Problemas de geometria analítica envolvendo círculos, retas e regiões planas

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1. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y -
2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a:
a) 2 2 - 2
b) 2 2 - 1
c) 2 2
d) 2 2 + 2
e) 2 2 + 4
2. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é
tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção
da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ.
3. (Ufc 2009) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy:
A = {P(x,y); x2 + y2 - 4x - 4y + 4 ≤ 0} e
B = {P(x,y); 0 ≤ y ≤ x ≤ 4}.
a) Identifique e esboce graficamente a região A.
b) Identifique e esboce graficamente a região B.
c) Calcule a área da região A B.⋂
4. (Ufrj 2009) Os pontos ( - 6, 2), ( 3, - 1), e ( - 5, - 5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
5. (Ufsc 2009) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O efeito estufa é a retenção de calor na Terra causada pela concentração de diversos tipos
de gases na atmosfera. Segundo os cientistas, o resultado mais direto do efeito estufa será o
aumento da temperatura do planeta em até 5,8°C ao final de 100 anos. Supondo que nos
próximos 100 anos a temperatura do planeta aumente linearmente em função do tempo, então
daqui a aproximadamente 34,4 anos haverá um acréscimo de 2°C nessa temperatura.
02) A figura a seguir representa parte do mapa de um país, em que o ponto C(6,0) foi o
epicentro de um terremoto cujos efeitos foram sentidos, no máximo, até um raio de 5 km.
(Considere 1 unidade linear do plano cartesiano correspondendo a 1 km.) Com base na figura,
pode-se afirmar que a região afetada pelo terremoto é representada, nesse sistema de eixos,
pela inequação x2 + y2 + 12x + 11 ≤ 0.
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04) Um projétil desloca-se no plano cartesiano e seus deslocamentos, em metros, na horizontal
e na vertical, são descritos, respectivamente, pelas equações:
x t 5
y 3t 6
= +


 = +
em que t(t ≥0) representa o tempo em minutos. A distância percorrida pelo projétil entre o ponto
A, para t = 0, e o ponto B, para t = 5 minutos, é de 20 metros.
08) Se, a partir de cada vértice de um cubo de madeira com x (x >2) cm de aresta retirou-se um
cubinho com 1 cm de aresta, então o volume do bloco remanescente, em cm3, após a retirada
dos pequenos cubos, é V = (x2 + 2x +4)(x - 2).
6. (Unicamp 2009) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela
circunferência C, definida pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e faz
ângulo de 30° com o eixo-x, conforme a figura a seguir.
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a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
7. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência
C no ponto (0,2).
Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a
a)
3 2
2
b)
5 2
2
c)
7 2
2
d)
9 2
2
e)
11 2
2
8. (Ufrgs 2010) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os
eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28
9. (Fgv 2010) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de
ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e:
a) 10
b) 10,5
c) 11
d) 11,5
e) 1
10. (Ita 2010) Considere as circunferências C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2: (x – 10)2 + (y – 11)2
= 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o
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segmento de reta 1 2O O definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência
definem um segmento sobre r que mede
a) 5 3 .
b) 4 5.
c) 3 6.
d)
25
.
3
e) 9.
11. (Ita 2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no triangulo cujos vértices são A
= (1,1), B = (1,7) e C = (5,4) no plano xOy.
12. (Fgv 2010) A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no sistema cartesiano
ortogonal é
a) o conjunto vazio.
b) um par de retas perpendiculares.
c) um ponto.
d) um par de pontos.
e) um círculo.
13. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão
representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função
8
y
x
=
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da
função.
b) a área do pentágono OABCD.
14. (Ufc 2010) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y =
x + b é tangente ao círculo de equação x2 + y2 = 1 é:
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a) 2
b) 1
c) 2
d)
1
2
e) 3
15. (G1 - cftsc 2010) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros,
e as proposições:
I – é uma circunferência de diâmetro 2 cm.
II – é uma circunferência de área 4 π cm².
III – é uma circunferência de equação x² + y² = 4.
Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta:
a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
c) Apenas a proposição III é verdadeira.
d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
e) Apenas a proposição II é verdadeira.
16. (Ufpr 2010) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C
sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8,4) e que r: 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do
triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a
circunferência.
17. (Ufu 2010) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 +
y2 = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B.
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Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S
nos pontos A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.
18. (Unicamp simulado 2011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é
perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A
equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por
a)
2 2
1 3 3
x – y – .
5 5 5
   
