1. ‫של‬ ‫סינגולריים‬ ‫מצבים‬ ‫לאיפיון‬ ‫שיטה‬
‫מקביליים‬ ‫רובוטים‬
‫בס‬"‫ד‬

2. ‫תוכן‬
‫רקע‬
‫השיטה‬:‫הדואלי‬ ‫קנדי‬ ‫משפט‬
‫וטטראדה‬ ‫טריאדה‬ ‫של‬ ‫סינגולרי‬ ‫מצב‬ ‫איפיון‬
‫של‬ ‫סינגולרי‬ ‫מצב‬ ‫איפיון‬SP6/6
‫מינימליים‬ ‫מקביליים‬ ‫רובוטים‬ ‫של‬ ‫סינגולרי‬ ‫קריטריון‬
‫וסיכום‬ ‫מסקנות‬
2

3. ‫רקע‬
3
3/6 Stewart Platform-
Spatial Triad
6/6 Stewart Platform
Spatial Double Triad
Spatial Tetrad
•‫רובוט‬‫מקבילי‬‫הינו‬‫רובוט‬‫בו‬‫מספר‬‫חוליות‬‫מחוברות‬‫לבסיס‬.
•‫הרובוטים‬‫המקביליים‬‫מתאפיינים‬‫ביכולת‬‫דיוק‬‫ויציבות‬‫גבוהה‬.‫מאידך‬,‫יכולת‬‫השליטה‬‫ותכנון‬‫התנועה‬
‫שלהם‬‫מסובכת‬‫הרבה‬‫יותר‬‫מאשר‬‫ברובוטים‬‫טוריים‬‫וכן‬‫איפיון‬‫ומציאת‬‫המצבים‬‫הסינגולריים‬‫שלהם‬.
•‫רובוטים‬‫מקביליים‬‫נמצאים‬‫בשימוש‬‫בתעשייה‬.‫השימוש‬‫הראשוני‬‫הנפוץ‬‫ביותר‬‫ברובוט‬‫מקבילי‬
(1965)‫מסוג‬3/6 Stewart Platform‫היה‬‫בתור‬‫פלטפורמה‬‫לסימולטור‬‫טיסה‬.

4. Hunt’s Singular
Configuration (1978)
‫הרגל‬ ‫קווי‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ ‫אחד‬ ‫קו‬
‫ה‬ ‫של‬-SP
Fichter’s Singular
Configuration (1986)
‫של‬ ‫בסיבוב‬ ‫נעה‬ ‫הפלטפורמה‬
±90°‫האנכי‬ ‫הציר‬ ‫סביב‬
‫הנקרא‬ ‫ביותר‬ ‫הידוע‬ ‫המקבילי‬ ‫המכניזם‬ ‫של‬ ‫ידועות‬ ‫סינגולריות‬ ‫קונפיגורציות‬Stewart Platform

5. 3C
4D 5A
5B
4B
Merlet(1989)‫מצא‬‫מספר‬‫איפיונים‬
‫סינגולריים‬‫של‬3/6-SP‫בעזרת‬‫שיטת‬
Grassmann line geometry‫המוגדרים‬‫כ‬-
3C,4B,4D,5A‫ו‬-5B.
Hunt et al.(2002)‫ובעקבותיהם‬‫שוהם‬‫ובן‬
‫חורין‬(2006)‫הוכיחו‬‫בעזרת‬‫שיטת‬
Grassmann–Cayley algebra‫שהאיפיון‬
‫הסינגולרי‬‫של‬‫קבוצה‬‫בת‬144‫מכניזמים‬
‫מתאפיינת‬‫בחיתוך‬‫ארבעה‬‫מישורים‬‫בנקודה‬
‫אחת‬.
‫בעיית‬‫האיפיון‬‫הסינגולרי‬
‫של‬‫רובוטים‬‫מקביליים‬
‫למעט‬3/6 SP‫נשארה‬
‫מסובכת‬‫ולא‬‫פתירה‬-
‫בואו‬‫נראה‬‫איך‬‫עובדת‬
‫השיטה‬‫שהצענו‬.
‫תוכן‬

