Matemática financeira: conceitos e definições

MATEMATICA FINANCEIRA ADM - FACMIL PROF. ITALO DE PAULA MACHADO

Apostila Matemática Financeira – Prof. Ítalo de Paula Machado Página 2
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1. MATEMATICA FINANCEIRA
matemática financeira é a matéria do curso de Administração que lhe fornecerá recursos e métodos para analise do capital no tempo. Estas ferramentas aliadas à contabilidade, ao marketing, estatística e outras mais farão com que você tenha uma visão da empresa como um todo em um dado momento, facilitando assim uma tomada de decisão.
Será que posso crescer agora? Ou será que renovo minha frota daqui seis meses? Devo comprar aquela maquina que tanto queria para minha produção ou apenas reforma a velha?
A tomada de decisão dentro de uma empresa não pode ser feita baseada na sorte ou apenas na intuição, mas sim fundamentada em dados concretos, principalmente as que envolvam recursos financeiros.
Para o estudo da matemática financeira devemos ter alguns conceitos bem definidos:
DEFINIÇÕES
apital (PV) – Valor com o qual fazemos operações financeiras, em alguns livros mais antigos utilizam esta nomenclatura de capital, porem hoje em dia se usa mais o Valor Presente (VP). O capital pode ser definido também como principal.
– Valor Presente, em língua inglesa Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV, ou no Excel na função financeira, portanto utilizaremos esta definição. Lembrando que valor presente se referiu ao capital inicial, ou seja na data zero, caso se faça um fluxo de caixa veremos o PV deve estar no inicio do mesmo.
0 1 2 3 4 5 6
PV
– Valor Futuro – Ë o PV acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este só pode ser colocado no final. No estudo de descontos, as promissórias, cheques pré-datados, títulos etc, sempre serão tomados como FV.
FV
0 1 2 3 4 5 6
PV
– Prestação, parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, é função com a qual calculamos as mesmas. No excel esta função esta definida como pagamento (Pgto).
– Taxa percentual é razão pela qual o PV ou capital será remunerado ou descontado. Quando se usa uma fórmula para calcular juros ou desconto a taxa deve ser usada na forma unitária. Toda taxa refere-se a uma unidade de tempo.
Ex. i = 5% = 0,05 (taxa unitária).
A
C
PV
FV
PMT
i

3
– Significa o tempo que será usado na operação financeira, mês, ano, bimestre, trimestre, etc. Quando resolvemos um problema financeiro devemos observar o tempo a que se refere a taxa e o tempo da operação, os dois devem estar na mesma unidade, caso isto não esteja acontecendo devemos transformar o tempo ou a taxa, ambos para mesma unidade de tempo.
Descontos Simples e Desconto Composto.
Este conjunto de teclas acima são principais teclas financeiras.
CRITERIOS DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo.
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação.
ANO
SALDO NO INICO DE CADA ANO
JUROS APURADOS PARA CADA ANO
SALDO AO FINAL DE ANO
CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO
1
1000,00
100,00
1100.00
-
2
1100.00
100.00
1200.00
100.00
3
1200.00
100.00
1300.00
100.00
4
1300.00
100.00
1400.00
100.00
5
1400.00
100.00
1500.00
100.00
O regime de capitalização composta comporta-se como uma (PG), crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo. Neste critério os juros se incorporam ao capital (Valor Presente) ao final de cada período de capitalização, assim sendo em todo inicio de cada período você sempre terá um novo capital.
ANO
SALDO NO INICO DE CADA ANO
SALDO AO FINAL DE ANO
JUROS APURADOS A CADA ANO
1
1.000,00
1.100,00
100,00
2
1.100,00
1.210,00
110,00
3
1.210,00
1.331,00
121,00
4
1.331,00
1.464,10
133,10
5
1.464,10
1.610,51
146,41
n

4
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS
DIA DO MES
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
JUL
AGO
SET
OUT
NOV
DEZ
1
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
31
31
90
151
212
243
304
365

5
EQUIVALENCIA DE TEMPO
Para efeito de cálculos o mês comercial tem 30 dias e o ano 360 dias, porém devemos saber fazer as conversões usuais:
1 mês = 30 dias
1 bimestre = 2 meses = 60 dias
1 trimestre = 3 meses = 90 dias
1 quadrimestre = 4 meses = 120 dias
1 semestre = 6 meses = 180 dias
1 ano = 12 meses = 360 dias
1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres, dentre outras possíveis.
USO BÁSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C
A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no; mundo das finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. As funções brancas automáticas, ou seja apertando-se a tecla esta função será ativada e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas – para ativa-las é necessário que se pressione antes a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as funções azuis.
Algumas operações básicas na HP-12C:
 Ligar e desligar a calculadora: on
 Apagar o que tem no visor: Clx
 Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG
 Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN
 Introduzir um número: número + ENTER
 Operações básicas: (número) ENTER (número) operação ex: 12 ENTER 43 + = 55
 Potenciação: (número) ENTER (potência) (yx) ex: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 yx 125
 Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potência de índice fracionário: (número) ENTER (número) (1/x) (yx) ex: raiz sétima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3.
 Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9).
 Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi armazenado).
 Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados).

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Limpa o visor, quando acionado após a tecla f, apaga toda a memória da calculadora
A tecla f aciona as funções em laranja e a tecla g as funções em azul.
Tecla usada para entrada de dados
Entrada do tempo
Valor Presente, capital inicial
Esta tecla é usada para calcular ou informar o valor de prestações, parcelas, etc.
Valor Futuro ou montante
Entrada da taxa
Esta tecla é usada para se inverter o valor de um número.
Com esta tecla se calcula o percentual de um determinado valor.

