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1. Progressão Geométrica

2. O que você precisa saber para esta
aula?
Conjunto de números reais.
Sucessão de números reais.

3. O que você vai aprender
nessa aula:
O que é uma progressão geométrica?
Qual é a razão de uma P.G. e como
determina-lá?
Como determinar os termos de uma P.G.?
Como determinar a soma dos termos de
uma P.G?

4. O que é uma Progressão Geométrica?
Dizemos que uma sequência numérica
constitui uma progressão geométrica
quando, a partir do 2º termo, a divisão
entre um elemento e seu antecessor
for sempre igual.

5. Observe a sequência:
(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma
progressão geométrica, pois se encaixa na
definição dada.
4:2=2
8:4=2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
O termo constante da progressão geométrica é
denominado razão.

6. Muitas situações envolvendo
sequências são consideradas PG,
dessa forma, foi elaborada uma
expressão capaz de determinar
qualquer elemento de uma
progressão geométrica. Veja a
fórmula:
n −1
An = A1.q

7. Exemplo:
Em uma progressão geométrica, temos que o 1º
termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine
o 8º termo dessa PG.
Onde :
8−
A = .3
8 4 1
A = .3
8 4 7
A = .2187
8 4
A =
8 8748

8. Agora tente fazer sozinho.
(PUC) Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...).
Determine o 20º termo.
Obs:Você pode determinar a razão através
da fórmula:
A2
q =
A1

9. Resolução:
A20 = 3.3
19
A20 = 3.1162261467
A20 = 3486784401

10. Vejamos agora alguns tipos de
Progressão Geométrica:
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica constante é toda
progressão geométrica em que todos os termos
são iguais, sendo que para isso a razão q tem
que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1
ou 0 (nulo).
Exemplos de progressão geométrica constante:
P.G.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1
P.G.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou
indeterminada

11. Progressão geométrica
crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda
progressão geométrica em que cada termo, a partir do
segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo
que para isso há dois casos: para a1positivo a
razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e
para a1 negativo a razão q tem que ser positiva e menor
que 1.
Exemplos de progressão geométrica crescente:
P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) -
razão q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3
P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) -
razão q = 1/10

12. Progressão geométrica
decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda
progressão geométrica em que cada termo, a partir do
segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo
que para isso há dois casos: para a1positivo a
razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e
para a1 negativa a razão q tem que ser positiva e maior
que 1.
Exemplos de progressão geométrica decrescente:
P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-
4096,...) - razão q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q
= 1/2

13. Progressão geométrica
oscilante
Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é
toda progressão geométrica em que todos os termos
são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem
sempre sinais opostos, sendo que para isso a
razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero
.
Exemplos de progressão geométrica oscilante:
P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

14. Progressão geométrica
quase nula
Uma progressão geométrica quase nula é toda
progressão geométrica em que o primeiro termo
é diferente de zero e todos os demais são iguais
a zero, sendo que para isso a razão q tem que
ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão geométrica quase nula:
P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)
razão q = 0
P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)
razão q = 0

15. Soma dos termos
de uma PG
A soma dos termos de uma PG é calculada através
da seguinte expressão matemática:
A1.( q −1) n
Sn =
q −1

16. Exemplo:
Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos
20 primeiros elementos dessa PG.
A1.(q n − 1)
Sn =
3 −1
3.(320 − 1)
Sn =
3 −1
3(3486784401 − 1)
Sn =
2
3.3486784400
Sn =
2
10460353200
Sn =
2
Sn = 5230176600

17. Agora tente fazer sozinho:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG
(1,2,4,8,...) .
Não se esqueça que para determinar o valor de
q(razão), você deve utilizar a fórmula:
A2
q=
A1

18. Resolução:
q=2
1.( 2 − )
10
1
Sn =
2− 1
1.(1024 − )1
Sn =
1
Sn =1023

19. Bibliografia:
FACCHINI,Walter.Matemática Volume
Único. Editora Saraiva, 2007.

20. FIM