6. 𝐿3
𝐿1
𝐿2
𝑛1
𝑛2
𝑛3
‫לסינגולריות‬ ‫הגורם‬ ‫גיאומטרי‬ ‫אילוץ‬
‫ב‬ ‫קווים‬ ‫שלושה‬ ‫נתונים‬ ‫כאשר‬ ‫גיאומטרי‬ ‫אילוץ‬-3D-‫קיים‬
‫הקווים‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫החוצה‬ ‫משותף‬ ‫נורמל‬.
‫נתונים‬ ‫כאשר‬ ‫גיאומטרי‬ ‫אילוץ‬‫שלושה‬‫קווים‬‫אותו‬ ‫על‬ ‫הנמצאים‬
‫מישור‬-‫אחת‬ ‫בנקודה‬ ‫נחתכים‬ ‫הקווים‬ ‫שלושת‬.
𝑛3
Self-stress is created
Self-stress is created
𝐿3
Two lines
intersect at a point

7. 𝑝1 𝑝2 𝑝3
𝑛1
𝑛2
𝑛3
𝑛3
𝑝3
Self-stress is created
‫נתונים‬ ‫כאשר‬ ‫גיאומטרי‬ ‫אילוץ‬‫ב‬ ‫נקודות‬ ‫שלושה‬-2D-‫קיים‬‫קו‬
‫הנקודות‬ ‫שלושת‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬.

8. 3/6 SP- 3D Triad
3D Double Triad
3D Tetrad
3D Pentad
‫גיאומטריים‬ ‫סינגולריים‬ ‫אילוצים‬-‫משותף‬ ‫אנך‬
‫אנחנו‬ ‫איך‬ ‫נראה‬ ‫בואו‬
‫זה‬ ‫את‬ ‫עושים‬.

9. ‫להסתכל‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫גיאומטרי‬ ‫אילוץ‬ ‫שלצורך‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫אז‬
‫על‬‫המשותף‬ ‫האנך‬(‫קו‬)‫שלושה‬ ‫עבור‬‫קווים‬(‫נקודות‬)‫בתלת‬-‫מימד‬
(‫בדו‬-‫מימד‬.)
‫קווים‬ ‫אותם‬ ‫מהם‬/‫נקודות‬?

10. ‫בדו‬-‫מימד‬,‫בסטטיקה‬‫הקווים‬‫הם‬‫קווי‬‫שווי‬‫מומנט‬(equimomental
lines- eqml),‫זה‬‫הדואלי‬‫למרכזי‬‫סיבוב‬‫בקינמטיקה‬(Shai and
Pennock, 2005).
Shai O. and Pennock G. R, "The Duality Between Planar Kinematics and Statics", ASME Design ngineering Technical
Conferences, September, 24-28, 2005, in Long Beach, California, USA. Awarded the A.T. Yang Memorial Award in
Theoretical Kinematics.
‫בתלת‬-‫מימד‬,‫בסטטיקה‬‫הקווים‬‫הם‬‫שווי‬ ‫ברגים‬‫מומנט‬(equimomental
screws - eqms),‫הדואלי‬ ‫זה‬‫ל‬-ISA(Instantaneous screw axis)
‫בקינמטיקה‬.

11. StaticsKinematics
𝐹1
𝐹2
𝑟1
𝑟2
𝐹1,2
𝐿
𝐹1
𝑀 𝐹1,0
𝑀 𝐹1,𝐿
𝑉𝐴 0 = 0𝐴
1
𝐴
𝑉𝐴1 0
𝐴 = 𝐼 1,2
1
2
𝑒𝑞𝑚𝑙 𝐹1, 𝐹2
𝑒𝑞𝑚𝑙 𝐹1, 𝐹3
𝑒𝑞𝑚𝑙 𝐹2, 𝐹3
1
1,2
3
2,31,3
2
‫אבסולוטי‬ ‫רגעי‬ ‫סיבוב‬ ‫מרכז‬
‫רגעי‬ ‫סיבוב‬ ‫מרכז‬‫יחסי‬
‫קנדי‬ ‫משפט‬ ‫משפט‬‫קנדי‬‫הדואלי‬
‫מומנט‬ ‫שווה‬ ‫קו‬‫יחסי‬
‫אבסולוטי‬ ‫מומנט‬ ‫שווה‬ ‫קו‬
𝐿 = 𝑒𝑞𝑚𝑙 𝐹1, 𝐹2
= 𝑀 𝐹2,𝐿
= 𝑉𝐴2 0
‫אותו‬ ‫על‬ ‫נמצאים‬ ‫הסיבוב‬ ‫מרכזי‬ ‫שלושת‬‫קו‬.
‫קווי‬ ‫שלושת‬
eqml‫נפגשים‬
‫באותה‬‫נקודה‬.
‫קו‬‫ל‬ ‫דואלי‬ ‫הוא‬‫נקודה‬.‫נקודה‬‫ל‬ ‫דואלית‬ ‫היא‬‫קו‬.

