Contenido educativo relacionda con la simulacion de procesos

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CIENCIA E INGENIERÍA EN ALIMENTOS
SIMULACIÓN DE PROCESOS DE ALIMENTOS
Noveno Nivel
Ing. Mg. Andrés Sánchez

2. Si buscas resultados
distintos, no hagas
siempre lo mismo
"La educación es lo
que queda una vez
que olvidamos todo
lo que aprendemos
en las aulas"
“Nunca consideres el
estudio como una
obligación, sino como una
oportunidad para
penetrar en el
bello y maravilloso mundo
del saber”

3. http://www.slideshare.net/JORGECASI1/simulacin-y-optimizacin-avanzadas-en-la-industria-
qumica-y-de-procesos-hysys

4. SIMULACIÓN
"La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término
experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar
nuevas estrategias dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos
para el funcionamiento del sistema". La simulación tiene como principal objetivo la predicción, es
decir, puede mostrar lo que sucederá en un sistema real cuando se realicen determinados
cambios bajo determinadas condiciones.
SIMULACIÓN DE PROCESOS
Consiste en el diseño de un modelo matemático de
un sistema, y la posterior ejecución de una serie de
experimentos con la intención de entender su
comportamiento bajo ciertas condiciones. El modelo
debe ser capaz de reproducir el comportamiento del
proceso real con la mayor exactitud posible.

5. MODELACIÓN Y SIMULACIÓN
La Simulación y Modelación son las dos caras de una misma moneda, en el sentido en que ambas
representan o nos permiten conocer la realidad, concreta o posible, que está a nuestro alrededor.
La diferencia entre simulación y modelación, reside en que la simulación parte de un "sistema" en
cual se nos presenta una posible realidad y a través de cálculos o intercambio de valores en las
variables podemos tomar decisiones según el comportamiento que tenga el "sistema" en la
simulación. La modelación parte de un sistema netamente real y lo convierte en patrones o
formulas en que los resultados o valores no varían mucho de la realidad que ya se conoce.
Conclusión: La simulación imita la realidad y la
modelación crea un patrón de la realidad y en ambos
casos podemos usar computadores o modelos
manuales según sea el caso de complejidad.

6. ETAPAS DE UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN
1-Definición del sistema
Consiste en estudiar el contexto del problema, identificar los objetivos del proyecto, especificar los
índices de efectividad del sistema y objetivos específicos del modelamiento y definir el sistema
que se va a modelar.
2-Formulación del modelo
Una vez definidos con exactitud los resultados que se esperan obtener del estudio, se define y
construye el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados.
SISTEMA REAL COMPUTADORMODELO
Modelamiento Simulación

7. 3-Colección de datos
Es importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para
producir los resultados deseados.
4-Implementación del modelo en la computadora
Con el modelo definido, se utiliza algún lenguaje de programación específico o se utiliza algún
paquete de simulación en la computadora y obtener los resultados.
5-Verificación
El proceso de verificación consiste en comprobar que el modelo simulado cumple con los
requisitos de diseño para los que se elaboró. Se trata de evaluar que el modelo se comporta de
acuerdo a su diseño del modelo.
6-Validación del Sistema
A través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento del simulador y el sistema
real que se está tratando de simular.

8. 7-Experimentación
La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar un análisis de sensibilidad
de los índices requeridos.
8-Interpretación
En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la simulación y con base a esto
se toma una decisión.
9-Documentación
La primera se refiere a la documentación del tipo técnico y la segunda al manual del usuario, con
el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado.
En la actualidad los simuladores lo manejan los ingenieros ambientales, ingenieros de proceso y
hasta ingenieros de planta en su lugar de trabajo; ingenieros con poca o ninguna instrucción de
programación pueden modelar procesos complejos. Los Softwares comerciales más utilizados en
la simulación de procesos son: ASPEN Plus, PRO II/PROVISION, CHEMCAD, HYSYS, DESIGN II, entre
otros.