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2. TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos
de razões centesimais:
100
30
,
100
4
,
100
135
e
100
27,9
O símbolo % significa que o valor está dividido por 100. Assim, existem duas formas
básicas de notação de valores:
Taxa percentual: exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação
algébrica imediata. Por exemplo:
100
30
= 30%;
100
4
= 4%;
100
135
= 135% e
100
27,9
= 27,9%
As expressões 30%, 4%, 135% e 27,9% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Taxa unitária: exibe o número puro, permitindo operações algébricas. Por exemplo:
100
30
= 0,3;
100
4
= 0,04;
100
135
= 1,35 e
100
27,9
= 0,279
Porcentagem: é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos
1. Converta para a forma percentual:
a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208% c) 0,02 = 2%
2. Converta para a forma unitária:
a) 163% = 1,63 b) 2.107% = 21,07% c) 12% = 0,12
3. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas
defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
26%
100
26
50
13
 
4. Um CD é vendido por R$ 25,00. Se seu preço fosse aumentado em 15%. Quanto
passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preço original,
quanto o CD passaria a custar?
- Aumento: Preço = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75
- Desconto: Preço = 25 – 0,15 x 25 = 25 . (1 – 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25

8
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO:
a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro
Fator de Multiplicação
10%
1,10
15%
1,15
47%
1,47
67%
1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)
Desconto
Fator de Multiplicação
10%
0,90
25%
0,75
34%
0,66
90%
0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
EXERCÍCIOS
1. Calcular os valores de:
a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7
c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432
2. De uma classe com 40 alunos, 35% são rapazes. Quantos rapazes e quantas moças há na classe?
3. O preço de venda de um CD é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o CD se a loja anunciar:
a) Um desconto de 12%? b) Um acréscimo de 5%?
4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados?
5. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto?
6. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro?

9
7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de
comissão. Qual o valor da venda das propriedades?
8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos?
9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$
250,00. Qual a taxa de desconto
10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:
a)
5
2
b)
20
1
c)
4
1
3
d)
80
37
e) 0,125
11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível:
a) 80% b) 25,2% c) 0,48%
d) %
3
2
e) 2 %
4
1
É importante lembrar que em todas as formulas financeiras se deve usar
sempre a taxa unitária.
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO:
a) No caso de haver um acréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 + taxa de acréscimo (na forma decimal)
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

10
2.2.TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
' ' n
n
i
i

Exemplo
Calcule a taxa mensal proporcional a 24%aa.
R. 24/12 = 2 %am
Exercícios
1) Calcule a taxa mensal proporcional a:
a) 9%at
b) 24 % as
c) 0,04 ad
2) Calcule a taxa anual proporcional a:
a) 1,5 %am
b) 8%at
c) 21%as
d) 0,05%ad
OBS: NA RESOLUÇÃO DE QUALQUER PROBLEMA FINANCEIRO DEVEMOS OBSERVAR AS
UNIDADES DE TEMPO DA TAXA E DO PROPRIO TEMPO, POIS AMBAS DEVEM SE REFERIR À
MESMA UNIDADE DE TEMPO.
Abreviaturas empregadas na notação das taxas
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.m. ao mês
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano

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FLUXO DE CAIXA
O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentação de
recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Os principais aspectos do
diagrama de fluxo de caixa são:
 a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc);
 o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de
períodos passados;
 as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sinal positivo e são
representadas por setas apontadas para cima.
 as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são
representadas por setas apontadas para baixo.
Operação de Empréstimo Operação de
Aplicação
0 n 0 n
Valor Presente (C)
Valor Presente (C)
Valor Futuro (M)
Valor Presente
+
juros
Valor Futuro (M)
Valor Presente
+
juros
Período de capitalização
Período de capitalização
Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor
de $ 300,00 que será quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode
ser visto a seguir.
0
n = 6 meses
Valor Presente (C)
Valor Futuro (M)
M = - $ 340,00
C = + $ 300,00
Exercícios
1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de $ 500,00 que será
resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00.
2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial
igual a
$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são
estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa
dessa operação.

12
3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:
Ano Fluxo de caixa
0 – 700,00
1 500,00
2 400,00
3 300,00
4 200,00
5 – 300,00
3. JUROS
Do Aurélio:
1. Econ. Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro,
geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada:
2. Ant. Econ. Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.]
3. Fam. Recompensa (2).
3.1. ANALISE DOS JUROS NO TEMPO
Em relação ao tempo nós poderemos ser credores ou devedores dos juros.
3.1.1 CREDOR
Seremos credores dos juros, quando investimos nosso capital, para futuramente
desfrutamos desse rendimento.
Por exemplo:
Quero fazer uma viajem no final do ano e para tanto guardamos parte do meu salário em
uma renda fixa. No final terei o credito dos juros e poderei gozar de minha tão sonhada
viajem.
3.1.2. DEVEDOR
Seremos devedores dos juros, quando temos a necessidade de algo, ou queremos
muito gozar de algum bem, como por exemplo um carro, um som novo, etc.
Por exemplo:
Vou sair de férias do meu emprego e quero muito viajar para uma praia no nordeste, porém
não tenho o dinheiro suficiente, para que eu possa fazê-la, financio-a em 10 pagamentos. A
partir do momento que comprei algo financiado, passei a ser devedor.
Agora você já tem condições de tomar a decisão de ser credor ou devedor dos juros.

13
3.2 JUROS SIMPLES
É o juros que incide apenas no principal ou capital inicial ou ainda no valor presente, ou seja mesmo decorridos vários períodos de capitalizações, sempre calcularemos o juros tomando como base o valor presente.
Fórmula
J = PV.i.n
Exemplos
1) Se eu aplicar R$ 1.540,00 durante 6 meses a uma taxa de 2%a.m., quanto terei de juros simples?
Nas resoluções dos problemas financeiros procure primeiro identificar todos os dados do problema, para depois equaciona-lo.
PV = 1.540
n = 6 m
i = 2 % = 0,02
2) Durante quanto tempo devo deixar aplicado meu dinheiro que é R$ 3.490,00, sabendo que meu gerente me ofereceu uma taxa de 1,2%am, para que eu tenha R$ 5.000,00.
3) Paulo aplicou R$ 3.560,00 em 02/01/06 e resgatou em 06/04/2006 o valor de R$ 5.430,00, o que proporcionou a Paulo comprar uma moto, calcule a taxa de juros supondo que o sistema de capitalização seja simples.
4) Calcule o juros de um capital que ficou aplicado durante 2,25 anos, sabendo que a taxa é de 7,2%a.s. e que o valor aplicado foi de R$ 1.560,00.
3.3 VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO:
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:
FV = PV + J
No entanto, sabe-se que:
J = PV . i . n
Assim,
FV = PV + PV . i . n
FV = PV(1 + i . n)
O valor de C pode ser obtido por:

14
 i n
FV
PV
 

1
O valor de i pode ser obtido por:
n
PC
FV
i






1
O valor de n pode ser obtido por:
i
PV
FV
n






1
EXERCÍCIOS
1. Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês no RCS, durante um
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.R: J = 6.000,00
2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.R: C =500.000,00
3. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo
um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida
por esta operação.R: i = 2,2%
4. Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês
produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da
aplicação.R: n = 6 meses
5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa
de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.R:M = $3.900,00
6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00
após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação?R: C = $ 500,00
7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00.
Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal
praticada durante a operação.R: i =0,20 = 20%
8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa
de 2% a.m. regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?R: i = 48,53

15
4. DESCONTO
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado (pago) antes do vencimento. É uma operação habitual no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de um título de crédito, tais como letras de cambio, notas promissórias, cheques-predatados, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal (FV) do título.
Na operação de desconto devemos ter bem definido o Valor Futuro (FV), que é o valor do título na data de seu vencimento. Todo título, cheque-pre, nota promissória, letra de cambio, etc, sempre serão definidos como FV(valor futuro), quando descontados, pagos ou liquidados, ai sim estes valores passarão a ter PV (Valor Presente).
Pela sistemática da capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto comercial simples (desconto por fora).
FV (título no seu vencimento)
0 PV (título quando resgatado)
4.1 DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)
É o valor equivalente ao juros simples produzido sobre o valor nominal ou FV quando se aplica sobre ele as mesmas condições, ou seja aplicando-se o FV à mesma taxa e mesmo tempo.
Formula
d = FV.i.n. PV = FV(1 – in)
Ex.
1) Quero descontar um título de R$ 3.400,00 que vencerá em 90 dias, o banco me cobra uma taxa de 3,8% am. Qual o valor do desconto?
2) Tenho um lote de cheques-pre no valor de R$ 5.000,00 para 60 dias. A que taxa devo negociá-los para que eu receba no mínimo R$ 4.770,00 ?

16
4.2 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)
É equivalente aos juros produzido pelo PV- valor presente ( valor liquido), no mesmo tempo
e taxa do desconto.
dr =
i n
FV i n
1 .
. .

ou dr = FV – PV PVr =
i n
FV
1 .
Em comparação com o desconto comercial o desconto racional é ligeiramente menor.
Ex:
1) Calcular o desconto racional de um título de R$ 1.500,00 que será resgatado 60 dias
antes do vencimento, sabendo que a taxa de 2,3%.
2) Qual o valor liquido que receberei se descontar um cheque-pre para 45 dias se a taxa
cobrada é de 1,9%am., se o desconto for racional?
3) Quantos dias antes do vencimento eu devo descontar um título de R$ 59.870,00, à taxa
de 3,2%am., para que eu receba R$ 58.990,00 ?
4.3 TAXA DE JURO EFETIVA
A taxa de juros que no período n torna o capital PV igual ao montante FV é a taxa
que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa
de juro efetiva.
Estas fórmulas só deverão ser usadas para desconto comercial.
PV n
d
i f .
 ou
i n
i
i f 1 .
.


Exemplo
1) Se eu tenho um titulo no valor de R$ 9.000,00, e pretendo descontá-lo 75 dias antes de
seu vencimento a uma taxa de 1,8%am, qual o valor que devo receber?
2) Em uma operação de desconto comercial de um título com prazo de 75 dias o banco
cobra uma taxa de 2,9%am. Qual é a taxa efetiva nesta operação?
3) Um título de R$ 12.000,00 teve um desconto de R$ 498,00, se a taxa negociada foi
2,3%am, calcule o prazo da operação e a taxa efetiva de juros.
4) Calcule as taxas efetivas para as taxas e prazos abaixo:
a) i = 2,3%am. ; 5 meses
b) i = 2,3% am ; 3 meses

17
c) i = 1,8%ab. ; 10 meses
d) i = 4,5%am; 2 meses
5) Um título foi descontado à taxa de 2%a.m. Sabendo-se que o valor nominal era R$ 7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipação?
6) Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada “por dentro”, à taxa de 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num líquido de R$ 253.982,00.
7) Uma duplicata de valor nominal de $ 9000,00 é descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 5%a.m., pese-se:
a) o desconto comercial
b) o valor liquido recebido
c) a taxa efetiva de juros
8) Sr. Paulo teve creditado na conta de sua empresa o valor de R$ 18.560,00 referente ao desconto de um lote de duplicatas com valor de R$ 20.000,00 que venceriam em 75 dias. Qual foi a taxa negociada?
9) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, a taxa de 6%aa, 4 meses antes do vencimento?

