O documento propõe uma nova explicação para a fórmula da soma dos elementos de uma progressão geométrica. A fórmula Sn=a1(qn-1) é parcialmente correta e deve ser dividida por (q-1) para funcionar corretamente para qualquer razão q, como mostrado nos exemplos com q=3 e q=4. A fórmula correta é Sn = a1.(qn - 1) / (q - 1).

1. NOVA EXPLICAÇÃO DA SOMA DOS ELEMENTOS DEUMA
PG: DIFERENTE DA PROPOSTA NOS LIVROS
Sn=A1(Qn-1)
Q-1
ALIDEMBERG ARAÚJO LOIOLA

2. PORQUE DA FÓRMULA DE UMA PG . EXPLICAÇÃO NOVA
Sn = a1.(qn - 1)
q - 1
Vejamos as observações:
Sn= a1.q0 + a2.q1 .... ou Sn= a1 .( q0 +q1 +q2 + q3 .....qn-1 )
Logo Sn é proporcional a a1 e também a (q0 + q1 +q2 + q3 .....qn-1 ) então temos que
determinar (q0 + q1 +q2 + q3 .....qn-1 )que é também uma PG com 1° termo igual a 1
(porque todo número elevado a zero é igual a 1).
Lembrando Sn=(q0) é a de 1 termo e por ai vai , Sn=(q0+q1) dois termos.
Vamos utilizar o método da observação:
Quando q for igual a 2 por exemplo, temos:
A) PG de 1 termo com q=2: Sn=q0 =20= 1 obs: = 21-1=1 também igual 1
B) PG de 2 termos: Sn= qo +q1 =20+2=1+2=3 obs: 22-1= 4-1= 3 também
igual 3
C) PG de 3 termos: Sn=q0 +q1 +q2 =1+2+4=7 obs: 2³-1= 8-1= 7 também igual
7
Encontramos aqui através da observação uma equação que determina o
valor de Sn para q=2: Numa PG de razão 2 o valor da soma de todos os elementos é
sempre 2 elevado ao número de elementos e depois subtrai-se 1 (qn-1).
1a PG Sn=qn-1, 2a PG Sn=qn-1, 3a PG Sn=qn-1, todas com iguais os resultados.
Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a1.(qn - 1)
q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(2¹-1)/2-1= 1 igual a Sn=qn-1 Sn== 21-1=1
q - 1
Sn = a1.(qn – 1) Sn=(2²-1)/2-1=3 igual a Sn=qn -1 Sn=22-1=3-1= 3
q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(2³-1)/2-1=7 igual a Sn=qn -1 Sn=2³ -1=8 -1=7
q - 1
Todas corretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=2, vamos ver com 3.

3. Quando q for igual a 3 por exemplo, utilizando Sn=qn-1 , temos:
D) PG de 1 termo: q=3 Sn=q0 =30=1 obs: = 31-1=3-1=2 implica Sn=2
E) PG de 2 termos: Sn= qo+q1=1+3=4 obs: 32-1= 9-1 8 implica Sn=8
F) PG de 3 termos: Sn=q0+q1+q2=1+3+9=13 obs: 3³-1=27-1=26 implica Sn=26
Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a1.(qn - 1)
q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(3¹-1)/3-1= 1 diferente de Sn=qn-1 Sn==3 -1=2
q - 1
Sn = a1.(qn – 1) Sn=(3²-1)/3-1=4 diferente de Sn=qn -1 Sn=32-1= 9-1=8
q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(3³-1)3-1=13 diferente de Sn=qn -1 Sn= 3³-1=27-1=26
q - 1
Todas incorretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=3, vamos ver com 4, mas
note que é o dobro do valor da fórmula correta da PG utilizando-se Sn=qn-1. Note
que Sn=qn-1, no caso de q=3 Sn vai ser o dobro, ou seja, é multiplicado
por 2, mas se fizermos isso dividirmos por q-1,ou seja 3-1=2, porque 3
a razão dela é ai ela ficará correta, mas teremos sempre que dividir
pela razão menos 1, nesse caso 3-1=2, dividimos por 2
Quando q for igual a 4 por exemplo, temos:
G) PG de 1 termo: q=4 Sn=40=1 obs: = 41-1= 3 implica Sn= 3
H) PG de 2 termos: Sn=q0+q1=1+4=5 obs: 42-1= 16-1=15 implica Sn=15
I) PG de 3 termos: Sn=q0+q1+q2=1+4+16=21 obs: 4³-1=64-1= 63 implica Sn=
63
Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a1.(qn - 1)
q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(4¹-1)/4-1= 1 diferente de Sn=qn-1 Sn== 41 -1= 3
q - 1
Sn = a1.(qn – 1) Sn=(4²-1)/4-1=5 diferente de Sn=qn -1 Sn 42 -1= 16-1= 15

4. q - 1
Sn = a1.(qn - 1) Sn=(4³-1)4-1=21 diferente de Sn=qn -1 Sn= 4³ -1= 64-1= 63
q - 1
Todas incorretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=4, mas note que é o triplo
do valor da fórmula correta da PG utilizando-se Sn=qn-1. Note que Sn=qn-1, no
caso de q=4 Sn vai ser o triplo, ou seja, é multiplicado por 3, mas se
fizermos isso dividirmos por q-1,ou seja 4-1=3, porque 4 é a razão dela
ai ela ficará correta, mas teremos sempre que dividir pela razão menos
1, nesse caso 4-1=3, dividimos por 3.
O que podemos deduzir é que a fórmula Sn=qn-1 está parcialmente correta. Após
os cálculos com q=3 e q=4 constata-se que acontece uma divisão do número qn-1,
que é sempre dividido pela equação q-1, ela fica oculta no caso do número
q=2, porque q-1 é 2-1=1, e vai ficar sempre oculto, mas a partir do número 3 e 4
tirasse todas as dúvidas.
Então fica Sn = a1.(qn - 1) porque como falei a1 é proporcional a Sn.
q - 1