1. O documento explica o conceito de determinante de matrizes, como calcular determinantes de matrizes de diferentes ordens e algumas propriedades importantes dos determinantes. 2. São apresentados métodos para calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, além do Teorema de Laplace que permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3. 3. São listadas 9 propriedades importantes dos determinantes, como que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

1. E
I
T
E
R
N
A
N
T
E
M
D
Determinante

2. O que você sabe
sobre
determinante?

3. Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
 Matrizes
 Equação do 1º
 Equação do 2º grau

4. Como representamos oComo representamos o
determinantedeterminante de umade uma
matriz?matriz?
Colocando os elementos de uma matrizColocando os elementos de uma matriz
entre duasentre duas barras verticaisbarras verticais..
Exemplos:Exemplos:
04
21
04
21
=⇒





= ADetA
355
102
041
355
102
041
=⇒










= BDetB

5. Como calculamos o
determinante de uma
matriz quadrada?
 Se for uma matriz de ordem 1,
então o determinante é o próprio
elemento da matriz.
Exemplo:
( ) 44det4 −=−=⇒−= AA

6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o
determinante é a diferença entre o produto dos
elementos da matriz principal e o produto dos
elementos da matriz secundária.
Exemplo:
01
32
det
01
32
=⇒





= AA
31.30.2 −=−

7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é
igual a:igual a:
a) 2a) 2
b) 3b) 3
c) 4c) 4
d) 5d) 5
e) 6e) 6






=




 −
=
112
1 yx
Be
y
x
A

8. SoluçãoSolução
3x = 63x = 6
x = 2x = 2
424)(2
4
2
1
det
=+⇒=−−
=
−
=
yxyx
y
x
A
2
2
11
det
=−
==
yx
yx
B
⇒



=−
=+
⇒



=−
=+
2
42
2
42
yx
yx
yx
yx x - y = 2x - y = 2
2 - y = 22 - y = 2
y = 0y = 0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.

9.  Se for uma matriz de ordem 3,
então o determinante é calculado
através da Regra de Sarrus.

11. Exemplo:
det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12
det A = 0

12. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
é(são):é(são):
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x

13. SoluçãoSolução
-2 + 6x -2x -2x2
=-8
-2x2
+ 4x -10 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x
8
32
10
21
−=
−−
−
x
x
x 1
x
2
0
-2x
6x-20 -2x2
-2x0

14. Propriedades dos
determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais a zero, o determinante
dessa
matriz também será zero.
Exemplo:
0det
5009
2703
0302
1401
=⇒














= AA

15. 2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante
dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
5019
0352
0372
1401
=⇒














= AA

16. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
Exemplo:
0det
6013
4372
4372
2401
=⇒














= AA

17. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de posição, o determinante da nova matriz será o
oposto da matriz anterior.
Exemplo:










−−
=










−−
=
201
521
310
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13

18. Exemplo:










−−
=










−−
=
201
521
1563
201
310
521
BeA
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39
5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)
forem multiplicados por um mesmo número, então o
determinante também fica multiplicado por esse número.

19. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um
número real, então o determinante fica multiplicado por
esse número elevado a ordem da matriz.
Exemplo:










−−
=










−−
=










−−
=
402
620
1042
201
310
521
2
201
310
521
BeA
det A = 13, então det B = 13. 23
= 104

20. 7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:










−−
=
201
310
521
A
det A = 13, então det At
= 13

21. 8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:










−
=
200
310
521
A
det A = 1.1.(-2) = -2

22. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas
matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB) = (det A) (det B).
Exemplo:






=





−
=
43
20
15
23
BeA
det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78
784236)det(
63
146
=+=⇒





−
= ABAB

23. Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais
que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96

24. Solução
det A = 3 e det B = 4
Pelo Teorema de Binet temos que:
det(A . 2B) = det A . det 2B
E pela 6ª propriedade temos que:
det 2B = 4 . 23
= 32
Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.

25. e A-1
sua inversa. Então,
Exemplo:








−
=




 −
= −
2
11
2
10
02
11 1
AeA
2
1
det,220det 1
==+= −
AentãoA
A
A
det
1
det 1
=−
10ª) Seja A uma matriz
quadrada invertível

26. Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de
ordem 3, possui determinante igual a 2.
O valor de det (2 . A-1
) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

27. Solução
det A = 2
Pela 10ª propriedade temos que:
Pela 6ª propriedade temos que:
det 2.A-1
= 1/2 . 23
= 4
Logo, det (2 . A-1
) = 4  letra D.
2
1
det
det
1
det 11
=⇒= −−
A
A
A

28. Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o
determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero real quereal que
se obtémse obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos
de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer(linha ou coluna) qualquer pelospelos seusseus
respectivosrespectivos cofatorescofatores..
Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante
de matrizes de ordem maior que 3.de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos
dede CofatorCofator..

29. O que é Cofator de uma
matriz?
É o produto de (-1)i+j
(sendo i e j o índice
de um elemento) pelo determinante da
matriz obtida quando eliminamos a linha e
a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz










−
−−=
346
120
352
A

30. Vamos calcular os cofator c11.










−
−−=
346
120
352
A
C11 = (-1)1+1
.
C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10
34
12
−
−−

31. Vamos calcular os cofator c23.










−
−−=
346
120
352
A
C23 = (-1)2+3
.
C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22
46
52

32. Teorema de La PlaceTeorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
oo determinantedeterminante da matriz A será oda matriz A será o númeronúmero
realreal
que se obtémque se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos
elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna)(linha ou coluna)
qualquerqualquer pelospelos seus respectivosseus respectivos cofatorescofatores..
Exemplo: Considerando a matriz










−
−−=
346
120
352
A

33. 









−
−−=
346
120
352
A
C21 = (-1)2+1
. = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
C22 = (-1)2+2
. = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24
C23 = (-1)2+3
. = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22
34
35
−
36
32
−
46
52
Vamos calcular o determinante
usando da segunda linha.

34. Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.










−
−−=
346
120
352
A
Então, o cálculo do
determinante da matriz

35. O que você aprendeu:
 Como representar e calcular um
determinante.
 Regra de Sarrus.
 As propriedades dos determinantes.
 Teorema de La Place.

36. Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 146 a 174.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 303 a 313.
 Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.
 http://www.somatematica.com.br/emedio/det
erminantes/