18
TRABALHO MATEMATICA FINANCEIRA
PROF. ÍTALO
1) Um valor aplicado a juros simples durante 4 meses,formou o montante de $450,00.Sabendo que, quando estiver aplicado durante 11 meses,o saldo será de $611,00,qual será esse valor?
2) Uma pessoa aplicou um valor a juros simples á taxa de 1,8% a.m.,durante 4 meses e 11 dias,recebendo de juros $84,97.Calcule o valor aplicado.
3) Uma pessoa aplicou certo valor a juros simples durante 3 anos,5meses e 18 dias,á taxa de 12%a.a,rendendo de juros $3.467,50.Calcule o valor aplicado.
4) Uma pessoa aplicou o valor de $830,00 a juros simples durante 4 meses e 11 dias, á taxa de 1,8% a.m.Calcule o montante em juros exatos.
5) O valor de $4.320,00,aplicado a juros simples exatos durante 10meses e 8 dias,rendeu de juros $873,56.Calcule a taxa
6) O valor de $4.230,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 10 dias,á taxa de 8%a.s.Calcule o valor dos juros.
7) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples,á taxa de 4% a.m.,formando o montante de $505,15.Quanto tempo ficou aplicado?
8) O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples exatos á taxa de 4% a.m.,rendendo de juros $749,59.Quanto tempo ficou aplicado?
9) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 4 anos,8 meses e 26 dias,rendendo de juros $650,00.Calcule a taxa de juros.
10) O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 26 dias,formando o montante de $650,00.Calcule a taxa de juros.
11) Um valor,aplicado a juros simples durante 8 meses,á taxa de 2% a.m.,rendeu de juros $1.043,84.Calcule esse valor.
12) O valor de $1043,00 foi aplicado durante 8 meses,rendendo de juros 191,14.Calcule a taxa de juros.
13) O valor de $840,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano,3 meses e 21 dias,à taxa de 3% a.m.Calcule o montante.
14) Um título com valor de $500.000,00 e vencimento daqui a 4 anos deve ser resgatado daqui a um ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.Considerando desconto racional,qual o valor do resgate? 375.657,40
15) Repetir o exercício anterior,considerando o desconto comercial. 364.500,00
16) João tem um compromisso representado por duas promissórias:uma de $200.000,00 e outra de $150.000,00, vencíveis em 4 e 6 meses,respectivamente.Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 meses.Sabendo que o banco adota juros compostos de 5% ao mês,o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final):
a)$420.829,00
b)$430.750,00
c)$445.723,00
d)$450.345,00
e)$456.703,00

19
17) O valor do desconto comercial composto de uma nota promissória,que vence em 3 anos,é de $10.482.Admitindo que a taxa nominal de desconto utilizada na operação é de 24% ao ano,com capitalização trimestral,qual o valor nominal do título?(Despreze os centavos.) $20.000
18) Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e o juros recebidos a partir da aplicação de um principal de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 1%am.
19) Determinar o capital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10 %aa, para produzir um montante de R$ 10.000,00, a juros simples.
20) Calcular o tempo necessário para que um capital triplique a juros simples se a taxa for:
a) 6% am b) 9% a.t. c) 10% a.a. d) 8 % a.b.
21) Paulo aplicou R$ 5.650,00 à taxa de 2% am e resgatou um montante de R$ 7.234,00. Durante quanto tempo Paulo deixou seu dinheiro aplicado?
22) Senhora Maria recebeu de juros R$ 1.245,00, depois de ter deixado seu dinheiro aplicado durante 9 meses à taxa de 1,8% am. Quanto dona Maria aplicou?
23) Quero comprar um computador que custa R$ 1.560,00 a vista, porém só tenho R$ 1.300,00, meu gerente me ofereceu uma aplicação que paga 2% am, quanto tempo devo aplicar o meu dinheiro para que possa comprar o computador?
24) A que taxa devo aplicar R$ 1200,00 para que em 12 meses tenha R4 1.800,00?
25) Um titulo com vencimento em 3 meses no valor de R$ 1.500,00 vai ser descontado à taxa de 3 %am. Quanto o portador receberá e qual a taxa efetiva?
26) Um título com 119 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado, a juros simples, à taxa de 15% aa. Qual deve ser o valor do título para que o portador do mesmo receba R$ 1.000,00?
27) Calcule a taxa efetiva nos seguintes casos:
a) Taxa: 4%am Prazo: 5 meses
b) Taxa: 3,5% am Prazo: 2 meses
c) Taxa: 5% Prazo: 6 meses; 4 meses; 2 meses

20
5. JUROS COMPOSTOS
Juro composto é aquele que no final de cada período financeiro, o juro se incorpora ao principal, calcula-se o juro sobre o montante relativo ao período anterior.
FV = PV.(1 + i)n
O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.
Exemplo
1) Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicado em regime de juro composto a 5%a.m, durante 3 meses.
2) Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para o mesmo dobre, aplicado a 3%a.m. a juros compostos?
3) Estou querendo comprar um Notebook LatitudeTM 120L que custa R$ 2.099,00. O vendedor da loja me garantiu que este preço não sofrerá aumento nos próximos 4 meses. Meu gerente do banco me ofereceu uma aplicação com taxa de 1,7%a.m., quanto devo aplicar para que possa comprar o notebook?
FORMULA DOS JUROS COMPOSTO
J = PV.[(1 + i)n - 1]
Exercícios
1) Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2 %a.
a) Qual o montante?
b) Qual os juros auferidos?
2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial.
3) U ma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
4) O capital de $ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456. Calcule este tempo.
5) Calcule o tempo que deve deixar aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatar R$ 3.198,38, sabendo que a taxa pela qual o capital será remunerado é 1,5%am.

21
6) Calcule o montante para as aplicações abaixo, supondo o regime de capitalização
composta:
Capital Taxa Prazo
A 80.000 18%aa 2 anos
B 65.000 3%am. 1 ano
C 35.000 21%at 1ano e meio
TAXAS EQUIVALENTES
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido
pelo capital P , à taxa i, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo capital
P, durante 12 meses, as taxa mensal.
Ou seja P(1 + ia)1 = P(1 + im)12
Para outras frações de ano, temos:
(1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12
ik = (1 + i)k – 1 ou ik = k 1 i - 1
ou ainda pode optar pela fórmula:
 (1 )T 1
k
k i i
Exemplo
1) Qual a taxa trimestral equivalente 30%aa?
2) Calcule a taxa anual equivalente a 2%am.
3) Determine a taxa bimestral equivalente a 18%as.
Exercícios
1) O Banco da Praça me oferece uma taxa de 1,2%am e o Banco do Boteco me
oferece uma taxa de 15,66%aa. Qual taxa é melhor para mim? Resolva usando a
equivalência de taxas.
2) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,8%am b) 2,5%ab c) 4,5%at d) 13%aq e) 18% a.s.
3) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:
a) 75% a.a. b) 6,5 %ab c) 0,12%ad d) 21%at
4) Dada a taxa de juros de 9,2727% at, determinar a taxa equivalente mensal.