12. 12
‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מימד‬ ‫ובתלת‬ ‫בדו‬ ‫קנדי‬ ‫משפט‬ ‫את‬ ‫לסכם‬ ‫נוכל‬:

13. Dual KennedyKennedy
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏, 𝟐
4
1
2
3
𝟐, 𝟑
𝟏, 𝟒
𝟑, 𝟒
𝟏, 𝟑
𝟏, 𝟐, 𝟑Relative instant center of bodies 𝟏, 𝟐 ∨= 𝟐, 𝟑 ∨ 𝟏, 𝟑
𝟏, 𝟒, 𝟑Relative instant center of bodies 𝟏, 𝟒 ∨= 𝟑, 𝟒 ∨ 𝟏, 𝟑
Relative equimomental line of faces 𝟏, 𝟑 𝟏, 𝟐= ∧ 𝟐, 𝟑 ∨ 𝟏, 𝟒 ∧ 𝟒, 𝟑
𝑷 𝟏 𝑷 𝟐
𝑷 𝟏 𝑷 𝟐
4
1
2
3
𝑷 𝟏 is the result of a jump of two𝑷 𝟐 is the result of a jump of two
‫הסינגולרי‬ ‫שהפיתרון‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫מוגבל‬ ‫קנדי‬ ‫מעגל‬ ‫בעזרת‬
‫ארבע‬ ‫גודל‬ ‫מסדר‬ ‫למעגלים‬,
‫על‬ ‫להתגבר‬ ‫כיצד‬ ‫נראה‬ ‫בהמשך‬
‫זו‬ ‫בעיה‬.

14. ‫של‬ ‫הדואלי‬‫מוט‬‫הוא‬ ‫בסטטיקה‬‫פאה‬(‫מוטות‬ ‫ללא‬ ‫מעגל‬
‫פנימיים‬.)‫אופן‬ ‫באותו‬,
‫בקינמטיקה‬,‫לכל‬‫מוט‬‫קיים‬‫מס‬"‫ר‬(‫סיבוב‬ ‫מרכז‬)‫אבסולוטי‬.
‫בסטטיקה‬,‫לכל‬‫פאה‬‫קיים‬eqml(‫שווה‬ ‫קו‬‫מומנט‬)‫אבסולוטי‬.
‫בקינמטיקה‬,‫לכל‬‫מוטות‬ ‫שתי‬‫קיים‬‫מס‬"‫ר‬(‫סיבוב‬ ‫מרכז‬)‫יחסי‬.
‫בסטטיקה‬,‫לכל‬‫פאות‬ ‫שתי‬‫קיים‬eqml(‫מומנט‬ ‫שווה‬ ‫קו‬)‫יחסי‬.
‫מימד‬ ‫בתלת‬:
‫בקינמטיקה‬,‫כל‬‫מוט‬‫המכיל‬ ‫כווקטור‬ ‫לייצג‬ ‫נוכל‬‫מהירות‬ ‫רכיבי‬(Twist vector.)
‫בסטטיקה‬,‫כל‬‫פאה‬‫לייצג‬ ‫נוכל‬‫המכיל‬ ‫כווקטור‬‫רכיבי‬‫כוח‬(Wrench vector.)

15. ‫אסור‬ ‫גרפי‬-Assur Graphs (AG)
•AG‫מבנה‬ ‫הינו‬‫סטטי‬ ‫מסוים‬‫מינימלי‬↔‫כל‬ ‫הסרת‬
‫יוצרת‬ ‫אלמנט‬‫הפנימיים‬ ‫הצמתים‬ ‫בכל‬ ‫תנועה‬.
15
•‫ל‬-AG‫מיוחדות‬ ‫סינגולריות‬ ‫תכונות‬ ‫ישנם‬(Servatius et al, 2010).AG‫ב‬ ‫מתאפיין‬ ‫במצב‬:
‫הפנימיות‬ ‫הצמתים‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫מוביליות‬.
self-stress,‫פנימי‬ ‫כוח‬,‫המכניזם‬ ‫במוטות‬.
‫בנוסף‬,‫מ‬ ‫חוליה‬ ‫הורדת‬-AG‫המוטות‬ ‫שאר‬ ‫של‬ ‫המוביליות‬ ‫על‬ ‫משפיעה‬ ‫לא‬ ‫סינגולרי‬ ‫במצב‬.
‫תוכן‬ Servatius B., Shai O., and Whiteley W., 2010, “Geometric Properties of Assur Graphs”, European Journal of
Combinatoric, 31(4), pp. 1105-1120

