1) O documento apresenta 26 questões de trigonometria e geometria envolvendo triângulos, ângulos, distâncias e alturas calculadas a partir de medidas dadas. 2) As questões abordam tópicos como cálculo de altura de prédios, distância percorrida por objetos, número de degraus em escadas e rampas. 3) As alternativas de respostas variam entre letras que representam valores numéricos calculados a partir das informações fornecidas em cada questão.

1. 1
EXERCÍCIOS EXTRAS DE GEOMETRIA
PRÉ - VESTIBULAR ACESSE
PROFESSOR: CARLINHOS
4ª LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS
TRIGONOMETRIA PARTE1
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. (G1)
Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até
o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os
degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente
espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus
estão representados na figura. O degrau mais baixo
eqüidista do chão e do segundo degrau. O degrau mais
alto apóia-se no plano superior do pedestal.
a) A escada é composta por quantos degraus?
b) A escada faz um ângulo š com o chão e sabe-se que:
sen š = 4/5 cos š = 3/5 tg š = 4/3
Calcule a altura h do pedestal.
2. (Uem) Para obter a altura CD de uma torre, um
matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a
horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos ‘ =
30° e ’ = 60° e a medida do segmento BC = 5 m, conforme
especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre,
em metros, é...
3. (Ufrj) Determine, em função de š, o perímetro da figura
ABD, obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o
setor circular BCD (de centro em C, raio 1 e ângulo š).
Justifique.
4. (Unirio)
Considere a figura anterior, que apresenta um rio de
margens retas e paralelas, neste trecho. Sabendo-se que
AC=6 e CD=5, determine:
a) a distância entre B e D; b) a área do triângulo ABD.
5. (Faap) A seguir está representado um esquema de uma
sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser
a medida de AT para que um espectador sentado a 15
metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso,
veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?
Dados:
sen 30° = 0,5 sen 60° = 0,866 cos 30° = 0,866
cos 60° = 0,5 Ë2 = 1,41 Ë3 = 1,73
tg 30° = 0,577 tg 60° = Ë3
a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m
d) 9,86 m e) 4,58 m
6. (Fatec) De dois observatórios, localizados em dois
pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar
um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°,
conforme é mostrado na figura abaixo.

2. 2
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X
e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da
Terra, é
a) 30 - 15Ë3 b) 30 + 15Ë3 c) 60 - 30Ë3
d) 45 - 15Ë3 e) 45 + 15Ë3
7. (Fuvest) Para se calcular a altura de uma torre,
utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um
aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a
uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção
ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o
raio e o solo foi de ‘ = ™/3 radianos. A seguir, o aparelho
foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então
obtido foi de ’ radianos, com tg ’ = 3Ë3.
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4Ë3 b) 5Ë3 c) 6Ë3
d) 7Ë3 e) 8Ë3
8. (G1) Na figura abaixo, destacamos as medidas de BC =
10 m e SR = 2,3 m. Os valores de x e y são
a) x = 5,4 m e y = 3,2 m b) x = 4,6 m e y = 2,7 m
c) x = 4,6 m e y = 3,0 m d) x = 4,5 m e y = 3,7 m
9. (G1) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o
topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°,
respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a
figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m,
então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente
igual a
a) 34 b) 32 c) 30 d) 28
10. (G1) O acesso a um edifício é feito por uma escada de
dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de altura.
Para atender portadores de necessidades especiais, foi
construída uma rampa.
Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar,
com o solo, um ângulo de 6°, conforme figura.
A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a
a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2.
11. (Mackenzie) Na figura, tg ‘ vale:
a) 1/3 b) 2/Ë3 c) 1/Ë3 d) 3/4 e) 2/3
12. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de uma
peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem
dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical
e um apoio horizontal.

3. 3
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a
altura do suporte é
a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm
d) 14 cm e) 16 cm
13. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a
rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A
distância entre M e N é, aproximadamente,
a) 4,2 m b) 4,5 m c) 5,9 m
d) 6,5 m e) 8,5 m
14. (Pucrs) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16
m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado
momento de um jogo, estão posicionadas como na figura
abaixo. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se
deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à
mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A,
é:
a) x = 5 tan (š) b) x = 5 sen (š) c) x = 5 cos (š)
d) x = 2 tan (š) e) x = 2 cos (š)
15. (Pucsp) Para representar as localizações de pontos
estratégicos de um acampamento em construção, foi
usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais,
conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M
representam os locais onde serão construídos os
respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o
refeitório.
Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá
ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no
sistema, sua representação é um ponto pertencente ao
eixo das abscissas, quantos metros ele distará do
refeitório?
a) 10Ë3 b) 10 c) 9Ë3 d) 9 e) 8Ë3
16. (Udesc) Sobre um plano inclinado deverá ser
construída uma escadaria.
Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura
de 20 cm e que a base do plano inclinado mede 280Ë3 cm,
conforme mostra a figura, então a escada deverá ter:
a) 10 degraus. b) 28 degraus. c) 14 degraus.
d) 54 degraus. e) 16 degraus.
17. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma
estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que
o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°,
o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50
km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, o marcador
de quilometragem acusa 104,03 km.

