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DĂ©partement Licence Sciences & Technologies
Rapport de stage
"Produits ïŹnanciers en temps discret :
simulation et couverture"
Anne-Laure Ducrocq
Laboratoire dâaccueil : Laboratoire Jean Kuntzmann
Directeur du laboratoire : Eric Bonnetier
MaĂźtre de stage : JĂ©rĂŽme Lelong
L1 Mathématiques-Informatique
03-28 Juin 2013
- 2. Remerciements
Je tiens dans un premier temps Ă remercier Bernard Ycart pour son soutien, son entiĂšre conïŹance Ă
mon Ă©gare et enïŹn pour sa coopĂ©ration. Ainsi que Patricia Cajot, responsable des stages dâexcellence
du DLST, qui a permis la rĂ©alisation de ce stage dâun point de vue administratif. Je remercie aussi
tout particuliĂšrement JĂ©rome Lelong, mon maĂźtre de stage au sein du labo de Maths FinanciĂšres qui a
su repĂ©rer mes difïŹcultĂ©s dues Ă mes connaissances restreintes et ainsi adapter le stage Ă mon niveau.
Je suis tout Ă fait consciente du temps et de la patience que M. Lelong et M.Ycart mâont accordĂ©e.
2
- 3. Sommaire
I Introduction 9
II Le modĂšle de Cox, Ross et Rubinstein 11
1 Présentation 12
1.1 Un exemple concret : le rafïŹneur qui doit acheter des barils de pĂ©trole . . . . . . . . 13
1.2 La problĂšmatique des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 HypothĂšses et notations du modĂšle CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 But : trouver une stratégie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 ModÚle à une période 21
2.1 Cas dâune option dâachat (CALL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Calcul de E[V1(Ί)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 SystĂšme dâĂ©quation solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Cas dâune option de vente (PUT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Calcul de E[V1(Ί)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 SystĂšme dâĂ©quation solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Comparaison CALL vs PUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 ModÚle à deux périodes 24
3.1 Cas dâune option dâachat (CALL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 RĂ©solution de Ï0
2 et Ï2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 RĂ©solution de Ï0
1 et Ï1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 VĂ©riïŹcation de la stratĂ©gie sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Cas dâune option de vente (PUT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 RĂ©solution de Ï0
2 et Ï2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 RĂ©solution de Ï0
1 et Ï1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 VĂ©riïŹcation de la stratĂ©gie sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Cas particulier : non modiïŹcation de la rĂ©partition du portefeuille . . . . . . . . . . . 29
4 Cas général : ModÚle à N périodes 30
5 Etude asymptotique 31
3
- 5. Le laboratoire Jean Kuntzmann est un laboratoire de MathĂ©matiques AppliquĂ©es et dâInforma-
tique. Il doit son nom Ă Jean Kuntzmann (1912-1992) pionnier de lâinformatique et des mathĂ©matiques
appliquĂ©es Ă Grenoble et pionnier du dĂ©cloisonnement des sciences numĂ©riques vers lâindustrie et les
autres disciplines. Il regroupe des Ă©quipes de cultures assez diffĂ©rentes (dont 7 de lâINRIA) : mathĂ©-
maticiens, numĂ©riciens, spĂ©cialistes de lâinformatique graphique, du traitement dâimages et de vision
par ordinateur. Cette diversité favorise des interactions trÚs riches autour de la modélisation numé-
rique et du calcul, oĂč les enjeux sont la complexitĂ© des systĂšmes (multi-Ă©chelles, multi-physiques),
les données massives, le calcul temps réel.
Le LJK joue aussi un rĂŽle dâinterface vers dâautres disciplines : les modĂšles et algorithmes qui y
sont dĂ©veloppĂ©s trouvent des applications dans les domaines de lâenvironnement, des nanosciences,
de la biologie, des mathĂ©matiques ïŹnanciĂšres, de la synthĂšse dâimages et des sciences sociales.
Le laboratoire est structuré en 3 départements :
- GĂ©omĂ©trie-Image regroupe des Ă©quipes de modĂ©lisation gĂ©omĂ©trique, de traitement, dâanalyse et de
synthĂšse dâimages et de vidĂ©os et vision par ordinateur.
- ModÚles et Algorithmes Déterministes centre ses activités sur la modélisation (par systÚmes dyna-
miques, par équations aux dérivées partielles) et sur des outils pour le calcul numérique et symbolique.
- ProbabilitĂ©s/Statistique regroupe quant Ă lui des probabilistes, statisticiens et spĂ©cialistes de lâana-
lyse des données et du traitement du signal.
5
- 6. Département Géométrie-Image
Le département Géométrie-Image développe des recherches en Modélisation Géométrique, Ana-
lyse dâImage, Informatique Graphique et Vision par ordinateur. Les recherches poursuivies ont pour
cadre commun le traitement informatique de la géométrie et des images. Les applications incluent
les systĂšmes informatiques de conception gĂ©omĂ©trique pour lâindustrie manufacturiĂšre, la crĂ©ation de
ïŹlms dâanimation pour lâindustrie du loisir, ou encore lâindexation et la fouille de grandes banques
dâimages pour les technologies de lâinformation et de la communication. Ce regroupement dâexper-
tises informatiques en synthĂšse et analyse dâimage, vision et gĂ©omĂ©trie est rare et constitue un creuset
idéal pour le développement de recherches innovantes vers une insertion totale de la géométrie 3D et
des images dans la SociĂ©tĂ© de lâInformation.
Ce département est consitué des équipes suivantes :
â ARTIS Acquisition, ReprĂ©sentation et Transformations pour lâImage de SynthĂšse (projet IN-
RIA)
â IMAGINE ModĂ©lisation Intuitive et Animation pour les Mondes 3D Interactifs et les Environ-
nements Narratifs (projet INRIA)
â LEAR Apprentissage et Reconnaissance en Vision (projet INRIA)
â MGMI ModĂ©lisation GĂ©omĂ©trique et MultirĂ©solution pour lâImages
â PERCEPTION Interpretation et Modelisation dâImages et VidĂ©os (projet INRIA)
â MORPHEO Capture et analyse de formes en mouvement (projet INRIA)
6
- 7. DĂ©partement ModĂšles et Algorithmes
DĂ©terministes
Le département MAD regroupe les chercheurs qui développent des outils numériques et symbo-
liques pour la rĂ©solution dâĂ©quations diffĂ©rentielles ordinaires ou dâĂ©quations aux dĂ©rivĂ©es partielles
et pour lâoptimisation. Le dĂ©partement est structurĂ© en 4 Ă©quipes :
â BIPOP : ModĂ©lisation, simulation et commande des systĂšmes dynamiques non rĂ©guliers, opti-
misation non-différentiable (projet INRIA)
â CASYS : Calcul exact, analyse et contrĂŽle de systĂšmes dynamiques hybrides
(symboliques/exacts/numériques)
â EDP : ModĂ©lisation, analyse et calcul scientiïŹque appliquĂ© aux sciences du vivant et aux
sciences des matériaux
â MOISE : MĂ©thodes mathĂ©matiques et numĂ©riques, calcul scientiïŹque pour la modĂ©lisation di-
recte et inverse en géophysique (projet INRIA)
â STEEP : SoutenabilitĂ©, Territoire, Environnement, Economie et Politique
7
- 8. Département Probabilités/Statistique
Le département Probabilités et Statistique regroupe les chercheurs qui travaillent en probabilités,
statistique, mathĂ©matiques ïŹnanciĂšres et traitement du signal et de lâimage. Le dĂ©partement est struc-
turé en six équipes :
-MS3 MĂ©thodologie Statistique et Sciences Sociales
-FIGAL Fiabilité et Géométrie Aléatoire
-MISTIS Modélisation et Inférence de phénomÚnes aléatoires complexes et structurés (projet INRIA)
-IPS Inférence Processus Stochastiques
-SAM Statistique Apprentissage Machine
-MATHFI MathĂ©matiques ïŹnanciĂšres
MATHFI
La gestion des risques ïŹnanciers est devenue une prĂ©occupation majeure des banques, assurances,
Ă©nergĂ©ticiens et autres entreprises exposĂ©es aux variations des marchĂ©s ïŹnanciers. Ces phĂ©nomĂšnes
aléatoires sont de nature complexe, car ils mettent souvent en jeu des variables de grande dimen-
sion avec des dĂ©pendances peu simples. LâĂ©quipe MATHFI Ă©tudie la modĂ©lisation/calibration de ces
phĂ©nomĂšnes complexes par des processus stochastiques, leur simulation aïŹn dâavoir une perception
dynamique des risques futurs, leur analyse mathématique et numérique. La formalisation mathéma-
tique des problĂšmes de couverture, de liquiditĂ©, dâimperfection de marchĂ©s, de risques extrĂȘmes est
aussi au cĆur de nos prĂ©occupations.
Les compĂ©tences scientiïŹques de lâĂ©quipe portent sur :
-les processus stochastiques markoviens
-les équations aux dérivées partielles associées
-les méthodes numériques probabilistes dont celles de Monte Carlo
-le calcul de Malliavin
-le calcul parallĂšle pour la ïŹnance
Ces compétences permettent de relever des enjeux en gestion du risque et calculs temps réel, en
rĂ©solvant des problĂšmes de calcul de prix dâactifs complexes, dâoptimisation de portefeuilles, dâĂ©va-
luation de risques extrĂȘmes... cela sâapplique au secteur de la ïŹnance, de lâassurance et des marchĂ©s
énergétiques.
8
- 10. Etudiante en Licence 1 de MathĂ©matique et dâInformatique (MIN) Ă lâUniversitĂ© Joseph Fourier
de Grenoble, jâai effectuĂ© dans le cadre de ma formation un stage dâexcellence dans ce dernier dĂ©par-
tement de ProbabilitĂ©s et Statistique, en particulier dans lâĂ©quipe de MATHFI. Lorsque je recherchais
un stage, beaucoup de ceux proposĂ©s mâont attirĂ©e. Mais quand jâai aperçu sur le site de lâENSIMAG
la spĂ©cialitĂ© dâingĂ©nierie ïŹnanciĂšre, cela mâa immĂ©diatement interpellĂ©e. Pourtant je ne connaissais
pas du tout ce milieu mais câest justement pour cette raison que jâai voulu postuler. Effectivement, les
autres applications mathématiques sont plus concrÚtes dans notre perception de 1Úre année.
Les mathĂ©matiques ïŹnanciĂšres sont une branche des mathĂ©matiques appliquĂ©es ayant pour but la
modĂ©lisation, la quantiïŹcation et la comprĂ©hension des phĂ©nomĂšnes rĂ©gissant les marchĂ©s ïŹnanciers.
Elles utilisent principalement des outils issus de lâactualisation, de la thĂ©orie des probabilitĂ©s, du
calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.
Faire un stage dans ce domaine sâest avĂ©rĂ© particuliĂšrement difïŹcile, autant dâun point de vue
purement mathĂ©matique que dâun point de vue ïŹnance. Câest pourquoi, au dĂ©but de mon stage jâai du
me concentrer sur lâapprentissage thĂ©orique de ces notions.
Ensuite, mon maitre de stage, M. Lelong, a pris du temps pour adapter le sujet de mon stage Ă
mon niveau de connaissances. Nous nous sommes alors concentrés sur le modÚle de Cox, Ross et
Rubinstein (noté CRR).
Pour commencer, jâai Ă©tudier ce modĂšle Ă seulement une puis deux pĂ©riodes avant de pouvoir
gĂ©nĂ©raliser les notions au cas de N pĂ©riodes. Au fur et Ă mesure, jâai fait des simulations grĂące au
logiciel libre de calcul numĂ©rique Scilab pour entre autres vĂ©riïŹer mes calculs.
10
- 12. Chapitre 1
Présentation
Ce modĂšle binomial fournit une mĂ©thode numĂ©rique pour lâĂ©valuation des options. Il a Ă©tĂ© pro-
posĂ© pour la premiĂšre fois par Cox, Ross et Rubinstein en 1979. Il sâagit dâun modĂšle discret pour
la dynamique du sous-jacent. LâĂ©valuation de lâoption est calculĂ©e par application de la probabilitĂ©
risque-neutre pour laquelle les prix actualisĂ©s sont des martingales (notion mathĂ©matique difïŹcile que
nous nâaborderons pas). La mĂ©thode binomiale, pour valoriser les options, est trĂšs largement utili-
sée car elle est capable de prendre en compte un nombre important de conditions pour lesquelles
lâapplication dâautres modĂšles nâest pas aisĂ©e. Cela vient en grande partie du fait que la mĂ©thode
binomiale prend en compte les variations de lâactif sous-jacent (contrairement aux autres mĂ©thodes
qui ne prennent en compte quâun point ïŹxe). Par exemple la mĂ©thode binomiale est utilisĂ©e pour
les options amĂ©ricaines (celles-ci peuvent ĂȘtre exercĂ©es Ă tout moment) et les options des Bermudes
(celles-ci peuvent ĂȘtre exercĂ©es Ă diffĂ©rents moments). La mĂ©thode binomiale est de plus mathĂ©mati-
quement relativement simple et peut ĂȘtre facilement programmĂ©e en logiciel (ou Ă©ventuellement sur
une feuille de calcul). Bien que plus lente que la méthode de Black-Scholes, la méthode binomiale
est considérée comme plus précise, particuliÚrement pour les options à long terme et les options sur
titre versant des dividendes. Câest pourquoi il existe plusieurs versions du modĂšle binomial qui sont
utilisées par les personnes travaillant sur le marché des options. Pour les options comportant plusieurs
sources dâincertitudes ou pour les options complexes lâapplication de la mĂ©thode binomiale en « arbre
» prĂ©sente des difïŹcultĂ©s et nâest pas pratique. Dans ces cas-lĂ il vaut mieux utiliser la MĂ©thode de
Monte-Carlo.
