1. I. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
4. EL CAMPO
4. EL CAMPO
GRAVITATORIO
GRAVITATORIO
NOCIONES SOBRE
TEORIA GENERAL DE
CAMPOS
Física 2º Bachillerato
Física 2º Bachillerato

2. Campos escalares y
Campos escalares y
vectoriales
vectoriales
• Campos escalares
• Campos vectoriales
• Campos escalares. Vector gradiente
• Dirección, sentido y módulo del vector gradiente
• Superficies equipotenciales
• Circulación de un campo vectorial
• Flujo de un campo vectorial
• Campos conservativos

3. La idea de Campo comienza con Faraday, que indica que los cuerpos
producen una modificación de las propiedades del espacio que los rodea.
Dicha perturbación se propaga por el espacio con una velocidad finita.
Decimos entonces que se ha creado un campo y se pone de manifiesto por
su acción sobre otros cuerpos.
CAMPOS ESCALARES. REPRESENTACIÓN
Cuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de una
magnitud física escalar, decimos que tenemos un campo escalar.
Su expresión matemática viene dada por: V(x,y,z) = V(r) = V
Ejemplos: La temperatura: T(x,y,z), la presión atmosférica: P(x,y,z).
Los campos escalares se representan mediante superficies escalares que
son el lugar geométrico de todos los puntos con el mismo valor de la
magnitud escalar.

4. Campos escalares
Campos escalares
24ºC 26ºC
18ºC
20ºC
28ºC
22ºC

5. Campos escalares. Vector gradiente
Campos escalares. Vector gradiente
 ∇V  ∂V  ∂V  ∂V  
( )
  
V3 > V2 > V1 dr   dx i +
 ∂x i + ∂y j + ∂z k  ⋅  dy jdzk
+
 
 
 
dr
V3 dV = 0 gra dV
V2 ∂  ∂  ∂ 
∇= i+ j+ k
∂x ∂y ∂z
V1
   
dV = gradV ⋅ dr = ∇V ⋅ dr
∂V ∂V ∂V
dV = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z

6. Dirección, sentido y módulo del vector
Dirección, sentido y módulo del vector
gradiente
gradiente
∇V

V1 > V2 > V3 α dr
dV
= ∇V cos α
dr
V1
V2
dV = ∇Vdrcosα
V3
• Dirección: Perpendicular a la superficie isoescalar y marca el camino a
través del cual el campo varía más rápidamente.
• Sentido : Hacia valores crecientes.
• Módulo igual a dV/dr
• El gradiente de una función escalar es una función vectorial

7. CAMPOS VECTORIALES. REPRESENTACIÓN
Cuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de una
magnitud física VECTORIAL, decimos que tenemos un campo
VECTORIAL.
Su expresión matemática viene dada por:
Ejemplos:
  
v ( x, y , z ) , E ( x, y , z ) , g ( x, y , z )
Los campos escalares se representan mediante líneas de campo cuyas
características son:
El campo vectorial es tangente a línea de campo y de la misma dirección.
Un campo constante o uniforme se representa mediante líneas paralelas
o equidistantes.
El módulo es mayor donde mayor número de líneas hay.

8. Líneas de campo
Líneas de campo

B (x,y,z)
dx dy dz
= =
Bx By Bz
Líneas de campo: aquéllas a las cuales el vector
campo es tangente en todos sus puntos.

9. → → → →
F = kyi F = ky2i
Campos vectoriales
Campos vectoriales
 k 
F = 2 ur
r
→ → →
F = -kyi + kxj

10. Flujo de un campo vectorial
Flujo de un campo vectorial
S 
 A
A (x,y,z)
dS
El flujo
elemental del  
vector A a dΦ = A ⋅ dS
través de la
superficie viene
dada por la
  
A
expresión:  Φ = ∫ A ⋅ dS =
dS s
Flujo máximo:
vectores
paralelos.
∫ A ⋅ dS • cosθ
s
Flujo cero:
perpendiculares

11. Superficies cerradas
Superficies cerradas

En las superficies cerradas, S hacia fuera
   
A dS A dS
FLUJO FLUJO
SALIENTE ENTRANTE
Φ>0 Φ<0
FUENTE Φ=0
SUMIDERO

12. Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r22
Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r
Flujo de F a través de una superficie esférica centrada en
(0,0,0)
  C 
dS = dSur F = 2 ur
r
  C   C
dΦ = F ⋅ dS = 2 ur ⋅ dS • ur = 2 dS
R r R
C C 4π 2
R
Φ= ∫ 2 dS = 2 ∫dS = R 2 •C =4π •C
R R
Esta expresión se conoce con el nombre de Teorema de Gauss y nos dice que el flujo a
través de una superficie cerrada depende exclusivamente de las fuentes encerradas en
la superficie.