4. 4
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada?
(Se necessitar, useË2 ¸1,41; Ë3¸1,73; Ë6¸2,45.)
a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m
d) 916,9 m e) 1071,6 m
18. (Uel) Um engenheiro fez um projeto para a construção
de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a
diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do
andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a
construção, foi necessária a utilização de rampas para
transporte de material do chão do andar térreo até os
andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de
comprimento, fazendo ângulo de 30¡. com o plano
horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa
inteira transportará material, no máximo, até o piso do:
a) 2¡. andar. b) 3¡. andar. c) 4¡. andar.
d) 5¡. andar. e) 6¡. andar.
19. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e
52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte
valor:
a) 10° b) 12° c) 13° d) 14°
20. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a um
farol P, conforme a figura a seguir.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no
ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a
mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 500Ë3 c) 1.000 d) 1.000Ë3
21. (Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a
180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação
ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua
velocidade se mantenha constante ao longo de todo o
percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a
uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no
solo, a y metros do ponto de lançamento.
Os valores de x e y são, respectivamente:
a) 90 e 90Ë3 b) 90Ë3 e 90
c) 450 e 450Ë3 d) 450Ë3 e 450
22. (Uerj) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma
pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista,
há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C,
D, E e F, que dividem a circunferência em seis arcos, cada
um medindo 60 graus.
Observe o esquema:
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em
direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em
linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso
correspondeu a ABACADAEAFA.
Considerando Ë3 = 1,7, o total de metros percorridos pelo
atleta nesse treino foi igual a:
a) 1480 b) 2960 c) 3080 d) 3120
23. (Ufjf) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de
um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito
(instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do
edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura
a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5
metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores
adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em
metros, é:
Use os valores: sen30° = 0,5 cos30° = 0,866
tg30° = 0,577

5. 5
a) 112. b) 115. c) 117. d) 120. e) 124.
24. (Uflavras) Duas pessoas A e B estão situadas na
mesma margem de um rio, distantes 60Ë3 m uma da
outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está
situada de tal modo que åæ seja perpendicular a åè e a
medida do ângulo AðB seja 60°. A largura do rio é
a) 30Ë3 m b) 180 m c) 60Ë3 m
d) 20Ë3 m e) 60 m
25. (Ufrrj) Em um campo de futebol, o "grande círculo" é
formado por uma circunferência no centro, de 30 metros de
diâmetro, como mostra a figura:
Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um
funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como
podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros
que ele traçou foi de
a) 5Ë3 m. b) 10Ë3 m. c) 10Ë2 m.
d) 15Ë3 m . e) 15Ë2 m .
26. (Ufrs) Um barco parte de A para atravessar o rio. A
direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120°
com a margem do rio.
Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros,
percorrida pelo barco foi de
a) 40 Ë2 b) 40 Ë3 c) 45 Ë3
d) 50 Ë3 e) 60 Ë2
27. (Ufv) Na figura a seguir, os triângulos são retângulos,
com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo
isósceles com catetos medindo 4 cm. Se o cateto AD do
triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tgx é:
a) (Ë7) / 4 b) Ë7 c) (Ë7) / 2
d) (Ë7) / 3 e) (Ë7) / 7
28. (Unesp) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam
formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se
encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto
passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A
distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de
C, em quilômetros, é
a) (Ë2)/8. b) (Ë2)/4. c) (Ë3)/2.
d) Ë2. e) 2Ë2
29. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa
com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de
4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em
relação ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em
minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente
a rampa é
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
30. (Unesp) Dois edíficios, X e Y, estão um em frente ao
outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício
X (ponto P), mede um ângulo ‘ em relação ao topo do
edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício
X,num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo
e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um
ângulo ’ em relação ao ponto Q no edifício Y.

6. 6
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg ‘ = 4
tg ’, a altura h do edifício Y, em metros, é:
a) 40/3. b) 50/4. c) 30. d) 40. e) 50.
31. (Unirio)
Um barco está preso por uma corda (åè) ao cais, através
de um mastro (åæ) de comprimento 3m, como mostra a
figura. A distância, em m, da proa do barco até o cais (æè)
é igual a:
a) (3Ë2 + Ë6) / 2 b) (3Ë2 + Ë6) / 4
c) (Ë2 + Ë6) / 2 d) (Ë2 + Ë6) / 4 e) Ë6
32. (Uerj)
No esquema acima estão representadas as trajetórias de
dois atletas que, partindo do ponto X, passam
simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por
caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes.
Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de
centro O e raio 2R. O outro percorre duas
semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando Ë2 = 1,4, quando um dos atletas tiver
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre
eles será igual a:
a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R
33. (Uerj) Considere o ângulo segundo o qual um
observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele
se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima
mais 100 m, como mostra o esquema abaixo.
A altura da torre, em metros, equivale a:
a) 96 b) 98 c) 100 d) 102
34. (Ufpr 2012) Num projeto hidráulico, um cano com
diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular
de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que
porção x da altura do cano permanecerá acima da
superfície?
a)
1
cm
2
b) 1 cm c)
3
cm
2
d) cm
2