Le but est de comprendre le principe de la couverture ou rĂ©plication de produits ïŹnanciers dans ce
modĂšle.
John C.Cox, Stephen A.Ross, Mark E.Rubinstein
12
- 13. 1.1 Un exemple concret : le rafïŹneur qui doit acheter des barils
de pétrole
Nous allons tout dâabord commencer par Ă©tudier un exemple concret aïŹn de comprendre lâutilitĂ©
de ce modĂšle.
Imaginons un rafïŹneur ABC qui, au 1er janvier, sait que, pour son activitĂ©, il devra acheter au
30 juin 1 000 000 de barils de pĂ©trole brut. Ce jour-lĂ , le 1er janvier, le pĂ©trole brut sâĂ©change sur le
marché à 50$ par baril. Or, ABC anticipe une forte reprise économique ayant pour conséquence une
hausse des prix du pĂ©trole. Au-delĂ de 60$ par baril, ABC commence Ă perdre de lâargent. Il dĂ©cide
donc dâutiliser sa trĂ©sorerie pour acheter 1 000 000 de calls de prix dâexercice 60$ de date dâĂ©chĂ©ance
le 30 juin, et de prime 2$ par baril. Que va-t-il se passer au 30 juin ? Il aura la possibilitĂ© dâexercer ou
non ses calls.
â Cas 1 : le pĂ©trole brut sâĂ©change Ă 40$ par baril.
Le scĂ©nario anticipĂ© par ABC ne sâest pas rĂ©alisĂ©, et le call nâa plus aucune valeur. ABC aban-
donne lâoption. Le bilan ïŹnancier de lâopĂ©ration est une perte de 2 000 000$. ABC va pouvoir
acheter son pétrole sur le marché à 40$ par baril, et aura dépensé au total 42$ par baril pour cela.
â Cas 2 : le pĂ©trole brut sâĂ©change Ă 55$ par baril.
Le scĂ©nario anticipĂ© par ABC sâest en partie rĂ©alisĂ©, mais le call nâa plus aucune valeur puisque
le prix dâexercice est supĂ©rieur au prix du marchĂ© : ce cas est en fait Ă©quivalent au prĂ©cĂ©dent.
ABC abandonne lâoption. Le bilan ïŹnancier de lâopĂ©ration est une perte de 2 000 000$. ABC
va pouvoir acheter son pétrole sur le marché à 55$ par baril, et aura dépensé au total 57$ par
baril pour cela.
â Cas 3 : le pĂ©trole brut sâĂ©change Ă 80$ par baril.
Lâanticipation dâABC sâest rĂ©alisĂ©e. Celui-ci va exercer son call : il va donc pouvoir acheter 1
000 000 barils à 60$ et, ainsi, limiter ses pertes. Il aura dépensé au total 62$ par baril pour cela.
Sâil avait dĂ» sâapprovisionner sur le marchĂ©, il aurait payĂ© 80$ par baril, soit une Ă©conomie de
18$ par baril. Le rafïŹneur ABC a donc protĂ©gĂ© son approvisionnement contre une hausse trop
importante pour lui du prix du pétrole brut. En revanche, cette assurance a un coût. à lui de
décider si ce dernier est intéressant pour lui ou pas...
13
- 14. 1.2 La problĂšmatique des options
Une option sur un actif S de maturité N est une assurance qui donne à son détenteur le droit, et non
lâobligation dâacheter (resp. de vendre) une certaine quantitĂ© dâactif ïŹnancier S Ă une date convenue
(lâĂ©chĂ©ance N) et Ă un prix ïŹxĂ© dâavance par le contrat (K).
Le vendeur dâune option dâachat (resp. de vente) sâengage Ă donner au dĂ©tenteur du contrat la somme
(SN â K)+ (resp. (K â SN )+).
La description prĂ©cise dâune option se fait Ă partir de :
-La nature de lâoption : Call (pour une option dâachat) ou Put (pour une option de vente).
-Lâactif sous-jacent
-Le montant : la quantitĂ© dâactif sous-jacent Ă acheter ou Ă vendre
-Le prix dâexercice qui est le prix ïŹxĂ© dâavance auquel se fait la transaction en cas dâexercice de lâop-
tion.
-LâĂ©chĂ©ance, qui limite la durĂ©e de vie de lâoption : si lâoption peut ĂȘtre exercĂ©e Ă nimporte quel ins-
tant avant lâĂ©chĂ©ance, on parle dâoption amĂ©ricaine, si lâoption ne peut ĂȘtre exercĂ©e quâĂ lâĂ©chĂ©ance,
on parle dâoption europĂ©enne.
-Le prix de lâoption elle-mĂȘme appelĂ© prime.
Il faut bien retenir que le dĂ©tenteur nâest pas obligĂ© dâexercer son option. Effectivement, si le prix
de son actif Ă la date N est infĂ©rieur au prix dâexercice, il ne va pas avoir besoin de lâexercer.
14
- 15. Dans le cas dâun call europĂ©en, soit Sn le cours de lâaction Ă la date n. Il est clair que si, Ă
lâĂ©chĂ©ance N, le cours SN est infĂ©rieur au prix K, le dĂ©tenteur de lâoption nâa aucun intĂ©rĂȘt Ă lâexer-
cer. Par contre, si SN > K, lâexercice de lâoption permet Ă son dĂ©tenteur de faire un proïŹt Ă©gale Ă
SN â K en achetant lâaction au prix K et en la revendant sur le marchĂ© au cours SN . On voit quâĂ
lâĂ©chĂ©ance la valeur du Put est donnĂ© par la quantitĂ© :
(SN â K)+ = max(SN â K, 0)
Pour le vendeur de lâoption, il sâagit, en cas dâexercice, dâĂȘtre en mesure de fournir une action au
prix K et donc de pouvoir produire Ă lâĂ©chĂ©ance N une richesse Ă©gale Ă (SN â K)+. Au moment de
la vente de lâoption (n=0), le cours SN est donc inconnu et 2 questions se posent :
1. Combien faut-il faire payer Ă lâacheteur de lâoption, comment Ă©valuer Ă lâinstant n=0 une ri-
chesse (SN â K)+ disponible Ă la date N ? Câest le problĂšme du PRICING.
2. Comment le vendeur, qui touche la prime Ă n=0 parviendra-t-il Ă produire la richesse (SN âK)+
Ă la date N ? Câest le problĂšme de la COUVERTURE.
1.3 HypothĂšses et notations du modĂšle CRR
On se place dans un marché idéalisé en faisant les 3 hypothÚses économiques suivantes :
â Le marchĂ© est sans friction
â Il y a Absence dâOpportunitĂ© dâArbitrage : il est impossible de faire des proïŹts sans prendre de
risques
â Les investisseurs sont insatiables
Par ailleurs :
â On se place en temps discret
â On suppose quâil nây a quâun seul actif Ă risque notĂ© Sn Ă lâinstant n.
â On suppose quâil nây a quâun seul actif sans risque de rendement certain R sur une pĂ©riode notĂ©
S0
n.
S0
n = (1 + R)n
oĂč R > 0 reprĂ©sente le taux dâintĂ©rĂȘt sur une pĂ©riode. S0
n correspond Ă la somme
obtenue Ă lâinstant n pour un investissement de 1 Ă n = 0. Câest Ă dire que si lâon place x au taux R Ă
lâinstant n, on obtient (1 + R)x Ă lâinstant n + 1.
LâĂ©volution du cours dâun actif est modĂ©lisĂ©e par la suite de variables alĂ©atoires discrĂštes (Sn)0â€nâ€N
dĂ©ïŹnie par :
Sn+1 =
Sn à (1 + b)avec probabilité p
Sn à (1 + a)avec probabilité 1-p
oĂč â1 < a < b et p â [0; 1].
On dĂ©ïŹnit Ă©galement la suite des rendements (Tn)nâ„1 par Tn = Sn
Snâ1
.
15
- 16. En introduisant une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d)
(Yi)1â€iâ€N selon la loi de Bernoulli de paramĂštre p Ă valeurs dans {1 + a, 1 + b}, on peut Ă©crire
Sn+1 = Sn Ă Yn+1.
Voici ci-dessous lâarbre probabilisĂ© qui reprĂ©sente les Ă©volutions possibles du cours Sn Ă chaque
instant t de S0 Ă S3. Il est important de remarquer que si le cours augmente puis diminue, sa valeur
est identique sâil diminue puis augmente.
16
- 17. Calculs dâespĂ©rances :
E[(1 + R)â(n+1)
Sn+1|Sn] = (1 + R)â(n+1)
E[Sn+1|Sn] = (1 + R)â(n+1)
E[Sn Ă Yn+1|Sn] =
(1+R)â(n+1)
SnE[Yn+1|Sn] = (1+R)â(n+1)
SnE[Yn+1] = (1+R)â(n+1)
Sn[p(1+b)+(1âp)(1+a)]
E[(1+R)â1
Tn+1|Sn] = (1+R)â1
E[Tn+1|Sn] = (1+R)â1
E[
Sn+1
Sn
|Sn] = (1+R)â1
E[
Sn Ă Yn+1
Sn
|Sn] =
(1+R)â1
E[Yn+1|Sn] = (1+R)â1
E[Yn+1] = (1+R)â1
[p(1+b)+(1âp)(1+a)] = E[(1+R)â1
Tn+1]
Relation entre p, R, a et b pour que E[(1 + R)â(n+1)
Sn+1|Sn] = (1 + R)ân
Sn :
E[(1 + R)â(n+1)
Sn+1|Sn] = (1 + R)ân
Sn
â (1 + R)â(n+1)
Sn[p(1 + b) + (1 â p)(1 + a)] = (1 + R)ân
Sn
â p(1 + b) + (1 â p)(1 + a) = 1 + R
â pb + (1 â p)a = R
R est donc une combinaison convexe de a et b donc R â]a; b[
De plus, on obtient : p = Râa
bâa
Sous cette condition, on observe que E[Tn+1|Sn] = 1 + R
17
- 18. 1.4 But : trouver une stratégie
On appelle stratĂ©gie toute suite de variables alĂ©atoires Ί = (Ï0
n, Ïn)0â€nâ€N telles que :
â Ï0
0 et Ï0 soient des quantitĂ©s dĂ©terministes
â Ă n > 0 ïŹxĂ©, les variables alĂ©atoires Ï0
n et Ïn ne dĂ©pendent que de lâinformation jusquâĂ lâinstant
n â 1.
â Pour tout n < N,
Ï0
n+1S0
n + Ïn+1Sn = Ï0
nS0
n + ÏnSn
Cette derniĂšre condition sâappelle condition dâautoïŹnancement qui interdit de rĂ©injecter de lâar-
gent supplémentaire à toute date n > 0.
La variable Ï0
n (resp. Ïn) reprĂ©sente la quantitĂ© dâactif S0
n (resp. Sn) dĂ©tenus Ă lâinstant n. La valeur
Ă lâinstant n de cette stratĂ©gie sera notĂ©e Vn(Ί) et vaut :
Vn(Ί) = Ï0
nS0
n + ÏnSn
Remarque : La composition du portefeuille Ă lâinstant n est dĂ©cidĂ©e Ă lâinstant n â 1.
Le but de la suite de cette présentation du modÚle CRR est donc de comprendre comment on peut
construire une stratĂ©gie Ί telle que VN (Ί) = (SN â K)+ dans le cas dâune option dâachat (resp.
VN (Ί) = (K â SN )+ dans le cas dâune option de vente).
Une stratĂ©gie de valeur ïŹnale (SN â K)+ (resp. (K â SN )+) sâappelle stratĂ©gie de couverture
pour lâoption dâachat (resp. de vente).
18
- 19. On peut observer une relation intĂ©ressante entre Vn et Vnâ1 si on calcule lâespĂ©rance suivante :
E[(1 + R)-n
Vn(Ί)|(S0, S1, ..., Snâ1)]
E[(1+R)ân
Vn(Ί)|(S0, S1, ..., Snâ1)] = (1+R)ân
E[Vn(Ί)|Snâ1] = (1+R)ân
E[Ï0
nS0
n +ÏnSn|Snâ1]
Mais Ï0
n et Ïn ne dĂ©pendent pas de S0, ..., Snâ1 donc :
(1 + R)ân
[Ï0
nE[S0
n|Snâ1] + ÏnE[Sn|Snâ1]] = (1 + R)ân
[Ï0
n(1 + R)n
+ ÏnE[Snâ1 Ă Yn|Snâ1]] =
(1+R)ân
[Ï0
n(1+R)n
+ÏnSnâ1E[Yn|Snâ1]] = (1+R)ân
[Ï0
n(1+R)n
+ÏnSnâ1[p(1+b)+(1âp)(1+a)]] =
Or [p(1 + b) + (1 â p)(1 + a)] = 1 + R dâaprĂšs p = Râa
bâa
(1 + R)ân
[Ï0
n(1 + R)n
+ ÏnSnâ1(1 + R)] = Ï0
n + ÏnSnâ1(1 + R)â(nâ1)
=
[Ï0
n(1 + R)nâ1
+ ÏnSnâ1](1 + R)â(nâ1)
= [Ï0
nS0
nâ1 + ÏnSnâ1](1 + R)â(nâ1)
=
DâaprĂšs la condition dâautoïŹnancement, on obtient :
[Ï0
nâ1S0
nâ1 + Ïnâ1Snâ1](1 + R)â(nâ1)
= Vnâ1(Ί)(1 + R)â(nâ1)
Finalement :
E[(1 + R)ân
Vn(Ί)|(S0, S1, ..., Snâ1)] = Vnâ1(Ί)(1 + R)â(nâ1)
Dâautre part, le calcul de Vn+1 âVn est particuliĂšrement intĂ©ressant pour la suite de notre analyse.
Vn+1âVn = Ï0
n+1S0
n+1+Ïn+1Sn+1â(Ï0
nS0
n+ÏnSn) = Ï0
n+1S0
n+1+Ïn+1Sn+1â(Ï0
n+1S0
n+Ïn+1Sn) =
Ï0
n+1(S0
n+1 â S0
n) + Ïn+1(Sn+1 â Sn)
De cette derniĂšre relation, on peut exprimer Vn(Ί) dâune autre maniĂšre :
(Hn) : Vn(Ί) = V0(Ί) + n
i=1 ÏiâSi + n
i=1 Ï0
i âS0
i
oĂč âSi = Si â Siâ1 et âS0
i = S0
i â S0
iâ1
Preuve par récurrence :
*Vrai pour n=0.
*Supposons (Hn) vraie.
19
- 20. Vn(Ί) = V0(Ί) +
n
i=1
ÏiâSi +
n
i=1
Ï0
i âS0
i
Vn+1(Ί) = V0(Ί) +
n
i=1
ÏiâSi + Ïn+1(Sn+1 â Sn) +
n
i=1
Ï0
i âS0
i + Ï0
n+1(S0
n+1 â S0
n)
(Hn+1) : Vn+1(Ί) = V0(Ί) +
n+1
i=1
ÏiâSi +
n+1
i=1
Ï0
i âS0
i
20
- 21. Chapitre 2
ModÚle à une période
Dans cette section, on se restreint au mo-
dĂšle Ă une pĂ©riode, câest-Ă -dire que N=1.
Nous nâavons alors que 2 possibilitĂ©s
pour la valeur de S1.
2.1 Cas dâune option dâachat (CALL)
Soit Ί la stratĂ©gie de couverture de valeur ïŹnale V1(Ί) = (S1 â K)+.
2.1.1 Calcul de E[V1(Ί)]
DâaprĂšs 1.4.1 :
E[V1(Ί)] = V0(Ί)(1 + R)
Donc
V0(Ί) = E[V1(Ί)](1+R)â1
= E[(S1âK)+](1+R)â1
= [p(S0(1+b)âK)++(1âp)(S0(1+a)âK)+](1+R)â1
= [
R â a
b â a
(S0(1 + b) â K)+ â
R â b
b â a
(S0(1 + a) â K)+](1 + R)â1
2.1.2 SystĂšme dâĂ©quation solution
V1(Ί) = (S1 â K)+
21
- 22. Ï0
1S0
1 + Ï1S1 = (S1 â K)+
S :
Ï0
1(1 + R) + Ï1S0(1 + b) = (S0(1 + b) â K)+
Ï0
1(1 + R) + Ï1S0(1 + a) = (S0(1 + a) â K)+
S :
Ï1 = 1
S0(bâa)
[(S0(1 + b) â K)+ â (S0(1 + a) â K)+]
Ï0
1 = 1
1+R
[1+a
aâb
(S0(1 + b) â K)+ â 1+b
aâb
(S0(1 + a) â K)+]
2.2 Cas dâune option de vente (PUT)
2.2.1 Calcul de E[V1(Ί)]
DâaprĂšs 1.4.1 :
E[V1(Ί)] = V0(Ί)(1 + R)
Donc
V0(Ί) = E[V1(Ί)](1+R)â1
= E[(KâS1)+](1+R)â1
= [p(KâS0(1+b))++(1âp)(KâS0(1+a))](1+R)â1
= [
R â a
b â a
(K â S0(1 + b))+ â
R â b
b â a
(K â S0(1 + a))+](1 + R)â1
2.2.2 SystĂšme dâĂ©quation solution
V1(Ί) = (K â S1)+
Ï0
1S0
1 + Ï1S1 = (K â S1)+
S :
Ï0
1(1 + R) + Ï1S0(1 + b) = (K â S0(1 + b))+
Ï0
1(1 + R) + Ï1S0(1 + a) = (K â S0(1 + a))+
S :
Ï1 = 1
S0(bâa)
[(K â S0(1 + b))+ â (K â S0(1 + a))+]
Ï0
1 = 1
1+R
[1+a
aâb
(K â S0(1 + b))+ â 1+b
aâb
(K â S0(1 + a))+]
22
- 23. 2.3 Comparaison CALL vs PUT
Nous allons nous concentrer ici sur la comparaison entre un call et un put europĂ©en de mĂȘme
Ă©chĂ©ance n=1 et de mĂȘme prix dâexercice K, sur une action de cours Sn Ă lâinstant n.
On remarque que :
Ï1 âÏ1 =
1
S0(b â a)
[(S0(1+b)âK)+ â(K âS0(1+b))+ +(K âS0(1+a))+ â(S0(1+a)âK)+] =
1
S0(b â a)
[(S0(1+b)âK)+(KâS0(1+a))] =
1
S0(b â a)
[S0(1+b)âS0(1+a)] =
1
(b â a)
[(1+b)â(1+a)] = 1
Ï0
1âÏ0
1 =
1
1 + R
[
1 + a
a â b
(S0(1+b)âK)+
1 + b
a â b
(KâS0(1+a))] =
1
1 + R
[K(
1 + b
a â b
â
1 + a
a â b
)] = â
K
1 + R
V1(Ί) â V1(Ί) = Ï0
1S0
1 + Ï1S1 â (Ï0
1S0
1 + Ï1S1) = S0
1(Ï0
1 â Ï0
1) + S1(Ï1 â Ï1) = S1 â K
On appelle cette égalité la relation de parité call-put.
On observe alors quâavec lâopportunitĂ© de dĂ©tenir Ă la fois un call et un put, si lâon achĂšte un put
V1(Ί) et une action S1 et si lâon vend un call V1(Ί), on obtient un proïŹt Ă©gal Ă :
V1(Ί) â V1(Ί) â S1
A la date N=1, deux cas peuvent se présenter :
â S1 > K alors on exerce le call et on se retrouve avec une richesse Ă©gale Ă K+V1(Ί)âV1(Ί)âS1
â S1 <= K alors on exerce le put et comme prĂ©cĂ©demment on se retrouve avec une richesse
Ă©gale Ă K + V1(Ί) â V1(Ί) â S1
Dans les 2 cas, on rĂ©alise un proïŹt positif sans mise de fond initial. Donc il est effectivement
intĂ©rĂ©ssant dâavoir lâopportunitĂ© de dĂ©tenir Ă la fois un call et un put.
23
- 24. Chapitre 3
ModÚle à deux périodes
Dans cette section, on se restreint au
modĂšle Ă deux pĂ©riodes, câest-Ă -dire
que N=2. Une stratégie Ί peut donc
se représenter comme un quadruplet
(Ï0
1, Ï1, Ï0
2, Ï2)
S2 =
ïŁ±
ïŁŽïŁČ
ïŁŽïŁł
S0(1 + b)2
avec probabilité p2
S0(1 + a)(1 + b) avec probabilité 2p(1-p)
S0(1 + a)2
avec probabilitĂ© (1 â p)2
S2 peut donc prendre 3 valeurs notées :
1 + ÂŻa = (1 + a)2
1 + ÂŻb = (1 + b)2
1 + ÂŻc = (1 + a)(1 + b)
24
- 25. 3.1 Cas dâune option dâachat (CALL)
Soit Ί la stratĂ©gie de couverture de valeur ïŹnale V2(Ί) = (S2 â K)+.
3.1.1 RĂ©solution de Ï0
2 et Ï2
V2(Ί) = (S2 â K)+
Ï0
2S0
2 + Ï2S2 = (S2 â K)+
S :
Ï0
2(1 + R)2
+ Ï2S1(1 + b) = (S1(1 + b) â K)+
Ï0
2(1 + R)2
+ Ï2S1(1 + a) = (S1(1 + a) â K)+
S :
Ï2 = 1
S1(bâa)
[(S1(1 + b) â K)+ â (S1(1 + a) â K)+]
Ï0
2 = 1
(1+R)2 [1+a
aâb
(S1(1 + b) â K)+ â 1+b
aâb
(S1(1 + a) â K)+]
3.1.2 RĂ©solution de Ï0
1 et Ï1
E[(S2 â K)+|S1] = E[(S1Y2 â K)+] = p(S1(1 + b) â K)+ + (1 â p)(S1(1 + a) â K)+ =
R â a
b â a
(S1(1 + b) â K)+ +
b â R
b â a
(S1(1 + a) â K)+
DâaprĂšs 1.4.1, E[Vn+1(Ί)] = Vn(Ί)(1 + R) donc E[V2(Ί)] = V1(Ί)(1 + R)
E[(S2 â K)+] = V1(Ί)(1 + R)
V1(Ί)(1 + R) =
R â a
b â a
(S1(1 + b) â K)+ +
b â R
b â a
(S1(1 + a) â K)+
(Ï0
1S0
1 + Ï1S1)(1 + R) =
R â a
b â a
(S1(1 + b) â K)+ +
b â R
b â a
(S1(1 + a) â K)+
(Ï0
1(1 + R) + Ï1S1)(1 + R) =
R â a
b â a
(S1(1 + b) â K)+ +
b â R
b â a
(S1(1 + a) â K)+
Ï0
1(1 + R)2
+ Ï1S0(1 + b)(1 + R) = Râa
bâa
(S0(1 + b)2
â K)+ + bâR
bâa
(S0(1 + a)(1 + b) â K)+
Ï0
1(1 + R)2
+ Ï1S0(1 + a)(1 + R) = Râa
bâa
(S0(1 + a)(1 + b) â K)+ + bâR
bâa
(S0(1 + a)2
â K)+
Ï1 =
1
S0(1 + R)(b â a)2
[(Râa)(S0(1+b)2
âK)++(Râb)(S0(1+a)2
âK)++(b+aâ2R)(S0(1+a)(1+b)âK)+]
25
- 26. Ï0
1 =
1
(1 + R)2(b â a)2
[(1 + a)(a â R)(S0(1 + b)2
â K)+ + (1 + b)(b â R)(S0(1 + a)2
â K)+
+((b â a)(b â R) + (1 + b)(2R â a â b))(S0(1 + a)(1 + b) â K)+]
3.1.3 VĂ©riïŹcation de la stratĂ©gie sous Scilab
/ / Modele a deux p er i od e s
function f = p o s i t i v e ( x )
i f x<0 then f =0 ;
e l s e f =x ;
end
endfunction
a =0.2 ; b =0.7 ; K=1 ; R=0.5 ; p =0.5 ;
S02=(1+R) â(1+R) ; S01=(1+R) ; S00=1 ;
function S=s ( n )
i f ( n==0) then S=1 ;
e l s e
i f rand ( 1 , 1 ) <p then S=s ( nâ1)â(1+ b ) ;
e l s e S=s ( nâ1)â(1+ a ) ;
end
end
endfunction
phi2 =(1/ s ( 1 ) â( bâa ) ) â( p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ b ) )âp o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ a ) ) ;
phi02 =(1/(1+R) â(1+R) ) â(((1+ a ) / ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ b ) ) â((1+b ) / ( aâb ) )
â p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ a ) ) ) ;
phi1 =(1/ s ( 0 ) â(1+R) â( bâa ) ) â( p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ b ) â(1+R) )âp o s i t i v e (Kâs ( 0 )
â(1+ a ) â(1+R) ) ) ;
phi01 =(1/(1+R) â(1+R) ) â(((1+ a ) / ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ b ) â(1+R) ) â((1+b )
/ ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ a ) â(1+R) ) ) ;
V2=phi02 âS02+phi2 â s ( 2 ) ;
V1=phi01 âS01+phi1 â s ( 1 ) ;
26
- 27. 3.2 Cas dâune option de vente (PUT)
Soit Ί la stratĂ©gie de couverture de valeur ïŹnale V2(Ί) = (K â S2)+.
3.2.1 RĂ©solution de Ï0
2 et Ï2
V2(Ί) = (K â S2)+
Ï0
2S0
2 + Ï2S2 = (K â S2)+
S :
Ï0
2(1 + R)2 + Ï2S1(1 + b) = (K â S1(1 + b))+
Ï0
2(1 + R)2 + Ï2S1(1 + a) = (K â S1(1 + a))+
S :
Ï2 = 1
S1(bâa) [(K â S1(1 + b))+ â (K â S1(1 + a))+]
Ï0
2 = 1
(aâb)(1+R)2 [(1 + a)(K â S1(1 + b))+ â (1 + b)(K â S1(1 + a))+]
3.2.2 RĂ©solution de Ï0
1 et Ï1
E[(K â S2)+|S1] = E[(K â S1Y2)+] = p(K â S1(1 + b))+ + (1 â p)(K â S1(1 + a))+ =
R â a
b â a
(K â S1(1 + b))+ +
b â R
b â a
(K â S1(1 + a))+
DâaprĂšs 1.4.1, E[Vn+1(Ί)] = Vn(Ί)(1 + R) donc E[V2(Ί)] = V1(Ί)(1 + R)
E[(K â S2)+] = V1(Ί)(1 + R)
V1(Ί)(1 + R) =
R â a
b â a
(K â S1(1 + b))+ +
b â R
b â a
(K â S1(1 + a))+
(Ï0
1S0
1 + Ï1S1)(1 + R) =
R â a
b â a
(K â S1(1 + b))+ +
b â R
b â a
(K â S1(1 + a))+
(Ï0
1(1 + R) + Ï1S1)(1 + R) =
R â a
b â a
(K â S1(1 + b))+ +
b â R
b â a
(K â S1(1 + a))+
Ï0
1(1 + R)2 + Ï1S0(1 + b)(1 + R) = Râa
bâa (K â S0(1 + b)2)+ + bâR
bâa (K â S0(1 + a)(1 + b))+
Ï0
1(1 + R)2 + Ï1S0(1 + a)(1 + R) = Râa
bâa (K â S0(1 + a)(1 + b))+ + bâR
bâa (K â S0(1 + a)2)+
Ï1 =
1
S0(1 + R)(b â a)2
[(Râa)(KâS0(1+b)2
)++(Râb)(KâS0(1+a)2
)++(b+aâ2R)(KâS0(1+a)(1+b))+]
Ï0
1 =
1
(1 + R)2(b â a)2
[(1 + a)(a â R)(K â S0(1 + b)2
)+ + (1 + b)(b â R)(K â S0(1 + a)2
)+
+((b â a)(b â R) + (1 + b)(2R â a â b))(K â S0(1 + a)(1 + b))+]
27
- 28. 3.2.3 VĂ©riïŹcation de la stratĂ©gie sous Scilab
/ / Modele a deux p er i od e s
function f = p o s i t i v e ( x )
i f x<0 then f =0 ;
e l s e f =x ;
end
endfunction
a =0.2 ; b =0.7 ; K=1 ; R=0.5 ; p =0.5 ;
S02=(1+R) â(1+R) ; S01=(1+R) ; S00=1 ;
function S=s ( n )
i f ( n==0) then S=1 ;
e l s e
i f rand ( 1 , 1 ) <p then S=s ( nâ1)â(1+ b ) ;
e l s e S=s ( nâ1)â(1+ a ) ;
end
end
endfunction
phi2 =(1/ s ( 1 ) â( bâa ) ) â( p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ b ) )âp o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ a ) ) ;
phi02 =(1/(1+R) â(1+R) ) â(((1+ a ) / ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ b ) ) â((1+b ) / ( aâb ) )
â p o s i t i v e (Kâs ( 1 ) â(1+ a ) ) ) ;
phi1 =(1/ s ( 0 ) â(1+R) â( bâa ) ) â( p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ b ) â(1+R) )âp o s i t i v e (Kâs ( 0 )
â(1+ a ) â(1+R) ) ) ;
phi01 =(1/(1+R) â(1+R) ) â(((1+ a ) / ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ b ) â(1+R) ) â((1+b )
/ ( aâb ) ) â p o s i t i v e (Kâs ( 0 ) â(1+ a ) â(1+R) ) ) ;
V2=phi02 âS02+phi2 â s ( 2 ) ;
V1=phi01 âS01+phi1 â s ( 1 ) ;
28
- 29. 3.3 Cas particulier : non modiïŹcation de la rĂ©partition du porte-
feuille
Supposons quâil existe une stratĂ©gie telle que Ï0
1 = Ï0
2 et que Ï1 = Ï2, câest-Ă -dire telle que lâon ne modiïŹe
pas la répartition du portefeuille entre les instants 1 et 2.
Voici les 3 Ă©quations vĂ©riïŹĂ©es par le couple (Ï0
1, Ï1) si la valeur ïŹnale de cette stratĂ©gie est V2(Ί) =
(S2 â K)+ :
Ï0
2(1 + R)2
+ Ï2S2 = (S2 â K)+
Ï0
1(1 + R)2
+ Ï1S2 = (S2 â K)+
ïŁ±
ïŁŽïŁČ
ïŁŽïŁł
Ï0
1(1 + R)2 + Ï1S0(1 + b)2 = (S0(1 + b)2 â K)+
Ï0
1(1 + R)2 + Ï1S0(1 + a)2 = (S0(1 + a)2 â K)+
Ï0
1(1 + R)2 + Ï1S0(1 + a)(1 + b) = (S0(1 + a)(1 + b) â K)+
Si K â]S0(1 + ÂŻa); S0(1 + ÂŻb)[ alors ces 3 Ă©quations prĂ©cĂ©dentes nâadmettent aucune solution et donc il
nâexiste pas de stratĂ©gies de couverture statique entre les instants 1 et 2.
Maintenant, si K /â]S0(1 + ÂŻa); S0(1 + ÂŻb)[, il est possible de trouver des stratĂ©gies de couverture sans
réallocation aprÚs la date 1.
29
- 30. Chapitre 4
Cas général : ModÚle à N périodes
Simulation sous Scilab de lâĂ©volution du
cours Sn rĂ©alisĂ©e plusieurs fois sur le mĂȘme
graphique. On reconnaĂźt bien lâarbre proba-
bilisĂ© oĂč se rejoignent les courbes.
On considĂšre dans cette section le modĂšle gĂ©nĂ©ral Ă N pĂ©riodes. Soit Ί une stratĂ©gie de couverture de lâop-
tion dâachat. On note c(n, Sn) la valeur Vn(Ί).
Pour chaque Sn le nombre de valeurs possibles différentes est de n+1.
DâaprĂšs 1.4.1, E[Vn+1(Ί)] = Vn(1 + R) donc
E[Vn+1(Ί)|(S0, ..., Sn)] = Vn(1 + R)
E[c(n + 1, Sn+1)] = c(n, Sn)(1 + R)
c(n + 1, E[Sn+1]) = c(n, Sn)(1 + R)
c(n + 1, E[SnYn+1]) = c(n, Sn)(1 + R)
c(n + 1, Sn(1 + a))(1 â p) + c(n + 1, Sn(1 + b))p = c(n, Sn)(1 + R)
La suite (c(n, Sn))0â€nâ€N est donc solution de la rĂ©currence rĂ©trograde :
c(N, SN ) = (SN â K)+
c(n, Sn) = (1 + R)â1[c(n + 1, Sn(1 + a))(1 â p) + c(n + 1, Sn(1 + b))p]
30
- 31. Chapitre 5
Etude asymptotique
Dans cette partie, on considĂšre le modĂšle CRR comme une discrĂ©tisation dâun modĂšle en temps continu
sur un intervalle [0 ;T]. On considĂšre la subdivision tk = kT
N , dans la suite on pose h = T
N . Dans une optique
de faire tendre N vers lâinïŹni, il convient de faire dĂ©pendre les paramĂštres a, b et R de h. On pose alors
1 + R = erh
; 1 + a = eâÏ
â
h
; 1 + b = eÏ
â
h
avec Ï > 0 et r > 0. On remarquera que r sâinterprĂšte comme un taux dâintĂ©rĂȘt instantanĂ©.
DâaprĂšs 1.3, p(1 + b) + (1 â p)(1 + a) = 1 + R dâoĂč :
peÏ
â
h
+ (1 â p)eâÏ
â
h
= erh
p(eÏ
â
h
â eâÏ
â
h
) = erh
â eâÏ
â
h
p =
erh â eâÏ
â
h
eÏ
â
h â eâÏ
â
h
Calculons maintenant la limite de p lorsque h tends vers 0 :
lim
hâ0
p = lim
hâ0
erh â eâÏ
â
h
eÏ
â
h â eâÏ
â
h
= lim
hâ0
(erh â eâÏ
â
h)(eÏ
â
h â eâÏ
â
h)
(eÏ
â
h â eâÏ
â
h)(eÏ
â
h â eâÏ
â
h)
= lim
hâ0
erh+Ï
â
h â erhâÏ
â
h â 1 + eâ2Ï
â
h
e2Ï
â
h + eâ2Ï
â
h â 2
=
1
2
31
- 32. Nous allons maintenant tracĂ© lâhistogramme de log(Sn) pour :
Ï = 0.2; T = 1; N = 100; h = T/N = 0.01; r = 0.05
Puis on trace aussi sur le mĂȘme graphe la courbe de densitĂ© de la loi normale de moyenne (r â Ï2
2 ) et de
variance Ï2.
/ / Etude asymptotique
M = 1000; / / nombre de t r a j e c t o i r e s
sigma =0.2 ; T=1 ; N=1000 ; r =0.05 ; h=T /N ; R=1âexp ( r âh ) ; s0 =1;
p =( exp ( r âh )âexp(âsigma â sqrt ( h ) ) ) / ( exp ( sigma â sqrt ( h ) )âexp(âsigma â sqrt ( h ) ) )
;
Y=exp ( sigma â sqrt ( h ) â (1 â 2 â bool2s ( rand (M,N) >p ) ) ) ;
Sn=prod (Y, â c â ) ;
LogSn=log ( Sn ) ;
h i s t p l o t (30 , LogSn )
/ / Comparaison l o i Normale N(mu , sigma ^2)
mu=r â0.5â( sigma ^2) ;
x= l in sp ac e (â3 â sigma , 3 â sigma , 100) â;
f =(1 . / ( sigma â sqrt (2â %pi ) ) ) â exp ( â0.5 â ( ( ( xâmu) / sigma ) ^2) ) ;
plot2d ( x , f , s t y l e =5)
32
- 34. Conclusion
Mon stage dâexcellence au sein de lâĂ©quipe de MATHFI du laboratoire Jean Kuntzmann a Ă©tĂ© trĂšs enrichis-
sant aussi bien sur le plan de la recherche que sur le plan humain. En effet, les autres stagiaires et les thésards
ont été trÚs accueillant pour permettre un travail dans une ambiance trÚs conviviale.
Ce stage mâa apportĂ© de rĂ©elles connaissances tant dans le domaine des mathĂ©matiques probabilistes que
dans celui de la ïŹnance. Jâai dĂ©couvert un modĂšle ïŹnancier trĂšs intĂ©ressant qui permet aux banques et autres
institutions ïŹnanciĂšres de proposer des prix dâoptions judicieux, câest-Ă -dire assez Ă©levĂ©s pour ne pas avoir de
perte mais assez bas pour que les concurrents ne proposent mieux aux clients. Câest une version discrĂ©tisĂ©e du
modĂšle de Black Scholes qui lui aussi est intĂ©ressant mais nâest pas appliquĂ© dans les mĂȘmes conditions.
Jâai appris Ă travailler en autonomie mais dâun autre cĂŽtĂ©, M. Lelong et M. Ycart mâont beaucoup Ă©paulĂ©e
tout au long de ce mois de stage et mâont permis dâavancer et de dĂ©bloquer mes problĂšmes rencontrĂ©s de ma-
niĂšre trĂšs pĂ©dagogue. Jâai notamment, grĂące aux simulations effectuĂ©es Ă lâaide du logiciel Scilab, Ă©normĂ©ment
amélioré la maßtrise de cet outil que je ne maitrisais pas vraiment pour les applications statistiques.
Pour conclure, jâai donc eu lâopportunitĂ© dâapprendre, durant ce dernier mois, un aspect du monde des
mathĂ©matiques ïŹnanciĂšres que je ne connaissais pas du tout et que M. Lelong a su me faire apprĂ©cier.
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- 35. Bibliographie
D. LAMBERTON et B. LAPEYRE, Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance. 2012
B. JOURDAIN, Probabilités et Statistiques. 2009
R. BOURLES Chap. 9 : Le modĂšle Cox, Ross et Rubinstein MathĂ©mtiques pour la ïŹnance, Cours Master
Finance Université Toulouse Sciences Sociales. 2010
A-V. AURIAULT Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines ENSIMAG.
2010
LJK - Laboratoire Jean Kuntzmann - http ://www-ljk.imag.fr/
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