9. La simulación de procesos puede usarse en las siguientes etapas de desarrollo de un proyecto
industrial:
1. Investigación y Desarrollo
2. Etapa Crítica en la Toma de Decisiones
3. Planta Piloto
4. Diseño
5. Simulación de Plantas Existentes
6. Deseabilidad Económica
7. Caracterización del Proceso
8. Entendimiento del Comportamiento
9. Mecanismos Significativos del Proceso
La simulación de procesos químicos es una herramienta moderna que se ha hecho indispensable
para la solución adecuada de los problemas de proceso. Permite efectuar el análisis de plantas
químicas en operación y llevar a cabo las siguientes tareas, las cuales son comunes en las diversas
ramas de la industria química.

10. Esta estrategia de cálculo es utilizada en la mayoría
de los simuladores de estado estacionario: Aspen,
Chemcad, ProVision, Hysys, Prosim, Winsim.
El elemento básico es el modelo de operación
unitaria, el cual es construido a partir de balances
de masa y energía, hasta finalmente obtener un
conjunto de ecuaciones algebraicas no-lineales:
u Variable de entrada o salida
X Estado interno de la variable, temperatura,
presión, concentración, et.
d Variable dependiente de la geometría,
como volumen, área de intercambio de calor, etc.
p Variables que definen propiedades físicas,
como entalpías especificas, valores de K, etc.
El sistema de ecuaciones algebraicas no lineales
debe ser compatible y determinado
0),,,( pdxuf

11. MODELOS MATEMÁTICOS
Los modelos matemáticos son una descripción, desde el punto de vista de las matemáticas, de un
hecho o fenómeno del mundo real y aplicar técnicas básicas para la modelación de sistemas.
SISTEMA: Conjunto de elementos interrelacionados entre sí que actúan juntos para lograr un
objetivo común.
MODELO: Es una idealización de la realidad utilizado para
plantear un problema, normalmente desde un punto de vista
matemático. Es una representación conceptual de un
proceso o sistema, con el fin de analizar su naturaleza,
desarrollar o comprobar hipótesis o supuestos y permitir una
mejor comprensión del fenómeno real al cual el modelo
representa. Existen tres tipos de modelos:
• Modelos Icónicos
• Modelos Análogos
• Modelos Simbólicos

12. LOS MODELOS ICÓNICOS: son los modelos físicos que se asemejan al sistema real, generalmente
manejados en otra escala. Por ejemplo: Los modelos de aviones que construyen los ingenieros y
los modelos de ciudades que construyen los urbanistas.
LOS MODELOS ANÁLOGOS: son los modelos en los que una propiedad del sistema real se puede
sustituir por una propiedad diferente que se comporta de manera similar. Ejemplo: El mapa de
carreteras es un modelo análogo del terreno correspondiente, el velocímetro de un vehículo
representa la velocidad mediante el desplazamiento análogo de una aguja sobre una escala
graduada.
LOS MODELOS SIMBÓLICOS: Son aquellos en los que se utiliza un conjunto de símbolos en lugar de
una entidad física para representar la realidad. Por ejemplo, los físicos construyen modelos
cuantitativos del universo y los economistas crean modelos cuantitativos de la economía. Por el
hecho de que se utilizan variables cuantitativamente definidas e interrelacionadas por medio de
ecuaciones, es frecuente que los modelos simbólicos sean conocidos como modelos matemáticos.

13. TIPO DE
MODELO
CARACTERÍTICAS EJEMPLOS
FÍSICO
Tangible
Comprensión y posibilidad de compartirlo: difícil
Modificación y manipulación: difícil
Alcance de utilización: la más baja
Modelo de un
aeroplano, modelado de
una casa,
modelo de una ciudad
ANALÓGICO
Intangible
Comprensión: más difícil
Duplicación y posibilidad de compartirlo: más fácil
Modificación y manipulación: más fácil
Alcance de utilización: más amplia
Mapa de carreteras,
velocímetro, gráfica de
rebanadas de pastel
SIMBÓLICO
Intangible
Comprensión: la más difícil
Duplicación y posibilidad de compartirlo: las más fáciles
Modificación y manipulación: las más fáciles
Alcance de su utilización: el más amplio
Modelo de simulación,
modelo algebraico,
modelo de hoja de
cálculo electrónica.