16. 𝟔
𝟎, 𝟒
Common Normal
𝟏
𝟑
𝟓
Common Normal
𝝅 𝟑
𝝅 𝟏
𝝅 𝟓
2
0
4
𝟔, 𝟐
𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏= ∨ 𝟏, 𝟐 ∧ 𝟎, 𝟔 ∨ 𝟔, 𝟐
𝝅 𝟏 𝝅 𝟔
‫של‬ ‫סינגולרי‬ ‫מצב‬ ‫איפיון‬‫תלת‬ ‫טריאדה‬-‫מימדית‬(3/6 SP)
𝟎, 𝟒 𝟎, 𝟓= ∨ 𝟒, 𝟓 ∧ 𝟎, 𝟔 ∨ 𝟔, 𝟒
𝝅 𝟓 𝝅 𝟔
𝟐, 𝟒 𝟐, 𝟑= ∨ 𝟑, 𝟒 ∧ 𝟐, 𝟔 ∨ 𝟔, 𝟒
𝝅 𝟑 𝝅 𝟔
∧Common Normal = 𝟎, 𝟐 ∧𝟐, 𝟒 𝟎, 𝟒
‫האילוץ‬‫הסינגולרי‬:‫שלושת‬‫ה‬-eqml(0,2), (0,4) ,(2,4),‫הנמצאים‬‫על‬‫מישור‬‫הפלטפורמה‬,
‫חייבים‬‫להיחתך‬‫בנקודה‬‫אחת‬(‫הנקודה‬‫האדומה‬).
𝟎,𝟐‫שתי‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫הוא‬‫קפיצות‬

17. 𝒏 𝟑𝒏 𝟐
𝒏 𝟏
𝒏 𝟏
𝝅 𝟑
𝝅 𝟕
𝝅 𝟓
‫מימדית‬ ‫תלת‬ ‫טטראדה‬ ‫של‬ ‫סינגולרי‬ ‫מצב‬ ‫איפיון‬
𝟏
0
2
𝟑
𝟓
𝟕
𝟖
4
6
𝟐,𝟖
𝟔, 𝟖𝟎, 𝟒
𝟎, 𝟐= ∧ 𝟐, 𝟒 𝟎, 𝟖 ∧ 𝟖, 𝟒∨ 𝟎, 𝟔 ∧ 𝟔, 𝟒 ∨
𝒏 𝟏 𝒏 𝟑𝒏 𝟐
𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏= ∨ 𝟏, 𝟐 ∧ 𝟎, 𝟖 ∨ 𝟖, 𝟐
𝝅 𝟏 𝝅 𝟗
𝟐, 𝟒 𝟐, 𝟑= ∨ 𝟑, 𝟒 ∧ 𝟐, 𝟖 ∨ 𝟖, 𝟒
𝝅 𝟑 𝝅 𝟏𝟎
𝟎, 𝟔 𝟎, 𝟕= ∨ 𝟕, 𝟔 ∧ 𝟎, 𝟖 ∨ 𝟖, 𝟔
𝝅 𝟕 𝝅 𝟏𝟐
𝟔, 𝟒 𝟔, 𝟓= ∨ 𝟓, 𝟒 ∧ 𝟔, 𝟖 ∨ 𝟖, 𝟒
𝝅 𝟓 𝝅 𝟏𝟏
Common Normal
𝝅 𝟏
𝝅 𝟏𝟎
𝝅 𝟗
𝝅 𝟏𝟐
𝝅 𝟏𝟏
‫האילוץ‬‫הסינגולרי‬:‫אנך‬‫משותף‬‫חייב‬‫לחצות‬‫את‬‫שלושת‬‫הנורמלים‬‫לשלושה‬‫זוגות‬‫קווי‬eqml
‫המרכיבים‬‫את‬eqms (0,4).
‫תוכן‬