+ = ÷  ÷
   
b)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 5
   
+ = ÷  ÷
   
c)
2 2
1 3 9
x – y – .
5 5 25
   
+ = ÷  ÷
   
d)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 25
   
+ = ÷  ÷
   
19. (Uft 2010) Considere as equações das circunferências
C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
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A área da região hachurada é:
a) 3π unidades de área.
b) π unidades de área.
c) 5π unidades de área.
d) 6π unidades de área.
e)
2
π
unidades de área.
20. (Unemat 2010) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r = 5 e, seja o ponto P (0;a) ,
com a R∈ , é correto afirmar.
a) Se - 3 < a < 5, então P é externo à circunferência.
b) Se - 3 < a < 5, então P é pertence à circunferência.
c) Se a = 5 ou a = -3, então P é interno à circunferência.
d) Se a < -3 ou a > 5, então P é externo à circunferência.
e) Se a < -3 ou a > 5, então P é interno à circunferência.
21. (Uece 2010) No sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação da circunferência
inscrita no quadrado representado pela equação | x | +| y | = 1 é
a) 2x2 + 2y2 + 1= 0.
b) x2 + y2 – 1= 0.
c) 2x2 + 2y2 – 1= 0.
d) x2 + y2 – 2 = 0.
22. (Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo
quadrante, tangencia os eixos x e y.
Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
a) ( ) ( )2 2
x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + − + =
b) ( ) ( )2 2
x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ + − + =
c) ( ) ( )2 2
x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + + + =
d) ( ) ( )2 2
x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ − + + =
e)
2 2
x y 4x 4y 4 0+ − + + =
23. (Fgv 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no
ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:
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a)
7 14
,
16 6
 
 ÷
 
b)
6 12
,
5 5
 
 ÷
 
c)
5 10
,
4 4
 
 ÷
 
d)
4 8
,
3 3
 
 ÷
 
e)
3
,3
2
 
 ÷
 
24. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que
m 2
n 3
= − é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0
representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se
A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2, é
igual a
a)
8 2
3
b)
4 2
3
c)
2 2
3
d)
2 2
9
e)
2
9
25. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a
reta de equação y = -x + 6 .
a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no
interior da circunferência λ .
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência 1λ concêntrica à circunferência λ e
tangente à reta r.
26. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no
quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40
km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a figura a
seguir.
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a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada
na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance
da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que
está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que
definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico
abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada
em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à
estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa
antena deve ser instalada.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral,
a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os
quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano
cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura,
enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos
equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
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27. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à
região definida por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.
c) x ∈]1, 3[, y ∈]4, 6[.
d) x = 2, y ∈[5, 7].
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
a) P (-1,-2)
b) (x + 5)2 + (y - 1)2=25
c) 25/4 u.a.
a) Completando os quadrados, obtemos
2 2
2 2
2 2 2
x 4x y 4y 4 0
(x 2) 4 (y 2) 4 4 0
(x 2) (y 2) 2 .
− + − + ≤
− − + − − + ≤
− + − ≤
A região A é um disco centrado em (2, 2) de raio igual a 2.
b) Temos que
0 y 4
0 y x 4 0 x 4
y x
≤ ≤

≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 ≤
A região B é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4.
c) Como o centro do disco pertence à reta y x,= segue que a região A B∩ corresponde a um
semicírculo de raio 2. Portanto, sua área é dada por
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2
2 2 u.a.
2
π π× =
5.
(01) + (08) = 09
a) P = (3, 3 ).
b)
4
2 3
3
π  
+ ÷ 
  
u.a.
[B]
Equação da reta r: x + y = 2 mr = -1
Equação da reta s ms = 1 (mr. ms= -1)
y – 2 = 1(x – 0) ⇔ y = x + 2
Logo o centro da circunferência será da forma C(k, k+2)
OT = OP = R
2222
)02()1()22()0( −++−=−++− KKkk = R
2
25
2
5
2
25
2
5
.22kRlogo
2
5
5222
4412
2
2
22
2222
===




