1. Lista de exercícios: Números Complexos – Prof ºFernandinho
01. Calcule a soma S = 50432
i...iiii +++++
02. Calcule o produto P = 304321
i...i.i.i.i
03. Se f(x) = 1xx2
+− , calcule o valor de f(1 – i).
04. Se i é a unidade imaginária, então, quanto vale o determinante
987
654
32
iii
iii
iii
?
05. Sendo i a unidade imaginaria, determine o valor de 103321
502321
i...iii
i...iii
y
++++
++++
= .
06. Determine o valor da expressão E = ( ) ( )2020
i1i1 −++ .
07. Sejam os números complexos U = 1 + i e V = 1 – i. Calcule ܷହଶ
. ܸି ହଵ
08. Se
i1
1
a
+
= , b =
i1
i1
+
−
e c = ( )2
ib − , onde i é a unidade imaginária, calcule c
a .
09. Dados o números complexos Z = 3 + 2i e W = - 3 – i, calcule o valor de ሺܼ ܹሻଵ଼
.
10. Calcule o valor da expressão y =
ሺଵାሻభబ
ሺଵିሻఱ
11. Qual é o conjugado do número complexo Z =
i
i2 −
.
12. Qual é o valor de x, com x ℜ∈ , para que o complexo Z = (x – 2i).(2 + xi) seja real?
13. Para i = √െ 1, calcule os valores reais de a e b tais que ቚ
ܽ െ ݅ ݅
݅ଷ
݅ଶቚ = 3 + b.i
14. Determinar x real positivo de modo que o número complexo Z =
i.x21
i.x2
+
−
seja imaginário puro.
15. Sabendo que x é um número real e que a parte imaginária do número complexo Z =
i2x
i2
+
+
é zero, calcule o
valor de x.
16. Determine a real de modo que o número complexo Z =
i.a2
i21
+
+
seja real.
17. Determinar o número complexo Z tal que: i.
2
5
2
5
i1
1Z
i1
Z
+=
+
−
+
−
2. 18. Determinar CZ∈ , tal que i.Z.2Z −=
19. Determinar os números complexos Z tais que: i.613ZZZZ. +=−+
20. Determinar CZ∈ , tal que iZ2
=
21. Determine Z, CZ∈ , tal que i.31Z.iZ −=+
22. Determine Z, CZ∈ , tal que Z + Z = 2 + i.
23. Seja Z o produto dos números complexos √3 + i e
ଷ
ଶ
ଷ√ଷ
ଶ
݅. Determine o módulo e o argumento (em graus)
do complexo Z.
24. Obtenha o módulo e o argumento do número complexo Z =
i1
i1
i1
i1
+
−
−
−
+
.
25. Obtenha a forma trigonométrica do complexo Z, tal que, 0i1Z2Z.i =+−+
26. Obtenha a forma trigonométrica do complexo Z =
i3
3.i1
+
+
.
27. Sendo Z = 2.(cos 30° + i.sen 30°) e U = 4.(cos 60° + i.sen 60°), obtenha a forma algébrica de
U
Z3
.
28. Sendo Z =
π
+
π
3
sen.i
3
cos.2 , calcule a forma algébrica do complexo 12
Z .
29. Sendo 3.i1Z +−= , calcule 7
Z .
30. Calcule o valor de ܼ = ሺെ √2 √6. ݅ሻ଼
.
31. Determine o valor de ܼ = ሺ3√2 ݅. √6ሻଵଶ
32. Calcule o valor da expressão E =
100
2
3
.i
2
1
+ .
33. Qual é o módulo e o argumento do complexo ( )8
i3 + ?
34. Dê a forma algébrica do número complexo 12
Z , sendo Z =
16
sen.i
16
cos
π
+
π
.
35. a ) Determinar o número Z tal que: .0i1Z.2Z.i =−++
b ) Qual é o módulo e o argumento de Z?
c ) Determinar a potência de expoente 1004 de Z.
36. Determine o menor inteiro positivo n, tal que ( )n
3.i1+ seja um número real.
3. 37. Determine o menor valor natural de n, para o qual ሺ√3 ݅ሻ
é:
a ) real e positivo.
b ) real e negativo.
c ) imaginário puro.
38. Obtenha as raízes quadradas de Z = 5 – 12.i
39. Obtenha as raízes cúbicas de Z = – 27.i
40. Resolva em C a equação: 016Z4
=− .
Gabarito:
01. S = i – 1 02. P = i 03. f(1 – i ) = - i 04. Zero 05. y = 1 – i
06. E = - 2048 07. 1 – i 08. 4ac
−= 09. – 1 10. y = 4 – 4i
11. i21Z +−= 12. x = 2 ou x = - 2 13. a = - 4 e b = 1 14. x = 1 15. x = 4
16. a = 4 17. Z = 3 + 2i 18. Z = 0 19.
i32Z
i32Z
2
1
+−=
+=
20. i.
2
2
2
2
Z,i.
2
2
2
2
Z 21 −−=+= 21. Z = - 3 + 4i 22. Z = i
4
3
+ 23. °== 09e6 θZ
24.
2
e2Z
π
=θ= 25.
π
+
π
=
4
7
sen.i
4
7
cos.2Z 26.
π
+
π
=
6
sen.i
6
cos.1Z
27. i3
U
Z3
+= 28. 4096Z12
= 29. i.36464Z7
+−= 30. Z = െ 2048 െ ݅. 2048√3
31. Z = 2ଵଶ
. 6
32.
2
3
.i
2
1
E −−= 33.
3
4
e256Z
π
=θ= 34.
2
2
.i
2
2
Z12
+−=
35.
5021004
2.1Z)c
4
5
e2Z)b
i1Z)a
−=
π
=θ=
−−=
36. n = 3 37.
ܽ ሻ ݊ = 0
ܾ ሻ ݊ = 6
ܿ ሻ ݊ = 3
38.
i23Z
i23Z
2
1
+−=
−=
39.
i.
2
3
2
33
Z
i.
2
3
2
33
Z
i3Z
3
2
1
−=
−−=
=
40.
i2Z
i2Z
2Z
2Z
4
3
2
1
−=
=
−=
=
