1. Álgebra Linear
Prof.: Denilson Paulo

2. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
AULA1
Data: ____/_____/____
MATRIZES
Definição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada).
Exemplo:
1 4 8 7 0 1
A= −4 0 B= −2 C= −34 2 0, 6 D = 3 E= 5 1
−3 2 1 −2, 7 1 0
3x2 3x1
A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas.
A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna.
A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas.
A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna.
A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas.
De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas
dimensões e sua representação genérica é a seguinte:
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
A=
... ... ... ...
a m1 a m2 . . . a mn
mxn
Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunas
uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:
A = a ij  mxn ou a ij .
Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois
números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o
segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira
coluna.
Exercício 1: Dadas as matrizes:
2 3 −1 4 −5 2 1
−1 5 8 0 5 4 −5 2
1 2 6 5 −1 9 2
A= −2 3 1 4 B= 0 5 −3 −1 C=
0 3 −3 5 4 0 4
2 6 −4 −2 2 7 0 −2
3 4 −3 6 9 1 6
4 −2 1 3 4
6 7 −8 9 10
D= 2 5 −1 3 5
3 1 0 1 6
4 −3 8 4 2
a) Determine a ordem de cada matriz acima.
b) Determine os elementos c 45 , c 16 , c 37 , d 51 , d 45 , a 34 , a 12 , b 32 e b 23 .

3. Aula 1
Matrizes Especiais
Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.
0 0 0 0 0
Exemplo:A = 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3x5
Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij = 0 para todos i e j.
Obs: Usa-se a notação A = 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!
Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste
caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz.
7 0 1
Exemplo: A = −34 2 0, 6 . Neste exemplo a matriz A é de ordem 3.
−2, 7 1 0
3x3
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal
principal nulos.
7 0 0
Exemplo:A = 0 2 0
0 0 3
3x3
0 se i ≠ j
Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij = onde d ∈ R.
d se i = j
Obs:
1. Os elementos a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.
7 −4 1
Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A = −9 3 6 .
5 1 0
3x3
2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, se
a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula.
3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto
é, a 11 + a 22 + a 33 +. . . +a nn . O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.
n
Notação: trA = a 11 + a 22 + a 33 +. . . +a nn = ∑ a kk
k=1
Exemplo: Do exemplo acima: trA = 7 + 2 + 3 = 12.
1 2 3
Exercício 2: Encontre o traço da matriz B = −5 6 8 .
0 1 −3
2

4. Aula 1
Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais
a 1. É geralmente denotada pela letra I.
1 0 0
Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I 3 = 0 1 0
0 0 1
3x3
0 se i ≠ j
Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij = para i=1,..., n
1 se i = j
e j = 1, ...,n.
Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.
I2 = I4 = I5 =
Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn é definida através da seguinte
relação:
a T = a ji , para todo i e todo j.
ij
−1 5 8 0
Exemplo.: Seja a matriz A = −2 3 1 4 , então sua transposta será
2 6 −4 −2
−1 −2 2
5 3 6
AT = .
8 1 −4
0 4 −2
Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine:
a) Os elementos da diagonal principal da matriz D.
b) O traço da matriz de D.
c) B T
d) C T
3

5. Aula 1
Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:
a T = a ji , isto é, A T = A.
ij
7 −1 4
Exemplo: A matriz A = −1 2 5 é simétrica, pois A = A T . Verifique encontrando a
4 5 3
3x3
matriz transposta de A, A T = .
Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn é definida através da
seguinte relação:
a ji = −a T , isto é, A = −A T .
ij
0 −1 4
Exemplo: Seja a matriz A = 1 0 −5 é uma matriz anti-simétrica.
−4 5 0
3x3
Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos
nulos. Por quê???
Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).
8
Exemplo: Neste caso, B = −2 é um vetor coluna e E = 5 1 é um vetor linha.
1x2
1
3x1
Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal
principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.
7 0 0
Exemplo: A = 5 2 0
−8 7 4
3x3
0 se i < j
Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij = onde d
d se i ≥ j
∈ R.
Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da
diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.
4

6. Aula 1
7 4 3
Exemplo: B = 0 2 −6
0 0 4
3x3
0 se i > j
Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij = onde d ∈ R.
d se i ≤ j
Propriedades:
1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior.
2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.
Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas?
3 −4
A=
4 1
4 −3 0 0 0 1 0 −3 6
3 4
B= C= −3 5 2 D= 0 0 2 E= 3 0 7
4 0
0 2 1 1 2 3 −6 −7 0
Operações com Matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se a ij = b ij , elemento por elemento.
3 x 3 −4
Exemplo: Se A = B e A = eB = , então x = −4.
5 2 5 2
2 1 2 1
Exercício 6: Dadas as matrizes A = eB = . Qual o valor de x para que
3 x 3 5
A = B?
Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais.
x 2 − 5x 7 8 6 −z 8
A= e B=
2 y 2
−1 2 9 −1
5