18. 5
6
3
1
2
4
‫סינגולרי‬ ‫מצב‬ ‫איפיון‬‫של‬6/6 SP
18
𝑓1 𝑙1 + 𝑓2 𝑙2 + 𝑓3 𝑙3 + 𝑓4 𝑙4 + 𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6 ∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
= 0
𝑓1 𝑙1 + 𝑓2 𝑙2 + 𝑓3 𝑙3 + 𝑓4 𝑙4 + 𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6 ∘
𝑆 𝐿2
𝑆02
= 0
‫הדרישה‬‫הסינגולרית‬:‫במצב‬‫סינגולרי‬‫ישנם‬‫כוחות‬‫פנימיים‬‫ברגלי‬‫המכניזם‬.
‫קווים‬ ‫שני‬ ‫נגדיר‬𝐿1‫ו‬-𝐿2‫את‬ ‫שיקיימו‬
‫הבאות‬ ‫המשוואות‬;‫הכוחות‬ ‫זה‬ ‫במצב‬
‫שמפעילים‬ ‫והמומנטים‬‫המכניזם‬ ‫רגלי‬
‫לאורך‬‫שווים‬ ‫יהיו‬ ‫קווים‬ ‫אותם‬‫לאפס‬.

19. ‫שבמצב‬ ‫מניחים‬ ‫אנו‬‫של‬ ‫הסינגולרי‬6/6 SP‫ישנם‬‫החוצים‬ ‫קווים‬ ‫שני‬‫הרגליים‬ ‫ששת‬ ‫מתוך‬ ‫רגליים‬ ‫ארבעה‬
‫ה‬ ‫של‬-SP.‫המשוואה‬ ‫מתקיימת‬ ‫זה‬ ‫במצב‬(‫קו‬ ‫סביב‬ ‫במשוואות‬ ‫נתמקד‬𝐿1:)
‫של‬ ‫הגיאומטרי‬ ‫לאיפיון‬ ‫סכמטי‬ ‫הסבר‬6/6 SP
5
6
3
1
2
4
𝑳 𝟏
𝑳 𝟏‫קו‬ ‫יהיה‬‫ה‬ ‫של‬ ‫הרגליים‬ ‫ששת‬ ‫מתוך‬ ‫רגליים‬ ‫ארבעה‬ ‫החוצה‬-SP
‫יהיה‬‫קו‬‫ה‬ ‫של‬ ‫הרגליים‬ ‫ששת‬ ‫מתוך‬ ‫רגליים‬ ‫ארבעה‬ ‫החוצה‬-SP
𝑓1 𝑙1 + 𝑓2 𝑙2 + 𝑓3 𝑙3 + 𝑓4 𝑙4 ∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
= 0

20. 𝑳 𝟏
′
‫יהיה‬‫לקו‬ ‫המקביל‬ ‫קו‬𝑳 𝟏
5
6
3
1
2
4
𝑳 𝟏
𝑳 𝟏
′
‫הרגליים‬ ‫את‬ ‫וחוצה‬5‫ו‬-6
‫המקביל‬ ‫קו‬ ‫יהיה‬‫לקו‬‫וחוצה‬‫הרגליים‬ ‫את‬5‫ו‬-6
𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6 ∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
′ = 0
‫מצב‬‫זה‬‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מקיים‬:
‫נקבל‬ ‫מתמטיות‬ ‫פעולות‬ ‫מספר‬ ‫לאחר‬:
𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6 ∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
− 𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6 ∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
′ = 0
$5,6
𝑤
= 𝑓5 𝑙5 + 𝑓6 𝑙6
$5,6
𝑤
∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
−
𝑆 𝐿1
𝑆01
′ = $5,6
𝑤
∘
0
𝑆01
− 𝑆01
′ = 0
$5,6
𝑤
∘
𝑆 𝐿1
𝑆01
−
𝑆 𝐿1
𝑆01
′ = $5,6
𝑤
∘
0
𝑆01
− 𝑆01
′ = 0

21. ' '‫המישורים‬ ‫שני‬ ‫חיתוך‬ ‫קו‬ ‫הוא‬𝝅 𝑳 𝟏,𝑳 𝟏
′‫ו‬-𝝅
5
6
3
1
2
4
𝑳 𝟏
𝑳 𝟏
′
𝝅 𝑳 𝟏,𝑳 𝟏
′‫המקבילים‬ ‫הקווים‬ ‫שני‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגדר‬ ‫מישור‬ ‫הינו‬𝑳 𝟏‫ו‬-𝑳 𝟏
′
𝝅‫המקבילים‬ ‫הקווים‬ ‫שני‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגדר‬ ‫מישור‬ ‫הינו‬‫ו‬-
$5,6
𝑤
∥ 𝜋 𝐿1,𝐿1
′ ∥ 𝜋 𝐿2,𝐿2
′
$5,6
𝑤
∥ 𝑚 𝑚 = 𝜋 𝐿1,𝐿1
′ ∧ 𝜋 𝐿2,𝐿2
′