22
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de capitalização de capitalização não
coincide com aquele a que se refere a taxa. Neste caso, é comum adotar-se a convenção
de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.
Quando calculamos a taxa efetiva de uma operação não utilizamos o tempo da
operação, e sim o prazo de um ano sempre.
 (1 ) 1 k
f k
i
i
Exemplo
1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5%aa, capitalizados semestralmente. Qual
seria o juro pago por um empréstimo de $ 10.000,00 por um ano? Qual é a taxa
efetiva?
2) Um capital de $ 1000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10%aa, capitalizado
semestralmente. Calcular o montante e a taxa efetiva.
3) Qual é a taxa efetiva da poupança se a mesma paga 6%aa, capitalizados
mensalmente?
Exercícios
1) Qual é a taxa efetiva anual das taxas nominais abaixo:
TAXA NOMINAL CAPITALIZAÇÃO
a) 24%aa mensal
b) 28%aa trimestral
c) 21%as bimestral
d) 18%aa bimestral
2) Se um banco deseja ganhar 30%aa como taxa efetiva, que taxa nominal anual
deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo:
a) mensal
b) trimestral
c) quadrimestral
d) semestral
3) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 100.000,00 a taxa de 28%aa
capitalizados trimestralmente. Qual o montante a ser pago se o prazo da operação
são 2 anos e qual é a taxa efetiva paga?
4) Sr. Paulo contratou um empréstimo no valor de R$ 56.000,00, que deverá ser pago
em uma única parcela dentro de 18 meses. Calcule o valor do pagamento sabendo
que a taxa do contrato é 20%aa capitalizados bimestralmente.

23
DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do
desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu
vencimento.
Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a
aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem
nexo.
Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto
composto: o racional e o comercial.
O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos
restritos ao estudo do desconto composto racional.
DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO
O desconto por dentro representa o juro incidente sobre o valor líquido. Comparando,
pois, o cálculo do desconto racional com o dos juros, podemos observar que o valor nominal
representa o montante; o desconto correspondente aos juros e o líquido, sobre o qual é
calculado o desconto, corresponde ao capital.
Calculo do desconto a partir do valor nominal:
D = FV[ 1 – (1 + i )-n]
Calculo do desconto a partir do valor atual:
D = PV[ (1 + i)n – 1]
Calculo do valor atual (líquido ou descontado)
-n
n ou PV FV( 1 i )
(1 i )
FV
 

PV 
Exemplo
1) Calcular o desconto composto de um título de R$ 4.600,00 dois meses antes do
vencimento, à taxa de 2%am.
2) Calcular o desconto composto de um título que foi resgatado por $ 4.975,00,
faltando quatro meses para o vencimento, à taxa de 3%am.
3) Qual o desconto de um título de $ 5.000,00, submetido a desconto composto, com
capitalização bimestral. R 801,90
Exercícios
1) Determine o valor atual de um título de R$ 3.000,00 resgatado três meses e 15 dias
antes de seu vencimento, à taxa do desconto composto de 2,5%am. R = 2751,62
2) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com
capitalização bimestral à taxa de 18%as, seis meses antes do vencimento?

24
3) Um título de $ 4.000,00 é resgatado por $ 3.553,95, faltando oito meses para seu vencimento. Calcular a taxa nominal (anual) da operação, considerada capitalização bimestral para o desconto composto. R = 18%
4) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am. R = 5.240
5) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. R = 421,63
6) O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28%aa, capitalizado trimestralmente.
7) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, descontado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em juros composto, em regime composto, de 30%aa, capitalizados bimestralmente.
EQUIVALENCIA DE CAPITAIS
DATA FOCAL
Def: Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.
Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
Ou seja:
PV = PV1 +PV2 + .......+ PVn
Exemplo
1) Consideremos os valores futuros abaixo:
CAPITAIS
DATA DE VENC.(anos)
VALOR PRESENTE
1.100,00
1
1.210,00
2
1.331,00
3
1.464,10
4
1.610,51
5
Admitindo-se uma taxa de 10%aa, verifique se os capitais acima são equivalentes.
1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51
0 1 2 3 4 5

25
Quando devemos usar a equivalência de capitais? Quando precisarmos de prorrogar ou antecipar o pagamento de uma divida.
Exercícios
1) Um título de valor nominal de $ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de $ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 3,5%am, pergunta-se se a substituição foi vantajosa.
2) Um título de R$ 7.000,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juros é 3%am, qual o valor do novo titulo? $6.598,17
3) Sr. Paulo deve dois títulos, um de R$ 15.000,00 com vencimento para um ano e outro de R$ 25.000,00, para um ano e meio. Porém com sr Paulo esta com uma folga de caixa, pretende substitui-los por um único título com vencimento em 6 meses, sabendo que a taxa é de 30%aa, calcule o valor do novo título.
4) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 25.000, por 5 anos, com juros de 20%aa capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dívida; o desconto concedido é de 20%aa, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate? 45.305,95
5) Um terreno é posto a venda por $ 100.000,00 a vista, ou, caso o comprador pote por financiamento, as condições são: $ 50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais sendo a primeira de $ 34.000,00 e a segunda de $ 35.000,00. Qual é a melhor alternativa, sabendo que a taxa é 50%aa?
6) Uma pessoa deve hoje $ 2.000,00 hoje e $ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20%aa? $ 2.459,85
7) Dois títulos um de R$ 3490,00 para 4 meses e outro de R$ 5.489,00 para seis meses deverão ser substituídos por um único título para 9 meses.Calcule o valor do novo título sabendo que a taxa é 3%am.