7. Aula 1
x 2 − 5x 7
É possível a matriz C = se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a
2 y2
sua resposta.
Soma e Subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma
dimensão e é definida como c ij = a ij + b ij , onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A
subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij = a ij − b ij .
2 1 0 3 −4 3 5 1
Exemplo: Considere as matrizes A = −1 0 2 4 eB = 2 2 0 −1 . Calcule
5 −2 7 6 3 2 −4 5
A + B e A − B.
2 1 0 3 −4 3 5 1 −2 4 5 4
A+B = −1 0 2 4 + 2 2 0 −1 = 1 2 2 3
5 −2 7 6 3 2 −4 5 8 0 3 11
2 1 0 3 −4 3 5 1 6 −2 −5 2
A−B = −1 0 2 4 − 2 2 0 −1 = −3 −2 2 5
5 −2 7 6 3 2 −4 5 2 −4 11 1
Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.
Propriedades:
a) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
b) A + B = B + A (comutativa)
c) A + 0 = 0 + A = A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição)
2 3 4 6
Exercício 8: Dadas as matrizes A = −3 5 eB = 1 8 . Calcule A + B e A − B.
0 1 9 3
6

8. Aula 1
Multiplicação por uma constante
Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da
matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C = k ⋅ A será c ij = k ⋅ a ij para todo i
e j.
2 1 0 3
Exemplo: Seja a matriz A = −1 0 2 4 . Calcule 2A, 1
2
A e −A.
5 −2 7 6
2 1 0 3 4 2 0 6
2A = 2 ⋅ −1 0 2 4 = −2 0 4 8
5 −2 7 6 10 −4 14 12
1 3
2 1 0 3 1 2
0 2
1
2
A= 1
2
⋅ −1 0 2 4 = −1
2
0 1 2
5 −2 7 6 5
2
−1 7
2
3
2 1 0 3 −2 −1 0 −3
−A = − −1 0 2 4 = 1 0 −2 −4
5 −2 7 6 −5 2 −7 −6
2 3 4 6
Exercício 9: Dadas as matrizes A = −3 5 eB = 1 8 . Calcule 2A + 3B e 1
3
A − 2B.
0 1 9 3
Multiplicação de matrizes
Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira
matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas
matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas
da segunda matriz, ou seja, a multiplicação A mxn . B nxp terá como resultado uma matriz C mxp . A
7

9. Aula 1
multiplicação de matrizes é definida como sendo:
A mxn ⋅ B nxp = C mxp
n
Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij =∑ a ik ⋅ b kj , para i = 1, . . . , m e
k=1
j = 1, . . . , p.
1 6
1 3 5 8
Exemplo: Dadas as matrizes A = 5 0 eB = .
9 7 6 5
8 7
Qual é a dimensão da matriz C, onde C = A ⋅ B?
Qual é a dimensão da matriz D, onde D = B ⋅ A?
Então, só será possível encontrar a matriz C, que será:
1 6 .......... .......... .......... ..........
1 3 5 8
C = A⋅B = 5 0 ⋅ = .......... .......... .......... .......... =
9 7 6 5
8 7 .......... .......... .......... ..........
Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅ B ≠ B ⋅ A, em geral.
Multiplicação de matriz por vetor
Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um
caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz.
Multiplicação de vetores
É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor
linha por um vetor coluna, o resultado será um número.
Propriedades:
Sejam α e β dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam
realizar as operações.
1) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C (associativa)
2) A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva à esquerda)
3) A + B ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributiva à direita)
4) I ⋅ A = A ⋅ I = A (Ié matriz identidade e elemento neutro)
5) α ⋅ β ⋅ A = α ⋅ β ⋅ A
6) A ⋅ α ⋅ B = α ⋅ A ⋅ B
7) α ⋅ A + B = α ⋅ A + α ⋅ B
8) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A
8

10. Aula 1
9) A ⋅ B = 0 para A ≠ 0 e B ≠ 0 (0 é a matriz nula)
10) A − A = 0
11) A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0
Das matrizes triangulares:
12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior.
13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior.
Da matriz transposta:
14) A T  T = A
15) A + B T = A T + B T
16) k ⋅ A T = k ⋅ A T , para k uma constante real.
17) A ⋅ B T = B T ⋅ A T
18) Se AB = AC com A ≠ 0, não implica que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento.
Das matrizes simétricas:
Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então:
19) A T é simétrica;
20) A + B é simétrica;
21) k ⋅ A é simétrica.
22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T ⋅ A e A ⋅ A T são
simétricas.
Do traço:
24) trA + B = trA + trB
25) trk ⋅ A = k ⋅ trA
Potenciação
Se A é uma matriz quadrada, definimos:
A0 = I
A1 = A
A2 = A ⋅ A
⋮
A =A ⋅ A ⋅ A⋯ ⋅ A, com n > 0
n
n vezes
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então:
a) A r ⋅ A s = A r+s
b) A r  s = A rs
−1
1 2 3 −2 0 1
Exercício 10: Sejam as matrizes A = ,B = ,C = 2 e
2 1 −1 3 0 1
4
9