13. Teorema de Gauss: Flujo a través de una
Teorema de Gauss: Flujo a través de una
superficie
superficie
 
Calcular el flujo de la función F = ky i, a través de la superficie de la figura.
a  
F = ky i
 
 dΦ = F ⋅ dS =
dS b  
 ky i ⋅ bdy i = kbydy
F
c y c +a 2 c +a
y
dy Φ = ∫ kbydy = kb
c 2
x c c
c+a
=
kb
2
[ 2 2
]
kb 2
(c + a) − c = (a + 2ac )
2

14. Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = kr
Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = kr
Flujo de F a través de una superficie esférica centrada en
(0,0,0)
 
F = krur

dS = dSur
 
dΦ = F ⋅ dS =
 
krur ⋅ dSur = kRdS
R
Φ = kR ∫ dS = 4πkR 3

15. Circulación de un campo vectorial
Circulación de un campo vectorial
  B
 
A (x,y,z) dr dC = A ⋅ dr
  B
c C = ∫ A ⋅ dr
B
A
A
A
       
F = Fx i + Fy j + Fz k d r = dx i + dy j + dzk
B  
CB = ∫ Fx dx + Fy dy + Fz dz
A
C = ∫ F ⋅ dr
A c

16. Cálculo de la función potencial si conocemos: ∇U(r)

∇U = K r
  
dU = ∇U ⋅ d r = K r ⋅ d r = Krdr
  2    
r ⋅r =r → 2r ⋅ d r = 2rdr → r ⋅ d r = rdr
1 2
U = ∫ Krdr = Kr + C
2

17. Cálculo de la función potencial conocida la fuerza

Circulación de F( x, y, z ) de A(0,1) a B(1,0)
 
F( x, y, z ) = 4 x i = ∇U
U = 2x 2 + C → CB = ∆U = 2
A
  
2 2
F( x, y, z ) = x i − y j = ∇U → CB = ∆U
A
x3 − y3 2
U= +C → CB
A = ∆U =
3 3

18. Cálculo de la función potencial2
  
2 2
∇U = 2xyz i + x z j + x yk
    
 
∂U  ∂U
j ∂U 
i k
∂x ∂y ∂z
U = ∫ 2xyzdx = x 2 yz + C(yz)
U = ∫ x 2 zdy = x 2 yz + C(xz) U = x2yz + C
U = ∫ x 2 ydz = x 2 yz + C(xy)

19. Cálculo de la función potencial3
   
F = (3 x 2 y 2 + 2z 2 ) i + 2x 3 y j + 4k
xz
       
∂U  ∂U  ∂U
i j k
∂x ∂y ∂z
U = ∫ (3x 2 y 2 + 2z 2 )dx = y 2 x 3 + 2z 2 x + C(yz)
U = ∫ 2x 3 ydy = x 3 y 2 + C(xz)
U = ∫ 4xzdz = 2xz 2 + C(xy)
U = x3y2 + 2xz2 + C

20. Cálculo de la circulación

Circulación de F( x, y, z ) de A(0,1) a B(1,0) por la curva
  
 x = t2  F( x, y, z ) = y i − x j ≠ ∇U
 
y = 1 − t 
B B
CB = ∫ Fx dx +Fy dy + Fz dz = ∫ F( t )dt =
A
A A
1 1
∫ (1 − t )2tdt + t 2dt = ∫ (2t − t 2 )dt = 2 / 3
0 0

21. Campos conservativos
 
F (x,y,z) F = −∇V

dr VB
 
∫ F ⋅ dr = 0
VA
B  B
 B
CB = ∫ F ⋅ d r = − ∫ ∇V ⋅ d r = − ∫ dV = VA − VB
A
A A A
La circulación es independiente del camino
La circulación es independiente del camino

22. Campos conservativos2
 

  ∫ F dr = 0
⋅

  i
 j k
si F = −∇V → ∂ ∂ ∂
 ∂x ∂y ∂z = 0

 Fx Fy Fz

∂Fx ∂Fy ∂Fy ∂Fz ∂Fx ∂Fz
= = =
∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x

23. NEWTON Y LA GRAVITACIÓN
NEWTON Y LA GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
UNIVERSAL
• La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro
• Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza
ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura
h sobre su superficie responde a la ley de Newton:
Mm Mm m
F=G 2 =G
r (R + h)2 h
La fuerza gravitatoria con que se atraen dos
cuerpos es directamente proporcional al producto r
de sus masas e inversamente proporcional al R
cuadrado de la distancia que les separa
• A partir de esta ley, Newton pudo explicar
fenómenos tales como:
- Las protuberancias de la Tierra y de
Júpiter a causa de su rotación
- El origen de las mareas
- Las trayectorias de los planetas
- La variación de la gravedad con la altura
- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

