: Nobel, 1995.

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência
da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.

LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução.
Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003.

17


Capítulo 2 - Álgebra de
Conjuntos: como operar com
conjuntos?

Nesta parte do fascículo, estudaremos a Álgebra de Conjuntos,
conteúdo da Matemática que trata das operações definidas sobre
todos os conjuntos. Voltaremos a fazer uso dos diagramas de Venn,
na ilustração das operações entre conjuntos envolvendo a união,
interseção, diferença entre outras. Vamos começar?

2.1 Operações entre conjuntos.

União de Conjuntos: Se A e B são dois conjuntos então A∪B é
o conjunto constituído pelos elementos que pertencem a pelo menos
um dos dois conjuntos.

A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B }

Interseção de Conjuntos: Se A e B são 2 conjuntos, então
o conjunto A ∩ B denota a interseção de A e B, constituído pelos
elementos que pertencem a A e a B.

A∩B = { x : x∈A e x∈B }

Complementar. Seja U o conjunto universo e A um subconjunto
de U. Chama-se complementar de A em relação ao conjunto U ao
conjunto A dos elementos de U que não pertencem a A.

A = { x∈U : x∉A }

18


Atenção

A se escreve
também A’

Diferença: Se A e B são conjuntos então A – B denota o
conjunto dos elementos de A que não estão em B.

A – B = { x: x∈A e x∉B }

Atenção

A – B pode ser
escrito assim:

A∩ B

Diferença Simétrica: Se A e B são conjuntos então A⊕B ou
A∆B denota o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas
não em ambos. O símbolo ⊕ representa o ou exclusivo.

A⊕B = { x: x∈(A-B) ou x∈(B-A) } A⊕B = (A∩ B ) ∪ ( A ∩B)

Atenção

A ⊕ B pode ser
escrito assim:
A∆B

Exemplo 2.1.1 Aqui, apresentamos exemplos de todas as
operações definidas acima. Confira os resultados.

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}

A ∩ B = { 6, 8 }

19


A – B = { 1, 2, 3, 4 }

B – A = { 5, 7, 9 }

A = { 5, 7, 9 10, 11, 12}

B = { 1,2,3, 4, 10, 11, 12}

A ⊕ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

Tabela de pertinência das operações entre conjuntos: Para
construirmos a tabela de pertinência de um conjunto, procedemos
como segue. Se x∈X, indicamos o fato pondo 1 (verdadeiro) na coluna
do conjunto X. Se x∉X, indicamos o fato pondo 0 (falso) na coluna do
conjunto X.

Por exemplo, em relação à união de dois conjuntos A∪B,
existem quatro situações distintas indicadas nas quatro linhas da
tabela de pertinência da união abaixo:

Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos
(linha 1), não pertencem a A∪B

Elementos que não pertencem a A e pertencem a B ( linha 2),
pertencem a A∪B.

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3),
pertencem a A∪B.

Elementos que pertencem a A e a B ( linha 4), pertencem a
A∪B.

Tabela de pertinência da união

Tabela de pertinência da interseção

20


Em relação à interseção de dois conjuntos A ∩ B, existem
quatro situações distintas indicadas na tabela de pertinência da
interseção abaixo:

Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos
(linha 1), não pertencem a A∩B

Elementos que não pertencem a A e pertencem a B (linha 2),
não pertencem a A∩B.

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3),
não pertencem a A∩B.

Elementos que pertencem a A e a B (linha 4), pertencem a
A∩B.

As tabelas de pertinência dos conjuntos A – B, B- A e A⊕B
são apresentadas abaixo, de acordo com as respectivas definições.

Tabela de pertinência do complementar: A tabela de
pertinência do complementar apresenta apenas duas linhas, visto
que o complementar é uma operação que envolve apenas um
conjunto.

Exemplo 2.1.2. Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} e
os seus subconjuntos:

21


A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 6, 7, 8, 9 }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { 2, 4, 6, 8 } F = { 1, 5, 9 }.

A ∪ B = {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8} A ∩ B = {4, 5, 6, 7}

B ∪ D = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, B ∩ D = {5,7}

A ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A ∩ C = {5, 6,7}

D ∪ E = {1,3,5,7,9,2,4,6,8}, D∩E=∅

D ∪ F = { 1, 3, 5, 7, 9 } D ∩ F = { 1, 5, 9 }

E∪E = { 2, 4, 6, 8 } E ∩E = ∅

A = {8,9} B = { 1, 2, 3, 9 } C = {1, 2, 3, 4 } D ={ 2, 4, 6, 8}

A – B = {1,2, 3} B–A={8} D – E = { 1, 3, 5, 7, 9 }

E–E=∅

A⊕B = {1,2, 3, 8} A⊕C= {1, 2, 3, 4, 8, 9} A⊕D = { 2, 4, 6, 9 }

A⊕E= {1, 3, 5, 7

(A - B) - C = {1, 2, 3} - { 5, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3}

A - (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – { 4 } = {1, 2, 3, 5, 6,7}

Atenção (A-B) – (B-A)= {1, 2, 3} - { 8 } = {1, 2, 3}

Você observou no
exercício 2.1. 2 que,
A  B = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } = { 9 }
1

A ∩ B = {8,9} ∩ { 1, 2, 3, 9 } = { 9 }
A B = A∩ B
e que
A B A B? A  B = { 5 6 7 } = {1, 2, 3, 8, 9}
4 , ,
,
=
Isso não é mera
coincidência. A  B = {8,9} ∪ { 1, 2, 3, 9 } = {1, 2, 3, 8, 9}
Trata-se de
igualdades válidas
para quaisquer
conjuntos A e B! Exemplo 2. 1. 3. Para construir a tabela de pertinência do conjunto
(A∩ B ) ∪ ( A ∩B), devemos construir colunas para os conjuntos A, B,

22


Ae B. Em seguida, as colunas relativas aos conjuntos A∩ B ,

A ∩B e por último, a coluna do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B).

Você deve observar que, logo após o preenchimento com 0 (zero)
e 1 (um) nas colunas relativas aos conjuntos A e B, preenchemos as
colunas do complementar de A, denotado por A , e do complementar
de B, denotado por B , simplesmente trocando 0 (zero) por 1 (um).
As colunas relativas aos conjuntos A ∩ B e A ∩ B são preenchidas
por 0 (zero) e 1 (um) de acordo com a tabela de pertinência da
interseção. Por fim, a última coluna é feita de acordo com a tabela de
pertinência da união de conjuntos. A tabela de pertinência do conjunto
(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) é a igual à tabela de pertinência do conjunto A ⊕B.
Observe isso. Mostraremos na seção 2.6 como provar a igualdade
entre conjuntos, observando a igualdade das respectivas tabelas-
verdade.