11. Aula 1
D= 2 −1
Encontre:
a) A + B
b) A ⋅ C
c) B ⋅ C
d) C ⋅ D
e) D ⋅ A
f) D ⋅ B
g) −A
h) −D
i) 2A − 3B
10

12. Aula 1
j)C T ⋅ A T
−2 1
Exercício 11: Seja A = . Calcule A 2 .
3 2
3 −2
Exercício 12: Se A = , ache B, de modo que B 2 = A.
−4 3
2 −1 0 −2
Exercício 13: Sejam as matrizes A = eB = .
−1 0 2 0
Encontre:
a) A T ⋅ B T
b) B T ⋅ A T
c) A + B 2
d) A 2
11

13. Aula 1
e) B 2
Exercícios de Revisão
1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens:
A 4x5 B 4x5 C 5x2 D 4x2 E 5x4
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão
definidas, dê a ordem da matriz resultante.
a) B ⋅ A b) A ⋅ C + D c) A ⋅ E + B
d) A ⋅ B + B e) E ⋅ A + B f) E ⋅ A ⋅ C
g) E T ⋅ A h) A T + E ⋅ D
Resp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2
2. Considere as matrizes:
3 0 1 5 2 6 1 3
4 −1 1 4 2
A= −1 2 ,B = ,C = ,D = −1 0 1 ,E = −1 1 2
0 2 3 1 5
1 1 3 2 4 4 1 3
Calcule (quando possível)
a) D + E b) D − E c) 5 ⋅ A d)−7C
e) 2 ⋅ B − C f) 4 ⋅ E − 2 ⋅ D g) −3 ⋅ D + 2 ⋅ E h) A − A
i) trD j) trD − 3 ⋅ E k) 4 ⋅ tr7 ⋅ B l) trA
m) 2A + C
T
n) 2 C − 1 A
1 T
4
o) D T E T − ED T p) B T CC T − A T A
q) B 2
Resp: . não é possível fazer: e, L
7 6 5 −5 4 −1 15 0
−7 −28 −14
Resp: a) −2 1 3 , b) 0 −1 −1 c) −5 10 d)
−21 −7 −35
7 3 7 −1 1 1 5 5
48 104 84 −39 −21 −24
f) 24 −4 20 g) 9 −6 −15 h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168
24 88 52 −33 −12 −30
5 3
4 2
7 2 4 7
40 72 16 −6
m) n) 4
0 o) matriz nula p) q)
3 5 7 3 9
26 42 0 4
4 4
Exercícios Aplicados
12

14. Aula 1
1. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas.
Estabelecemos que a ij = 1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, a ij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
A = 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A 2 = A ⋅ A?
5
Seja A 2 = c ij . Calculemos o elemento c 42 =∑ a 4k ⋅ a k2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
k=1
Note que a única parcela não nula veio de a 43 ⋅ a 32 = 1 ⋅ 1. Isto significa que a estação 4
transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista uma
transmissão direta de 4 para 2.
2
0 1 1 1 1 1 1 2 3 1
1 0 1 1 0 0 2 2 2 2
2
a) Calcule A . Resp: 0 1 0 1 0 = 1 0 2 1 1
0 0 1 0 1 0 1 0 2 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
b) Qual o significado de c 13 = 2?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: "A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra como uma única retransmissão".
d) Qual o significado das matrizes A + A 2 , A 3 e A + A 2 + A 3 ?
e) Se A fosse simétrica, o que significaria?
3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo a ij da matriz
A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j,
quando comprar um carro novo.
13

15. Aula 1
Para
A. . . B. . . C. .
A 0, 7 0, 2 0, 1
De B 0, 3 0, 5 0, 2
C 0, 4 0, 4 0, 2
Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro novo de mesma marca.
A 2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas
compras. Calcule A 2 e interprete.
2
0. 7 0. 2 0. 1 0. 59 0. 28 0. 13
Resp: 0. 3 0. 5 0. 2 = 0. 44 0. 39 0. 17
0. 4 0. 4 0. 2 0. 48 0. 36 0. 16
Gabarito
10.
−2 1
−1 2 4 15 6
a) b) c) d) 4 −2 e) 0 3 7 f)
5 1 0 −4 1
8 −4
−7 0 1
−1 −2 −3 8 4 3
g) h) −2 1 i) j) 15 −4
−2 −1 1 −5 2 −5
7 0
11. :
0 7
2 4 −2 0 1 −6 5 −2 −4 0
13: a) b) c) d) e)
0 −2 −4 2 2 −3 −2 1 0 −4
14

16. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
AULA 2
Data: ____/_____/____
DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde:
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
A=
... ... ... ...
a n1 a n2 . . . a nn
nxn
é denotado por detA ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos
n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A
multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra :
“Seja o produto escrito na seguinte forma: a 1i ⋅ a 2j ⋅ a 3k ⋅. . . (n termos).
Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1, 2, 3, . . . . , n, então o
produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”.
Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência
i, j, k. . . n.
Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2:
a 11 a 12
A=
a 21 a 22
2x2
será definido pelo produto:
a 11 a 12
detA = = a 11 ⋅ a 22 − a 12 ⋅ a 21
a 21 a 22
E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:
a 11 a 12 a 13
A= a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
3x3
será definido pelo produto:
a 11 a 12 a 13
detA = a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 23 a 12  − a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 21 a 12 
a 31 a 32 a 33
Quando |A|= 0, a matriz A é dita singular.
Exercício 1: Calcule os determinates:
15