e) 2 cm
35. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa
situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.
Dados:
3
sen 60º
2
 ;
1
cos 60º
2
 ; tg 60º 3 .
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido
12km, é
a) 600 dam b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm d) 600.000 3 cm

7. 7
36. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Em relação à figura abaixo,
tem-se CÂD 30º, AC 2 cm e BC 4 cm   .
Se AC CB e AD DB  , então, BD, em cm, é igual a
a)
6 3
3

b) 6 3 3
c) 2 3 1 d)
4 3
2

37. (G1 - ifsc 2011) Uma baixa histórica no nível das águas
no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do
Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na
expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns
trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que
balsas com mercadorias e combustível para energia
elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou
situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta
– etapa imediatamente anterior à situação de emergência –
em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas
ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de:
http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-pe
ru-nivel-do-rioamazonas-
diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/
Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o
rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma
um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do
rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos
afirmar que a distância AB em metros percorrida pela
embarcação foi de...
a) 60 3 metros. b) 40 3 metros. c) 120 metros.
d) 20 3 metros. e) 40 metros.
38. (Uepg 2011) As cidades A, B e C são vértices de um
triângulo retângulo, sendo que o ângulo reto é B. A estrada
que liga A a C tem 50 km e a estrada que liga B a C tem 30
km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que
ligue diretamente A com B. Por isso será construída uma
estrada da cidade B para a estrada AC, de modo que ela
seja a mais curta possível. Se essa estrada encontra AC no
ponto X, assinale o que for correto.
01) A estrada a ser construída terá 24 km de comprimento.
02) O ângulo BÂC mede 30º.
04) A distância XC é maior que 20 km.
08) A distância AX é maior que 30 km.
39. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em
C e  o ângulo ˆBAC. Sendo AC 1 e
1
sen( ) ,
3
 
quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
a) 3 b)
2 2
3
c) 10 d)
3 2
4
e)
3
2
40. (Udesc 2011) No dia primeiro de janeiro de 2011,
ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a) Presidente(a)
da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a
subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo
brasileiro que pode ser vista na Figura.
Suponha que essa rampa possua uma elevação 15 de

8. 8
em relação à sua base e uma altura de 3 2m. Então o(a)
novo(a) Chefe de Estado, ao subir toda a rampa
presidencial, percorrerá uma distância de:
a) 6 3 1m b) 8 3 8m c) 6 3 2m
d) 6 3 6m e) 4 3 2m
41. (Fatec 2011) No sistema cartesiano ortogonal xOy,
considere a circunferência de centro O e pontos A (2; 0) e
Q( 3 ; 0). Sabendo-se que P é um ponto dessa
circunferência e que a reta AT é tangente à circunferência
no ponto A, tal que AT é paralela a PQ , então a medida
do segmento AT é
a)
2 3
3
. b) 3 . c)
4 3
3
.
d)
5 3
3
. e) 2 3 .
42. (Unicamp simulado 2011) Na execução da cobertura
de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura,
composta por barras de madeira, com o formato indicado
na figura abaixo.
Desprezando a espessura das barras de madeira, e
supondo que α = 15º, podemos dizer que
a) v = w cos(15º) e u = w sen(15º)/4.
b) v = w sen(15º) e u = w/[4tg(15º)].
c) v = w/[2cos(345º)] e u = w tg(195º)/4.
d) v = w/[2cos(345º)] e u = w sen(165º)/4.
43. (Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar
um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as
crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à
rampa. No parque de certa praça, há um escorrego,
apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem
2m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso;
e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme
ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o
comprimento (L) da rampa é de:
a) 2 m b) 2 2 m c) 3 2 m
d) 4 2 m e) 5 2 m
44. (G1 - cps 2010) Ter condições de acessibilidade a
espaços e equipamentos urbanos é um direito de todo
cidadão.
A construção de rampas, nas entradas de edifícios que
apresentam escadas, garante a acessibilidade
principalmente às pessoas com deficiência física ou com
mobilidade reduzida.
Pensando nisso, na entrada de uma ETEC onde há uma
escada de dois degraus iguais, cada um com 15 cm de
altura, pretende-se construir uma rampa para garantir a
acessibilidade do prédio a todos.
Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30,
conforme a figura.
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa
será, em metros,
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2.
45. (G1 - cftmg 2010) Em um setor circular de raio r foram
traçados os triângulos ADO e BEO, conforme figura a
seguir.