24. • H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su
valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton
• En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que
mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta
Mm v2 M
FN = Fc ⇒ G 2 = m ⇒ Despejando v resulta: v= G (1)
r r r
Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un
cuerpo de masa M
s 2π r
• Como v es aproximadamente constante: v= = (2)
t T
• Igualando (1) y (2): M 2π r M 4 π2 r 2 4 π2 3 (3ª ley de Kepler )
2
G = ⇒ G = 2
⇒ T = r
r T r T GM
• Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el
radio de uno se sus satélites
• Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

25. Deducción de la ley de Newton aapartir de las leyes de Kepler
Deducción de la ley de Newton partir de las leyes de Kepler
• Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin
que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así
2π
• Velocidad angular del planeta: ω =
T
4 π2
⇒ a= 2
R Tierra
• Su aceleración centrípeta: a = ω2 R T
R →
F
4 π2 cte
• Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3): a = R=
k R3 R2
Sol
• La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
m
F = m a = cte 2
R
Mm Ley de la
• Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM ⇒ F=G gravitación
R2 universal
La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre
dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia

26. EL CAMPO
EL CAMPO
GRAVITATORIO
GRAVITATORIO
• La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:
→
u r= r
→
m 1 m2 → → z
F = −G ( u r ) siendo
2 r
r
• Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra m’
situada a cierta distancia, se introduce el concepto de → →
r g
campo de fuerzas m
y
• La masa m hace que las propiedades del espacio que
la rodea cambien, independientemente que en su
proximidad se sitúe otra masa m’ x
→
• La intensidad del campo gravitatorio g en un punto es la
fuerza por unidad de masa situada en dicho punto
→
g F = − G ur
→ m → m( fuente)
= 2
2
cuyo módulo es: g = − G 2
y se expresa en N/kg o también
m 1r r m/s2 en el S.I.
→ →
• La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: F = m g

27. • Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro
de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h
P
• El módulo del campo gravitatorio creado es:
MT h
g=G
(RT + h)2 A
r = RT+h
RT
• En las proximidades de la superficie, donde h es
despreciable frente al RT puede considerarse:
MT
g0 = G 2
= 9,8 m / s2
RT
• La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la
superficie terrestre será:
MT m
F=G = mg
(RT + h)2

28. • Los campos de fuerzas se representan
mediante líneas de campo
• En el campo gravitatorio, las líneas de
campo como es un campo atractivo se m M
dirigen hacia las fuentes del campo
Características de las líneas de campo
• Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas
de campo se trata de un campo más intenso
• Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
• El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa
colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

29. Principio de
Principio de
superposición
superposición
• La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se
obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y
sumando los resultados parciales
→ → → → n m →
g T = g 1 + g 2 + ... + g n = ∑ − G → i 2 . ui →
i =1 ri → P g1 →
g3 →
r1
→
g2 g
→ m1
→ ri 1
siendo u i = → → → →
ri r3 gT g3
→
• También se puede aplicar al cálculo de la
r2
fuerza ejercida sobre cierta masa por la m2
acción de un conjunto discreto de ellas m3
→ → n →
F T = m g T = ∑ Fi
i =1
Si un cuerpo está sometido a la acción
de varias fuerzas gravitatorias, el efecto
total resultante es la suma de los efectos
individuales de cada fuerza

30. CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS
• Sea una partícula de masa m situada en el seno de un
campo de fuerzas
B
→
• Por cada desplazamiento ∆ r que realice la partícula, →
∆r
la fuerza del campo realiza un trabajo:
→ →
∆W = F ∆ r
→ →
• Para desplazamientos infinitesimales: dW = F d r → →
∆r F
• El camino total desde un punto A a otro B es
→
la suma de todos los d r
→
→ ∆r
• Si en cada d r se realiza un trabajo dW, el
trabajo total será la suma de todos los A
• →
realizados en cada intervalo infinitesimal: m dr
B → →
W = ∫A F d r
Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo
depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido

31. • En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado
para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende
solo de los puntos inicial y final
B → → B
W A → B = ∫ F d r = Ep ( A ) − Ep (B) •
A
C1
• Si el campo de fuerzas es conservativo,
W A → C1 → B = W A → C →B
2 C2
A•
• Si se invierte el segundo camino,
WA →C →B = − WB → C →A ⇒ W A → C1 → B = − W B → C →A
2 2 2
W A → C1 → B + W B → C →A =0
2
Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de
fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es
nulo →
∫C F dr = 0
→

32. EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO
CONSERVATIVO
• Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’,
son radiales y con sentido hacia m
• Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de
arcos circulares centrados en m y de desplazamientos B•
radiales
• El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza
perpendicular al desplazamiento
• El trabajo por el camino radial, es igual para todos los
caminos que se elijan entre A y B m’
→
A
• Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo v
de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha
línea
→ m
B →
C = ∫ v dL
A
• Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula
→ →
C = 0 ⇒ ∫C F d r = 0
→ → 1 → →
• Para el campo de fuerzas gravitatorio: ∫C g d r = m ∫C F d r = 0