17. Aula 2
3 4 5 1
1. = 2. =
−1 3 0 3
3 −1 2
3. 4 5 6 =
0 1 0
1 0 −1
4. 2 5 0 =
1 2 2
Propriedades
As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes:
1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos;
2 −6 7 4 3 0
Exemplo: 0 0 0 = 5 9 0 =
5 4 8 −1 10 0
2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i,
isto é,
detA = detA T .
1 3 2 1 3 2
Exemplo: Seja a matriz A = −1 0 3 com detA = −1 0 3 =
4 3 2 4 3 2
Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é,
calculando a matriz transposta de A:
1 −1 4 1 −1 4
AT = 3 0 3 . Então, o determinante de A T = 3 0 3 =
2 3 2 2 3 2
3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se
uma coluna é permutada com outra coluna;
1 3 2
Exemplo: Seja a matriz A = −1 0 3 . Trocando a linha 2 com a linha 3, temos
4 3 2
16

18. Aula 2
1 3 2
B= 4 3 2 . Então,
−1 0 3
1 3 2
o determinante de B = 4 3 2 =
−1 0 3
4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante
fica também multiplicado por este número;
1 3 2
Exemplo: Seja a matriz A = −1 0 3 .
4 3 2
1 3 2
Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B = 2 0 −6 e
4 3 2
1 3 2
2 0 −6 = −2 ⋅ detA =
4 3 2
1 3 6
Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C = −1 0 9 e
4 3 6
1 3 6
−1 0 9 = 3 ⋅ detA =
4 3 6
Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos:
2 6 4
D= −2 0 6 , então o detD = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ detA =
8 6 4
De uma forma geral, detk ⋅ A = k n ⋅ detA, onde k é uma constante real.
5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou
proporcionais entre si;
17

19. Aula 2
2 3 2 1 2 3
Exemplo: 3 0 3 = 3 2 7 =
2 3 2 −2 −4 −6
Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais
6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os
respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.
1 3 2
Exemplo: Seja a matriz A = −1 0 3 . Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o
4 3 2
1 3 2 1 3 2
três vezes a linha 1, isto é, L 2 = L 2 + 3 ⋅ L 1 , temos: 2 9 9 . Então, 2 9 9 =
4 3 2 4 3 2
7.Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então
detA é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, detA = a 11 ⋅ a 22 ⋅. . . ⋅a nn .
2 3 5 3 0 0
Exemplo: 0 −2 7 = −5 2 0 =
0 0 1 −8 −9 4
8. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detI n = 1.
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
Exemplo: 0 0 1 0 0 =
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
9.detA + B ≠ detA + detB, em geral.
3 −2 0 1
Exemplo: Sejam as matrizes A = eB =
4 5 3 5
Calcule
3 −2 0 1
detA = = detB = =
4 5 3 5
18

20. Aula 2
3 −2 0 1
A+B = + = detA + B =
4 5 3 5
10. detA ⋅ B = detA ⋅ detB
3 −2 0 1
Exemplo: Sejam as matrizes A = eB = , as matrizes do exemplo
4 5 3 5
anterior.
Calcule
3 −2 0 1
A⋅B = ⋅ =
4 5 3 5
detA ⋅ B =
Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a
propriedade utilizada.
1 1 1
1. 3 0 −2 =
2 2 2
3 1 0
2. 0 −2 5 =
0 0 4
0 0 1
3. 0 5 −2 =
3 −1 4
2 −3 −4
4. 1 −3 −2 =
−1 5 2
1 2 3
5. 0 4 1 =
1 6 4
4 1 3
6. −2 0 −2 =
5 4 1
19

21. Aula 2
1 0 0 0
0 0 1 0
7. =
0 1 0 0
0 0 0 1
0 2 0 0
−3 0 0 0
8. =
0 0 0 4
0 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
9. =
1 1 0 0
0 0 1 1
Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas
Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta
matriz.
Notação: |M ij |.
4 −1 2
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A = 3 0 5 . O menor do elemento a 21 é o
6 1 7
determinante da submatriz M 21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,
−1 2
|M 21 | = = − 9.
1 7
Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.
Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
"menor com sinal" de a ij e é dado pela seguinte relação:
Cofa ij  = −1 i+j ⋅ |M ij |
Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa 21  = −1 2+1 ⋅ |M 21 |= −1−9 = 9.
Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos
elementos da matriz original, ou seja:
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
Se A = , então a matriz dos cofatores é dada por:
... ... ... ...
a n1 a n2 . . . a nn
nxn
20

22. Aula 2
cofa 11  cofa 12  . . . cofa 1n 
cofa 21  cofa 22  . . . cofa 2n 
CofA =
... ... ... ...
cofa n1  cofa n2  . . . cofa nn 
nxn
Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,
AdjA = CofA T .
4 −1 2
Exemplo: A matriz dos cofatores de A = 3 0 5 .
6 1 7
4 −1 2
Exemplo: E a matriz adjunta de A = 3 0 5 é:
6 1 7
Expansão de Determinantes por Co-fatores
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de
cofatores, mediante uma das seguintes expressões:
n
|A| =∑ a ik cofa ik , desenvolvendo através da linha i, ou
k=1
n
|A| =∑ a kj cofa kj , desenvolvendo através da coluna j.
k=1
21

