Dinâmica cap17d

MECÂNICA - DINÂMICA
Exercícios
Cap. 13, 14 e 17

Problema 13.90
O pino de 5 lb é guiado ao longo de uma
trajetória circular usando-se uma barra com
uma fenda. A barra tem velocidade angular
q = 4 rad/s e aceleração angular q = 8 rad/s2
no instante em que q = 30o. Determine a
força da barra sobre o pino. O movimento
se dá num plano horizontal.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Problema 13.90 - Solução
Massa da carga:
m=
5
32.174
æ
è
ç
ö
ø
÷= 0.15540 slugs

Diagrama de corpo livre e cinético do pino:
r
 a
r a
N
0.15540 slugs
F

Diagrama de corpo livre e cinético do pino
Observações importantes:
N está na direção do raio da fenda circular e não
na direção do raio da barra.
F é perpendicular à barra e não tangente à fenda circular.

Diagrama de corpo livre e cinético do pino:
r
 a
r a
N
0.15540 slugs
0.5
r

0.5 F


0.5
r

r
 a
r a
N
0.5 F

Equações de Movimento:
SFr = mar
-N cosq = 0.15540ar (1)
SFq = maq
F - N senq = 0.15540aq (2)
0.15540 slugs

16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
Aceleração:
a = arur + aquq
onde
ar = r - r q 2
aq = r q + 2r q
Aula 6

r
Fórmula do Ângulo :
0.5cos
2
cos ft
r
r




0.5
0.5
r


/2 r

r = cosq ft
Derivadas temporais de r e q:
q = 4 rad/s r = -sinq q ( ) ft/s
q = 8 rad/s2 r = -cosq q ( )2
- sinq q ( ) ft/s2
Para q = 300:
r = cos300 ftr = 0.86602 ft
r = -sin300 (4)r = -2.0000 ft/s
r = -cos300 (4)2
- sin300 (8)r = -17.856 ft/s2

Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e aq :
ar = r - r q 2 ar = -17.856-0.86602(4)2
ar = -31.713 pés/s2
aq = r q + 2r q aq = 0.86602(8) + 2(-2)4 aq = -9.0718 pés/s2
Substituindo ar e q =30o na equação (1) para obter N:
-N cos30o = 0.15540(-31.713) N = 5.6906 lb
Substituindo aq e N na equação (2) para obter F:
F -5.6906sen30o = 0.15540(-9.0718) F =1.44 lb

Problema 13.97
A pequena esfera de 80 g está presa a um
elástico que se estende de O a P e devido à
fenda na barra move-se ao longo da
trajetória horizontal r = 0.8senq m. Se o
elástico tem rigidez k = 30 N/m e comprimento
quando não deformado de 0.25 m, determine
a força da barra sobre a esfera quando q = 600.
A barra tem velocidade angular constante
q = 5 rad/s.

Diagrama de corpo livre e cinético da esfera:
r

a r a
N
S F
F
80 g

Diagrama de corpo livre e cinético da esfera
Observações importantes:
N está na direção do raio do círculo e não
na direção do raio da barra.
F é perpendicular à barra e não tangente ao círculo.

Diagrama de corpo livre da esfera:
r

a r a
N
S F
F
0.4
0.4
80 g
0 90 
r
900 

F ma
r r
 
N F a
N r a
cos 90   
0.08
S r
sen 30 0.25 0.08 1
   
0
  
F m

 
a
F  N sen 90  
0.08
a
F  N cos 
0.08 a
2
 
0
r







 
 
r

a r a
N
S F
F
0.4
900 
0.4
0 90 
r
80 g

Movimento do Ponto P
Aceleração:
a = arur + aquq
onde
ar = r - r q 2
aq = r q + 2r q
Aula 6

r
r
Fórmula do Ângulo :
  0
0.4cos 90
2
0.4sen

r
2
0.8sen f
t
0.4
r






0.4
900 
0 90 
r
/2 r

r = 0.8senq ft
Derivadas temporais de r e q:
q = 5 rad/s
q = 0 rad/s2
r = 0.8cosq q ( ) m/s
Como q é nulo, pode-se substituir o valor de q em r
para calcular a segunda derivada:
r = 4cosq m/s
r = -4sinq q ( ) m/s2r = -20sinq m/s2

q = 5 rad/s
q = 0 rad/s2
r = 0.8senq m
r = 4cosq m/s;
r = -20senq m/s2
Para q = 600:
r = 0.8sen600r = 0.69282 m
r = 4cos600r = 2.0000 m/s
r = -20sen600r = -17.321 m/s2

Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e aq :
ar = r - r q 2 ar = -17.321-0.69282(5)2
ar = -34.641 m/s2
aq = r q + 2r q aq = 0.69282(0) + 2(2)5 aq = 20 m/s2
Substituindo ar e q =60o na equação (1) para obter N:
N sen60o -30(0.69282-0.25) = 0.08(-34.461) N =12.140 N
Substituindo aq e N na equação (2) para obter F:
F -12.140cos60o = 0.08(20) F = 7.65 N

Problema 14.56
O engradado de 50 kg é puxado para
cima numa rampa de 30°, por meio
de um sistema de polias e de um
motor M
. O engradado parte do repouso
e, com aceleração constante, atinge
uma velocidade de 4 m/s após u
m
deslocamento de 8 m ao longo do plano.
Determine a potência que deve ser
fornecida ao motor no instante em que
essa velocidade é atingida. Despreze
o atrito ao longo do plano e considere
que o motor tem rendimento   0.74.

Diagrama de corpo livre e cinético:
T
T
0 30
P
N
a
50 kg

Cálculo da aceleração:
2 2

  2
2
2
1 m/s
0 0
0
2
0
v
4 0 2 8 0 16 16
Tempo de duração do movimento (para mostrar no WM)
4
:
2
2
1
8 0
( )
2
s
c
a a
at
x x v t
t
v s
t
s
a
a
    
 








Equação de Movimento:
 
F a
 
T P
T
2 sen 30 50 1
2 50 9.8066 0.
    
147.5
5 5
N
0
8
1
T
m
  
 

2T
P
N
0 30
a
50 kg

Sistema de polias:
2
S  S

P M
2
v  
v
P M
2  4
 
 
8 m/s
 
  
 
2
2 m s
2
/
2
1
M
P M
M
M
M
v
a a
a
v
a


l
P S M S

Potência de saida:
 
P Fv
P
147.58 8
1180
.6 W
P


Potência de entrada:
1600
1180.6
W

i i
0.74
i
P
P
P
P
Tv
P
P



  

Problema 14.72
G
A menina tem massa de 40 kg e centro de massa , como indicado na figura.
Se o desvio máximo em seu movimento oscilatório é de   60 
,determine a força
desenvolvida ao longo de cada um dos quatro supor
tes, tal como o suporte AB
, no
instante em que   0 
. O movimento é simétrico relativamente aos suportes.

Problema 14.72 – Solução
2m
 =00
2T
P
v
n a
t a
n
t
40 kg

Cálculo da velocidade quando 0 :
T  V  T 
V
1 1 2 2
T  V  T 
V
60 60 0 0
Wy
Para 60
 
 
60
60
2
0 0
0
2
0
0
0
60
0
2

0 0
0
0
392.26
1
2
:
40 9.8066 2cos 60
Para 0 :
1
40 2
2
0 0
0
4 0
T
T
V
T
mv
V
V
T v
V V
v







 

 
 




Cálculo da velocidade quando 0 :
T V T V
60 60 0
0
0
2
0
0 392.26
0
s
0
4.
2
4287 m
0
/
v
v

  



 

Equação de Movimento:
2
F ma
 
   
2
2

2 40
2
2 40 9.8066 20 4.42
392.27 N
87
n n
n
v
a
r
T
v
T P
T

 
   
 
 
2T
P
v
n a
t a
n
t
40 kg

F F
T
30  
 
Força em cada suporte do balanço :
 
0
2 cos30 0
2 0.86
 
603 392.27 0
226 N
y F
F
F
F T
F

  
  30  

Problema 17.30
O mecanismo de elevação tem massa de 70 kg e
centro de massa em G
. Determine a máxima
aceleração para cima, da bobina de 120 kg,
de forma que nenhuma reação das rodas sobre o
piso exceda 600 N. O carregam
ento é simétrico.
Despreze a massa do braço móvel CD.

a
120
kg
2 A N
BP
MP
2 B N

A B B M

Supondo :
2 600 2 120 9.8066 70 9.8066 120
a
2 2 120
2 A N
BP
M P
2 B N
ação de Movimento:
600
A

     
B
Equ
N
60 331.63 (1)
B
F m N N P P a
N a
N
a
N
a
    
   
 

120
kg

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
P  P x  P y P M  ym a  xm a αI

60 331.63 (1)
Equação de movimento de Momentos:
     
  M   M 
M M x
P k P B y
a
        
2 600 1.25 0.7 0.5 120 0.7
1500 120 9.8066 0.7 70 9.8066 0.5 84
2 A N
BP
M P
2 B N
       
2 2 3.9 3.96 m/
645 m/s
indo em
B N N
   
Substitu
s
(1
B
B k B
B M
a
N a
M
P P a
a
a
a
a
m
 
  
    
  

 
 

 
):
60 3.9645 331.63
Como é menor do que 600 N,
então o res
569.5
ultado é váli
N
do.
B
B
N
120
kg

Problema 17.79
A roda tem massa de 25 kg e raio de giração
0.15 m. Ela está girando inicialmente
com velocidade angular 40 rad/s. Se a
1
roda é então posta no solo, para o qual o
coeficiente de atrito cinético é
A AB
AB
b
c
k




 0.5,
determine o tempo necessário para cessar
o movimento. Quais são os componentes
horizontal e vertical da reação que o pino
exerce em durante esse tempo?
Despreze a massa de .