Exemplo 2.1.4. Na determinação dos tipos sangüíneos, cada
pessoa é duplamente classificada: se o sangue tem o antígeno Rh,
ele é Rh positivo, caso contrário é Rh negativo. Se o sangue contém
o antígeno A, mas não contém o antígeno B, é tipo A. Se o sangue
tem o antígeno B, mas não tem o antígeno A, é tipo B. Se tem ambos,
é tipo AB. Se nenhum dos dois antígenos está presente, é tipo O.
Considere os conjuntos:

P = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno Rh}

A = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno A}

B = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno B}

Um elemento x qualquer pode pertencer ou não a cada um
dos três conjuntos P, A e B. Ao todo são 8 possibilidades.Elas são
representadas na tabela ao lado e no diagrama de Venn.

23


Determine os respectivos tipos sangüíneos das pessoas
pertencentes a cada conjunto:

1) P ∩ A ∩ B = { g }

2) P ∩ A ∩ B = { d }

3) P ∩ A ∩ B = { f }

4) P ∩ B ∩ A { e }

5) P ∩ A ∩ B = { a }

6) P ∩ A ∩ B = { h }

7) P ∩ B ∩ A = { d }

8) P ∩ A ∩ B = { c }

Resp. 1) Tipo AB Rh+ 2) Tipo AB Rh-
3) Tipo A Rh+ 4) Tipo B Rh+ 5) Tipo A Rh-
6) Tipo O Rh- 7) Tipo B Rh- 8) Tipo O Rh+

Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.1

Apresentamos agora uma lista de exercícios para que você mostre
que entendeu as operações entre conjuntos. Discuta com seus
colegas as respostas que são apresentadas logo em seguida.

24


1. Considere o conjunto universo igual ao conjunto U de todos os
alunos da UFRPE e os seguintes subconjuntos:

A = { x : U: x é aluno do Curso de Agronomia }

B = { x : U: x é aluno do Curso de Biologia }

C = { x : U: x é aluno do Curso de Ciência Domésticas }

Defina os seguintes conjuntos por meio de operações com
conjuntos:

a) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Biologia ou
Ciências Domésticas (Eles podem fazer apenas um desses
cursos ou ambos ).

b) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Agronomia
e Biologia ao mesmo tempo, mas não fazem Ciências
Domésticas.

c) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Agronomia e não
cursam Biologia.

d) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem apenas um dos
cursos A, B e C.

e) O conjunto dos alunos da UFRPE que não fazem qualquer um
dos cursos A, B e C .

f) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Biologia, mas não
Ciências Domésticas ou fazem Ciências Domésticas mas não
Biologia.

2. Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10,12,13 }. Listar os
elementos dos seguintes conjuntos:

A1 = { x ∈ A : x2 ≥ 9 }

A2 = { x ∈ A : (x+2) ∉ A }

A3 = { x ∈ A : x-1 é impar }

A4 = {x∈A : x é divisível por 2 ou por 3}

A5 = {x∈A : x2 – 4 = 0 ou x2 –9x +20 = 0 }

Calcule: a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4)

3. Considere U como o conjunto de todas as pessoas e os
subconjuntos

25


S = { x∈U : x reside no Brasil }

M= { x∈U : x é mulher }

J = { x∈U : x tem menos de 25 anos }

A = { x∈U : x tem mais de 1,70 m de altura }

Descreva os conjuntos abaixo através de uma propriedade
característica dos seus elementos:

a) S∩A∩J b) S∩(J –A ) c) S∩(M∪J)

d) S∪(M∩J).

4. Encontre os conjuntos A e B, sabendo–se que

A – B = { 1, 5, 7, 8 }, B – A = { 2, 10 } e A∩B = {3, 6, 9 }.

Respostas dos exercícios 2.1

1. a) B∪C b) (A∩B) – C

c) A – B d) ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)

e) A ∩ B ∩ C f) B⊕C

2. A1= { 3, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13} A2 = {6,7,12,13}

A3= {2, 4, 6, 10, 12} A4 = {2, 3, 4, 6, 10, 12}

A5 = { 2, 4, 5}

a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) = {6, 7, 12, 13} – { 4, 6, 10,12}= {7, 13}

b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) = { 2, 3, 4, 6, 10, 12} ⊕ {3, 5, 7, 13} = {2, 4,
5, 6, 7, 10,12, 13}.

3. a) S∩A∩J = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e
mais 1,70 m de altura}

b) S∩(J –A ) = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25
anos e 1,70 m de altura e no máximo 1,70 m de altura}.

c) S∩(M∪J) = { x∈U : x reside no Brasil e é mulher ou tem
menos de 25 anos}.

d) S∪(M∩J) = { x∈U : x reside no Brasil ou é mulher com menos
de 25 anos}.

26


4. A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 3, 6, 9, 10}

27


2.2 Partição de um conjunto

Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅,
isto é, não têm elementos comuns. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9}, B =
{4, 6, 8, 10} e C = {1, 3, 11,12} são dois a dois, disjuntos.

De fato, A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅

Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos
não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união resulte S. Ou
seja, é uma coleção de subconjuntos A1, A2, ... , An de S tal que

S =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪......∪ An e Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j .

Exemplo 2.2. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A coleção de conjuntos
A1= {1, 2, 3}, A2= {4, 5} e A3= {6 } forma uma partição de S . Observe
que A1∩ A2 = φ, A1∩ A3 = φ, A2∩ A3 = φ e além disso, a união dos três
conjuntos A1∪A2∪A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.2

Agora, você é solicitado a apresentar partições de conjuntos.
Algumas partições são constituídas por conjuntos finitos outras não.
Mãos à obra!

1. Dê partições dos seguintes dos conjuntos:

a) N b) Z c) S = {0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 }.

2. Se S = {0, 3, 6, 9, 12,15, 18, ...}, escrever uma partição de S
que:

a) contenha dois subconjuntos infinitos

28


b) contenha três subconjuntos infinitos.

3. Se S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...}, os conjuntos A1 = {1 +12n,
n∈ N }, A2 = {5 +12n, n∈ N } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N } constituem
uma partição de S .

Respostas - Exercícios Proposto 2.2

As suas respostas possivelmente não batem com as apresentadas
logo abaixo. Isso pode ocorrer, pois um conjunto pode ter várias
partições.

1. a) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

b) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

A3= { -2, -4, ,-6, -8, -10, ...} A4 = { -1, -3, -5, -7,-9, -11, ...}

2. a) A1= {0, 6, 12, ,18, 24, 30, ...} A2 = {3, 9, 15, 21, 27, ...}

b) A1= {0, 9, 18, 27, 36, ...} A2 = {3, 12, 21, 30, ...},

A3= { 6, 15, 24, 33, 42, ...}

3. Sim. A1 = {1 +12n, n∈ N }= { 1, 13, 25, 37, 49, ..., }

A2 = {5 +12n, n∈ N } = {5, 17, 29, 41, 53, ... } e

A3 = { 9 + 12n, n∈ N }= {9, 21, 33, 45, 56, ...} constituem uma
partição de S, pois os conjuntos são dois a dois disjuntos e sua
união resulta S.

2.3. Cardinal da união e da interseção.

Se você dispõe de dois ou mais conjuntos e quer saber quantos
elementos tem o conjunto união desses conjuntos, como proceder?
Faremos uso do princípio da inclusão – exclusão.