22. ‫הסינגולריות‬ ‫את‬ ‫המגדיר‬ ‫העיקרי‬ ‫למשפט‬ ‫מגיעים‬ ‫אנחנו‬ ‫כעת‬:
𝑪𝑵 𝟓,𝟔
5
6
3
1
2
4
𝑳 𝟏
𝑳 𝟏
′
𝑪𝑵 𝟓,𝟔‫המכניזם‬ ‫רגלי‬ ‫קווי‬ ‫של‬ ‫המשותף‬ ‫הנורמל‬ ‫יהיה‬5‫ו‬-6
‫משפט‬(Slavutin M., Sheffer A., Shai O.:)
6/6 Stewart Platform‫קו‬ ‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ ‫סינגולרי‬ ‫במצב‬ ‫נמצא‬‫קווי‬ ‫של‬ ‫המשותף‬ ‫לנורמל‬ ‫מאונך‬
‫המכניזם‬ ‫רגלי‬5‫ו‬-6,‫כלומר‬,⊥ 𝑪𝑵 𝟓,𝟔
‫תוכן‬

23. 3
1
2
4
‫על‬ ‫הסינגולרי‬ ‫הקריטריון‬ ‫את‬ ‫נדגים‬6/6 SP.
‫קריטריון‬‫מינימליים‬ ‫מקביליים‬ ‫רובוטים‬ ‫של‬ ‫סינגולרי‬
‫מה‬ ‫רגליים‬ ‫זוג‬ ‫נוריד‬-SP.
‫הסינגולרי‬ ‫הקריטריון‬ ‫משפט‬(Slavutin M., Sheffer A., Shai O.:)
‫רובוט‬‫מקבילי‬‫מינימאלי‬(AG)‫נמצא‬‫במצב‬‫סינגולרי‬‫אם‬‫ורק‬‫אם‬‫עבור‬‫כל‬‫מוט‬‫במכניזם‬,‫לאחר‬
‫הורדת‬‫שלושה‬‫זוגות‬‫רגליים‬‫ומציאת‬‫ציר‬‫הצלינדרואיד‬(Cylindroid)‫עבור‬‫כל‬‫אחד‬‫מהם‬,‫ה‬-ISA
‫של‬‫המכניזם‬‫חייבת‬‫להיות‬‫מאונכת‬‫לשלושת‬‫צירי‬‫הצלינדרואיד‬.

24. 1
2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟏‫קו‬ ‫יהיה‬‫ל‬ ‫שנשארו‬ ‫הרגליים‬ ‫ארבעת‬ ‫מתוך‬ ‫רגליים‬ ‫שלושה‬ ‫החוצה‬-SP
‫יהיה‬‫קו‬‫ל‬ ‫שנשארו‬ ‫הרגליים‬ ‫ארבעת‬ ‫מתוך‬ ‫רגליים‬ ‫שלושה‬ ‫החוצה‬-SP
‫כאלה‬ ‫קווים‬ ‫אינסוף‬ ‫שיש‬ ‫יצויין‬.

25. 1
2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟒
′
𝑳 𝟒
′
‫יהיה‬‫לקו‬ ‫המקביל‬ ‫קו‬𝑙4‫הקווים‬ ‫את‬ ‫וחוצה‬𝑳 𝟏‫ו‬-

26. 1
2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟒
′
𝝅𝒍 𝟒,𝑳 𝟒
′‫המקבילים‬ ‫הקווים‬ ‫שני‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגדר‬ ‫מישור‬ ‫הינו‬𝑙4‫ו‬-𝑳 𝟒
′

27. 𝝅⊥
‫מישור‬ ‫הינו‬‫למישור‬ ‫המאונך‬𝝅𝒍 𝟒,𝑳 𝟒
′‫הקווים‬ ‫של‬ ‫המשותף‬ ‫לנורמל‬ ‫ומקביל‬𝑳 𝟏‫ו‬-,
1
2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟒
′
𝝅⊥