 −
==
−
=⇔++=
++++−=+
kkkK
kkkkkk
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[B]
Com o eixo x( y = 0)
(x - 4)2 + (0 – 3)2 = 25 ⇔ x = 8 ou x = 0 logo os pontos são (0,0) ou (8,0)
Com o eixo y ( x = 0)
(0-4)2 + (y-3)2 = 25 ⇔ y = 0 ou y = 6, logo os pontos são (0,0) e (0,6)
Portanto a área será A = 24
2
8.6
=
[A]
x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = -30 + 9 + 25
(x – 3)2 + (x -5)2 = 4
Centro C(3,5) e raio R = 4
Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P( 3,7)
Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10
[A]
C1 : centro (4,3) e raio 2
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C2 : centro (10,11) e raio 3
( ) ( ) 106114-10centrososentredistância
22
=−+=
P1P2 = d
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo vermelho, temos
d2 + 52 = 102 ⇔ d= 35
P
1
P
2
O
1
O
2
5
1 0
d
P
x
y
dA,C = dB,C = 5
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:
(4 - r)2 = r2 + 22 ⇔ 8r = 12 ⇔ r = 2/3
E o centro C(1 + r, 4) = (5/3, 4)
Logo a equação da circunferência será:
( )
2
2
2
3
2
4
3
5






=−+





− yx ⇔ ( )
9
4
4
3
5 2
2
=−+





− yx
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A ( 1 ,1 )
B ( 1 ,7 )
C ( 5 ,4 )
r
4 - r
3
3
2
r
x
y
[B]
Desenvolvendo a expressão, temos:
x2 + 2xy + y2 = x2 + y2
2xy = 0
x = 0 ou y = 0 (eixos perpendiculares)
a) Equação da circunferência: x2 + y2 = 32
Resolvendo o sistema:





=
=+
x
y
yx
8
922
0899
8 24
2
2
=+−⇔=+ xx
x
x Resolvendo, temos:
122 =⇔= yx
122 =⇔−= yx
221 =⇔= yx
221 =⇔−= yx
Logo A( 22 ,1) ; B(1, 22 ); C(-1, 22 ) e D(- 22 ,1)
A1 = 7
2
)122).(242(
=
−+ (área do trapézio)
A2 = 22
2
1.24
=
A = A1+ A2 ⇔ A = 7 + 22
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Respostas:
( ) ( ) ( ) ( )a) A 2 2; 1 , B 1; 2 2 , C 1; 2 2 e D 2 2; 1
b) 7 2 2
− −
+
[C]
x2 + y2 = 1, centro (0,0) e raio 1 e x – y + b = 0 é a equação geral da reta
Utilizando a fórmula da distância de ponto à reta, temos:
Distância do centro a reta é igual à medida do raio
1
11
0.10.1
2222
=
+
++
⇔=
+
++ b
r
ba
cbyax oo
22 ±=⇔=⇔ bb
Considerando somente o b positivo temos b = 2
[D]
(Falsa) - o diâmetro é 4cm
(Verdadeira) - A = π.22 = 4π cm2
(Verdadeira) - (x – 0 )2 +( y – 02 = 22
a) No ponto B, onde a reta r intercepta o eixo dos x, temos y = 0,
3 . 0 + x = 20, ou seja, x = 20. Logo, B = (20, 0).
Calculando a área do triângulo temos: (observe a figura)
A = 30
2
4.15
= unidades quadradas.
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b) Para determinar o ponto D devemos obter a intersecção da reta r com a circunferência.
Resolvendo o sistema:
2 2
x 10x y 0
3y x 20
 − + =

+ =
x = 8 e y = 4, que corresponde ao ponto A.
x = 5 e y = 5, que corresponde ao ponto D.
Vamos resolver dois sistemas.