Princípio da Inclusão – Exclusão.

#(A∪B) = # (A) + #(B) – #(A∩B)

• Vejamos como descobrir a quantidade de elementos da união
de dois conjuntos sendo conhecidos n(A), n(B) e n( A ∩ B )

29


Note que a quantidade de elementos de A ∪ B é obtida pela
quantidade de elementos que pertence:

só ao conjunto A: n( A ∩ B ) = n( A ) − n( A ∩ B ) ,

só ao conjunto B: n( A ∩ B ) = n( B ) − n( A ∩ B ) e

só a A e B: n( A ∩ B ) .

Assim, podemos concluir que:

n( A ∪ B) = n( A) − n( A ∩ B) + n( B) − n( A ∩ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

Isso significa que, para calcular o número de elementos da união
A ∪ B, incluímos os elementos de A, incluímos os elementos de B e
excluímos os elementos de A ∩ B.

Exemplo 2.3.1: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = { 4, 5, 6, 8}

Observe que # ( A ) = 7, # ( B ) = 4, # ( A ∩ B ) = 3, então
# ( A ∪ B) = # (A) + # (B) – # ( A ∩ B ) = 7 + 4 – 3 = 8
# ( A ∪ B ∪ C) = # (A) + # (B) + # (C) – # (A ∩ B) – # (A ∩ C) – # (B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

• Podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C, de modo que:

#(A ∪ B ∪ C) = #((A ∪ B) ∪ C) = #(A ∪ B) + #C - #((A ∪ B) ∩ C)

= #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]

= #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

30


Exemplo 2. 3. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
10}, B = { 4, 5, 6, 7, 8, 11} C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.

Sabendo que A ∩ B = {4, 5, 6, 7}, A ∩ C = {5, 6, 7, 10},
B ∩ C = { 5, 6, 7, 8} e que A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}, podemos escrever
que:

#(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) +
#(A∩B∩C)

= 8 + 6 + 6 – 4 – 4 – 4 + 3 = 11

A∪B∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

• Se A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), então
#(A ∪ B) = #(A) + #(B).

Exemplo 2. 3. 3. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9 } e B = {4, 6, 8, 10 }
são disjuntos, pois A ∩ B = ∅ , de modo que, o cardinal da união de A
e B é #(A∪B) = #(A) + #(B) = 4 + 4 = 8

# I = 35, # F = 18, # (I∪F) = 42. # (I∪F) = # I + # F - # (I∩F)

42 = 35 +18 - # (I∩F), de modo que # (I∩F) = 11.

Outra solução poderá ser dada usando os diagramas de Venn.
Para isso, você define dois conjuntos I e F. Coloque inicialmente os
elementos que pertencem à interseção I∩F. Como não sabemos,
colocaremos o número x.

imagem
31


O cardinal do conjunto dos que falam inglês e não falam francês é
35 – x. Analogamente, o número de turistas que falam francês e não
falam inglês é 18 – x. A soma desses elementos deve ser 42. Logo,
devemos ter 35 – x + x + 18 – x = 42. A equação se reduz a 53 – x =
42. Portanto, x = 11.

Exemplo 2. 3. 4. Todos os convidados de uma festa bebem café
(A) ou chá (B); 13 bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem café e chá.
Quantas pessoas há neste grupo?

#(A∪B) = #(A) + #(A) - #(A∩B) #(A∪B) = 13 + 10 – 4 = 19

Exemplo 2. 3. 5. O controle de qualidade de uma fábrica introduziu
na linha de montagem 42 peças com defeitos de pintura (A),
embalagem (B) ou na parte eletrônica (C). Dessas peças, 28 tinham
defeito na pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 com defeito na
parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica,
3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na
pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três defeitos?

#A = 28, #B = 17, #C = 11, #(A∩B) = 6, #(A∩C) = 3,

#(B∩C) = 7, #(A∩B∩C) = x

#(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C)

42 = 28 + 17 + 11 – 6 – 3 - 7 + x

42 = 40 + x

x=2

Você poderá usar diagramas de Venn para resolver esse problema.
Vamos lá? Use as figuras seguintes:

Exemplo 2.3.6. Entre os americanos que tiraram férias no ano
passado, 90% tiraram férias no verão, 65% no inverno, 10% na

32


primavera, 7% no outono, 55% no inverno e no verão, 8% na primavera
e no verão, 6% no outono e no verão, 4% no inverno e na primavera,
4% no inverno e no outono, 3% na primavera e no outono, 3% no
verão, no inverno e outono, 3% no verão, no inverno e primavera, 2%
no verão, no outono e primavera e 2% nono inverno, na primavera e
outono. Que percentagem tirou férias nas quatro estações?

Para resolver este problema que envolve quatro conjuntos,
podemos usar uma extensão do princípio da Inclusão – Exclusão
para quatro conjuntos. O diagrama de Venn com quatro conjuntos
deve apresentar 16 regiões. Na figura abaixo, apresentamos uma
alternativa usando retângulos. Você acha que pode fazer um diagrama
de Venn para quatro conjuntos usando quatro círculos e apresentando
16 regiões? Tente fazer!

#(A∪B∪C∪D) = #(A) + #(B) + # (C) + # (D)

– #(A∩B) – #(A∩C) – #(A∩D) – #(B ∩C) – #(B∩D) – #(C∩D)

+ #(A∩B∩C) + #(A∩B∩D) + #(A∩C∩D) + #(B∩C∩D)

– #(A∩B∩C∩D)

100 = 90 + 65 + 10 + 7 – 55 – 8 – 6 – 4 – 4 – 3 + 3 + 3 + 2 + 2 - x

100 = 102 – x

x = 2%

Aprenda Praticando - Exercícios 2.3

Mostre que você entendeu bem as técnicas de cálculos do número

33


de elementos de um conjunto, usando o Princípio da Inclusão –
Exclusão ou os diagramas de Venn. Caso tenha dificuldade, oriente-
se com seus tutores.

1. Em um congresso de informática, há 43 participantes do
Curso de Java, 57 de Pascal Avançado e 29 de C++. Há 10
participantes dos cursos de Java e Pascal Avançado, 5 em
Pascal Avançado e C++, 5 em Java e C++, e dois matriculados
nos três cursos. Quantos alunos estão inscritos ao menos em
um curso do congresso?

2. Há quatro grandes grupos de pessoas, cada um com 1.000
membros. Dois quaisquer desses grupos têm 100 membros
em comum. Três quaisquer desses grupos têm 10 pessoas
em comum. E há 1 pessoa em todos os quatro grupos.
Conjuntamente, quantas pessoas há nesses grupos?

3. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matemática, 140
estudam Economia e 24 estudam ambos os cursos. Dos 200
estudantes 60 são mulheres, das quais 20 estudam Matemática,
45 estudam Economia e 16 delas estudam ambos os cursos.
Determine, para o universo de estudantes, quantos são os
homens que não estudam nem Matemática nem Economia.

