2. Matemática Aplicada
Sistemas de Informação
2º período

3. Quantificadores
Jorge Dantas
jorgedantas@fcsl.edu.br

4. Sumário:
Sumário
Página
1.0
Objetivos da aula
5
2.0
Introdução
6
3.0
Desenvolvimento
10
4.0
Bibliografia
20
4

5. Objetivos da aula:

Fazer conhecer o uso de quantificadores para a
transformação de sentenças abertas em proposições.
5

6. INTRODUÇÃO
Vimos e passamos a reconhecer o que se denomina
Sentença Aberta:
a) x 1 7
b) x 2
c) x 3
x2
que contêm variáveis e cujo valor lógico ( V ou F ) vai depender
do valor atribuído à variável.
6

7. Sentença Aberta:
a) x 1 7
b) x 2
c) x 3
x2
X+1=7 é Verdadeira se trocarmos x por 6 e
é Falsa para qualquer outro valor dado a x.
X>2
é Falsa, por exemplo, para x=0.
x³=x²
é Verdadeira se trocarmos x por 0 ou 2 e
é Falsa para qualquer outro valor dado a x.
7

8. Sentença Aberta:
a) x 1 7
b) x 2
c) x 3
x2
Sentenças abertas não são proposições pois seu valor lógico
( V ou F ) vai depender do valor dado às variáveis.
Há, entretanto, duas maneiras de transformá-las em proposições:
1ª) atribuir valor às variáveis
2ª) utilizar de quantificadores
8

9. DESENVOLVIMENTO
Uma função proposicional (ou uma sentença aberta)
definida em A é uma expressão do tipo:
p(x)
Que tem a propriedade que
p(a) é verdadeira ou falsa para cada
a
A.
O conjunto A é dito o domínio de p(x),
e o conjunto T, de todos os elementos de A
para os quais p(a) é chamado conjunto verdade de p(x).
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10. Proposição sobre um conjunto:
Se A um conjunto.
Uma proposição sobre A é uma proposição cujo valor lógico
dependerá do elemento
x
A.
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11. Proposição sobre um conjunto:
São proposições sobre o conjunto N.
a)
b)
c)
d)
n 1
n 10
n 1 n
2n é impar
Quais proposições são verdadeiras para qualquer
n N
?
11

12. Uma proposição p que descreve alguma propriedade de um
elemento
x
A é usualmente denotada por: p(x)
Por exemplo:
Vamos encontrar o conjunto verdade de cada função
proposicional p(x) definida no conjunto N dos inteiros positivos.
a) Seja p(x) “x+2 > 7”.
x; x
N, x 2 7
Qual o seu conjunto verdade?
6, 7, 8, ...
É verdade para todos os inteiros maiores do que 5
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13. b) Seja p(x) “x+5 < 3”.
x; x
Qual o seu conjunto verdade?
N, x 5 3
Não é verdade para nenhum inteiro positivo em N
c) Seja p(x) “x+5 > 1”.
x; x
N, x 5 1
Qual o seu conjunto verdade?
N
É verdade para todo elemento em N
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14. Os exemplos que vimos,mostram que se p(x) é uma função
proposicional definida em um conjunto A, então p(x) pode ser
verdade para todo x
A, para algum x
A , ou para nenhum x
A.
E ai se destacam dois quantificadores relacionados com essas
funções proposicionais.
quantifica dor Unive rsal
quantifica dor Existencia l
Utilizados para transformar sentenças abertas em proposições.
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15. Quantificador Universal:
É indicado pelo símbolo
, que se lê:
qualquer que seja
para todo
para cada
15

16. Quantificador Existencial:
É indicado pelo símbolo
, que se lê:
existe
existe pelo menos um
existe um
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17. Exemplificando:
Considere a sentença aberta
p(x): x + 1 = 1
A partir dela podemos formar:
 Existe
x
 Para todo
pertencente a Z;
x+1=1
x
x+1=1
pertencente a Z;
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18. Quantificador Universal:
“qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”.
x x 1 7
que se lê:
“qualquer que seja x, temos x + 1 = 7”.
x x
3
2x
2
(falsa)
que se lê:
“para todo x, temos x³ = 2x²”.
(falsa)
18

19. Quantificador Universal:
“qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”.
a a 1
2
a2
2a 1
que se lê:
“qualquer que seja a, temos (a+1)² = a² +2a +1”.
y y2 1 0
(verdadeiro)
que se lê:
“para todo y, temos y² +1 positivo”.
(verdadeiro)
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20. Quantificador Existencial:
“existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.
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21. Considere que:
 P(x) denota
“x estudou Matemática”
 O universo do consiste de todos os alunos da FCSL
x P(x) equivale a " todo aluno da FCSL estudou Matemática "
x P(x) equivale a " algum aluno da FCSL estudou Matemática "
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22. Os predicados que vimos até agora, envolvendo propriedades
de uma única variável, são predicados unários.
Entretanto, os predicados podem ser
binários, envolvendo propriedades de duas variáveis,
ternários, envolvendo propriedades de três variáveis ou,
n-ários, envolvendo propriedades de n variáveis.
A expressão
x
y Q x,y
é lida como
“para todo x existe um y tal que Q(x,y)”.
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23. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES É IMPORTANTE.
x y é o mesmo que
x y é o mesmo que
x y não é o mesmo que
y x
y x
y x
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24. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES É IMPORTANTE.
x y
não é o mesmoque
y x
Na expressão x y Q x, y - lê - se :
para todo x existe um y tal que Q x, y
p.ex.: para todo inteiro existe um inteiro maior
Com a mesma interpretação :
Na expressão y x Q x, y - lê - se :
existe um y para todo x tal que Q x, y
p.ex.: existe um inteiro maior para todo inteiro
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25. Exemplos:
x
y x
y
x
V erdadeiro
:
escolha y=0
y
x x
y
x
Verdadeiro
:
escolha y=0
x
y x
y
0
Verdadeiro
:
escolha y = -x
y
x x
y
0
Falso : nenhum y funciona
para todos os x
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26. BIBLIOGRAFIA
Livros:

Fundamentos matemáticos para a ciência da computação
* Judith L Gersting
26

27. AGRADECIMENTOS
Obrigado a todos
pela presença!
Prof Jorge Dantas
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