14. Los Modelos Simbólicos se clasifican a su vez en:
• Modelos determinísticos
• Modelos estocásticos o probabilísticos
• Modelos dinámicos
• Modelos estáticos
• Modelos continuos
• Modelos discretos
Estos últimos modelos, los modelos dinámicos, son de mayor interés en el estudio de esta unidad,
por tal razón nos enfocaremos más en ellos. Una de las características principales de los modelos
dinámicos, es el cambio que presentan las variables en función del tiempo.

15. Esta presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite la
resolución del problema. Los diversos coeficientes del modelo son automáticamente calculados
por el ordenador a partir de la geometría y propiedades físicas de cada elemento. Sin embargo
queda en manos del usuario decir hasta que punto la discretización utilizada en el modelo
representa adecuadamente el modelo de la estructura.
La discretización correcta depende de diversos factores como son el tipo de información que se
desea extraer del modelo o tipo de solicitación aplicada. Actualmente el método de los elementos
finitos ha sido generalizado hasta constituir un potente método de calculo numérico, capas de
resolver cualquier problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones, abarcando los
problemas de la mecánica de fluidos, de la transferencia de calor, del magnetismo, etc.
En la transferencia de calor, puede abordarse problemas de conducción, convección o radiación,
en régimen estacionario o transitorio. Los resultados son básicamente las distribuciones de
temperatura y los fluidos de calor.

16. TRANSFERENCIA DE CALOR
Termodinámica: estudia la cantidad de transferencia de calor medida que un sistema pasa por un
proceso de un estado de equilibrio a otro y no hace referencia a cuanto durará el proceso.
Transferencia de calor: estudia la razón o la rapidez de la transferencia.
Calor: forma de energía que se puede transferir de una sistema a otro como resultado de la
diferencia de temperatura.
El estudio de los fenómenos físicos comprende dos
pasos importantes:
• Identificación de todas las variables que afectan los
fenómenos (suposiciones, aproximaciones y
interdependencia de las variables). Se plantea el
modelo matemático.
• Se resuelven las ecuaciones matemáticas y se
interpretan los resultados.

17. TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA
La energía se puede transferir hacia una masa dada, o de ésta, por dos mecanismos: calor Q y
trabajo W.
Calor Q: Se define como la parte del flujo total de energía a través de la frontera de un sistema que
se debe a una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno, es decir un tipo de energía
en tránsito. El calor no se almacena ni se crea. El calor es positivo cuando se transfiere al sistema.
El calor puede transferirse por convección, conducción o radiación. El calor, al igual que el trabajo,
es una función de la trayectoria.
Trabajo W: Es una forma de energía que representa una transferencia entre el sistema y el
entorno. Y en general se manifiesta por presentar una fuerza mecánica. El trabajo no es posible
almacenar trabajo debido a que es una energía en transito. Y su signo depende si se lo realiza el
sistema (-) o el entorno hacia el sistema (+). Para que una fuerza mecánica realice un trabajo la
frontera de sistema debe moverse.

18. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Existen tres formas diferentes en que el calor puede pasar de la fuente a un recibidor, aun cuando
en muchas aplicaciones de la ingeniería existen combinaciones de dos o tres de estos
mecanismos.
• Conducción
• Convección
• Radiación
CONDUCCIÓN: La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica a
través de la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde las
partículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas, produciéndose un flujo de
calor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los mejores conductores de calor son los
metales. El aire es un mal conductor del calor. Los objetos malos conductores como el aire o
plásticos se llaman aislantes.