4. Uma companhia, 240 dos seus empregados obtiveram aumento
salarial, 115 obtiveram ascensão funcional e 60 obtiveram
ambas as coisas. Quantos são os empregados sabendo que
nenhum empregado deixou de ser promovido ou ter ascensão
funcional ?

5. Em um grupo de 110 estudantes, 63 estudam Inglês, 30 estudam
Francês e 50 estudam Alemão. Há 25 alunos que estudam
apenas dois idiomas, 13 estudam Inglês e Francês, 30 estudam
Inglês e Alemão e 12 estudam Francês e Alemão.

a) Quantos estudam Inglês e Francês, mas não estudam
Alemão?

b) Quantos alunos não estudam nenhum dos idiomas?

6. De 100 pessoas que foram pesquisadas, 52 são mulheres, 40
almoçam, 40 jantam, 25 são mulheres que almoçam, 15 são
mulheres que jantam, 20 são pessoas que almoçam e jantam, e
12 são mulheres que almoçam e jantam. Quantas pessoas são
homens que não almoçam nem jantam? Quantas são mulheres

34


que não almoçam nem jantam?

7. No auditório de uma faculdade há um grupo de alunos, dos
quais 12 cursam a disciplina A, 20 cursam a B, 20 cursam a C,
10 cursam a D, 5 cursam A e B, 7 cursam A e C, 4 cursam A e
D, 16 cursam B e C, 4 cursam B e D e 5 cursam as disciplinas
C e D. Três alunos cursam as disciplinas A, B e C, 2 cursam
A, B e D, 4 cursam B, C e D, e 3 cursam A, C e D. Apenas 2
alunos cursam as quatro disciplinas e 71 alunos não cursam
nenhumas das disciplinas citadas. Quantos são os alunos no
auditório?

Respostas dos Exercícios 2.3

Verifique aqui quantos exercícios acertou. Caso tenha errado ou
não tenha conseguido fazer, mude o método de resolução (Princípio
de Inclusão – Exclusão ou Diagrama de Venn). Discuta com seus
colegas

1. 111 2. 3.439 3. 23 4. 295

5. a) 3 b) 12 6. a) 16 b) 24 7. 102

2.4. Produto Cartesiano.

Se A e B são dois conjuntos, o produto cartesiano de A por
B é o conjunto A x B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B}.

EXEMPLO 2.4.1 Sejam A = {a, b, c } e B = { a, b, d }.

a) Liste todos os pares ordenados de A x B

A x B = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c,
d) }

b) Liste todos os pares ordenados de B x A.

B x A = { (a, a), (b, a), (d, a), (a, b), (b, b), (d, b), (a, c), (b, c), (d,
c) }

c) Liste todos os elementos do conjunto { (x,y)  A x B : x = y } {
(a, a), (b, b) }

35


Aprenda praticando - Exercícios 2.4

Você deverá listar os elementos dos seguintes conjuntos, pondo
em prática os conceitos de produto cartesiano.

1. Sejam S ={ 0, 1, 2 ,3, 4 } e T = { 0 , 2, 4 } . Liste todos os
elementos dos seguintes conjuntos:

A = { (m,n) ∈ S x T : m < n }

B = { (m, n) ∈ T x S ; m < n }

C = { (m, n) ∈ S x T : m + n ≥ 3 }

D = { (m,n) ∈ T x S ; m.n ≥ 4 }

E ={ (m, n) ∈ S x S : m + n = 10 }.

Obs.: S x S = S2

2. Liste pelo menos 6 elementos dos seguintes conjuntos:

a) { (m,n) ∈ N2 : m = n }

b) { (m,n) ∈ N2 : m + n é primo }

c) { (m,n) ∈ N2 : m = 6 }

d) { (m,n) ∈ N2 : min {m ,n } = 3}

e) { (m,n) ∈ N2 : máx {m , n} = 3 }

f) { (m,n) ∈ N2 : m2 = n }

Resposta

Logo em seguida, apresentamos respostas. Confira as suas.

A = { (0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (3, 4)} B ={(0,1), (0, 2), (0, 3),
(0,4), (2, 3), (2, 4)}

C = { (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4,0),
(4,2), (4,4) }

D = { (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4).

2. a) { 0,0) , (1,1), (2,2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ...}

b) {(0,2), (0,3), (0, 5), (0, 7), (1,2), (2,3), ...}

36


c) { (6,0), (6,1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), ...}

d) { (3,3), (3,4), (3,5), (6,3), (7, 3), (8, 3), ...}

e) (0,3), (1,3), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2) (3,3)}

f) { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25), (6, 36), ...}

2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos

Dados os conjuntos A1, A2, ..., Ak, o produto cartesiano A1 x A2 x ...x
Ak é o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , ak) tais que ai ∈ Ai.

Se #(A1)= n1, #(A2) = n2, ..., #(Ak)= nk então #(A1 x A2 x ... x Ak) =
n1. n2. ... . nk.

Exemplo 2. 5. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z =
{ m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

a) X x Y x Z b) X x Y x Y c) X x X x X d) Y x X x Y x Z

X x Y x Z = {(1, a, m), (1, a, n), (1, a, p), (1, b, m), (1, b, n),

(1, b, p) , (2, a, m), (2, a, n), (2, a, p), (2, b, m), (2, b, n), (2, b, p)}

b) X x Y x Y = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), {(2, a, a),

(2, a, b), (2, b, a), (2, b, b)}.

Exemplo 2. 5. 1. Se A é o conjunto das letras maiúsculas do
alfabeto português (26 letras) e B é o conjunto dos naturais de 0 a
9,represente sob a forma de conjunto, todas as placas de automóveis
possíveis no Brasil. Quantas são essas placas?

Uma placa consiste em três letras seguidas por quatro algarismos.
O número total de placas possíveis é dado pelo cardinal do produto
cartesiano A x A x A x B x B x B x B.

# (A x A x A x B x B x B x B) = 26 x 26x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263
x 104 = 175.760.000 placas.


Nesses exercícios, você terá oportunidade de explorar o conceito

37


de produto cartesiano envolvendo mais do que dois conjuntos.

1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}.
Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

a) X x X x X b) Y x X x Y x Z

2. Calcular o cardinal dos conjuntos produto cartesiano da primeira
questão.

3. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z : -1 ≤ x ≤ 2} e B = {y ∈ Z : -1 ≤ y ≤
1}, pede-se:

a) Enumerar os elementos do conjunto A x B

b) Enumerar os elementos do conjunto B x A

c) Obter (A x B ) ∩ ( B x A )

d) Obter o cardinal de (A x B ) ∪ ( B x A )

2.6. Identidades de conjuntos.

As operações entre conjuntos, tais como: união, interseção,
diferença, diferença simétrica e complemento satisfazem diversas
propriedades. Essas propriedades são apresentadas na forma
de igualdade entre conjuntos e são chamadas de identidades de
conjuntos.

Identidades de Conjuntos

Exemplo 2. 6. 1: Prove que A ∩ (B - A) = ∅ usando as identidades
de conjuntos.