=
=+
xy
yx
2
522
Resolvendo, temos x = 1 ⇒ y = 2 A (1, 2)
x = -1 ⇒ y = -2 B(-1,-2)




+=
=+
1
522
xy
yx
Resolvendo temos: x = 1 ⇒ y = 2 A( 1, 2)
x = -2 ⇒ y = -1 C(-2,-1)
D = 6
112
121
121
−=
−−
−−
A = ..3
2
6
2
1
auD =
−
=
[C]
A reta decrescente terá coeficiente angular m =
1
3
− , pois é perpendicular à reta crescente de
coeficiente angular 3
Logo, sua equação será:
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y – 0 =
1
3
− (x – 2) ⇔ x + 3y – 2 = 0
Determinaremos o ponto A resolvendo o sistema:



=++
=
023
3
yx
xy
onde x =
1
5
e y =
3
5
(raio)
Portanto a equação da circunferência será:
2 2 2
2 2
1 3 3
x – y –
5 5 5
1 3 9
x – y –
5 5 25
     
+ = ÷  ÷  ÷
     
   
+ = ÷  ÷
   
[D]
C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0 centro (1,1) e raio 2
C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0 centro (2,2) e raio 8
A = ( ) ( ) ππ 62.8
22
=−
[D]
Equação da circunferência: (x – 3)2 + ( y – 1 )2 = 25
Intersecções com o eixo y .(x = 0 )
(0-3)2 + (y – 1)2 =25 ⇔ y = 5 ou y = -3 (veja a figura)
O ponto P (0,a) pertence ao eixo y. Portanto, a resposta D é a correta;
Se a < -3 ou a > 5, P é externo à circunferência.
[C]
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1.1 = R.2
R =
2
1
Logo, a equação da circunferência é:
x2 + y 2 =
2
1
2
 
 ÷
 
2x2 + 2y2 – 1 = 0
[B]
Seja C( r, r),− com r 0> o centro da circunferência.
Como a diagonal do quadrado de lado r vale r 2, segue que:
4 r 2 r 2 2.= ⇒ =
Assim:
2 2 2
2 2 2 2 2
(x r) (y r) r
(x 2 2) (y 2 2) (2 2) x y 4 2x 4 2y 8 0.
+ + − =
+ + − = ⇒ + + − + =
Mas:
Página 19 de 1

2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 8= × = × =
Portanto, a equação pedida é:
2 2
x y 2 8x 2 8y 8 0.+ + − + =
[D]
Seja t a reta tangente à circunferência 2 2
x y 8+ = no ponto 0 0P(x , y ).
A equação de t é dada por:
0
0 0
0
x
y y (x x ).
y
− = − −
Para P (2, 2),= temos:
2
(t): y 2 (x 2) (t): y x 4.
2
− = − − ⇔ = − +
Seja Q o ponto de interseção das retas t e (r): y 2x.=
O ponto Q é a solução do sistema formado pelas equações de t e de r :
4
x
y x 4 4 83
2x x 4 Q , .
y 2x 8 3 3
y
3

== − +   
⇒ = − + ⇒ ⇒ =   ÷
=    =

Portanto, o ponto pedido é
4 8
, .
3 3
 
 ÷
 
[D]
Dividindo a equação toda por 36, temos:
x2 + y2 +
mx ny 23
0
36 36 36
+ − = e considerando C(a,b) como centro temos:
m -n
a e b
72 72
−
= =
Página 20 de 1

a2 + b2 – r2 =
23
36
−
2
2 2 2 272 4
m n 13. n n 144.13
36 9
+ = ⇔ + =
Logo, n = 36 e m = -24 ou n = -36 e m = 4
Como o centro está no segundo quadrante concluímos que m = 24 e n = -36
Logo, seu centro será
1 1
C ,
3 2
 
− ÷
 
E sua equação será
2 2
21 1
x x 1
3 2
   
+ + − = ÷  ÷
   
, fazendo x = 0, temos:
2 2 1
y
3 2
= ± + , logo AB =
3
4
3
Logo, a área será
1 4 2 1 2 2
A . .
2 3 3 9
= =
A equação de λ é 2 2 2
(x 3) (y 5) 4 .− + − =
Seja a função F, definida por 2 2
F(x, y) (x 3) (y 5) 16.= − + − −
Um ponto 0 0Q(x , y ) está no interior de λ se 0 0F(x , y ) 0.<
Como P pertence à r, segue que P (x, x 6).= − + Assim, queremos calcular x tal que
F(x, x 6) 0.− + <
2 2
2
F(x, x 6) 0 (x 3) (1 x) 16 0
2 (x 4x 3) 0
2 (x 2 7) (x 2 7) 0
2 7 x 2 7.
− + < ⇔ − + − − <
⇒ × − − <
⇔ × − + × − − <
⇔ − < < +
b) Seja S o ponto em que a reta + − =r : x y 6 0 tangencia a circunferência 1.λ
A equação de λ1 é dada por 2 2 2
(x 3) (y 5) R ,− + − = em que R é o raio e C(3, 5) é o centro.
A distância do ponto C à reta r é igual à distância do ponto C ao ponto S. Mas esta
distância é igual o raio de 1.λ Logo,
CS
2 2
| 3 5 6 |
d R R R 2.
1 1
+ −
= ⇔ = ⇒ =
+
Portanto,
λ − + − = ⇔ − + − =2 2 2 2 2
1 : (x 3) (y 5) ( 2) (x 3) (y 5) 2.
Página 21 de 1

a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a
estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto
( , 24)α sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem. Aplicando
o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto ( , 0):α
2 2 2
40 24 32.= + α ⇒ α =
Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada
por
2 2 2
(x 32) (y 24) 24 .− + − ≤
Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o
ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que esse
ponto é (32,0) e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por
2 2 2
x y 32 .+ ≤
A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima.
b) Seja M o ponto médio do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda
Florestal. Logo,
Página 22 de 1

32 0 24 0
M , (16,12).
2 2
+ + 
= = ÷
 
O ponto em que a nova antena deverá ser instalada é a interseção da mediatriz do segmento
de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal com o eixo das abscissas.
O coeficiente angular da reta suporte desse segmento é dado por:
24 0 3
.
32 0 4
−
=
−
Logo, a equação da mediatriz é:
4 4 100
y 12 (x 16) y x .
3 3 3
− = − − ⇔ = − +
Desse modo, a antena deverá ser instalada no ponto de abscissa:
4 100
x 0 x 25km.
3 3
− + = ⇔ =
[B]
Sejam A(1,1), B(5, 3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de
vereadores e da prefeitura.
Página 23 de 1

O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a
mediatriz do segmento de reta BC.
O coeficiente angular da reta suporte do segmento BC é BC
3 1
m 1.
5 3
−
= =
−
suur
Seja M o ponto médio do segmento BC. Então,
5 3 3 1
M , (4, 2).
2 2
+ + 
= = ÷
 
Se sm é o coeficiente angular da mediatriz do segmento BC, então
s sBC
m m 1 m 1.× = − ⇒ = −suur
Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek é:
s : y 2 ( 1) (x 4) s : y x 6.− = − × − ⇔ = − +
Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que:
x 2 y 2 6 4 P (2, 4).= ⇒ = − + = ⇒ =
Portanto, como
2 2 2 2
(2 1) (4 5) 1 1 2 2,− + − = + = ≤
segue que o ponto P pertence à região 2 2
(x 1) (y 5) 2.− + − ≤
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 05/04/2011 às 20:36
Nome do arquivo: CIRCUNFERÊNCIA
Origem/Doc:
Server INTERBITS
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo
1 86461 Matemática Fuvest/2009 Múltipla escolha
2 86471 Matemática Fuvest/2009 Analítica
3 86614 Matemática Ufc/2009 Analítica
4 86630 Matemática Ufrj/2009 Analítica
5 86642 Matemática Ufsc/2009 Analítica
6 86656 Matemática Unicamp/2009 Analítica
7 90543 Matemática Fuvest/2010 Múltipla escolha
8 91140 Matemática Ufrgs/2010 Múltipla escolha
9 91412 Matemática Fgv/2010 Múltipla escolha
10 91444 Matemática Ita/2010 Múltipla escolha
11 91456 Matemática Ita/2010 Analítica
13 92268 Matemática Fuvest/2010 Analítica
14 92429 Matemática Ufc/2010 Múltipla escolha
15 92908 Matemática G1 - cftsc/2010 Múltipla escolha
16 93394 Matemática Ufpr/2010 Analítica
17 93789 Matemática Ufu/2010 Analítica
18 94273 Matemática Unicamp simulado/2011 Múltipla escolha
19 96492 Matemática Uft/2010 Múltipla escolha
20 96741 Matemática Unemat/2010 Múltipla escolha
21 98315 Matemática Uece/2010 Múltipla escolha
24 101532 Matemática Ita/2011 Múltipla escolha
25 101862 Matemática Ufjf/2011 Analítica
26 102009 Matemática Unicamp/2011 Analítica
27 100793 Matemática Unicamp/2011 Múltipla escolha
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