23. Aula 2
2 3 5
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A = 6 7 5 .
1 10 11
O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por:
7 5 3 5 3 5
detA = 2 ⋅ −1 1+1 ⋅ + 6 ⋅ −1 2+1 ⋅ + 1 ⋅ −1 3+1 ⋅ =
10 11 10 11 7 5
O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por:
3 5 2 5 2 3
detA = 6 ⋅ −1 2+1 ⋅ + 7 ⋅ −1 2+2 ⋅ + 5 ⋅ −1 2+3 ⋅ =
10 11 1 11 1 10
Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o
mesmo:
2 3 5
det 6 7 5 = 136
1 10 11
DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros.
Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça
conveniente.
5 2 2
1. −1 1 2 =
3 0 0
1 1 −1
2. 2 0 1 =
3 −2 1
−4 1 3
3. 2 −2 4 =
1 −1 0
cos θ senθ tgθ
4. 0 cos θ −senθ =
0 senθ cos θ
1 −1 0 3
2 5 2 6
5. =
0 1 0 0
1 4 2 1
22

24. Aula 2
2 0 3 −1
1 0 2 2
6. =
0 −1 1 4
2 0 1 −3
Resp: 2) 7 3) -12 5) 4 6) 8
Curiosidade: O produto de uma matriz pela sua matriz adjunta dará uma matriz diagonal, cuja
diagonal é o valor do determinante da matriz original.
a b d −b
Exemplo: A = e AdjA = . Então,
c d −c a
a b d −b ad − bc 0
= .
c d −c a 0 ad − bc
3 5
Exercício 4: Multiplique a matriz A = pela sua matriz adjunta e calcule o
−1 4
determinante de A. Compare os resultados.
Exercícios de revisão
1. Calcule os determinantes:
a b 0 0 a 0
a) 0 a b = ab 2 + a 2 b b) b c d =0
a 0 b 0 e 0
0 0 0 a
1 0 0
0 0 b c
c) = abdg d) 0 cos θ −senθ =1
0 d e f
0 senθ cos θ
g h i j
23

25. Aula 2
x 5 7
2. Resolva a equação 0 x+1 6 = 0. Resp; x = 0 ou x = −1 ou x = ½.
0 0 2x − 1
a b c
3. Encontre os determinantes, assumindo que d e f = 4.
g h i
2a 2b 2c 3a −b 2c d e f
a) d e f b) 3d −e 2f c) a b c
g h i 3g −h 2i g h i
a+g b+h c+i 2c b a
d) d e f e) 2f e d
g h i 2i h g
Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8
Exercícios de aplicação
1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos:
a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4)
b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6)
c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2)
2. Calcule a área do triângulo de vértices:
a) (0,0), (3,4), (-2,3)
b) (2,-1), (3,3), (-2,5)
c) (-3,-1), (1,4), (3,-2)
3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices:
a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0)
b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1)
24

26. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
AULA 3
Data: ____/_____/____
MATRIZ INVERSA
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe uma
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A ⋅ B = B ⋅ A = I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A −1 .
Logo, temos:
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se detA = 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
A −1 = 1 AdjA.
det A
2 3 5
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A = 6 7 5
1 10 11
2 3 5
Calculando-se o determinante da matriz A: 6 7 5 = 136
1 10 11
..... ..... .....
A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA = ..... ..... ..... .
..... ..... .....
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
..... ..... .....
AdjA = CofA =
T
..... ..... .....
..... ..... .....
Com isso temos:
25

27. Aula 3
..... ..... .....
27
136
1
8
− 34
5
A −1 = 1
det A
AdjA = 1
136 ..... ..... ..... = − 136
61 1
8
5
34
.
..... ..... ..... 53
136
−18
− 34
1
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal
são todos não-nulos.
Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
3 −1
a) A =
1 1
6 3
b)
2 1
26

28. Aula 3
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A ⋅ B é inversível, então A ⋅ B −1 = B −1 ⋅ A −1 .
4) A é inversível, então A −1  −1 = A.
5) A −n = A −1  =A −1 ⋅ A −1 ⋅… ⋅A −1 .
n
n fatores
5) An é inversível e A  = A −1  n para n = 0, 1, 2, . . .
n −1
6) Para qualquer k constante real, a matriz k. A é inversível e.k ⋅ A −1 = 1 A −1 .
k
7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível eA T  −1 = A −1  T .
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A −1 é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A ⋅ A T e A T ⋅ A são também inversível.
4 7
Exercício 2: Seja A = . Calcule:
1 2
a) A 3
b) A −3
c) A 2 − 2 ⋅ A + I, onde I é a matriz identidade
27