Prova: A ∩ (B-A) = A ∩ (B ∩ A) pela definição de diferença

= A ∩ ( A ∩ B) pela propriedade comutativa

= (A ∩ A) ∩ B pela propriedade associativa

38


= ∅ ∩ B pela propriedade de complemento

= ∅ por definição de interseção

Exemplo 2. 6. 2: Prove que A ∪ (B - A) = A ∪ B usando as
identidades de conjuntos A ∪ (B-A) = A ∪ (B ∩ A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A )
= (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B.

Exemplo 2.6.3: Provar a igualdade de De Morgan A ∪ B = A ∩ B
Teremos que provar que: A ∪ B ⊆ A ∩ B e que A ∩ B ⊆ A ∪ B ,
usando as definições das operações entre conjuntos.

1.Suponha que x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∪ B. 3.De 2
temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A e x∈ B . 5. De 4,
temos que x∈ A ∩ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A∩B

1.Suponha que x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∈ A e x∈ B 3.De 2
temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∉ A ∪ B. 5.De 4, temos
que x ∈ A ∪ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A ∩ B

Logo A ∪ B = A ∩ B .

Exemplo 2. 6. 4: Provar que A ∩ B = A ∪ B (Igualdade de De
Morgan), usando as definições das operações entre conjuntos.

1.Seja x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∩ B. 3.De 2 escrevemos
x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 5.De 4, temos que

x ∈ A ∪ B e, assim A ∩ B ⊆ A ∪ B .

1.Seja x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 3.De 2, temos
que x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 escrevemos x ∉ A ∩ B. 5.De 4, temos que
x ∈ A ∩ B e, assim, A ∪ B ⊆ A ∩ B .

Logo A ∩ B = A ∪ B .

Exemplo 2. 6. 5: Provar que A = A , usando as definições das
operações entre conjuntos.

Seja x ∈ A . Então x ∉ A . Logo x ∈ A. Assim provamos que A ⊆
A.

Seja x ∈ A. Então x ∉ A . Logo x ∈ A . Provamos que A ⊆ A . Logo
A=A.

39


Exemplo 2. 6. 6: Mostre por meio da tabela de pertinência que,
dados os conjuntos A, B e C então (A – B) – C = A – (B ∪ C).

Devemos construir as tabelas de pertinência do conjunto do
primeiro membro e do segundo membro. Os conjuntos iguais
apresentam tabelas de pertinência iguais.

Exemplo 2.6.7: Mostre, por meio da tabela de
pertinência que dados os conjuntos A, B e C tem-se que

( ∩ C) ⊕ ( ∩ C) = ( ⊕ B - C
A B A )

Exemplos 2. 6.7: Simplifique (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B
(
. (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B = ((A  A) (B  A) ∪ A ∩ B =
( ) (f  ( B  A))  A  B
= (B ∩ A)  ( A  B ) = ((B∩ A ) ∪ A) ∪ B = A B = A B .

40


Aprenda praticando - Exercícios 2.6

Nos exercícios seguintes, pede-se que você apresente, por meio
da tabela de pertinência de conjuntos, uma prova da igualdade de
conjuntos. Compartilhe com seus colegas as tabelas de pertinência
feitas por você.
1. Considere os conjuntos A, B e C. Prove, por meio da tabela de
pertinência que:

a) A ∩ (B - A) = ∅

b) A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C

c) A∪(B-A) = A∪B

d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A

e) A – B = A ∩ B

f) (A – B) – C = (A - C) – B

g) (A – B) – C = (A - C) – (B – C).

2. Prove por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos
A, B e C, as igualdades abaixo são verdadeiras.

3. Use a tabela de pertinência para mostrar que (A ∪ B) - (A ∩B)
= (A ∪ B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B.

4. Use a tabela de pertinência para verificar se (A ∩ B ) ∩ A ∩ B
= (A∪B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B.

41


Saiba Mais

As operações com conjuntos estudadas nesse capítulo apresentam
propriedades importantes que tem relação com outras estruturas que
serão vistas nos capítulos seguintes.

Sugerimos consultar os seguintes livros para aprofundar os
seus conhecimentos em relação às operações entre conjuntos,
suas propriedades, as diversas formas de provar a igualdade entre
conjuntos:

- ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos
conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.

- ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática.
São Paulo: Nobel, 1995.

- GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a
Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio
de Janeiro: LTC, 2004.

- LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

- Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução.
Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003.

42


Capítulo 3 - Introdução à Lógica
Matemática

A Lógica Matemática é base para qualquer estudo nas áreas de
Computação e Informática. Muitas demonstrações em Matemática
e muitos algoritmos em Ciência da Computação usam expressões
lógicas, tais como,“se P então Q” ou “se P e Q então P ou Q”. De
modo que, para desenvolver qualquer algoritmo, em conseqüência,
qualquer software, é necessário ter o conhecimento dos fundamentos
da Lógica. Existem linguagens de programação, tais como Prolog e
Haskel, que são desenvolvidas de acordo com o paradigma lógico.

Nesse capítulo, seguiremos os fundamentos da Lógica Booleana
Acesse
(George Boole2, 1815 – 1864), conjunto de princípios e métodos
usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas.
2. http://www.
santarita.g12.br/
Uma proposição é uma construção (sentença, frase, matematicos/gm1/
pensamento) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática, o george_boole.htm

tipo de juízo é o verdadeiro (V) ou falso (F), não ambos.

Para uma dada proposição p, denota-se por V(p) o seu valor
verdade, de modo que V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F, se p é
falsa.

São proposições:

p: 6 é um número primo

q: (72)3 = 76

r: =1, 4142

s: Linux é um software livre.

Para cada uma delas, o valor-verdade é como segue: V(p) = F,
V(q)= V, V(r) = F, V(s) = V.

Não são proposições:

p: Como vai você?

q: Não chegue atrasado!

r: x + 2 = 5

t: “O que estou dizendo agora é mentira”.

43


3.1 Proposições compostas.

As proposições estudadas até aqui são ditas proposições simples,
no sentido de que não podem ser decompostas em proposições
mais simples. É possível, a partir de proposições simples, construir
proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas,
usando os conectivos lógicos ∨ (OU), ∧ (E), ¬ (NÃ0).

Negação ¬p. A negação de uma proposição é construída
introduzindo a palavra não de forma apropriada ou prefixando-
se a expressão “não é fato que”, como nos exemplos a seguir:.
Considerando uma proposição p, sua negação é denotada por ¬p.
Alguns autores usam a notação ~p, outros usam p’.

p: Linux é um software livre ¬p : Linux não é um software livre.

q: Paris não fica na França. ¬q : Paris fica na França.

r : 2 ≥ 1,5 ¬ r : 2 < 1,5

A tabela-verdade descreve todas as possibilidades dos
valores lógicos de uma proposição. A tabela lista todas as possíveis
combinações de valores-verdade V ou F para as componentes simples
envolvidas na composição da proposição composta.

Quando a proposição é composta de duas proposições simples,
sua tabela-verdade contém quatro linhas. Em geral, se uma proposição
é composta de n proposições simples, sua tabela-verdade contém 2n
linhas.