9. 9
A soma dos segmentos AD,DB,BE, e CE é igual a
a)
r
2
b) r c)
2r
3
d) 2r
46. (Espm 2010) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m
de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício
segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo
80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo
passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz
quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse
edifício é de aproximadamente:
a) 59 m b) 62 m c) 65 m
d) 69 m e) 71 m
47. (G1 - cftmg 2010) Os triângulos a seguir possuem o
mesmo ângulo α , com tgα = k.
A medida da maior hipotenusa vale b e a dos segmentos
AB e BC vale a.
O valor de b em função de a e k é
a) ak
2
b) 2ak
2
c) a (1 + k
2
)
d) 2a (1 + k
2
)
48. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F)
dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do
ângulo A ˆF B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro
encontrou a medida correspondente a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2.
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER
1. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um rio,
unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo.
Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C,
na mesma margem em que B está, e medem-se os
ângulos CBA = 57° e ACB = 59°. Sabendo que BC mede
30m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as
aproximações sen(59°) ¸ 0,87 e sen(64°) ¸ 0,90)
2. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas
por rodovias, conforme mostra a figura.
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os
ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que
senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova
rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição
destas cidades, será paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos
quilômetros tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos
quilômetros terá a rodovia DE.
3. (G1) Na figura a seguir, determine o valor de x e o
perímetro do triângulo.

10. 10
4. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular medem, do
centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1
metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros
quando o relógio marca 4 horas.
5. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC
medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale
30°.
O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
6. (Mackenzie) Supondo Ë3 = 1,7, a área do triângulo da
figura vale:
a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 d) 1,35 e) 1,45
7. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma praça de
alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a
distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do
triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é
a) 50Ë2 m b) 50 (Ë6)/3 m c) 50Ë3 m
d) 25Ë6 m e) 50 Ë6 m
8. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O
co-seno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8
d) - 3/8 e) - 3/10
9. (Fuvest) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O
co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8.
10. (Fuvest) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3 cm,
AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°.
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15.
11. (Fuvest) Em uma semi-circunferência de centro C e
raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o
ponto onde a bissetriz do ângulo AðB intercepta a
semicircunferência. O comprimento da corda åî é:
a) RË(2 - Ë3) b) RË[(Ë3) - (Ë2)]
c) RË[(Ë2) - 1] d) RË[(Ë3) - 1]
e) RË(3-Ë2)
12. (Fuvest) Os comprimentos dos lados de um triângulo
ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o
perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°,
então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:
a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125
13. (G1) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de
lados 4 m e 6 m mede 120°. A maior diagonal desse
paralelogramo mede, em metros
a) 2Ë17 b) 2Ë19 c) 2Ë21 d) 2Ë23
14. (Ita) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem
um lado medindo 20/™ cm, cujo ângulo oposto é de 15°. O
comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 Ë2 (1 + Ë3). b) 400 (2 + Ë3). c) 80 (1 + Ë3).
d) 10 (2Ë3 + 5). e) 20 (1 + Ë3).
15. (Mackenzie) A área do triângulo a seguir é:
a) 12 Ë3 b) 18 Ë3 c) 10 Ë3
d) 20 Ë3 e) 15 Ë3

11. 11
16. (Pucsp) Leia com atenção o problema proposto a
Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a
resposta correta que Calvin deveria encontrar para o
problema é, em centímetros,
a) (5Ë3)/3 b) (8Ë3)/3 c) (10Ë3)/3
d) 5Ë3 e)10Ë3
17. (Ufpi) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor
do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + Ë5 b) 5 + Ë3 c) 3 + Ë3
d) 3 + Ë7 e) 5 + Ë7
18. (Unirio)
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C
sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e
AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como
mostra a figura anterior. Logo, a distância entre B e C, em
km, é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
19-(UERJ) Um piso plano é revestido de hexágonos
regulares congruentes cujo lado mede 10 cm.
Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices
comuns a três hexágonos e representam os pontos nos
quais se encontram, respectivamente, um torrão de
açúcar, uma mosca e uma formiga.
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo
instante, com velocidades constantes, para alcançá-lo.
Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto
T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as
dimensões dos animais. A menor velocidade, em
centímetros por segundo, necessária para que a formiga
chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é
igual a:
(A) 3,5 (B) 5,0 (C) 5,5 (D) 7,0
20) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são
cidades do país Matematiquistão, localizadas conforme a
figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância
aproximada de Geometrópolis a Algebrópolis. Considere
4,12  .
21) (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um
terreno onde será construída uma rampa reta,
_____
AC , que
servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra
na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6 m,
de B a C é de 10 m e o ângulo ABC mede 120º.
Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em
metros?