26
RENDAS
Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos ou recebimentos, realizáveis
em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.
ELEMENTOS
Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos
(PMT) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e i a taxa unitária dos
juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se,
entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor atual da
renda.
CLASSIFICAÇÃO





 








 






 





Perpetuas
Não periódicas
Variáveis
Diferidas
Antecipada s
ediatas
Cons tes
Periodicas
Temporarias
ndas
Im
tan
Re
RENDA IMEDIATA
Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de
cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim
de n períodos.
Ex.
Uma compra a prazo sem entrada.
VALOR PRESENTE DE UMA RENDA IMEDIATA
O valor atual (ou valor presente) de uma renda imediata equivale ao valor de uma
dívida (empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será paga com prestações.
O valor atual da renda é igual a soma dos valores atuais de seus termos calculados
com desconto composto a determinada taxa.
 
 n
n
ni
i. 1 i
1 i 1
PV PMT.

 


27
Exemplo
1) Devo 15 parcelas de R$ 145,00 de um financiamento, no qual me foi cobrado uma taxa de 3%am. Caso eu desejasse quitar o referido financiamento quanto deveria para hoje?$ 1.731,00
2) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser comprado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3%am. Calcular o valor das prestações. $ 586,15
3) Um aparelho de som está anunciado nas seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 parcelas iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5%am, calcular o valor a vista.
Exercícios
1) Uma loja vende um tapete em 12 parcelas mensais de $ 97,49 ou em 24 parcelas de $61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5%am, qual é o melhor sistema para o comprador?
2) Uma loja vendo uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 parcelas, a juros de 3,5%am. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada? $ 151,63
3) Em uma garagem o preço de um carro, a vista é de $ 50.000,00. Qual é o valor da prestação, se o carro for financiado em 24 prestações mensais sem entrada, e a taxa de juros for 3%am?
4) Uma Biz esta a venda por R$ 4.951,00 à vista ou em 18 parcelas de $ 399,00. Pergunta-se qual é melhor opção de compra se a taxa cobrada é de 3,5%am?
5) Um equipamento foi vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais 8 prestações de R$ 760,00. Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 2,5%am, calcule o preço a vista do equipamento. $7.449,30
6) O valor a vista de um bem é R$ 6000,00. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3 parcelas mensais de R$ 2000,00 cada uma. Se a taxa de juros que foi cobrada é 7%am, calcular o valor da entrada. 571,37
7) Estou depositando mensalmente, R$ 250,00 em uma conta que me remunera à taxa de 1,1%am, durante os próximos 2 anos. Quanto poderei retirar mensalmente também durante um ano?

28
VALOR FURUTO DE UMA RENDA IMEDIATA
O montante de uma renda imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos
unitários, durante n períodos a uma taxa.
O montante de cada termo (deposito) da renda é calculado pela formula dos juros
compostos, M = C(1 + i)n. Feitas todas transformações necessárias, teremos a seguinte
formula.
 
i
1 i 1
FV PMT.
n  
 n i
Obs: Só se calcula o VALOR FUTURO de uma renda quando estivermos formando
capital.
Exemplo
1) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 5%at,
para no fim de 2 anos, possuir R$ 10.000,00?
2) Quanto terei no fim de 4 anos, se depositar no fim de todo mês R$ 100,00 em meu
banco a uma taxa de 1,7%am?
3) Quanto terei acumulado em uma aplicação se me foi oferecida uma taxa de 18%aa
capitalizada bimestralmente, para depósitos bimestrais de R$ 500,00 durante 3
anos? $11.707,22
Exercícios
1) O carro que pretendo comprar esta custando R$ 18.000,00, porém como o mercado
esta estável e nos próximos 12 meses não haverá mudança de preço, quanto devo
depositar mensalmente para que possa comprar o tão desejado carro, se o meu
gerente me oferece uma taxa de 1,4%am?
2) Em dezembro quando for sair de férias quero ir par Natal, o pacote com estadia e
passagem aéreo esta custando R$ 2.500,00, se não houver aumento, quanto devo
depositar mensalmente levando em conta que tenho 8 meses para juntar o dinheiro e
que minha conta no banco me remunera a 1,2%am?
3) Calcular o montante que terei ao final de 5 anos se depositar mensalmente R$ 90,00
em uma conta que paga 9%aa capitalizado bimestralmente.
4) Quanto devo depositar trimestralmente, para que tenha R$ 2.438,66 ao final 2 anos e
três meses se o banco me paga uma taxa de 8%aa capitalizados trimestralmente?
5) Qual o valor do financiamento cuja prestação de R$ 250,00 está sendo paga no final
de cada mês, durante 18 meses , à taxa de 4 %am? 3.164,82

29
RENDA ANTECIPADA
Essa é a anuidade ou série de parcelas em que a primeira será paga no momento
em que se realiza a operação.
CÁLCULO DO VALOR ATUAL
PV n i = PMT .
i
i i n [1 (1 ) ].(1 ) 
Exemplo
1) Calcule o valor a vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em quatro
prestações mensais, de R$ 150,00, com a primeira de entrada, sabendo que a loja
cobra de 7% am.
2) Uma mercadoria custa à vista R$ 3.012,69, porem pode ser vendida em 7 vezes
iguais com entrada. Calcule o valor da prestação sabendo que a taxa de juros
cobrada é 3,5 %am.
CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV-MONTANTE)
FV n i = PMT . .(1 i)
i
(1 i) 1 n

 
Exemplo
1) Uma pessoa deposita no inicio de cada mês, durante quatro meses $ 500,00, numa
conta que paga juros de 0,75%am. Calcule o montante.
2) Quanto devo depositar no começo do mês, em uma aplicação que me remunera a
taxa de 1,7%am, para que no final de 2 anos tenha R$ 5.000,00?
Exercícios
1) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 944 em 15 (1+14)
prestações mensais, à taxa de 7,2%am. Calcule o valor da prestação.
2) Uma pessoa efetuou 7 depósitos no inicio de cada mês de R$ 2.000,00, recebendo
juros 2% am. Qual será o montante?