Vamos iniciar a construção das tabelas-verdade? Iniciaremos com
Atenção a tabela da negação.

Negação. A tabela – verdade da negação apresenta apenas
Você percebeu duas linhas, pois envolve uma só proposição.
semelhança da
tabela ao lado
com alguma
tabela envolvendo
conjuntos?
Recorde a tabela
de pertinência do
complementar de
um conjunto!
Isto é, se p é verdadeira, então ¬p é falsa. Se p é falsa, então ¬p
é verdadeira.

Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q, denota-se
por p ∧ q ( lê-se p e q ), tem valor lógico verdadeiro quando p e q são

44


ambas verdadeiras e, tem valor lógico falso, em qualquer outro caso.
Abaixo segue a tabela da conjunção exemplos.
Atenção
E agora, você
percebeu
semelhança da
tabela ao lado
com a tabela
de pertinência
da interseção
conjuntos?

p: Windows é um sistema operacional

q: Java é uma linguagem de programação.

p∧q : Windows é um sistema operacional e q: Java é uma linguagem
de programação

V(p∧q)=V

p: Windows é um sistema operacional.

q: Java é uma planilha eletrônica

p∧q : Windows é um sistema operacional e Java é uma planilha
eletrônica

V(p∧q)=F

p: Windows é um editor de textos.

q: Java é uma linguagem de programação

p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma linguagem de
programação

V(p∧q)=F


q: Java é uma planilha eletrônica.

p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma planilha
eletrônica

V(p∧q)=F

Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q, denota-se
por p ∨ q ( lê-se p ou q ) reflete a noção de que pelo menos uma
das proposições deve ser verdadeira para que a resultante seja
verdadeira. De modo que, a proposição p ∨ q é verdadeira, se pelo
menos uma das proposições é verdadeira; falsa, se as proposições

45


são todas falsas. A tabela-verdade da disjunção é :

Atenção

Nesta tabela,
você percebeu
semelhança
com a tabela de
pertinência da
união conjuntos?

Exemplos:


q: C++ é uma linguagem de programação.

p∨q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma linguagem
de programação

V(p∨q)=V


q: C++ é uma planilha eletrônica

p ∨ q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma planilha
eletrônica

V(p ∨ q)=V


46


q: C++ é uma linguagem de programação

p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma linguagem
de programação

V(p ∨ q)=V


q: C++ é uma planilha eletrônica.

p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma planilha

V(p ∨ q)=F

Condicional. (Implicação). A condicional envolvendo duas
proposições p e q, denota-se por p → q que é lida: “Se p então q”. A
proposição p é chamada premissa (antecedente) e a proposição q é
dita conclusão (conseqüente).

A condicional reflete a noção de que, partindo-se de uma premissa
verdadeira (p verdadeira) obrigatoriamente chega-se a uma conclusão
verdadeira (q verdadeira), para que a condicional p → q seja
verdadeira. Partindo-se de uma premissa falsa, qualquer conclusão
pode ser considerada, e a condicional é verdadeira. A condicional
é falsa apenas quando a premissa é verdadeira e a conclusão é
falsa.

Resumo: a condicional p → q é:

Falsa, quando p é verdadeira e q falsa.

Verdadeira, nos outros casos.

A tabela-verdade da condicional é:

47


Exemplo:

Analisaremos a seguinte situação condicional: Pedro diz: “Se
chover domingo então ficarei estudando”.

Vamos considerar as seguintes hipóteses e vejamos se Pedro
cumpriu sua palavra (V):

a) Domingo choveu (V) e Pedro ficou estudando (V).

Pedro cumpriu com a sua palavra (V)

b) Domingo choveu (V) e Pedro não ficou estudando (F).

Pedro não cumpriu sua palavra (F)

c) Domingo não choveu (F) e Pedro ficou estudando (V).

Pedro cumpriu sua palavra (V), pois não disse o que faria se
não chovesse. Nesse caso, poderia ou não ficar estudando.

d) Domingo não choveu (F) e Pedro não ficou estudando (F).

Pedro cumpriu sua palavra (V), pelos motivos explicados na
letra (c).

Exemplos: Considere as proposições seguintes:

p: Recife fica no Brasil q: 2 + 3=4

48


r: 2 + 2 = 4 t: Recife fica na Índia

p → r : Se Recife fica no Brasil então 2 + 2 = 4 V(p→ r) = V

p → q : Se Recife fica no Brasil então 2 + 3 = 4 V(p→ q) = F

t → q : Se Recife fica na Índia então 2 + 3 = 4 V(t→ q) = V

q → r : Se 2 + 3 = 4 então 2 + 2 = 4 V(q→ r) = V

Bicondicional. A bicondicional envolve duas proposições p e
q, é denotada por p↔q e é lida: “p se somente se q”, traduz a noção
de uma dupla condicional, uma no sentido “ida” p→q e outra no
sentido “volta” q→p.A tabela-verdade da bicondicional é dada abaixo:

Isto é, a bicondicional é verdadeira quando as proposições são
ambas verdadeiras ou ambas falsas. A bicondicional é falsa, quando
as proposições p e q têm valores-verdade distintos. Observe que a
bicondicional p↔q tem o mesmo significado que (p→q) ∧(q→p). Faça
a tabela-verdade.

Duas proposições p e q são logicamente equivalentes se têm
tabelas-verdade idênticas e escrevemos p ≡ q

Observe que a tabela-verdade da condicional p→q é a mesma da
proposição composta ¬ p∨q

Dizemos que a condicional p → q é equivalente a ¬p∨q, isto é, p
→ q ≡ ¬p∨q

49



Você vai agora praticar a construção de tabela-verdade de
proposições compostas e verificar as que são equivalentes,
comparando a última coluna de cada uma delas.

1. Mostre que as proposições abaixo são equivalentes, em cada
caso:

a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)

b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)

c) p→q ≡ ¬(p∧¬q)

d) p ∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r)

e) ¬(p→q) ≡ p∧¬q

f) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧¬q)

g) p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q)


Apresentamos as respostas de alguns exercícios. Em relação aos
outros exercícios, comente com seus colegas. Dificuldade? Peça
ajuda ao seu tutor.

50


a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)

b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)

c) p→q ≡ ¬(p ∧¬ q)

3.2 Tautologias e Contradições

Tautologia (V) é uma proposição que toma o valor V para todas
as possíveis atribuições de valor V e/ou F para as suas componentes
simples nela presentes. Por exemplo, p ∨ ¬ p.

Contradição (F) é uma proposição que toma o valor F para todas
as possíveis atribuições de valor V e/ou F para suas componentes
simples nela presentes. Por exemplo, p ∧ ¬ p

Contingência é uma proposição cuja tabela-verdade consta V
e F. Por exemplo, a conjunção p ∧ q e a disjunção são exemplos de
contingências.

51


Exemplo 3.2.1 A proposição p →(p∨q) é uma tautologia. Confira a
sua tabela-verdade.