AB
Observar que a barra
é um elemento de duas
forças, portanto a reação
em , representada por
está na direção de . A
x A P
A
F AB
C F
C N
y A
A F
25 kg 

17.1 Momento de Inércia
Raio de Giração
I mk2 ou
I
k
m
 
Observe-se a semelhança com a equação do
diferencial do momento de inércia:
dI r dm 2 

17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
 
 

F

m a

F

m a

 
x G x
y G y
M 
αI
M

G G
 M

P k P

y A
x A P
A F
C F
C N
m
a

F
x G x

F F N F
    
C A C A
N F
 
C A
m
a

F
y G
y

N F P N F
      
C A C A
F
 
F N
 

 
   
 
     
4
25 0 5 0.5 4 0
5
2.5 4 0 (1)
3
25 0 5 3 5 25 9.8066 0
5
N
5 3 1225.8 (2)
Resolvendo
111.44
(
N
1) e (2):
e 178.30 N
C A
A C
25 kg

y A
0.5625 kg.m
x A P
A F
C F
C N
2 25 0.15
I mk
Equação de movimento de momento:
 M α
I


0.2 0.5625
0.5 178.30 0.2 0.5625

 
    
      
 
 
2 2
2
4 4
111.44
5 5
3 3
111.
89.2 N
66.
31.698 rad/s
44
9
5
5
N
G G B B
x
y
C
x A
y A
A
A
I
F
A F
A F
I
M αI





  
 
 
  
 

 

 

25 kg

Movimento Angular
2
Aceleração Angular Constante:
 
  

 
t t
   
C
 
C
0
1
2
C
t
  
0 0
2 2
    2
  

C
0 0

y A
x A P
A F
C F
C N
 
31.698 rad/s

2
0

0 40 31.698
1.26 s
C
t
t
  
t





25 kg

Problema 17.102
O cortador de grama mostrado na
figura tem uma massa de 80 kg e um
raio de giração k = 0,175 m. Se ele é
empurrado para frente com uma força
de 200 N quando sua haste está a 45º
com a horizontal, determine sua
aceleração angular. Os coeficientes
de atrito estático e dinâmico entre o
solo e o cortador são e = 0.12 e d =
0.1, respectivamente.

Cálculos preliminares
g  9.81 m/s2
P mg 
P 809.81
P  784.8 N
  , sen45º 200 x y F 
, 141.42 N x y F 

Diagrama de corpo livre
80 kg

Calculando o momento de inércia de massa
2
Ig  mk
 2
80 0.175 g I 
2 2.45 kg.m g I 

Equações de movimento
x gx F ma  141.42 80 a g  F  a
y gy F ma 141.42 784.8 0 a   N 
0.2 2.45 a g g F   M  I 

A 4ª equação
Utiliza-se a hipótese de que a roda anda sem deslizamento, apenas girando.
Testa-se mais tarde se é verdadeira ou não.
Assim sendo utiliza-se:
ag  r
0.2 g a 

Resolvendo-se as 4 equações
Na = 926.22 N
Fa = 61.324 N
ag =1.0012 m/s2
a = 5.006 rad/s2

Teste para confirmar o resultado
Para ter certeza de que a roda não desliza ao mesmo tempo que
gira utiliza-se a equação:
Fa  dNa

Testando
61.324 £ 0.1(926.22)
61.324 £ 92.622
Conclui-se que os resultados obtidos são verdadeiros

Resultados finais
Na = 926.22 N
Fa = 61.324 N
ag =1.0012 m/s2
a = 5.006 rad/s2

Calculando coeficiente de atrito para que o cortador
não apenas gire, mas também deslize
Fa ³meNa
61.324 ³me (925.42)
me £ 0, 0663

Com o fato da roda deslizar e não apenas rolar,
descarta-se a 4º equação, utilizada anteriormente, e
usa-se outra
Fa =mdNa

Considerando e=0,065 (<0,0663) e d=0,06 calculam-se
as 4 equações
Na = 925.42N
Fa = 55.53N
ag =1.07 m/s2
a = 4.53 rad/s2

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