29. Aula 3
Exercício de revisão
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
3 3
a) A = 4
5
5
2
Resp:não é possível
6 3
2 1 1
2
− 2 5
2 5
2
b) Resp:
2 2 2 −25
2 1
10
2
cos θ −senθ cos θ −senθ
c) Resp:
senθ cos θ senθ cos θ
1 0 0
2. Mostre que a matriz 0 cos θ −senθ é inversível para todos os valores de θ. Em
0 senθ cos θ
1 0 0
seguida, encontre a sua inversa. Resp: 0 cos θ senθ .
0 −senθ cos θ
2 1
3. Dada A = . Calcule:a) A 2 b) A −2 c) A 2 − 3 ⋅ A + I
1 1
5 3 2 −3 9 8
Resp: a) b) c)
3 2 −3 5 8 1
−2 −3 2 0
4. Dadas as matrizes A = eB = . Calcule:
1 1 4 1
a) A ⋅ B −1 b) A ⋅ B T c) A ⋅ A −1 − I d) 2 ⋅ B −1
1
1
2
3
2 −16 6 4
0
Resp: a) b) c) 0 d)
−3 −8 −3 1 −1 1
2
Exercício de aplicação
28

30. Aula 3
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos
associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA". Podemos formar uma matriz 3x3
assim:
P U X 15 20 23
A − V , que usando a correspondência numérica fica . 1 0 21 =M
I D A 9 4 1
1 0 1
Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C = −1 3 1 .
0 1 1
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo
15 20 23 1 0 1 −5 83 58
M⋅C = 1 0 21 −1 3 1 = 1 21 22
9 4 1 0 1 1 5 13 14
Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 13
14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC. C −1 = M)
e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código.
a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduza
a mensagem.
b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a
1 1 −1
matriz chave por C = 1 1 0 . Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada,
0 0 2
naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?
c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e
descodifique à vontade!
29

31. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
AULA 4
Data: ____/_____/____
Equações matriciais
1 2 −1 0
Exercício 1: Ache X, dadas A = eB = .
3 4 1 1
1. X − 2A + 3B = 0
2. 2X = A − B
3. 2A + 2B = 3X
4. 2A − B + X = 3X − A
30

32. Aula 4
Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que
as operações indicadas estão definidas)
1. ABX = C
2. CAX T = C
3. AX 2 C = AXBC
4. ADX = ABC
31

33. Aula 4
5. DX T = DC
6. ABCX 2 D 2 = ABCXD
7. D −1 XD = AC
8. CX + 2B = 3B
Exercício de revisão
Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações
indicadas estão definidas)
1. A −1 BX −1 = A −1 B 3  2
2. XA 2 = A −1
3. AXB = BA 2
4. A −1 X −1 = AB −2 A −1
5. ABXA −1 B −1 = I + A
32

34. AULA 5
Data: ____/_____/____
Sistemas de Equações Lineares
E quação Linear
Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da
forma:
a1 ⋅ x + a2 ⋅ y = b
onde a 1 , a 2 e b são constantes reais e a 1 e a 2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma
é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas n
variáveis x 1 , x 2 , ..., x m como uma equação que pode ser expressa na forma:
a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + ⋯ + am ⋅ xm = b
onde a 1 , a 2 , ..., a m e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas
vezes, chamadas incógnitas.
Exemplo: São equações lineares:
x + 3y = 7
y = 1 x + 3z + 1
2
x 1 − 2x 2 − 3x 3 + 2 x 4 = −3 3
Não são equações lineares:
x+3 y = 5
3x + 2y − z + xz = 4
y = senx
Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares:
1. x 1 − 5x 2 − 2 x 4 = 1
2. x 1 + 3x 2 + x 2 x 3 = 2
3. x 1 = −7x 2 − 3x 3
4. x −2 − 2x 2 − 3x 3 = 5
1
3
5. x 15 − 2x 2 + x 3 = 4
6. πx 1 − 2 x 2 − 3 x 3 = 0
4
Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares?
1. x 1 − 2x 2 − 3x 3 = senk
2. kx 1 − 2 x 2 = 9
k
3. 2 k x 1 + 7x 2 − x 3 = 0
32

35. Sistemas de equações lineares
Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica:
a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + ⋯ + a 1m ⋅ x m = b 1
a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + ⋯ + a 2m ⋅ x m = b 2
⋯
a n1 ⋅ x 1 + a n2 ⋅ x 2 + ⋯ + a nm ⋅ x m = b n
onde a ij são coeficientes conhecidos, b i são constantes dadas e x j são as incógnitas do
sistema.
Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação ∑ (somatório)
da seguinte maneira:
n
∑a
j =1
ij x j = bi
Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer:
n
∑a
j =1
ij x j = bi para i = 1,2, h , m
Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo da
seguinte maneira:
 a11   a12   a1m   b1 
a  a  a   
 21  x +  22  x ++  2 m  x = b2 
  1   2   m 
       
 a n1   an 2   a nm  bn 
Definindo-se os vetores:
 a11   a12   a1m   b1 
a  a  a   
A1 =  21  A =  22  A =  2 m b = b2 
 l  2  l  m  l  l
       
 an1   an 2   anm  bn 
podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:
A 1 ⋅ x 1 + A 2 ⋅ x 2 +. . . . +A m ⋅ x m = b.
Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma:
33