19. La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio
conductor. Para un volumen de espesor ∆x, con área de sección transversal A y cuyas caras
opuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2 > T1, se encuentra que el calor ∆Q transferido
en un tiempo ∆t fluye del extremo caliente al frío. Si se llama Q (en Watts) al calor transferido por
unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor Q = ∆T/∆t, está dada por la ley de la
conducción de calor de Fourier.
Q=
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Donde k (en W/mK) se llama conductividad
térmica del material, magnitud que representa
la capacidad con la cual la sustancia conduce
calor y produce la consiguiente variación de
temperatura; y dT/dx es el gradiente de
temperatura. El signo menos indica que la
conducción de calor es en la dirección
decreciente de la temperatura.

20. Conductividad térmica: La conductividad térmica
es una medida de la capacidad de un material
para conducir calor. Un valor elevado de
conductividad térmica indica que el material es
un buen conductor del calor y un valor bajo
indica que es un mal conductor o un aislante. Ej:
Hierro (alta conductividad), agua (baja
conductividad) El diamante es un sólido cristalino
que tiene la conductividad térmica conocida más
elevada a temperatura ambiente.
Difusividad térmica: La difusividad térmica se
puede concebir como la razón entre el calor
conducido y el calor almacenado por unidad de
volumen. Un valor pequeño de la difusividad
térmica significa que, en su mayor parte, el calor
es absorbido por el material y una pequeña
cantidad de calor será conducida a través de él.

21. Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por un material
aislante, cuyos extremos de área A están en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas
T1 y T2 > T1, cuando se alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la
barra es constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo
largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la forma.
Q= 𝑘𝐴
𝑇2−𝑇1
𝐿
CONVECCIÓN: La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de masa
o circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las diferencias de
densidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a moverse de un lugar a otro,
por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una bomba. Sólo se produce en líquidos y
gases donde los átomos y moléculas son libres de moverse en el medio.

22. Convección natural: El movimiento del fluido se debe a los
gradientes de densidad, inducidos por los gradientes de
temperatura, sometidos a un campo gravitacional.
Convección forzada: En este caso el fluido es forzado por un
mecanismo externo (bombas, ventiladores, compresores, viento,
corrientes marinas, entre otras).
Convección por ebullición: En este caso el movimiento del fluido se
debe en gran parte a las burbujas que se escapan hacia la
superficie.
Convección por condensación: En este caso el fluido es forzado por
un mecanismo externo (bombas, ventiladores, compresores,
viento, corrientes marinas, entre otras).

23. La rapidez de la transferencia de calor por convección es
proporcional a la diferencia de temperatura Un modelo de
transferencia de calor Q por convección, llamado ley de
enfriamiento de Newton, es el siguiente:
Q = h A (TA – T)
donde h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A es
la superficie que entrega calor con una temperatura TA al
fluido adyacente, que se encuentra a una temperatura T.

24. RADIACION: La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas
electromagnéticas como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los
átomos y las moléculas. La energía transferida por radiación no requiere de medio interventor. La
razón máxima de radiación que se puede emitir desde una superficie a una temperatura T es
expresada por la ley de Stefan-Boltzmann.
Qrad = σ A T4
Es la constante de Stefan-Boltzmann.
σ = 5.67 ×10−8 W/m2K4
Radiación térmica: es la forma de radiación emitida por los cuerpos debido a su temperatura. Si se
encuentra, materia en su camino las ondas electromagnéticas puede ser: transmitida, reflejada
y/o absorbida; solamente la energía absorbida se transforma en calor.
• Transmitida cuerpos metálicos
• Reflejada cuerpos cristalinos
• Absorbida cuerpos negros

25. TRANSMISIÓN DE CALOR A TRAVÉS DE PAREDES DE GEOMETRÍA SENCILLA: En los desarrollos que se
van a realizar a continuación solo se demostrarán las aplicaciones de la ecuación de Fourier en
sistemas en los que la transmisión de calor se realiza en régimen estacionario y con flujo de calor
unidireccional. La integración de la mencionada ecuación es particularmente sencilla en el caso de
una pared plana homogénea y delgada, es decir, con un espesor relativamente pequeño en
comparación con su superficie.
Ejercicio: Las caras de una pared que mide 6 pulgadas de grosor que mide 12*16 pies cuadradas
deberán mantenerse entre 1500°F y 300°F respectivamente, la pared esta hecha de ladrillo caolín
aislante. Cuánto calor se pierde en la pared (watts).