28. 1
2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟒
′𝑳⊥
𝑳⊥
‫מישור‬ ‫על‬ ‫הנמצא‬ ‫קו‬ ‫יהיה‬𝝅⊥‫הקווים‬ ‫את‬ ‫וחוצה‬𝑳 𝟏‫ו‬-
𝝅⊥

29. ‫שהבורג‬ ‫קיבלנו‬‫הוא‬ISA‫ה‬ ‫מרחב‬ ‫מתוך‬ ‫המערכת‬ ‫של‬ ‫אפשרית‬-ISAs‫האפשריות‬.
‫הבאות‬ ‫המשוואות‬ ‫את‬ ‫מקיים‬ ‫הבורג‬:
1 2
4
𝑳 𝟏
3
𝑳 𝟒
′𝑳⊥
‫הבורג‬‫ל‬ ‫משותף‬ ‫אנך‬ ‫יהיה‬-𝑳⊥
‫המשותף‬ ‫ולנורמל‬,
$1 ∘ 𝑙𝑖 = 0 , 𝑖 = 1, … , 4
$1 = 𝜔1 𝐿1 + 𝜔2 𝐿2
𝝅⊥

30. ‫ה‬-ISA‫המכניזם‬ ‫של‬ ‫השנייה‬ ‫האפשרית‬,,‫קווים‬ ‫שני‬ ‫בחירת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫מתקבלת‬,𝑳 𝟏‫ו‬-,‫וביצוע‬ ‫אחרים‬
‫לעיל‬ ‫הפעולות‬
‫הברגים‬ ‫של‬ ‫המשותף‬ ‫האנך‬ ‫יהיה‬‫ו‬-‫הצלינדרואיד‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫ויהווה‬(Cylindroid)‫ה‬ ‫כל‬ ‫של‬-
ISAs‫המכניזם‬ ‫של‬ ‫האפשריות‬.‫ה‬-ISA‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫שמצאנו‬ ‫הברגים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫כקומבינציה‬ ‫להיכתב‬ ‫תוכל‬:
𝐼𝑆𝐴 = 𝜔1$1 + 𝜔2$2
1
2
4
3

31. 6/6 Stewart Platform‫נמצא‬‫במצב‬‫סינגולרי‬‫אם‬‫ורק‬‫אם‬‫ישנו‬‫אנך‬‫משותף‬‫לשלושת‬‫הנורמלים‬(‫צירי‬
‫הצלינדרואידים‬):,‫ו‬-,‫הנוצרים‬‫על‬‫ידי‬‫הורדת‬‫זוג‬‫רגליים‬.‫אנך‬‫משותף‬‫זה‬‫הוא‬‫למעשה‬
‫ה‬-ISA‫של‬‫המכניזם‬.
‫המשותפים‬ ‫הנורמלים‬,‫ו‬-,‫הפעולות‬ ‫וביצוע‬ ‫רגליים‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫זוג‬ ‫הורדת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫מתקבלים‬
‫לעיל‬
1
2
4
3

32. 1
2
43
5
6

33. 33‫תוכן‬

34. ‫וסיכום‬ ‫מסקנות‬
•‫המוצעת‬ ‫השיטה‬‫ביחס‬ ‫נבחנה‬‫הקיימות‬ ‫אחרות‬ ‫לשיטות‬
‫בספרות‬‫ונמצאה‬‫התאמה‬‫בתוצאות‬.
•‫סוגי‬ ‫הרבה‬ ‫של‬ ‫סינגולריות‬ ‫למציאת‬ ‫רלוונטית‬ ‫השיטה‬
‫מסויים‬ ‫למכניזם‬ ‫מוגבלת‬ ‫ולא‬ ‫מכניזמים‬.
•‫מסובכת‬ ‫ולא‬ ‫פשוטה‬ ‫בצורה‬ ‫וקימפול‬ ‫ליישום‬ ‫ניתנת‬ ‫השיטה‬.
•‫היא‬ ‫עליהם‬ ‫ובעקרונות‬ ‫המוצעת‬ ‫בשיטה‬ ‫שיש‬ ‫מאמינים‬ ‫אנחנו‬
‫מצבים‬ ‫באיפיון‬ ‫ולתעשייה‬ ‫לספרות‬ ‫רבה‬ ‫תרומה‬ ‫מושתתת‬
‫מימדיים‬ ‫תלת‬ ‫מקביליים‬ ‫רובוטים‬ ‫של‬ ‫סינגולריים‬.
34‫תוכן‬