36.  a11 a12 a1m   x1 
a a22 a2m  x 
A= x= 
21 2
   
   
 an1 an2 a nm   xm 
podemos representar o sistema matricialmente como:
A⋅x = B
ou seja,
 a11 a12 h a1m   x1   b1 
a    
 21 a 22 h a 2 m   x 2  = b2 
 l l l l  l   l 
    
 a n1 a n 2 h a nm  , ,
IMMMKMMML  m   n 
x b
A x B
Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz das
variáveis e B é denominado matriz dos termos independentes.
3 ⋅ x1 − 4 ⋅ x2 + 2 ⋅ x3 = 0
4 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 = −1
Exemplo: Seja o sistema de equações lineares . Este sistema tem
−2 ⋅ x 2 + x 3 = 3
−2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 3 = 2
4 equações e 3 incógnitas.
3 −4 2 0
x1
4 2 0 −1
Na forma matricial, tem-se: ⋅ x2 =
0 −2 1 3
x3
−2 0 3 3x1
2
4x3 X
A B
Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna.
 a11 a12 a1m b1 
a a 22 a 2 m b2 
[A b] =  21 
 
 
 a n1 an 2 a nm bn 
34

37. Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica:
3 −4 2 0
4 2 0 −1
0 −2 1 3
−2 0 3 2
4x4
Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações
lineares:
3x − 2y = −1
a) 4x + 5y = 3
7x + 3y = 2
2x + 4z = 1
b) 3x − y + 4z = 7
6x + y − z = 0
x 1 + 2x 2 − x 4 + x 5 = 1
c) 3x 2 + x 3 − x 5 = 2
x 3 + 7x 4 = 1
x1 = 1
d) x2 = 2
x3 = 3
Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada:
2 0 0
a) 3 −4 0
0 1 1
3 0 −2 5
b) 7 1 4 −3
0 −2 1 7
7 2 1 −3 5
c)
1 2 4 0 1
1 0 0 0 7
0 1 0 0 −2
d)
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
35

38. Tipo de sistemas
Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para x 1 , x 2 , . . . , x n
que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema.
Quanto a existência de soluções:
Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui solução
Sistema Possível (SP): Se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é
possível.
Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou
então uma infinidade de soluções.
Quanto ao número de soluções:
Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma única
solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitas
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI).
Pode ser classificado de acordo com a matriz B:
Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula,
isto é, b j = 0 para qualquer j .
a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + ⋯ + a 1m ⋅ x m = 0
a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + ⋯ + a 2m ⋅ x m = 0
⋯
a n1 ⋅ x 1 + a n2 ⋅ x 2 + ⋯ + a nm ⋅ x m = 0
Se pelo ao menos um b j ≠ 0, então o sistema é dito não-homogêneo.
O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x 1 = 0, x 2 = 0, . . . , x n = 0 sempre como
uma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluções
estas soluções são chamadas não-triviais.
Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidades
para suas soluções:
- O sistema tem somente a solução trivial;
- O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial.
O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que
equações.
36

39. Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B:
3x − 2y = −1
a) 4x + 5y = 3
7x + 3y = 2
2x + 4z = 0
b) 3x − y + 4z = 0
6x + y − z = 0
x 1 + 2x 2 − x 4 + x 5 = 0
c) 3x 2 + x 3 − x 5 = 0
x 3 + 7x 4 = 1
x1 + x2 = 0
d) x1 + x2 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
Resolver um SEL
Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores das
incógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nem
todo sistema tem solução.
A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes disto,
veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução.
Operações Elementares
O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por
um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver. Este
sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada os
seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas:
- Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (L i = k ⋅ L i , onde ké um constante real ≠ 0);
Exemplo:
 2 2 4 10  2 2 4 10 
0 0 − 2 − 8 ⇒ L ↔ L ⇒ 1 3 4 17 
  2 3  
1 3 4 17 
  0 0 − 2 − 8
 
- Trocar duas linhas entre si.(L i  L j );
Exemplo:
37

40. Aula 5
Exemplo:
2 2 4 10   L2 2 2 4 10
0 −4 −4 −24  ⇒  L 2 = −4
 ⇒ 0 1 1 6 
  L3  
L 3 =
0 0 −2 −8 
 
 −2
 
0 0 1 4 
- Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (L j = L j + k ⋅ L i , onde ké um constante real
≠ 0);
Exemplo:
 2 2 4 10 2 2 4 10 
1 1 3 9  ⇒ L = L − 2 L ⇒ 0 0 − 2 − 8
  2 1 2  
1 3 4 17
  1 3 4 17 
 
Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas.
Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ou
simplesmente, forma escalonada reduzida, se:
1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1,
chamado de pivô.
2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas
inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linha
inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.
4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos.
Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada por
linhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida
por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente.
Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que uma
matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô.
Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonada
reduzida as matrizes B, C, D.
0 1 −2 0 1
1 2 0 4 1 0 0
0 0 0 0 0 1 3
A= 0 1 0 7 B= C= D= 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0 1
0 0 0 0 0
Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada:
0 1 −2 0 1
1 0 0 4 1 0 0
1 0 0 0 0 1 3
A= 0 0 0 7 B= C= D= 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0
0 0 1 −1 0 0 1
0 0 0 0 0
38