30
3) Um carro foi financiado, em 36 prestações iguais e mensais com a primeira no ato,
no valor de R$ 560,00. Sabendo que a taxa contratada foi de 4,5%am, qual o preço a
vista do carro? 10.338,17
4) Uma pessoa efetuou depósitos no inicio do mês durante 10 meses numa conta que
paga juros de 1,2%am, tendo o saldo de $ 833,38. Quanto ela depositava por mês?
78
5) Uma mercadoria foi vendida em 8 prestações mensais de $ 34,56, sendo a primeira
de entrada. Se a loja cobra juros de 5,8%am, qual o preço dessa mercadoria a vista?
228,87
6) Uma mercadoria foi vendida em 15 prestações mensais de $ 67,18, sem entrada, à
taxa nominal de 84%aa. Calcule o preço dessa mercadoria a vista. 611,87
7) Sr. Paulo esta trocando a mobília de sua casa, que custaria a vista $ 8.790,00,
porem ele preferiu paga-la a prazo, sendo uma entrada de 20% e o restante em 12
parcelas mensais iguais. Se a loja cobra uma taxa de 4%am, qual o valor da
prestação?
RENDA DIFERIDA
As rendas diferidas envolvem apenas cálculos relativos a valor atual, pois o montante de
uma renda diferida é igual ao montante de uma renda imediata, uma vez que durante o
prazo de carência não há pagamentos e capitalizações.
Exemplo
1) Um financiamento de R$ 50.000,00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se
juros de 8%am. Considerando que foi estipulado um período de carência de 3
meses, calcular o valor das prestações imediatas e antecipadas
No caso de as prestações serem antecipadas, a primeira parcela é paga no início do
primeiro período que se segue ao término da carência.
Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal, logo as
prestações devem ser calculadas sobre o principal capitalizado m períodos, onde é a
carência.
P = 50.000 => M= 50.000.(1,08)3 = 62.985,60
Calculo das prestações:
Imediata:
PV 12 0,08 = 62.985,60 = T .
 
 n
n
i i
i

 
. 1
1 1
=> T =
7,536078016
62985,60
= 8.357,88

31
Antecipada:
PV 12 0,08 = 62.985,60 = T .
i
i i n [1 (1 ) ].(1 ) 
=>
8,138964259
62985,60
= 7.738,77
Exercícios
1) Um empréstimo de $ 4.500 contratado em 15/8/2000 será pago por meio de 36
prestações mensais a juros de 6%am. Os juros são capitalizados e incorporados ao
principal já a partir da data de contratação. Considerando que a primeira prestação
deverá ser paga 45 dias depois e as restantes com intervalos de 30 dias, calcular o
valor das prestações.316,88
2) Um financiamento de$ 40.000 será pago em 8 prestações mensais de $ 6.413,44. O
início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado
período de carência. Considerando que a taxa de juros é 3%am, determine o período
de carência. 5 meses
3) Um determinado equipamento será financiado em 48 pagamentos, porem o banco
concedeu uma carência de 12 meses para que o industrial se capitalizasse. Sendo
que a primeira prestação devera ser paga 30 dias após o termino da carência e a
taxa de juros contratada foi de 18%aa, e valor financiado foi de $ 135.000, calcule o
valor das prestações.$4.384,57
4) Que divida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de $ 1.000, sendo de
7%ab a taxa de juros e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois
de realizado o empréstimo.5215,56
5) Um magazine oferece, em sua promoção, um televisor por 24 prestações de
$300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4 meses da compra. Qual
seria o preço a vista deste televisor, uma vez que a taxa de mercado é 2,5%am?
$5.365,50

32
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – TABELA PRICE
A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes.
Exemplo
1) Um empréstimo de $ 200.000, será pago pela Tabela Price em 4 prestações mensais imediatas. A juros de 10%am, construir a planilha de amortização.
MÊS
PRESTAÇÃO
JUROS
AMORTIZAÇÃO
SALDO DEVEDOR
0
1
2
3
4
TOTAIS
Exercício
1) Um carro foi financiado pela tabela Price a uma taxa de 3%am, sendo que o valor financiado foi de $36.000 e prazo foi de 4 meses, monte a planilha de amortização e calcule o valor total de juros pago.
2) Um certo equipamento foi pago em 15 prestações imediatas no valor de $ 3.450, mais uma entrada. Se a taxa contratada foi de 4%am, e o valor do equipamento a vista é R$ 45.000, calcule o valor da entrada.
3) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato. Sabendo que a taxa foi de 12%aa capitalizados mensalmente e que o empréstimo será pago em 8 prestações, construa a tabela.

33
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado a em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, diferente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais.
Exemplo
Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento:
 Valor financiado $ 200.000
 Reembolso em quatro meses pelo SAC
 Taxa de juros 10%am
Mês
SD
Amortização
Juors
Prestação
0
200.000,00
-
-
-
1
150.000,00
50.000,00
20.000
70.000,00
2
100.000,00
50.000,00
15.000
65.000,00
3
50.000,00
50.000,00
10.000
60.000,00
4
-
50.000,00
5.000
55.000,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE)
O Sistema de Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de financiamentos da casa própria. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE . O Sacre é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é igual à media aritmética entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente ate a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário

34
sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
Neste sistema de amortização o principal é restituído por meio de uma única parcela ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.

35
TRABALHO DE MATEMATICA FINANCEIRA
PROF. ÍTALO DE PAULA MACHADO
1) Um bem de capital está à venda nas seguintes condições: $ 30.000,00 de entrada mais seis prestações iguais de $ 2.500,00. Sabendo que a taxa que a taxa de juros é de 5,4 %am, determine o preço à vista do bem. $42.528,51
2) Uma incorporadora coloca à venda um apartamento por $ 50.000,00 à vista ou em 60 meses com uma entrada de 20%. Determine a prestação mensal, dada uma taxa de 5 %am. $2.113,13
3) Calcule o montante de 29 depósitos trimestrais de valor de $540,00 à razão de 7%at.$47.167,13
4) Uma pessoa depositará $ 1.500,00 semestralmente para formar um pecúlio durante os próximos dez anos. Calcule qual será o valor acumulado, dado uma taxa de 9%as.$ 76.740,18
5) Um automóvel está à venda por $ 5.000,00 de entrada acrescido de 12 prestações mensais de $ 1.200,00. Outra opção seria através de 18 pagamentos mensais de $ 800,00 com uma entrada de $ 6.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, considerando-se uma taxa 30%aa capitalizada mensalmente. (o menor será a melhor)
6) Um compromisso foi quitado através de 20 prestações trimestrais antecipadas de $ 2500,00. Qual o valor do mesmo, dada uma de 44%aa capitalizada trimestralmente? $22.098,24
7) Uma pessoa deposita $ 600,00 no início de cada trimestre à 32% aa capitalizados trimestralmente. Qual será o montante passados 3 anos? $ 12.297,18
8) Um imóvel foi vendido a prazo com prestações feitas no início de cada período de $ 5.650. Sabendo que o preço à vista do imóvel era de $ 80.000,00 e que foram 18 pagamentos, calcule a taxa financeira do negocio. 3,006441%
9) Qual o montante de uma aplicação que prevê depósitos mensais de $ 500,00, antecipados à taxa 96 %aa capitalizados mensalmente, passados três semestres? $ 20.223,13
10) Uma pessoa deposita mensalmente o valor de R$ 180, durante dez meses, numa conta que paga juros de 1%am. Calcule o montante. $1.883,20
11) Uma pessoa quer efetuar oito depósitos mensais numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais de R$ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto deverá depositar mensalmente? $2.968,67
12) Uma pessoa efetuou 18 depósitos mensais de R$ 1.500,00, numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto poderá retirar mensalmente? $ 1.794,22
13) Uma mercadoria foi vendida em 36 prestações mensais de $ 422,91, com a primeira paga um mês após a compra, à taxa de 2,6%am. Calcule o preço a vista dessa mercadoria. $9.809,68
14) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 490, em 4 (1 + 3) prestações mensais. Se cobra juros de 7,6%am, qual é o valor de cada prestação? $136,27
15) Uma pessoa entra numa loja, vê uma mercadoria que custa R$ 393,60. Diz ao vendedor que pretende levar a mercadoria, mas que só pode pagar $ 70,00 por mês, sendo a primeira no ato. Se a loja cobra juros de 8%am, quantas prestações deverá pagar?

36
16) Uma pessoa efetuou 10 depósitos mensais de $ 120,00, numa conta que estava sem saldo há 3 meses, recebendo juros de 0,7%am. Qual foi seu saldo no momento do último depósito?
17) Uma mercadoria foi vendida em 12 prestações mensais de $ 70,00, com a primeira de entrada. Se a loja cobra juros de 7,6%am, qual é o preço dessa mercadoria a vista? $ 579,57
18) Quantos depósitos mensais de $ 73,15 uma pessoa deve realizar para no momento do último depósito ter o saldo de R$ 450,00, se receber juros de 1%am? 5, 94
19) Uma pessoa efetuou depósitos mensais de $ 500,00, recebendo juros de 1,6%am e, um mês após o último depósito, seu saldo era de 11.863,19. Quantos depósitos efetuou? 20,2735
20) Sr. Paulo tem dois títulos que vencem respectivamente em 3 e 4 meses, um com valor de $ 340,00 e o outro no valor de $1.780, porém ele pretende efetuar o pagamentos dos dois títulos através de um único pagamento daqui a 6 meses. Qual será o valor do novo título se a taxa cobrada na operação foi de 4,5%am?
21) Uma dívida de $ 1.000,00 vence daqui 10 meses. Entretanto, o devedor propõe-se dividi-la em três parcelas semestrais iguais. A juros de 5%am , calcular o valor das parcelas. $357,22
22) Um título de $ 240.000,00 foi descontado 60 dias antes do vencimento a taxa de 4 %am. Calcular o valor liquido recebido pelo portador.
23) Uma promissória de $ 22.000 teve um desconto composto de $ 1.205,84. Considerando a taxa nominal de 48 %aa, capitalizada mensalmente, calcule o tempo de antecipação.
24) Duas duplicatas, uma de $ 45.000,00 para 90 dias e outra de $ 65.000,00 para 120 dias foram negociadas por três outras de mesmo valor nominal com vencimento para 5, 6 e 7 meses. Sabendo-se que a taxa negociada foi de 3,5 %am, calcule o valor das novas duplicatas. $ 39.824,93
25) Na venda de um barco, a Loja Náutica S.A. oferece duas opções a seus clientes:
a) $ 30.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $50.000,00 e a segunda de $ 100.000,00. 131.975,43
b) Sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas semestrais: $40.000,00 nas duas primeiras, e $ 50.000,00 nas duas ultimas.
Qual é a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de mercado de 4%am?
26) Qual o desconto de um título de R$ 5.000, submetido a desconto composto, com capitalização bimestral, à taxa de 36%aa, seis meses antes do vencimento? $ 801,90
27) Um sitio é posto a venda em uma imobiliária por $ 500.000,00 a vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: entrada de $ 100.000,00, uma parcela de $200.000,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros for de 5%am? $248.449,30
28) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5%am.
29) Depois de concedido desconto de 2%am, certa dívida foi paga pelo valor de R$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias.
30) O sr. Jota tem dois títulos vencendo dentro de 4 e 5 meses com valores de R$ 3.500,00 e R$ 5.000,00. Na possibilidade de não poder honrar seus compromissos, sr. Jota propõe pagar R$ 1.000,00 hoje e o restante em 3 títulos de mesmo valor, com vencimento em 5, 7 e 9 meses. Sabendo que a taxa é de 3%am, calcule o valor dos títulos. $ 2.629,99

37
31) Uma pessoa contraiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestações semestrais pela Tabela Price à taxa de 18% a.s. Calcule o valor da prestação e monte a planilha financeira.
PERÍODO
PRESTAÇÃO
JUROS
AMORT.
SALDO DEVEDOR
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAIS
32) Em relação ao exercício anterior calcular e montar tabela de amortização pelo sistema SAC. ( Sistema de Amortização Constante).

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