Exemplo 3.2.2 A proposição (p→q) ∧(p∧ ¬ q) é uma contradição.
Confira a sua tabela-verdade.


Decida quais as proposições abaixo são tautologias, contradições
ou contingências. Faça a tabela.

1. Quais proposições abaixo são tautologias, contradições ou
contingências?

a) (p∨¬q) ∨(p∨q)

b) (p∧q) → (p∨q)

c) ¬p → (q→p)

d) (x ∧ (x → y)) → y

e) ((x→y) ∧ (y→z)) → (x→z)

52


f) (p∨ ¬q) → (p→¬q)

g) (¬p ∨ q) → (p→q)

h) (p∧q) → (p↔q)

i) (¬p) ∧(p∧¬q)

j) ¬(p∨q) → (p↔q)

j) (p→q) ↔(¬q→¬p)

2. Qual o valor-verdade das seguintes proposições?

a) 8 é par ou 6 é ímpar

b) 8 é par e 6 é ímpar

c) 8 é impar ou 6 é ímpar

d) Se 8 é ímpar, então 6 é par.

e) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar

f) Se 8 é impar ou 6 é par, então 8 < 6.

g) Se 8 é par, e 6 é ímpar então 6 > 8.


1. a) Tautologia b) Tautologia. c) Contingência. d) Tautologia.

e) Tautologia. f) Tautologia g) Tautologia. h) Tautologia.

i) Contingência. j) Tautologia. k) Tautologia.

2. a) V. b) V. c) F. d) V. e) V. f) F g) V.

3.3 Negação de conjunção e de disjunção

DE MORGAN

Considere a conjunção p ∧ q e a disjunção p ∨ q.

A negação da conjunção é denotada por ¬(p ∧ q) e é equivalente
a ¬p ∨ ¬q.

53


A negação da disjunção é expressa por ¬(p ∨ q) e é equivalente a
¬p ∧ ¬q.

Confira fazendo a tabela-verdade:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e de ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.

3.4 Álgebra das proposições.

Você observou, nesse capítulo, que as proposições, a exemplo
dos conjuntos, satisfazem várias propriedades que estão listadas na
tabela abaixo. Cabe ao leitor, identificar aquelas propriedades que
correspondem às dos conjuntos:

Exemplo 3.3.1

a) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é
“Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá”.

b) A negação de 2 < 7 ou 3 é par é : 2 ≥ 7 e 3 é ímpar.

Exemplo 3.3.2. Considere as seguintes proposições:

p: Rosas são vermelhas. q:Violetas são azuis.

r: Cravos são brancos. s: Cravos são vermelhos.

A forma simbólica usando os conectivos ∧, ∨ , ¬ , → e ↔, das
seguintes proposições compostas:

a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

a) p∧q

54


b)Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis.

b) ¬p ∨¬q

c) Cravos são brancos ou vermelhos.

c) r∨s

d) Cravos não vermelhos ou violetas não são azuis.

d) ¬s∨¬q

e) Não é verdade que violetas são azuis e rosas são vermelhas.

e) ¬(q∨p)

f) É falso que cravos são vermelhos ou brancos.

f) ¬(s∨r)

g) Se cravos são brancos, então cravos são vermelhos e violetas
são azuis.

g) r → s ∧ q

h) Se rosas não são vermelhas, então violetas não são azuis ou
cravos não são brancos.

h) ¬p →¬ q ∨ ¬r

i) Se violetas são azuis e cravos brancos, então é falso que cravos
são brancos ou vermelhos.

i) (q∧r)→¬(r∨s)

j) Rosas são vermelhas se e somente se cravos são brancos.

j) p ↔r

Exemplo 3.3.3. Os conectivos lógicos E (AND) , OU (OR) e Não
(NOT), correspondentes, respectivamente a, ∧, ∨ e ¬, são usados em
algumas linguagens de programação conjuntamente com expressões
verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final.

Suponha as seguintes variáveis

“Fluxo_de_saída”, “Fluxo _de_entrada” e “Pressão” e o seguinte
programa de computador:
If [ (Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ((Fluxo_de_saída > Fluxo
_de_entrada) and Pressão <1000 )]

do Ponha água;

55


Else

do Desligue a máquina;

Pondo P = Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada e Q = Pressão
<1000, a expressão usada no programa se escreve P ∧¬ (P ∧Q).

Essa expressão pode ser simplificada assim:

P ∧¬ (P ∧Q) = P ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) = (P ∧¬P) ∨ (P ∧¬Q) = 0 ∨ (P
∧¬Q) = P ∧¬Q.

Assim o programa poderia ser reescrito na forma:
If ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ( Pressão < 1000))

do Ponha água;

else

do Desligue a máquina;

Exemplo 3. 3. 4 Suponha que P, Q e R representam condições
que serão verdadeiras ou falsas quando certo programa é executado.
O programa manda realizar uma tarefa somente quando P ou Q for
verdadeira ( mas não ambas) e R for falsa. Escreva uma proposição
usando os conectivos and , or e not que seja verdadeira apenas
dessas condições.

Resp. ( (P and not Q) or (not P and Q) and not R ) ) ou seja ( (P
∧¬Q) ∨ ( ¬P ∧Q) ) ∧ ¬R.

Exemplo 3. 3. 5 Reescreva o programa abaixo com uma
expressão condicional mais simples. A função impar(número) tem
valor verdadeiro se n é ímpar.

Se não ( (valor 1 < valor 2) ou ímpar (número) ) ou ( não (valor
1 < valor 2) e ímpar(número)) então

faça Alguma Coisa;

Caso contrário

faça Outra Coisa;

Resp. Sugestão: Ponha A = valor 1 < valor 2 e B =
impar(número)

A expressão condicional é : ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B)

Assim, ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) = ( ¬A ∧ ¬B) ∨( ¬A ∧B) = ¬A ∧( ¬B ∨
B) = ¬A∧(T) = ¬A

56



Novamente, solicitamos que revise o conteúdo dessa seção e
resolva os exercícios seguintes.

1. Determinar as proposições compostas por conjunção ∧ com as
proposições simples p e q, antecedidas ou não por negação
¬, que satisfazem a cada um das tabelas-verdade abaixo
indicadas.

2. Repetir o exercício com disjunção ∨.

3. Repetir o exercício com condicional →.

4. Mostre por meio da tabela-verdade que as proposições p→q e
¬q → ¬ p são equivalentes.

Use a equivalência para resolver as questões seguintes.

57


5. (ESAF / AFTN) Considere as seguintes afirmações:

- Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm
a mesma idade.

- Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço
do que Pedro.

- Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho
do que Maria.

Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do
que Pedro.

b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a
mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do
que Pedro.

e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não
têm a mesma idade.

6. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:

a) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.

b) Rodrigo é culpado.

c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.

d) Rodrigo mentiu.

e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu

58


Respostas dos Exercícios 3.3 e 3.4

1.

5. e

6. c.

3.5 Funções proposicionais. Quantificadores.

Considere as seguintes sentenças p: 3 + 6 = 9 q: x + 4 < 9.