33. ENERGÍA
ENERGÍA
POTENCIAL
POTENCIAL
• Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud
denominada energía potencial
• Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las
fuerzas del campo
• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B)
en las que se encuentra el cuerpo
W A → B = Ep ( A ) − Ep (B) ⇒ W = − ∆ Ep
Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo
realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la
energía potencial cambiada de signo
→ →
• Conocido el valor de la fuerza: ∆ Ep = − F ∆ r
→ →
• Considerando incrementos diferenciales: d Ep = − F d r
→ →
• Integrando: Ep = − ∫ F d r
• Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se
obtiene la diferencia de potencial

34. • Para calcular su valor, basta con resolver:
→ → m1 m2 → → EP r
d Ep = − F d r ⇒ d E p =G 2
r dr
r
• El trabajo realizado es máximo cuando los
→
desplazamientos ( d r ) están en la misma dirección
→ → →
que r , y así el producto escalar r d r se reduce al
producto de los módulos:
m m' m m' m m'
Ep = ∫ G 2 d r ⇒ Ep = − G +C Ep = − G
r r r
• La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0
• La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:
M T m.
E p = −G
RT + h
Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia
entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos
En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su
superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí
sale la expresión Ep=m.g.h

35. mM T mM T h
E p ( A) − E p ( B) = − G − (− G ) E p ( A) − E p ( B) = − GmM T
RT + h RT h(RT + h)
2
h RT h
E p ( A) − E p ( B) = − GmM T E p ( A) − E p ( B) = − g 0 m
RT (RT + h) RT (RT + h)
Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre E p ( A) − E p ( B) = m g 0 h
ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable
frente a ella:
No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así
que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la
superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.
POTENCIAL GRAVITATORIO
• Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende
únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo
• Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:
→ → m
dU = − g d r ⇒ U = − G
r

36. • La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB
respectivamente es:
m m
U ( A ) − U (B) = − G +G
rA rB
Ep RT r
• Se obtiene de la misma forma que en
el caso de la energía potencial
• Para un punto P situado a una altura
h de la superficie: MT
U0 = − G
MT RT
U (P) = − G
(RT + h)
• En la superficie, el potencial
gravitatorio U0 será: Potencial es energía
Potencial es energía
U (P) = − G
MT potencial por unidad de
potencial por unidad de
RT masa introducida en el
masa introducida en el
campo
campo
• Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:
U0 = − g0 R = − 6,2 . 107 J/kg

37. Forma de las
Forma de las
trayectorias
trayectorias
• Dado que dentro de de un campo de
fuerzas gravitatorio la energía potencial
de un cuerpo siempre es negativa, y su
energía cinética siempre positiva, la ET
de ambas podrá ser negativa, nula o
positiva
Sol
• Atendiendo al signo de dicha energía, la
trayectoria descrita por el cuerpo, será
una circunferencia, una elipse, una
parábola o una hipérbola
1 Mm
• Si es la mitad de la Ep ET = − G CIRCUNFERENCIA
2 r
• Si es mayor que la − 1 G M m 〈 ET 〈 0 ELIPSE
anterior pero menor 2 r
que cero • Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep PARÁBOLA
• Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep HIPÉRBOLA

38. SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y
SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y
ENERGÍA DE SATELIZACIÓN
ENERGÍA DE SATELIZACIÓN
Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita
MT m = m v 2 ⇒ 2 = G MT
∑ F = Fc ⇒ G 2 v
r r r → →
FG = FC
Cálculo de las energías cinética y potencial
→
1 1 MT m M m FG
Ec = m v 2 = G ⇒ Ec = G T
2 2 r 2r
MT m
Ep = − G
r
Cálculo de la energía total del satélite en órbita
m m m
E = G MT − G MT = − G MT ⇒ E = − G MT m
2r r 2r 2r
Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía
E0 = Ef ⇒ Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f
m m ⇒  1 1
Ec,0 − G MT = − G MT Ec,0 = G MT m  −
RT 2r  RT 2r 


39. Velocidad de lanzamiento de un satélite
• A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para
ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:
1  1 1  1 1
v0 = 2 G MT  −
2r 
2
Ec,0 = m v 0 = G MT m  − ⇒
2  RT 2r 
  RT 
Velocidad de escape de un satélite
• Para que el satélite escape de la atracción terrestre,
supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y
la energía de escape será:
MT m
Ee = G
RT
• La velocidad de escape será:
MT
v0 = 2G
RT v0 = 2 g0 RT
⇒
G MT
g0 =
R2
T