28. SISTEMAS RADIALES
CILINDROS: Considérese un cilindro largo de radio interior ri, radio exterior re y longitud L, este
cilindro se somete a una diferencia de temperaturas Ti – Te y se plantea la pregunta de cuál será el
flujo de calor. En un cilindro cuya longitud sea muy grande comparada con su diámetro, se puede
suponer que el calor fluye sólo en dirección radial, con lo que la única coordenada espacial
necesaria para definir el sistema es r. De nuevo, se utiliza la ley de Fourier empleando la relación
apropiada para el área. El área para el flujo de calor en un sistema cilíndrico es:
radio interior r1, donde la temperatura
es T1; un radio externo r2 a
temperatura T2 y de longitud L m.
Supóngase que hay un flujo radial de
calor desde la superficie interior hasta
la exterior.
Volviendo a escribir la ley de Fourier,
con la distancia dr en lugar de dx

30. CILINDROS DE CAPAS MÚLTIPLES: La transferencia de calor en las industrias de proceso suele
ocurrir a través de cilindros de capas múltiples, como sucede cuando se transfiere calor a través
de las paredes de una tubería aislada.
La figura muestra una tubería con dos capas de
aislamiento a su alrededor; es decir, un total de tres
cilindros concéntricos. La disminución de
temperatura es Tl - T2 a través del material A, T2 -T3,
a través de B.
Evidentemente, la velocidad de transferencia de
calor, q, será igual en todas las capas, pues se trata
de un estado estacionario.

31. INTERCAMBIADORES DE CALOR
Son dispositivos utilizados para transferir calor desde una corriente (gas, líquido o sólido) a otra,
un intercambiador de calor es un equipo utilizado para enfriar un fluido que está más caliente de
lo deseado, transfiriendo este calor a otro fluido que está frío y necesita ser calentado. La
transferencia de calor se realiza a través de una pared metálica o de un tubo que separa ambos
fluidos, las aplicaciones de los intercambiadores de calor son muy variadas y reciben diferentes
nombres.
Bajo la denominación general de intercambiadores de calor, o simplemente cambiadores de calor,
se engloba a todos aquellos dispositivos utilizados para transferir energía de un medio a otro, sin
embargo, en lo que sigue se hará referencia única y exclusivamente a la transferencia de energía
entre fluidos por conducción y convección, debido a que el intercambio térmico entre fluidos es
uno de los procesos más frecuente e importante en la ingeniería. “Un intercambiador de calor es
un dispositivo que facilita la transferencia de calor de una corriente fluida a otra”

32. Existen tres tipos básicos de intercambiadores de calor:
Recuperadores: son en los que nos centraremos, se basan en que los fluidos están separados por
la pared del sólido y el proceso de transferencia de calor esta dominado por la convección y la
conducción.
Regeneradores: los dos fluidos están en contacto con la misma superficie del sólido, el cual hace
de almacén de energía entre los periodos en que pasa un fluido u otro. (bufanda en la boca).
De contacto directo: los dos fluidos se ponen en contacto mezclándose e intercambiando calor. Si
son inmiscibles, posteriormente es fácil separarlos: (gas y líquido), en otros casos acaban como
una única corriente: equipos de regeneración en ciclos de turbinas de vapor.
Los intercambiadores recuperadores mas habituales son los de carcasa y tubo, uno de los fluidos
va por la carcasa y el otro por el interior de los tubos que atraviesan la carcasa de lado a lado.
Puede haber múltiples configuraciones de pasos por tubos y por carcasa.

34. Un intercambiador de calor sencillo se compone de tres secciones: la del evaporador en uno de
los extremos donde el calor se absorbe y el fluido se vaporiza; la del condensador en el otro
extremo en donde el vapor se condensa y el calor se rechaza y la adiabática entre ellas en donde
las fases de vapor y líquida del fluido se mueven en direcciones opuestas por el núcleo y la mecha
respectivamente para completar el ciclo sin una transferencia significativa de calor entre el fluido y
el medio circundante.