41. Aula 5
Exercício 6: Determine se a matriz está na forma escalonada, escalonada reduzida, ambas ou
nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
1 2 0 3 0
1 0 0 5 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
A= 0 0 1 3 B= 0 0 C= D= 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 4 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1 3 0 2 0
1 0 2 2 0 1 0 3 1 1 −7 5 5
E= F= G=
0 0 0 0 1 0 1 2 4 0 1 3 2
0 0 0 0 0
Métodos para encontrar a solução de sistemas de equações lineares
Método de Eliminação
Seja o sistema linear Ax = B, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares O
método de Eliminação de consiste em transformar a matriz aumentada do sistema dado num na
forma escalonada por linhas pela aplicação repetidamente as operações elementares. Claro que tal
operação não altera a solução do sistema, isto é, obtém-se com ela outro sistema equivalente ao
original.
Descrição do algoritmo
Consideremos o sistema:
a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + ⋯ + a 1m ⋅ x m = b 1
a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + ⋯ + a 2m ⋅ x m = b 2
⋯
a n1 ⋅ x 1 + a n2 ⋅ x 2 + ⋯ + a nm ⋅ x m = b n
cuja matriz aumentada chamaremos A 1 . Montamos a tabela:
 a11)
(1
a12) a1(n)
(1 1
b1(1) 
 (1) ( 
 a21 a 22) a21n)
(1 (
b21) 
 
 (1) ( 
 an1
 a n12) ann)
( (1
bn1) 
onde a 1 = a ij e b 1 = b ij p/ i, , j = 1, 2. . . , n.
ij ij
Por hipótese temos que a 1 ≠ 0, pois detA ≠ 0.
11
Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros.
39

42. Aula 5
Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter um elemento
não-nulo ao topo da coluna encontrada no Passo1.
Passo 3: Se o elemento, que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 2, é a,
multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô.
Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros
em todos os elementos abaixo do pivô. Para isso:
1
a 21
Subtraímos da 2 a equação a 1 a equação multiplicada por 1
.
a 11
1
a 31
Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por 1
.
a 11
1
a n1
Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por 1
.
a 11
Passamos então da tabela inicial a tabela:
a11)
(1
a12) a1(1)
(1
n b1(1) 
 ( 
 0 a22 a 2 n
( 2) ( 2)
b2 2) 
 
 ( 
 0
 a n2 )
(
2 a nn )
(2
bn 2) 

onde
a i(1 )
1
aij2) = aij1) − a1(1j)
( (
a11)
(1
a i(1 )
1
b i
( 2)
=b i
(1)
−b
(1)
1
a11)
(1
p/ i, j = 1, 2, . . . n.
Por hipótese temos que a 2 ≠ 0, pois detA ≠ 0.
22
Passo 5: Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo 1 a
submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz esteja na forma escalonada.
Para isso:
2
a 32
Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por 2
.
a 22
2
a 42
Subtraímos da 4a equação a 1a equação multiplicada por 2
.
a 22
2
a n2
Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por 2
.
a 22
40

43. Aula 5
Obtemos então a tabela:
a11)
(1
a12) a1(1)
(1
n b1(1) 
 ( 
 0 a22 a 2 n
( 2) ( 2)
b2 2) 
 0 
 ( 
 0
 0 a nn)
(3
bn3) 
onde
ai(2 )
2
aij3) = aij2 ) − a 22j)
( ( (
a 22)
(2
ai(2 )
2
bi( 3) = bi( 2 ) − b22)
(
a 22 )
(2
p/ i, j = 1, 2, . . . n.
Por hipótese temos que a 3 ≠ 0, pois detA ≠ 0.
33
E assim sucessivamente até chegarmos ao:
Temos por hipótese que a n−1 ≠ 0, pois detA ≠ 0.
n−1,n−1
n−1
a n,n−1
Subtraímos da na equação, a n − 1 a equação multiplicada por . n−1
.
a n−1,n−1
E assim, obtemos a tabela:
 a11)
(1
a12)
(1
a13) h
(1
a1(,1n)−1 a1(1)
n b1(1) 
 
 0 a 22 )
(2
a 23 ) h
(2
a 22n)−1
(
,
( 2)
a2 n b22 )
(

 0 0 a33) h
(3 ( 3)
a 3,n −1 a 33)
(
b3(3) 
 
n
 0 0 0 h h h h 
 0 0 0 ( n −1)
h a n −1,n −1 ( −
a nn 1,1n) bnn1 1) 
( −
− −
 
 0
 0 0 h 0 a nn)
(n
bnn ) 
(

onde
( n −1) ( n −1)
ai(,n −1)
n −1
a (n)
ij =a ij −a n −1, j ( −
a nn1,1n)−1
−
ai(,n−1)
n −1
bi( n ) = bi( n−1) − bn−11)
(n−
ann−,1n)−1
(
−1
p/ i=n, j = n-1,n.
41