A sentença p, como sabemos, é verdadeira, ao passo que, nada
podemos afirmar sobre o valor lógico da sentença q enquanto x
não for identificado. Dependendo do valor de x, esta sentença pode
assumir o valor verdadeiro ou falso. Nesse caso, a sentença q é dita
uma sentença aberta ou função proposicional.

De um modo geral, p(x) significa que x tem a propriedade p. Nas
sentenças abertas p(x), p(y), os símbolos x, y são chamados de
Atenção
variáveis. O conjunto de valores que a variável pode assumir constitui
A sentença ∀ x,
o seu conjunto universo U. O subconjunto de U para os quais o valor p(x) é verdadeira se
o conjunto-verdade
lógico da sentença aberta é verdadeiro é o conjunto V, dito conjunto- de p(x) e o seu
conjunto universo
verdade da sentença aberta. Exemplos.
são iguais, isto é,
U=V e, falsa , se
a) Considere a proposição p(x) “x + 2 > 9 “ com x ∈ N. O conjunto- ≠ V.
U
verdade V = {8, 9, 10 ,l 1, ....}

b) A proposição p(x) “x + 7 < 4“ com x ∈ N tem conjunto verdade
V = φ.

c) A proposição p(x) “ x + 7 > 4 “ com x ∈ N tem V = N.

Os exemplos acima mostram que, se uma proposição p(x) é
definida para x do universo U, então p(x) pode ser verdade para todo Atenção
x ∈ U, para algum x ∈ U, ou para nenhum x ∈ U.
A sentença ∃x, p(x)
é verdadeira se o
conjunto-verdade
3.5.1 Quantificadores. de p(x) é não vazio,
V ≠ φ e, falso se V
=φ
Usaremos o símbolo ∀, chamado quantificador universal, para
exprimir o fato de que “ para todo x em um conjunto, a proposição

59


p(x) é verdadeira”. Uma proposição do tipo “ Para todo x, p(x) “ é
simbolicamente denotada por “∀x, p(x)”.

Exemplos:

∀x∈N, x  = x é verdadeira pois V(p(x)) = N ∀x∈Z, x  = x
é falsa, pois V(p(x)) = N ≠ Z

∀x∈N*, x2 + 1 ≥ 2 é verdadeira, pois V(p(x)) = N* ∀x∈Z, x2 ≥ 0 é
verdadeira, pois V(p(x)) = Z

Analogamente, no caso de proposições que envolvem expressões
do tipo “existe”, “há pelo menos um”, “algum”, usaremos o símbolo ∃,
chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para
um ou mais elementos de um dado conjunto U a proposição p(x) é
Atenção
verdadeira. Uma proposição do tipo “existe um x tal que p(x) ” pode
ser escrita simbolicamente: “∃x, p(x)”.
A negação da
sentença ∀x, p(x) Exemplo: A proposição “ ∃x, x∈N” tem os seguintes significados:
é ∃x, ¬ p(x).
Logo, ¬ (∀x, p(x))
“ existe um x tal que x∈N”, “algum número é natural”, “existe pelo
é equivalente a ∃x, menos um número natural”.
¬ p(x).
Exemplos: ∃n, n ∈ N : n + 2 = 5 é verdadeira, pois V(p(n)) = { 3 }
≠∅
Atenção
∃x, x ∈ N: x + 2 = 0 é falsa, pois V(p(x)) = ∅
A negação da
sentença ∃x, ∃x∈{1, 2, -3, -4}, x2 + x - 6 = 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = {2, -3}
p(x) é ∀x, ¬ p(x).
Logo, ¬ ∃ (x, p(x)) ∃n, n ∈ N, n! < 10 é verdadeira, pois V(p(n)) = {0, 1, 2, 3}
é equivalente a∀x,
¬ p(x).

3.5.2 Negação de sentenças quantificadas

Exemplos: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5 }

a) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 = 10 é ∀x∈A, x + 3 ≠
10

b) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 < 5 é ∀x∈A, x + 3 ≥ 5

c) A negação de ∀x∈A, x + 3 < 10 é ∃x ∈ A, x + 3 ≥ 10

d) A negação de ∀x∈A, x + 3 ≤ 7 é ∃x ∈ A, x + 3 > 7

60



1.Escreva as proposições seguintes utilizando a notação de
quantificador (isto é, use os símbolos ∀ e/ou ∃ ).

a) Todo inteiro é primo.

b) Há um inteiro que não é primo.

c) Existe um inteiro cujo quadrado é 4.

d) Todos os inteiros são divisíveis por 5.

e) Algum inteiro é divisível por 7.

f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo.

g) Para todo número inteiro x, existe um inteiro y tal que x.y =1.

h) Existem dois inteiros x e y tais que x/y =10.

2. Escreva a negação de cada uma das proposições do problema
anterior. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente.

3. Assinale como verdadeiras ou falsas as proposições abaixo
relativas aos números inteiros:

a) ∀x, ∀y, x + y = 0 b) ∀x, ∃y, x + y = 0

c) ∃x, ∀y, x + y = 0 d) ∃x, ∃y, x + y = 0

e) ∀x, ∀y, x.y = 0 f) ∀x, ∃y, x.y = 0

g) ∃x, ∀y, x.y = 0 h) ∃x, ∃y, x.y = 0.

4. Para cada uma das proposições seguintes, escreva a
negação.

a) ∀x ∈ Z, x < 0.

b) ∃ x ∈ Z, x = x + 1

c) ∃ x ∈ N, x > 10

d) ∀ x ∈ N, x + x = 2x

e) ∃ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x > y.

f) ∀ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y.

61


g) ∀ x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.

5. Mostre por meio da tabela-verdade se as proposições abaixo
são equivalentes:

a) p ∧ p ⇔ p b) p ∨ p ⇔ p

c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ∧ q ⇔ q ∧ p

e) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

f) p∨(q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r)

g) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

h) ( p → q) ⇔ ( q’ → p’)

6. Considere as seguintes sentenças abertas cujo domínio
consiste nos números inteiros Z:

O(x) : x é impar L(x) : x < 10 G(x) : x > 9

Qual o valor-verdade de cada uma das seguintes sentenças
abertas?:

a) ∃x : O(x)

b) ∀x [ L(x) → O(x) ]

c) ∃x [ L(x) ∧ G(x) ]

d) ∀x [L(x) ∨ G(x)]

7. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras
e que as proposições “y = z” e “y = t” são falsas, determinar o
valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) (x = 0 ) ∧(x = y) → (y ≠ z)

b) (x ≠ 0 ) ∨ (y = t) → (y = z)

c) (x = 0 ) → (x ≠ y) ∨( y ≠ t)

d) (x ≠ 0 ) ∨(x ≠ y) → (y ≠ z)

8. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir,
considerando o conjunto universo de todos os números
inteiros Z.

a) ∀n, n2 ≥ 0 b) ∃n, n2 = 2 c) ∀n, n2 ≥ n

d) ∀n ∃m, n2 < m. e) ∃n ∀m, n < m2 f) ∃n ∀m, n + m = 0,

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