35. Dado que a lo largo del proceso de cálculo intervendrán dos fluidos, se deberá poder identificar en
todo momento a cada uno de ellos, por lo que se utilizará la notación siguiente:
• Se empleará el subíndice “c” para todas las propiedades o características correspondientes al
fluido caliente.
• Para el fluido frío se usará el subíndice “f”.
• Para indicar en que punto del intercambiador se considera la temperatura, se usará un segundo
subíndice, “e” para la entrada del cambiador, “s” para la salida del mismo.
La ecuación de diseño general para un intercambiador de calor es:
𝑞 = 𝐴 𝑈 ∆𝑇
Donde:
A = superficie que separa ambas corrientes
U = coeficiente global de transferencia de calor
∆T = gradiente de temperatura entre la corriente fría y la corriente caliente
El calor fluye por convección a través del fluido caliente, por conducción a través de la pared del
tubo y por convección al fluido frío. Como resultado de este proceso, la temperatura del fluido frío
se eleva a medida que éste gana energía a su paso por el tubo y el fluido caliente disminuye su
temperatura a medida que éste pierde energía a su paso por el tubo.

36. El balance térmico de un intercambiador de calor, dice que el calor cedido por el flujo más caliente
es igual al absorbido por el frío.
 𝑞 = ( 𝑚𝐶𝑝) 𝑐 𝑇𝑒 𝑐 − 𝑇𝑠𝑐 Fluido caliente
 𝑞 = ( 𝑚𝐶𝑝) 𝑓(𝑇𝑒𝑓 − 𝑇𝑠𝑓) Fluido frío

( 𝑚𝐶𝑝) 𝑐
(𝑚𝐶𝑝) 𝑓
=
∆𝑇 𝑓
∆𝑇𝑐

37. SISTEMA
Cualquier masa de material o segmento de equipo
especificados arbitrariamente y en el cual deseamos
concentrar nuestra atención. Un sistema se define
circundándolo con una frontera. La frontera del sistema no
tiene que coincidir con las paredes de un recipiente. Toda
masa, equipos y energías externas al sistema definido se
designan como entorno. Siempre debemos trazar fronteras
similares al resolver los problemas, pues este paso fija
claramente el sistema y su entorno (Himmelblau,1997).TIPOS DE SISTEMAS:
1. Sistemas Abiertos: son aquellos que intercambian materia y energía con el entorno a través de
las fronteras. Ej. Olla con agua hirviendo.
2. Sistemas Cerrados: son aquellos que solo pueden intercambiar energía con el entorno, pero no
materia. Ej. Termo.
3. Sistemas Aislados: son aquellos en los que no se pueden intercambiar ni energía ni materia a
través de las fronteras. Ej. Bomba Adiabática

38. BALANCE DE ENERGÍA
La expresión matemática del balance de masas puede simbolizarse de la siguiente manera, una
vez hecho los arreglos matemáticos respectivos:
Acumulación = entrada – salida +
producción – consumo

39. SIMULACIÓN NUMÉRICA: El Método de los Elementos Finitos, mediante la cual es posible generar
sólidos de aspectos casi real, comprobar su comportamiento bajo diversas condiciones de trabajo,
estudiar el movimiento conjunto de grupos de sólidos, etc. Esto permite un conocimiento mucho
mas profundo de un producto antes de que exista físicamente, siendo posible detectar muchos de
los problemas que de otro modo se hubieran detectado en el servicio real. El método de los
elementos finitos es una de las mas importantes técnicas de simulación y seguramente la mas
utilizada en las aplicaciones industriales.
Como puede apreciarse lo dicho, en el método de los elementos finitos son casi esenciales los
conceptos de "discretización" o acción de transformar la realidad de la naturaleza continua en un
modelo discreto aproximado y de "interpolación", o acción de aproximar los valores de una
función a partir de su conocimiento en un numero discreto de puntos. Por lo tanto el M.E.F. es un
método aproximado desde múltiples perspectivas.
a) Interpolación.
b) Regresión
c) Discretización.
d) Diferencias numéricas.

40. INTERPOLACIÓN
Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un
conjunto discreto de puntos. En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto
número de puntos obtenidos por muestreo o experimento y pretender construir una función que
los ajuste.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON:
Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, que
trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas;
Interpolación Lineal: La forma más simple de interpolar es la de
conectar dos puntos con una línea recta. Este método,
llamado interpolación lineal, se muestra en la figura.

41. INTERPOLACIÓN
Interpolación Cuadrática: Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta
curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede
llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o
parábola). Una manera conveniente para este caso es:
Diferencias Finitas Divididas: Sea F una función de valor real definida sobre Xk, Xk+1, ..... Xk+n no
necesariamente equidistante. Se define:

42. SIMULACIÓN DE SISTEMA
Ver el comportamiento de la temperatura mediante en un intercambiador de calor, utilizando el
método de diferencias finitas :
mc 3 kg/s mf 1 kg/s
Cpc 1,9 KJ/Kg K Cpf 4,18 KJ/Kg K
Tec 120 °C Tef 25 °C
U 0,5 KW/Km2 A 10 m2

43. DATOS
mc = 3kg/s
Cpc = 1,9KJ/Kg K
Tec = 120°C
mf = 1kg/s
Cpf = 4,18KJ/Kg K
Tef = 25°C
U = 0,5KW/Km2
A = 10m2
N = 20

44. Tc Tf qi ΔT
1 120 25 23,75 95
2 115,83 30,68 21,29 85,15
3 112,10 35,77 19,08 76,32
4 108,75 40,34 17,10 68,41
5 105,75 44,43 15,33 61,32
6 103,06 48,10 13,74 54,96
7 100,65 51,39 12,32 49,26
8 98,49 54,33 11,04 44,16
9 96,55 56,97 9,89 39,58
10 94,82 59,34 8,87 35,48
11 93,26 61,46 7,95 31,80
12 91,87 63,36 7,13 28,50
13 90,62 65,07 6,39 25,55
14 89,50 66,60 5,72 22,90
15 88,49 67,97 5,13 20,53
16 87,59 69,19 4,60 18,40
17 86,78 70,29 4,12 16,49
18 86,06 71,28 3,70 14,78
19 85,41 72,16 3,31 13,25
20 84,83 72,96 2,97 11,87
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
INTERCAMBIADOR DE CALOR
Temperatura fria Temperatura caliente

45. INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:
Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolación P(x) asociado con una
tabla de datos (xi , yi) con 0≤ i ≤ n. Es importante entender que existe uno y solo un polinomio de
interpolación de grado ≤ n asociado con los datos (suponiendo, claro está, que las n+1 abscisas xi
son distintas). Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio de
maneras distintas y de llegar a él a través de distintos algoritmos.
Para el polinomio de grado uno nos queda:
Para el polinomio de interpolación de grado dos:

46. INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:
La aproximación del polinomio cúbico es:
Ejemplo: Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer grado
evalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación:

47. INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:
La aproximación del polinomio cúbico es:
Ejemplo: Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero, segundo y tercer grado
evalué 1,5 ; basándose en los datos dados a continuación:

48. TAREA
1. En un proceso de desalinización usando un equipo de osmosis inversa se ha registrado los
siguientes datos:
¿Cuál es el flujo para una caída de presión de 23 bar usando un polinomio de grado 3?
2. ¿Cuál es el polinomio usando todos los puntos mediante el método de Newton?
Determine el polinomio de grado 3 para r= 30 y r= 45cm
3. La tabla siguiente enumera la población de los Estados Unidos a partir de 1940 a 1990.

49. TAREA
Encuentre el polinomio de Lagrange del grado 4, y utilice este polinomio para estimar la
población en los anos 1965.
4. Aproximar f (0.05) , mediante el polinomio interpolación de Newton usando la tabla siguiente: