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Aprendizajes esperados
• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.
• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b =
cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales,
positivos y negativos.
• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa,
algebraicamente o mediante tablas y gráficas.
• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propie-
dades de la media y la mediana.
El atletismo es un deporte que consta de varias disciplinas
clasificadas como carreras, saltos, lanzamientos, pruebas combinadas
y marcha. La mayoría de estas pruebas se llevan a cabo en una pista
especial formada por dos rectas paralelas y dos semicírculos.
Las carreras se clasifican de acuerdo con la distancia a cubrir: de
velocidad (distancias hasta 400 m), de medio fondo (entre 600 m y
3000 m) y de fondo, en las que se cubren distancias mayores. También
hay carreras de obstáculos y pruebas de equipo denominadas
carreras de relevos.
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167
Trabaja en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder
cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado
anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es
recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.
El esquema es de una pista de atletismo. Las distancias están en metros.
a) Calculen las longitudes de la línea roja
(parte interior de la pista) y la línea azul
(parte exterior). Tomen 3.1416 como el
valor de π.
b) Las pistas de atletismo se dividen en cua-
tro, seis y ocho carriles de 1.22 m de an-
cho. ¿Cuántos carriles tiene la pista del
diagrama? La línea verde es la ruta teó-
rica que seguiría un corredor del primer
carril. ¿Cuál es la longitud de esta línea?
c) Hallen la longitud de la ruta teórica de los
otros carriles con la expresión π2x + 168.6, donde x representa el radio del se-
micírculo correspondiente. Recuerden que los carriles miden 1.22 m de ancho.
Comprueben que esta fórmula es útil para calcular las respuestas de los incisos
anteriores. ¿De dónde sale el número 168.6?
84.3
36.8
36.5
46.2
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Juegos y retos
168
Cuadrados mágicos
Un cuadrado mágico está compuesto de números ubicados en un arreglo cuadrado de
manera que al sumar los de cualquier columna, fila o diagonal siempre se obtiene el
mismo número. Los cuadrados mágicos se llaman así por propiedades que veremos,
pero no tienen nada que ver con la magia ni con algo sobrenatural. Enseguida tenemos
un cuadrado mágico de 3 × 3, que llamaremos cuadrado mágico modelo de 3 × 3.
8 1 6 8 + 1 + 6 = 15
3 5 7 3 + 5 + 7 = 15
4 9 2 4 + 9 + 2 = 15
En este caso, la suma constante es 15, por lo que podemos decir que la constante del
cuadrado mágico es 15. Observa que los números en el cuadrado modelo son la serie
del 1 al 9.
Aunque hay cuadrados mágicos muy simples, como el siguiente, son más interesantes
aquellos en que los números tienen una secuencia.
10 10 10
10 10 10
10 10 10
Completa el siguiente cuadrado mágico de 4 × 4 con los números del 1 al 16 que faltan.
La constante es 34.
8 13
10 6
4 9
14 2 7
6+7+2=15
1+5+9=15
8+3+4=15
4
+
5
+
6
=
15 8
+
5
+
2
=
15
	 1	 12
	 15	 3
	 5	 16
	 11
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169
Construye cuadrados mágicos de 3 × 3 con cada sucesión numérica.
	 −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
En los cuadrados mágicos podemos encontrar algunas propiedades; una es que si cada
número se suma, resta, multiplica o divide por la misma cantidad, se obtiene otro cua-
drado mágico.
Efectúa las operaciones que se indican en el cuadrado modelo de 3 × 3. Verifica que ob-
tengas cuadrados mágicos y anota su constante.
Suma 4 Resta 6 Multiplica por −1
constante: constante: constante:
Contesta.
a) ¿Qué operación aplicarías al cuadrado modelo de 3 × 3 para obtener uno con solo
números pares?
b) ¿Y para obtener uno con números distintos, cuya constante sea cero?
c) Menciona dos maneras de obtener un cuadrado mágico de constante 30 a partir del
cuadrado modelo.
d) ¿Cómo cambia la constante de un cuadrado mágico de 3 × 3 si a cada número se
aumenta 1?
e) ¿Y la de un cuadrado mágico de 4 × 4?
PISTAS Y ESTRATEGIAS
	 3	 −4	 1	 24	 3	 18
	 −2	 0	 2	 9	 15	 21
	 −1	 4	 −3	 12	 27	 6
	 12	 5	 10	 2	 −5	 0	 −8	 −1	 −6
	 7	 9	 11	 −3	 −1	 1	 −3	 −5	 −7
	 8	 13	 6	 −2	 3	 −4	 −4	 −9	 −2
	 27	 −3	 −15
	 R.	T.	Multiplicar	por	un	número	par.
	 R.	T.	Restar	5.	
	 R.	T.	Sumar	cinco	y	multiplicar	por	dos.
	 R.	T.	Aumenta	tres.
	 R.	T.	Aumenta	cuatro.
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Lección 58
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones I
¿Cómo puede calcularse el término 45 de la siguiente sucesión?
3, 7, 11, 15…
1 Completa el cuadrado restando 7 a los términos del cuadrado modelo de 3 × 3.
−6
−5
a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?
b) Relaciona los números del cuadrado anterior con los que le corresponden en el cua-
drado modelo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c) ¿Los números que anotaste van aumentando o disminuyendo?
d) Observa que has obtenido una sucesión de números cuyo primer término es −6.
¿Cuál es el octavo?
e) Si la sucesión continuara, ¿cuál sería el décimo? ¿Y el vigésimo?
¿Cuál sería el centésimo?
f) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?
2 Completa el cuadro con los términos del cuadrado modelo de 3 × 3 multiplicados
por –2.
a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante?
−6
−2
−4
de nuevo
el reto
	 1	 −1
	 −4	 −2	 0
	 −3	 2	
	 −6
	 −5	 −4	 −3	 −2	 −1	 0	 1	 2
	 R.	T.	Aumentando.
	 R.	T.	Es	uno.
	 	3	 	13
	 	93
	 R.	T.	Se	
suma	uno.
	 −16	 	 −12
	 −6	 −10	 −14
	 −8	 −18	
	 Es	−30.
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
b) ¿Cuál es la sucesión de este cuadrado? Anótala enseguida.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?
d) ¿Cuál es el undécimo término de la sucesión? ¿Y el vigésimo?
e) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior?
3 Comenta en equipo tus respuestas. Efectúen lo siguiente.
a) Discutan cuál es la forma más sencilla de hallar el quincuagésimo sexto término de
la sucesión del cuadrado de la actividad 1 y escríbanla.
b) Anoten una expresión algebraica para calcular el término n de la sucesión de la
actividad 1.
c) Encuentren la manera más sencilla de calcular el octogésimo tercer término de la
sucesión de la actividad 2.
d) Escriban una expresión algebraica para calcular el término colocado en la posición
n de la sucesión de la actividad 2.
4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial con tus compañeros. Escribe las
conclusiones que obtuvieron a continuación.
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la
regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros
Observa
Para denotar
una posición
cualquiera en
una sucesión
podemos usar
una letra. Por
ejemplo: n.
La regla de una sucesión permite hallar cualquier término y puede indicarse con una
expresión algebraica. Por ejemplo:
La regla 3n − 10 genera la sucesión −7, −4, −1, 2, 5…, ya que
n 1 2 3 4 5
3n − 10 3 − 10 =	−7 6 − 10 = −	4 9 − 10 = −1 12 − 10 = 2 15 − 10 = 5
	 −2	 −4	 −6	 −8	 −10	 −12	 −14	 −16	 −18
	 R.	T.	Disminuyen.
	 	−22	 	−40
	 R.	T.	Se	
resta	dos.
R.	T.	Se	resta	siete	a	56	y	se	obtiene	49.
	 n	−	7
	 R.	T.	Se	multiplica	83	por	−2	y	se	obtiene	−166.
	 −2n
R.	P.
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172
Lección 59
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones II
¿Cuál es la regla que genera la sucesión 8, 5, 2, −1, −4…?
1 Observa la sucesión y responde.
−13, −11, −9, −7…
a) Anota los siguientes diez términos de la sucesión.
b) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen?
c) ¿Cómo cambia un término de la sucesión con respecto al anterior?
d) ¿Es una sucesión con progresión aritmética? ¿Por qué?
e) ¿Cuál es el vigésimo cuarto término?
f) Subraya la expresión que es regla de la sucesión.
−2n + 5 −2n − 3 2n + 3 2n + 1
2 Anota los diez primeros términos de las sucesiones. Después contesta.
Regla
Valor n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4n − 11
3n −	5
−n + 8
−2n +	10
−5n −	5
−7n −	4
a) ¿Las sucesiones anteriores tienen progresión aritmética?
¿Porqué?
b) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones aumentan?
R.	T.	−5,	−3,	−1,	1,	3,	5,	7,	9,	11,	13
	 R.	T.	Aumentan.
	 R.	T.	Aumenta	
dos	unidades.
	 Sí.	 R.	T.	Porque	la	
diferencia	entre	un	término	y	el	siguiente	es	constante.
	 R.	T.	Es	45.
	 −7	 −3	 1	 5	 9	 13	 17	 21	 25	 29
	 −2	 1	 4	 7	 10	 13	 16	 19	 22	 25
	 7	 6	 5	 4	 3	 2	 1	 0	 −1	 −2
	 8	 6	 4	 2	 0	 −2	 −4	 −6	 −8	 −10
	 −10	 −15	 −20	 −25	 −30	 −35	 −40	 −45	 −50	 −55
	 −11	 −18	 −25	 −32	 −39	 −46	 −53	 −60	 −67	 −74
	 Sí.
	 R.	T.	Porque	la	diferencia	entre	un	término	y	el	siguiente	es	constante.	
	 R.	T.	4n	−	11	y	
3n	−	5.	Son		aquellas	en	las	que	el	coeficiente	de	n	es	positivo.
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173
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
c) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones disminuyen?
3 Responde las preguntas con respecto a las sucesiones.
a) Escribe la regla algebraica de la sucesión 11, 7, 3, −1, −5, −9…
i) Explica cómo la determinaste.
b) Escribe la regla algebraica de la sucesión −5, −10, −15, −20, −30…
i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
ii) ¿Cuáleslarelaciónentreesadiferenciayloscoeficientesqueaparecenenlaregla
algebraica?Justificaturespuesta.
c) ¿Cuál es la regla algebraica de la sucesión −11, −16, −21, −26, −31, −36…
i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
ii) ¿Cuál es la relación entre la regla algebraica de la sucesión del inciso b) y la del
inciso c)? Explica tu respuesta.
4 Comenta en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen cuál es la
diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión. Comenten cómo
pueden verificar que la regla que escribieron sea la regla algebraica de esa
sucesión. Escriban sus conclusiones y preséntenlas a los demás equipos.
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la
regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros
	 R.	T.	−n	+	8,	
−2n	+	10,	−5n	−	5,	−7n	−	4.	Son	las	que	tienen	coeficiente	negativo	en	n.
	 −4n	+	15
	 	 R.	T.	El	coeficiente	de	n	es	la	diferencia	entre	
un	término	y	el	siguiente.	Para	determinar	el	término	independiente	se	suma	15	
a	−4(1)	=	−4	para	obtener	11,	que	es	el	primer	término	de	la	sucesión.		
−5n	
−5
	 R.	T.	La	diferencia	entre	cada	término		
es	el	coeficiente	de	n.	
−5n	−	6
−5
R.	T.	La	diferencia	es	el	término	independiente,	
que	es	−6;	entonces,	el	primer	término	de	cada	sucesión	cambia.	
R.	P.
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174
Lección 60
PREGUNTA INICIAL
Sucesiones III
¿Cuál es la regla de una sucesión cuyo primer término es 1 y el décimo, −26?
1 Escribe, a partir de la regla, los seis primeros términos de la sucesión.
a) 3n + 4
b) 2n − 2
c) 2 − 2n
d) 3n − 4
e) 4 − 3n
• Contesta.
f) ¿En qué sucesiones los términos van aumentando?
g) ¿En qué sucesiones los términos van disminuyendo?
h) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 3 en 3?
i) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 2 en 2?
j) ¿Cómo cambiarías la regla de la sucesión 3n + 4 para que el primer término fuera 10?
Justifica tu respuesta.
k) ¿Cómo cambiarías la regla 3n + 4 para que los términos de la sucesión aumentaran
de 2 en 2?
2 Completa las sucesiones y escribe cómo se calcula el término n.
a) −5, −4, , , −1, ... término n:
b) −3, −6, , −12, , ... término n:
c) −2.3, −1.3, , , 1.7, ... término n:
d) −3.5, −7, , , −17.5; ... término n:
e) 1, 0.3, , −1.1, , −2.5 … término n:
f) −4, −2.5, , , , 3.5 … término n:
g) 2, 11
8
,
, ,
−11
2
,
...
término n:
h) −51
4
, −33
4
,
, , ,
21
4
… término n:
de nuevo
el reto 7,	10,	13,	16,	19,	22
0,	2,	4,	6,	8,	10
0,	−2,	−4,	−6,	−8,	−10
−1,	2,	5,	8,	11,	14
1,	−2,	−5,	−8,	−11,	−14
R.	T.	En	a),	b)	y	d).
R.	T.	En	c)	y	e).
R.	T.	En	a),	d)	y	e).
R.	T.	En	b)	y	c).
R.	T.	Cambiaría	el	término	independiente	por	7,	porque		
3(1)	+	7	=	10.	
R.	T.	Cambiaría	el	coeficiente	de	n	por	2.
		 −3	 	−2	 0	 n	−	6
		 −9	 −15	 −18	 −3n
		 −0.3	 0.7	 2.7	 n	−	3.3
		 −10.5	 −14	 −21	 −3.5n
		 −0.4	 −1.8	 	 −0.7n	+	1.7
		 −1	 0.5	 2	 	1.5n	−	5.5
		
1
4
−
5
8
−2
3
8
−
7
8 n	+	2
7
8
−2 1
4 	 − 3
4
3
4
3
2
n	−	6
3
4
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175
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
3 Contesta considerando las sucesiones de la actividad anterior.
a) ¿Cuál es el término 10 en a)? b) ¿Cuál es el término 11 en b)?
c) ¿Cuál es el término 22 en c)? d) ¿Cuál es el término 15 en d)?
e) ¿Cuál es el término 30 en e)? f) ¿Cuál es el término 20 en f)?
4 Responde y haz lo que se indica.
a) ¿Cuál es el primer término positivo de la sucesión cuya regla es n − 12?
b) Escribe los cinco mayores términos negativos de la sucesión −1
4
n − 4.
c) Anotalosdosmenorestérminospositivosdelasucesión−1
2
n+11
4
.
5 Relaciona cada sucesión con su regla anotando en el paréntesis la letra que
corresponda.
a) −4, −5, −6, −7, −8, −9… ( ) n2
− 5
b) −4, −6, −6, −4, 0, 6… ( ) n(n − 5)
c) −4, −11, −18, −25, −32, −39… ( ) 3n − 7
d) −4, −1, 4, 11, 20, 31… ( ) −n − 3
e) −4, −1, 2, 5, 8, 11… ( ) −7n + 3
6 Elabora un cuadrado mágico de 4 × 4 cuyo primer término de su sucesión sea ∙8
y el último, 22. Puedes basarte en el cuadrado de 4 × 4 que completaste en la
página 168.
7 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la
regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros
TIC
En www.e-
sm.com.mx/
matcom2-175
podrás hallar
más información
sobre
sucesiones.
Anota en tu
cuaderno lo
nuevo que
aprendiste en la
página.
	 4	 −33
	 18.7	 −52.5
	 −12.3	 39.5
	 1
	 −4
1
4 ,	−4
1
2 ,	
−4
3
4 ,	−5,	−5
1
4 ,	−5
1
2
	
3
4 ,	
1
4
	
d
	 b
	 e
	 a
	 c
	
−8	 6	 16	 14
	 20	 10	 −4	 2
	 −2	 0	 22	 8
	 18	 12	 −6	 4
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Juegos y retos
176
La liebre y la tortuga
Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem-
pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las
tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista,
una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar
la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad sin pre-
cedentes para una tortuga. Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se
carcajeó más de media hora antes de aceptar la apuesta.
—¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo
la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera?
—En un mes —dijeron las tortugas.
Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de
mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así ganaría. En
cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar ni de bajar
de peso. Estaba muy confiada.
Llegóporfineldíadelacarreraytodoslosanimalessereunieronparapresenciarla.Seindicó
la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia inició entre grandes aplausos.
La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que iba sin parar a 1 km/h, pronto
se quedó muy atrás.
Después de quince minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su
sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida.
Después de mucho tiempo la tortuga llegó a
donde estaba la liebre.
—Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tor-
tuga a la liebre con actitud muy deportiva.
—Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo
la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de
Morfeo.
De repente, la liebre despertó y miró su reloj.
—¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo
mientras se levantaba y volvía a correr a 16 km/h.
Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad
era suficiente para empatar la carrera.
—Le pondré un poco de emoción. Todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre.
Los espectadores veían cómo la liebre alcanzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emo-
cionados; iba a ser un final de fotografía.
S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 176 3/5/13 12:55 PM
177
Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga,
pensó en acelerar para ganar; todavía le quedaban muchas
reservas de energía y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo:
tropezó con una piedra y quedó tendida, retorciéndose de
dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tor-
tuga cruzara la meta y ganara la carrera.
Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír
de todos los animales.
Esopo (adaptación)
Contesta las preguntas en tu cuaderno.
¿De qué distancia fue la carrera de la liebre y la tortuga?
¿Cuánto tiempo duró la competencia?
Trabaja con un compañero. Determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre
durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga,
1 km. Supongan que ambos competidores empataron la competencia y completen la ta-
bla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzaría a la tortuga si no se hubiera caído y
sabrán cuándo cruzó la meta la tortuga.
Tiempo
(horas)
Distancia de la salida (km)
Liebre Tortuga
0 0 0
0.1 1.6
0.2
0.25
0.5
0.6
0.7
Recuerden que 1 hora es igual a 60 min.
¿Cuántos minutos son un cuarto de hora?
¿Y 0.1 horas?
¿A qué distancia del árbol se encuentra la
tortuga cuando la liebre reanuda la carrera?
¿Y tres minutos después de que la liebre
reanuda la carrera?
PISTAS Y ESTRATEGIAS
	 	 	 	0.1
	 	 3.2	 	0.2
	 	 4	 			0.25
	 		 4	 0.5
	 		 4	 0.6
	 		 4	 0.7
	 1	 4	 1
	 1.5	 4	 1.5
	 2	 4	 2
	 2.5	 4	 2.5
	 3	 4	 3
	 3.25	 4	 3.25
	 4	 4	 4
	 5.25	 4	 5.25
	 5.28	 4.53	 5.28
	 5.31	 5.06		 5.31
	 5.34	 5.59	 5.34
	 5.38	 6.13	 5.38
15	minutos
6	minutos
A	1.25	km
A	1.3	km
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178
Lección 61
PREGUNTA INICIAL
Planteamiento de ecuaciones
¿Qué valor de x hace verdadera la igualdad 5x = x + 1?
1 Lee el problema, responde las preguntas y efectúa lo que se pide.
A 30 km de la frontera se comete un atraco. Los ladrones huyen a 90 km/h. Cuatro
minutos más tarde la policía sale en su persecución a 120 km/h. ¿Conseguirá alcanzar
a los ladrones antes de que lleguen a la frontera?
a) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco están los ladrones cuando la policía
inicia la persecución?
b) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco se encuentran los policías y los ladro-
nes cinco minutos después de que inicia la persecución?
c) Subraya la ecuación que permita calcular a qué distancia del atraco (d) está la policía
t horas después de que inicia la persecución.
i) d = 120t ii) d = 90t iii) d = 120
t
iv) d = 90
t
d) Subraya la ecuación que determine a qué distancia del atraco (d) se encuentran los
ladrones t horas después de que inicia la persecución.
i) d = 90t − 6 ii) d = 90t + 6 iii) d = 90
t
+ 6 iv) d = 90
t
+ 6
e) Observa las ecuaciones que escogiste en los incisos c) y d). Nota que cuando el valor
de d sea igual en ambas, los policías habrán alcanzado a los ladrones. Escribe la
expresión que resulta de igualar ambas ecuaciones.
f) Halla el valor de t para el cual d tiene el mismo valor en los incisos c) y d). Anota tu
procedimiento enseguida. Después compáralo con el de tus compañeros. Decidan
cuál es correcto.
Recuerda
Una ecuación
es una igualdad
formada por
literales y
números
relacionados
mediante
expresiones
aritméticas. En
una ecuación
las literales
se llaman
incógnitas.
	 A	6	km
	 R.	T.	Los	policías	están	a	10	km,	y	los	ladrones	a	13.5	km
	 120t	=	90t	+	6
R.	T.
	 120t	=	90t	+	6	 	La	policía	alcanzará	a	los	ladrones
	 120t	−	90t	=	6	 en	0.2	horas,	o	12	minutos,	después
	 30t	=	6	 de	que	empiece	la	persecución.
	 t	=	0.2	 	
Sí.
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179
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
2 Lee los problemas y haz lo que se indica.
a) Escribe una ecuación que relacione dos lados
del triángulo. Recuerda la característica que
cumplen los lados de un triángulo isósceles.
b) La edad de una madre es 40 años y las edades de sus tres hijas suman 28 años. ¿Den-
tro de cuántos años las edades de las hijas sumarán las de la madre?
i) Completa la tabla. Representa con x los años que deben transcurrir para que la
edad de la madre sea igual a la suma de las edades de sus hijas.
Hoy
Dentro
de x años
Edad de la
madre
Suma de
las edades
de las hijas
ii) La suma de las edades de las hijas en x años no es 28 + x. ¿Cuánto suma tu edad
y la de uno de tus amigos? ¿Cuánto sumarán sus edades dentro
de un año? ¿Y en dos años?
iii) Escribe la ecuación que involucra el problema.
3 Inventa un problema que involucre a la ecuación 3x + 5 = x + 4.
4 Compara las ecuaciones que encontraste en las actividades 1 y 2 con las de tus
compañeros. Determinen, con ayuda del profesor, cuáles son correctas. Si hay
errores corríjanlos, pero consideren que puede haber varias soluciones.
5 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
5x + 20
3x+
16
x+
196
	 3x	+	16	=	x	+	196
	 R.	T.	4	años.
	 40	 40	+	x
	 28	 28	+	3x
	 R.	T.	26	años.
	 R.	T.	28	años.	 R.	T.	32	años.
	 40	+	x	=	28	+	3x
R.	T.	
El	triple	de	un	número	más	cinco	es	igual	que	el	mismo	número	más	cuatro.	
¿Cuál	es	el	número?	
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180
Lección 62
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones I
¿La ecuación x + 2 = 3 y la ecuación 2x + 6 = 9 − x tienen la misma solución?
1 Subraya las acciones que dejarían en equilibrio la balanza. Las medidas de las
pesas están dadas en kilogramos y los botes pesan lo mismo.
a) Pasar una pesa de 3 kg del platillo derecho al izquierdo
b) Añadir 2 kg a cada platillo
c) Quitar 1 kg a cada platillo
d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho
e) Eliminar dos botes del platillo izquierdo y uno del derecho
f) Quitar un bote de cada platillo
g) Agregar un bote a cada platillo
2 Escribe qué se hizo en cada platillo de la balanza. Anota si se conserva el
equilibrio y explica por qué.
Acción ¿Se conserva el equilibrio?
a) ¿Cuánto pesa cada bote?
3 Representa con una literal el peso de cada bote y escribe la ecuación que
representa la balanza de la actividad 1, así como cada balanza de la actividad 2.
Actividad 1 Actividad 2
a) b) c)
• Comprueba que las ecuaciones tengan la misma solución.
OoooooO
OoooooO
OoooooO
OoooooO
1
1
33
1
1
33
OoooooO
OoooooO
33
OoooooO
OoooooO
3
OoooooO
Se	quitó	un	bote	de	
cada	platillo
Se	quitó	una	pesa	
de	1	kg	de	cada	
platillo
Se	quitó	la	mitad	
del	peso	de	cada	
platillo
Sí,	porque	se	quitó	un	objeto	
del	mismo	peso	de	cada	platillo
Sí,	porque	las	pesas	que	se	
quitaron	son	iguales
Sí,	porque	cada	platillo	tenía	
el	mismo	peso.	Al	quitar	la	
mitad	de	cada	uno	se	sigue	
conservando	el	mismo	peso	
Pesa	3	kg
	 3x	+	1	=	x	+	7	 2x	+ 1	=	7	 2x	=	6	 x	=	3
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181
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
4 Relaciona cada balanza con su respectiva ecuación escribiendo en el paréntesis la
letra que corresponda. Después contesta las preguntas en tu cuaderno.
a) b)
c) d)
e) ( ) x + 5 − 5 = 15 − 5
( ) 2x + 5 − x = x + 15 − x
( ) 2x + 5 = x + 15
( ) x = 10
( ) x + 5 = 15
f) ¿Cuánto pesa cada bote?
g) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza b)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio?
¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación
a la otra?
h) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza c)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio?
¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación
a la otra?
i) Anota qué cambia de una balanza a la siguiente y qué en cada ecuación.
5 Comenta en grupo tu repuesta a la pregunta inicial. Lleguen a una conclusión.
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
5
5 5 5
frijolitos
frijolitos
frijolitos frijolitos
5
5
frijolitos
5 5
frijolitos
5
5 5 5
frijolitos
5
5 5 5
frijolitos
5 5
frijolitos
	 d
	 b
	 a
	 e
	 c
R.	T.	Pesa	10	kg
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182
Lección 63
PREGUNTA INICIAL
Un ecuación
tiene dos
miembros
separados por
el signo =.
x + 5 = 2x − 2
1er
miembro
2o
miembro
Solución de ecuaciones II
¿Cómo puede hallarse una ecuación equivalente a otra?
1 Completa las ecuaciones y contesta.
Bloques Ecuaciones
3y = + 5
3y − 2y = 2y + 5 −
y =
a) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el segundo paso?
Bloques Ecuaciones
5z + =
5z + 6 − = 8z −
6 = 3z
3
=
b) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el tercer paso?
y
y
y
y
y
1
1
11 1
=
y
y
y
y
y
1
1
11 1
=
y
1 1 1
1 1
=
z 1z
z z
z
1
1 1
1 1
z z z
z z z
zz
=
z 1z
z z
z
1
1 1
1 1
z z z
z z z
zz
=
1 1
1 1
1 1
z
z
z
1 z1 =
=
{
{
	 2y
	 2y
	 5
R.	T.	Se	restó	2y.
	 6	 8z
	 5z	 5z
	 3
	 2	 z
R.	T.	Se	dividió	entre	3.
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183
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
2 Representa con bloques cada ecuación.
Ecuaciones Bloques
5x + 4 = 2x + 7
5x + 4 − 2x = 2x + 7 − 2x
3x + 4 = 7
3x + 4 − 4 = 7 − 4
3x = 3
x = 1
a) ¿Cuál es la solución de estas ecuaciones?
3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan, con ayuda del
profesor, conclusiones y anótenlas en sus cuadernos.
Si en ambos miembros de una ecuación se efectúa la misma operación, se conserva
la igualdad y se obtiene una ecuación equivalente.
x
x x
x
1
1 1 11
1
1
11
1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
x	=	1.
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184
Lección 64
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones III
¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 6x = 24?
1 Encuentra las medidas de cada ángulo sin hacer mediciones.
∡CBA = ∡BAC = ∡ACB=
2 Trabaja con tres o cuatro integrantes. Comparen sus respuestas de la actividad
anterior y comenten los procedimientos que siguieron para encontrar x. Escriban
el que les parezca mejor. Si lo desean, ahora pueden medir la figura para verificar
sus respuestas.
3 Resuelve la ecuación –2y = 215 y comenta con tus compañeros de equipo por qué
es equivalente a 3y + 5y – 10y = 190 +25.
4 Contesta. Justifica tu respuesta.
¿La ecuación 3y + 5y − 10y = 190 + 25 se puede transformar en la ecuación −2y = 215?
• Comenta tu respuesta en grupo. Digan cuáles son correctas y por qué.
5 Revisa en equipo la actividad 2 de la página 178. Identifiquen en qué pasos se
reducen términos semejantes.
2 1
2
x
3
5
x
1
2
x
B
A
C
	 125°	 30°	 25°
R.	T.	La	suma	de	las	medidas	de	los	ángulos	debe	ser	180°.	Entonces	se	obtiene	que,
3
5
x	+	
5
2
x	+
1
2
x	=	180°.	Así,		
18
5
x	=	180°	y	x	=	50°.
R.	T.	Sí	se	puede	transformar	porque	la	suma	algebraica	de	términos	semejantes	es	
3y	+	5y	−	10y	=	−2y,	y	la	de	los	términos	independientes	es	190	+	25	=	215
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185
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
6 Calcula el peso de los botes en cada balanza.
Cada bote pesa g. Cada bote pesa kg.
7 Escribe una ecuación para cada balanza de la actividad anterior y comenta
procedimientos para resolverla.
Ecuaciones Procedimientos
a)
b)
8 Lee lo siguiente y revisa si te sirve para resolver las ecuaciones de la actividad
anterior o para mejorar los procedimientos que anotaste.
9 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen al grupo un método para
resolver la ecuación aplicando lo estudiado en la lección.
Para resolver una ecuación conviene aplicar las mismas operaciones en ambos miem-
bros de la igualdad, de manera que los términos semejantes queden en un miembro.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 5 se puede restar 3x en ambos
miembros.
5x + 7 = 3x + 5 5x + 7 − 3x = 3x + 5 − 3x 2x + 7 = 5
Observa que al reducir términos semejantes se eliminan los términos con x en el
segundo miembro.
Después, se resta 7 en ambos miembros.
2x + 7 = 5 2x + 7 − 7 = 5 − 7 2x = −2
Se divide entre 2 ambos miembros, , entonces x = −1.x = −
2__
2
1
2
__
75g 75g
50g
75g 75g
3 kg
5 kg 6 kg10 kg
x	+	200	=	2x	+	150
2y	+	8	=	y	+	16
	 50	 8
R.	T.	Se	resta	x	en	ambos	miembros	de	la	
ecuación;	después	se	resta	150	en	ambos	
miembros	y	queda	50	=	x
En	ambos	miembros	se	resta	y	de	la	
ecuación;	después	se	les	resta	8	y	queda		
y	=	8.
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186
Lección 65
PREGUNTA INICIAL
Solución de ecuaciones IV
¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 4x = 24 + 2x?
1 Explica los pasos para resolver las ecuaciones. Observa los ejemplos.
a) z + 4 = 2z
z + 4 − 2z = 2z − 2z Se resta 2z en ambos miembros.
−z + 4 = 0 Se reducen términos semejantes.
−z + 4 − 4 = −4
−z = −4
(−1)z = (−1)4
z = 4
b) 3y + 12 = 7y
3y + 12 − 7y = 7y − 7y
−4y + 12 = 0
−4y + 12 − 12 = −12
−4y = −12
−4y
−4
=
−12
−4
Se dividen ambos miembros entre −4.
y = 3
c) 2
3
x − 3
4
= 1
2
x
2
3
x − 3
4
− 1
2
x = 1
2
x − 1
2
x
1
6
x − 3
4
= 0
1
6
x − 3
4
+ 3
4
= 0 + 3
4
1
6
x = 3
4
1
6
x = 3
4
1
6
1
6
x = 18
4
= 9
2
• Sustituye los valores que encontraste y comprueba que solucionen las ecuaciones.
Se resta 4 en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se multiplican por −1 ambos miembros.
Se efectúan los productos.
Se resta 7y en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se resta 12 en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se efectúan las divisiones.
Se resta 1
2
x en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se suma 3
4
en ambos miembros.
Se reducen términos semejantes.
Se dividen ambos miembros entre 1
6
.
Se efectúan las operaciones y se simplifica la fracción.
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187
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
2 Efectúa las operaciones para resolver las ecuaciones.
a) −30t = −20t + 15
Suma 20t en ambos miembros
de la ecuación.
Reduce términos semejantes.
Divide ambos miembros de la ecuación
entre −10.
Efectúa la división.
b) 3x + 5 = 4x − 1
Resta 4x en ambos miembros
de la ecuación.
Reduce términos semejantes.
Resta 5 en ambos miembros
de la ecuación.
Reduce términos semejantes.
Multiplica ambos miembros por −1.
Efectúa los productos.
3 Resuelve las ecuaciones.
a) 3y = 5y + 6 y = b) −4.3z = −7.8z + 3.5 z =
c) −2x − 4 = −x − 1 x = d) 2.4 + 5.1w = 4.2w − 6.6 w =
4 Plantea un problema que se resuelva con la ecuación 4x + 3 = 7 + 2x. Puedes
enunciarlo o dibujarlo. Intercámbialo y resuelve el que haya planteado uno de tus
compañeros.
5 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con un compañero. Comprueben su solución.
−30t + 20t = −20t + 15 + 20t
−10t = 15
−10t
−10
= 15
−10
t = −1 5
10
= −1
1
2
3x + 5 − 4x = 4x − 1 − 4x
−x + 5 = − 1
−x + 5 − 5 = − 1 − 5
−x = −6
−x(−1) = −6(−1)
x = 6
−3 1
−3 −10
R. T.
Si Juan comprara cuatro dulces le sobrarían tres pesos, pero si comprara
dos le quedarían siete pesos. ¿Cuánto cuesta cada dulce y cuánto dinero tiene
Juan?
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188
Lección 66
PREGUNTA INICIAL
Ecuaciones con paréntesis
¿Qué relación tienen las ecuaciones 4(x + 5) = 80 y 4x + 20 = 80?
1 Lee la afirmación de Claudia y haz lo que se indica.
Claudia dice “La solución de la ecuación
3(x + 2) = 3x + 6
puede ser cualquier número.”
Explica en el espacio de la derecha si
Claudia tiene razón. Puedes utilizar di-
bujos, figuras o esquemas.
2 Lleva a cabo con un compañero lo que se pide.
El precio de 1 L de leche en la tienda “La Baratera” es $0.80 menor que en “La Inflación”.
¿Cuál es el precio del litro en cada tienda si con la misma cantidad de dinero se pueden
comprar 11 L en “La Baratera” mientras que solo 10 L en “La Inflación”?
a) Subrayen las ecuaciones que permitan resolver el problema.
10(x − 0.8) = 11x 10(y + 0.8) = 11y 11(z − 0.8) = 10z 11(w + 0.8) = 10w
b) Comenten qué significa la incógnita en cada ecuación que subrayaron.
c) Resuelvan en sus cuadernos una de esas ecuaciones mediante el método que prefie-
ran. Verifiquen que con la solución se cumplan las condiciones del problema.
3 Completa los pasos para resolver la ecuación.
a) Si no resolvieron la ecuación que escogieron en la actividad 2 o lo hicieron con un
método diferente, resuélvela con este.
b) ¿Cuál es el precio de la leche en cada tienda?
7(x − 3) = 5(x + 7)
Se multiplican por 7 los términos del primer paréntesis. 7x − = 5(x + 7)
Se multiplica por 5 cada término dentro del paréntesis. 7x − = +
Se resta 5x en ambos miembros de la ecuación. 7x − − 5x = + − 5x
Se reducen términos semejantes. − 21 = 35
Se suma 21 en ambos miembros. − 21 + 21 = 35 + 21
Se reducen términos semejantes. =
Se dividen ambos miembros entre 2.
R. T. Por la propiedad distributiva,
3(x + 2) es igual que 3x + 6 sin que
importe el valor de x; por lo tanto,
la igualdad se cumple para cualquier
valor de x.
21
21 5x 35
21 5x 35
2x
2x
2x 56
x = 28
$8.00 y $8.80
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189
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
Completa la solución. Continúa donde indica la flecha.
3(x + 4) = 6x − 9
3(x + 4)
3
=
6x − 9
3
x =
x + 4 =
6x
3
−
9
3
5 Plantea y resuelve en equipo los problemas con ecuaciones.
a) Un paquete de tres botellas de crema corporal vale $750.00. El tamaño chico vale lo
mismo que el mediano menos $50.00. El precio del tamaño mediano es p. El tamaño
grande cuesta el doble que el mediano.
i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelvalordeltamañochico?______________
ii) ¿Cómoseexpresaelcostodeltamañogrande?____________________________
iii) Planteen una ecuación que indique el costo total de las tres botellas.
_________________________________________________________________
iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.
v) ¿Cuál es el costo de cada botella? ______________________________________
b) El perímetro de un cuadrado es el doble que el perímetro de un triángulo. Cada lado
del cuadrado mide x. Dos lados del triángulo miden 6 cm y el otro lado mide x + 3.
i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelperímetrodeltriángulo?_____________
ii) ¿Y el del cuadrado? _________________________________________________
iii) ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalosdosperímetros?______________________
iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon.
v) Indiquen el perímetro de cada figura. ___________________________________
_________________________________________________________________
c) Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Concha exceden por quince años
a la de su hija. Si hace cuatro años la edad de la madre era el doble que la de su hija,
¿cuál es la edad de ambas? Plantea una ecuación y resuélvela en tu cuaderno.
Las edades son ________________________________________________________
6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Plantea en tu cuaderno un problema que
se resuelva con la ecuación, intercámbialo y resuelve el de tu compañero.4
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
TIC
En www.e-
sm.com.mx/
matcom2-189
podrás ver un
video sobre
la solución de
ecuaciones.
Comenta con
tus compañeros
qué aprendiste
en él.
x + 4 = 2x − 3
x + 4 − 2x = 2x − 3 − 2x
−x + 4 = −3
−x + 4 − 4 = −3 − 4
−x = −7
x = 7
7
p − 50
2p
p − 50 + p + 2p = 750
$150.00, $200.00 y $400.00
x + 15
4x
4x = 2(x + 15)
El perímetro del cuadrado mide
60 cm y el del triángulo, 30 cm.
68 y 36 años. La ecuación es 3
4
x + 15 = x − 4
2
+ 4
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190
Lección 67
PREGUNTA INICIAL
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
¿Qué relación tienen las ecuaciones 1
2
x + 3
4
x = 1
8
y 4x + 6x = 8?
1 Subraya la ecuación con que se resuelve el problema.
En una bolsa hay canicas rojas y azules. La tercera parte de las rojas más la cuarta de las
mismas es igual a la mitad de las azules. Si en total son 52 canicas, ¿cuántas rojas hay?
a) 1
4
r + 1
3
r = 52
2
b) 1
4
r + 1
3
r = 52 − r
c) 1
4
r + 1
3
r = 1
2
(52 − r) d) (1
4
+ 1
3
)r = 1
2
(r − 52)
• Comenta en grupo cómo elegiste la ecuación que subrayaste. Determinen, con ayuda
del profesor, si es la correcta y resuélvanla.
2 Contesta con un compañero.
a) Multipliquen por 12 ambos miembros de la ecuación que subrayaron.
¿Obtuvieron una ecuación equivalente?
b) Resuelvan la ecuación que obtuvieron en el siguiente espacio.
c) Comenten en equipo sus procedimientos de solución y determinen cuáles de ellos
son correctos.
d) Comenten en grupo si fue más sencillo resolver la ecuación multiplicándola por 12.
Anoten sus conclusiones.
El coeficiente de una variable es el número que la multiplica. Por ejemplo, en la ecua-
ción −3
4
x + 5y = 9 el coeficiente de x es −3
4
, y el de y, 5.
Una ecuación con coeficientes fraccionarios es aquella donde los términos coeficientes
son fracciones. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones con coeficientes fraccionarios.
1
2
x + 3
4
= 0 3x = 2
7
4y + 1
3
= 6
R. T. Sí.
12[1
4
r + 1
3
r] = 12[1
2
(52 − r)] 3r + 4r = 6(52 − r) 13r = 312
12
4
r + 12
3
r = 12
2
(52 − r) 7r = 312 − 6r r = 312
13
= 24
R. P.
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191
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
3 Trabaja con un compañero. Observen la ecuación y contesten las preguntas.
2
5
x + 1
3
= 1
6
+ 1
10
x
a) Si se multiplican ambos miembros de la ecuación por 5, ¿queda una ecuación sin co-
eficientes fraccionarios?
b) ¿Si se multiplican por 3?
c) ¿Qué tal si se multiplican por 6?
d) ¿Y si se multiplican por 30?
e) Anoten otros números por los que se puedan multiplicar.
f) ¿Cuál es el menor entero por el que se puede multiplicar la ecuación para obtener
otra sin coeficientes fraccionarios?
4 Reúnete en equipo. Expliquen por qué es correcto lo siguiente.
Si a
b
= c
d
, entonces ad = bc
• Analicen cómo pueden usar lo anterior para resolver la ecuación 3x + 1
2 = 5x + 1
3 .
Expongan sus conclusiones ante el grupo.
5 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) z + 6z + 3
2
+ 1 = z + 5z + 3
4
− 2 z =
b) 3y − 2
4 = y − 5
−3 y =
c) 3
7
f − 4f −
26
7 = 5 + 2
3
f + 4 f =
d) 1
3
= w + 4
w − 2 w =
• Comenta en grupo tus procedimientos. Determinen cuáles son correctos.
6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Pidan a algunos compañeros
que justifiquen las suyas.
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
Para resolver una ecuación con coeficientes fraccionarios se pueden multiplicar
ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
No, quedan fracciones con denominadores 3, 6 y 2.
. No, quedan fracciones con denominadores 5, 2 y 10.
. No, quedan los denominadores 5, 3 y 10.
Sí, quedan sin coeficientes fraccionarios.
R. T. 60, 90, 120, 150...
R. T. Es 30.
−3 3
4
2
−3
−7
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192
Lección 68
PREGUNTA INICIAL
Problemas que se resuelven con ecuaciones
¿Qué problema puede solucionarse con la ecuación 3x + 5 = x − 3?
1 Resuelve los problemas.
a) ¿Cuánto mide cada ángulo del cuadrilátero?
∡A =
∡B =
∡C =
∡D =
b) ¿Cuál es el número que cumple la condición de que si a su doble se le resta 17 da lo
mismo que si se le sumara 5?
El número es
c) Los libros de la balanza pesan lo mismo.
¿Cuánto pesa cada uno?
Cada libro pesa g.
d) Si al doble de un número se le resta 6, se obtiene ese número más 6. ¿Qué número es?
El número es
e) Un padre tiene el triple de edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la
hija, ocho más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno?
El padre tiene años y la hija años.
f) En un supermercado el kilogramo de manzana cuesta el doble que el de plátano.
Araceli compró 3 kg de manzana, 2 kg de plátano y un mamey, que le costó $4.50.
Silvia compró 2 kg de manzana y 3 kg de plátano. Si Silvia pagó $8.70 menos, ¿cuánto
cuesta el kilogramo de plátano?
El kilogramo de plátano cuesta $
g) Juan Antonio gastó $110.00 en un regalo y su envoltura. Si el regalo costó $100.00
más que la envoltura, ¿cuánto pagó por la envoltura? La respuesta no es $10.00.
Juan Antonio pagó $ por la envoltura.
1
kg
100
g
100
g
B
A
C
D
4x − 18
2x + 20
x − 1 4x − 26
34°
122°
90°
114°
22
200
12
57 19
4.20
5.00
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193
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema: Patrones y ecuaciones
h) Al encargado de un comercio le preguntaron lo siguiente.
—¿Cuántas personas trabajan aquí?
—No muchas —contesta—. Tres cuartas partes de los que somos más tres cuartas
partes de persona.
¿Cuántos empleados son?
Son empleados.
i) Hace ocho años un padre tenía siete veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo
tres veces la edad del hijo. ¿Cuáles son las edades de ambos?
La edad del padre es años y la del hijo años.
j) Resuelve con una ecuación el problema 1 de la página 178.
Los policías alcanzarán a los ladrones antes de que lleguen a la frontera.
2 Efectúa lo siguiente con base en el cuento de la liebre y la tortuga, de las páginas
176 y 177.
a) Escribe a qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre empieza a
correr de nuevo.
b) Subraya la ecuación que represente la distancia (d) a que la tortuga se encuentra del
árbol t horas después de que la liebre empieza a correr de nuevo.
d = t + 1.25 d = 1.25t d = t d = t − 1.25
(Verifica que cuando t = 0, d debe ser igual a la distancia a la que se encuentra la
tortuga del árbol cuando se encuentra a la liebre.)
c) Subraya la ecuación que relacione la distancia a la que se encuentra la liebre res-
pecto al árbol desde el momento en que despierta.
d = 16t d = t + 16 d = 16t + 1.25 d = 16t − 1.25
d) Observa que cuando la liebre alcanza a la tortuga, ambos corredores se encuentran
a la misma distancia del árbol. Iguala las expresiones que subrayaste en los incisos
anteriores y encuentra cuánto tardó la liebre en alcanzar a la tortuga después de
despertar. Anota tu respuesta en minutos.
La liebre alcanza a la tortuga en minutos.
3 Revisa en grupo, y con ayuda del profesor, tus respuestas de la lección.
• Intercambia el problema que planteaste en la actividad inicial con el de un compañero
y comprueba que pueda resolverse con la ecuación propuesta.3
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la
forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros,
fraccionarios o decimales, positivos y negativos
de nuevo
el reto
3
36 12
sí
A 1.25 km
5
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Juegos y retos
194
Círculos y figuras inscritas en círculos
a)	 ¿Qué	círculo	rojo	es	más	grande?	
b)	 Dobla	un	círculo	de	papel	por	la	mitad	dos	veces,	traza	una	línea	punteada	como	la	
que	se	muestra	en	la	fotografía.
Recorta	por	la	línea	punteada	y	desdobla	el	pa-
pel.	¿Qué	figura	es?	¿Cómo	puedes	comprobar	
que	se	trata	de	esa	figura?
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195
c)	 Efectúa	los	siguientes	dobleces	y	recortes	con	otro	círculo	de	papel.	
i)	 	Dobla	el	círculo	por	la	
mitad.
ii)	 	Desdobla	el	círculo	
y	vuelve	a	doblarlo	
por	la	mitad	de	forma	
distinta.
iii)	 Desdobla	y	recorta	por	
las	líneas	punteadas	
que	se	muestran	en	la	
fotografía.
¿Qué	figura	se	formó?	¿Cómo	puedes	comprobar	que	se	trata	de	esa	figura?	
d)	 Elabora	un	triángulo	de	papel.
i)	 		Dobla	el	círculo	por	la	
mitad.
ii)	 		Desdobla	el	círculo	
y	vuelve	a	doblarlo	
por	la	mitad	de	forma	
distinta.
iii)	 		Desdobla	y	recorta	por	
las	líneas	punteadas.
	
Según	la	medida	de	los	ángulos,	¿qué	tipo	de	triángulo	obtuviste?
Haz	con	un	compañero	lo	siguiente.	
a)	 Vean	el	primer	reto.	Propongan	maneras	para	comparar	el	tamaño	de	los	círculos	
sin	calcarlos	ni	superponerlos.	
b)	 Comparen	las	figuras	de	papel	que	obtuvieron	en	el	inciso	b).	Determinen	si	los	do-
bleces	y	los	cortes	fueron	hechos	correctamente.	
c)	 Comparen	 las	 figuras	 de	 papel	 que	 obtuvieron.	 Determinen	 si	 los	 dobleces	 y	 los	
cortes	fueron	hechos	correctamente.	Busquen	semejanzas	y	diferencias	entre	sus		
figuras.
PISTAS Y ESTRATEGIAS
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196
Lección 69
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo I
¿Cuál	es	la	relación	entre	las	medidas	
de	los	ángulos	A	y	B?	
1 Efectúa lo que se pide.
En	un	teatro	circular	se	colocaron	tres	reflectores.	
Lo	anterior	se	representa	en	la	figura,	donde	los	
puntos	A,	B	y	C	representan	los	reflectores;	el	punto	
O,	el	centro	del	círculo;	y	la	zona	azul,	el	escenario.	
Se	desea	que	cada	reflector	ilumine	exactamente	el	
escenario	completo.	Para	ello,	se	necesita	saber	en	
qué	ángulos	se	debe	abrir	cada	haz	de	luz.
a)	 El	ángulo	que	corresponde	al	reflector	del	punto	B	ya	está	trazado.	Traza	los	que	co-
rresponden	a	los	de	los	puntos	A	y	C.	Anota	la	medida	de	los	ángulos	de	cada	reflector.	
	 ∡A = ∡B = ∡C=
b)	 Elige	tres	puntos,	D,	E	y	F,	donde	también	se	puedan	colocar	reflectores.	Traza	los	
ángulos	correspondientes	y	mídelos.	
	 ∡D = ∡E = ∡F=
c)	 Compara	tus	respuestas	con	las	de	tus	compañeros.	¿Qué	observas?	
d)	 Supón	que	se	colocará	un	reflector	en	el	centro	del	círculo.	Traza	el	ángulo	que	co-
rresponde	y	mídelo.	
∡O	=	
e)	 ¿Cuál	es	la	relación	entre	el	ángulo	O	y	los	otros?	
	
A
B
Los	ángulos inscritos	tienen	el	vértice	sobre	la	circunferencia	y	sus	lados	son	cuerdas.	
Los	siguientes	son	ángulos	inscritos.	
Observa	que	cada	ángulo	inscrito	abarca	un	arco.	Un	arco	es	una	parte	de	la	circun-
ferencia	limitada	entre	dos	puntos	de	la	misma.	En	las	figuras,	los	arcos	que	abarca	
cada	ángulo	inscrito	se	señalan	con	rojo.
A
B
C
O
	 30°	 30°	 30°
	 30°	 30°	 30°
R.	T.	Que	la	medida	de	todos	los	ángulos	es	igual.
	 60°
	 Mide	el	doble.
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197
Eje:	Forma,	espacio	y	medida
Tema:	Medida
2 Efectúa lo siguiente en tu cuaderno.
a)	 Traza	tres	circunferencias.	En	cada	una	marca	un	ángulo	central.
b)	 En	cada	circunferencia	traza	un	ángulo	inscrito	que	abarque	el	mismo	arco	que	el	
ángulo	central	que	marcaste.	
c)	 Mide	los	ángulos	y	anótalos	en	la	tabla.	
Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3
Ángulo central
Ángulo inscrito
d)	 ¿Qué	relación	hay	entre	los	ángulos	centrales	y	los	inscritos	de	cada	circunferencia?	
Explica.
e)	 Compara,	con	ayuda	del	profesor,	tus	respuestas	de	los	incisos	c)	y	d)	con	las	de	tus	
compañeros.	Obtengan	una	conclusión.	
3 Determina el ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la
conclusión de la actividad anterior.
a)		 	 b)	 c)	
	 ∡A	=	 	 ∡A	=	 	 ∡A	=	
d)	 	 e)	 f)	
	 ∡A	=	 	 ∡A	=	 	 ∡A	=	
•	 	Comprueba	tus	respuestas	midiendo	con	transportador.	Compara	tus	resultados	con	
los	de	tus	compañeros.
4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial en grupo.
Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones
Un	ángulo central	de	una	circunferen-
cia	es	aquel	cuyo	vértice	es	el	centro	
de	la	misma.	Un	ángulo	central	tam-
bién	abarca	un	arco	de	circunferencia.
Un	ángulo	inscrito	y	un	ángulo	
central	pueden	abarcar	el	mis-
mo	arco	de	circunferencia.
A
70°
A
280°
60°
A
45°
A
220°
A
150°
A
R.	T.
	 90°	 70°	 120°
	 45°	 35°	 60°
	 35°		 120°	 110°
	 140°		 90°	 75°
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198
Lección 70
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo II
¿Cuál	es	la	relación	entre	las	
medidas	de	A	y	B?	
1 Efectúa lo que se pide.
El	∠α	es	el	ángulo	exterior	del	triángulo.	
Observa	que	el	∠α	y	el	∠ACB	son	suplementarios.	Es	
decir,	sus	medidas	suman	180°.
a)	 		Explica	por	qué	∡α	es	igual	a	la	suma	de	los	otros	
ángulos	del	triángulo:	∡α	=	∡CAB + ∡ABC.	
b)	 ¿Lo	anterior	es	válido	para	cualquier	triángulo?	
2 Traza tres circunferencias en tu cuaderno y efectúa lo siguiente.
a)	 En	la	primera,	traza	un	ángulo	inscrito	que	tenga	dentro	el	centro	de	la	circunfe-
rencia.	Después	traza	el	ángulo	central	que	determina	el	mismo	arco.
b)	 En	la	segunda,	traza	un	ángulo	inscrito	de	manera	que	el	centro	no	se	encuentre	
dentro	del	mismo.	
c)	 En	la	tercera,	traza	un	ángulo	inscrito	de	manera	que	uno	de	sus	lados	pase	por	el	
centro	de	la	circunferencia.	
d)	 Revisa	con	dos	o	tres	compañeros	que	tus	trazos	cumplan	las	condiciones	pedidas.	
3 Trabaja en equipo. Examinen la figura y contesten.
a)	 		Observen	el	ángulo	inscrito	∠ACB.	¿Dónde	está	el	centro	de	la	
circunferencia	con	respecto	a	este	ángulo?	
	
b)	 		¿Cuál	es	el	ángulo	central	que	determina	el	mismo	arco	que	
∠ACB?	
c)	 Observen	los	lados	del	triángulo	AOC.	Expliquen	por	qué	es	un	triángulo	isósceles.	
	
d)	 Usen	el	resultado	de	la	actividad	1	para	explicar	por	qué	2∡ACB = ∡BOA.	
	
	
A
B
Recuerda
Los	ángulos	
interiores	de	un	
triángulo	suman	
180°.
A
B C
α
A
C
O
B
R.	T.	Porque	los	ángulos	interiores	de	un	triángulo	suman	180°.	La	suma	de	
∡ACB	+	∡CAB	+	∡AB	dan	180°;	entonces,	el	∡α	es	igual	a	∡CAB	+	∡ABC.	
	 R.	T.	Sí.
	 	 Está	en	un																			
		 lado	del	ángulo.
	 El	∠AOB.
R.	T.	Porque	los	lados	OA	y	OC	miden	lo	mismo,	ya	que	son	radios	del	círculo.
	 	
R.	T.	Porque	∡ACB	+	∡OAC	es	igual	a	∡BOA,	pero	∡OAC	=	∡ACB	por	ser	
ángulos	de	un	triángulo	isósceles,	entonces	2∡ACB	=∡BOA.	
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199
Eje:	Forma,	espacio	y	medida
Tema:	Medida
Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones
4 Trabaja con un compañero. Contesten en sus cuadernos.
Observen	que	∠ABC	es	inscrito	y	el	centro	de	la	circun-
ferencia	está	dentro	de	él.	También	noten	que	el	ángulo	
central	que	abarca	el	mismo	arco	es	∠AOC.	
a)	 		∡AOC	se	puede	expresar	como	la	suma	de	dos	ángu-
los	centrales.	¿Cuáles?	
b)	 		∡ABC	se	puede	expresar	como	la	suma	de	dos	ángulos	inscritos.	Además,	estos	
tienen	un	lado	sobre	el	centro	de	la	circunferencia.	¿Cuáles	son?	
c)	 Escriban	en	sus	cuadernos,	con	base	en	lo	anterior	y	el	resultado	de	la	actividad	3,	
por	qué	∡AOC	=	2∡ABC.
Identifiquen	el	ángulo	central	que	abarca	el	mismo	arco	que	
∠ABC.	Observen	que	su	medida	puede	expresarse	como	
la	resta	de	∡DOA	y	∡DOC.	Noten	que	∡ABC	es	igual	a	la	
resta	de	dos	ángulos	inscritos	que	tienen	un	lado	sobre	el	
centro	de	la	circunferencia.	
d)	 Escriban	en	sus	cuadernos,	con	base	en	lo	anterior	y	el	resultado	de	la	actividad	3,		
	 por	qué	∡AOC	=	2∡ABC.
•	 	Comparen,	con	ayuda	del	profesor,	sus	respuestas,	incluyendo	las	de	la	pregunta	
inicial,	con	las	de	sus	compañeros.
Si	observamos	la	ubicación	de	un	ángulo	inscrito	en	una	circunferencia	con	respecto	al	centro	de	
la	misma,	se	pueden	presentar	tres	casos.	
El	centro	está	sobre	
un	lado	del	ángulo.
El	centro	está	dentro		
del	ángulo.
El	centro	está	fuera		
del	ángulo.
En	la	lección	anterior	observaste	que	varios	ángulos	centrales	miden	el	doble	que	el	inscrito	que	
abarca	el	mismo	arco.	En	matemáticas	no	es	suficiente	hacer	muchas	observaciones	para	obte-
ner	una	conclusión	o	determinar	una	propiedad.	Es	necesario	demostrar	que	lo	que	se	dice	es	
válido	siempre.	
En	la	actividad	3	de	esta	lección,	se	demostró	que	un	ángulo	inscrito	mide	la	mitad	de	lo	que	mide	
el	central	que	abarca	el	mismo	arco.	Pero	esto	solo	se	hizo	para	cualquier	caso	en	que	el	centro	
de	la	circunferencia	esté	sobre	un	lado	del	triángulo.	El	propósito	de	la	siguiente	actividad	es	que	
obtengas	una	demostración	de	los	otros	dos.
O
C
B
A
D
D
C
A
O
B
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200
Lección 71
PREGUNTA INICIAL
Ángulos en el círculo III
¿Cuál	es	la	suma	de	los	ángulos	A	y	B?	
1 Traza cinco ángulos inscritos que abarquen el mismo arco que el ángulo central B
y contesta.
a)	 ¿Cuál	es	la	medida	del	ángulo	B?	
	
b)	 ¿Y	la	de	los	ángulos	que	trazaste?	 	¿Por	qué?	
	
2 Escribe la medida del ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la
conclusión de la actividad anterior. Observa cuál es el arco del ángulo.
	 ∡A	=	 	 ∡A	=	 	 ∡A	=	
Si	un	lado	de	un	triángulo	inscrito	en	una	circunferencia	coincide	con	un	diámetro	de	
la	misma,	entonces	es	un	triángulo	rectángulo.
B
A
A
A
A B
180°
	 90°	 R.	T.	Porque	abarcan	el	
mismo	arco	que	un	ángulo	central	de	180°.
	 90°	 90°	 90°
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201
Eje:	Forma,	espacio	y	medida
Tema:	Medida
Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones
3 Efectúa lo que se pide.
a)	 Traza	el	segmento	OP.
b)	 Localiza	el	punto	medio	de	OP	y	llámalo	M.	
c)	 Traza	una	circunferencia	con	centro	en	M	que	pase	por	O	y	P.
d)	 La	circunferencia	que	trazaste	interseca	a	la	otra	en	dos	puntos.	Llámalos	A	y	B.	
e)	 Explica	por	qué	∠PAO	es	recto.	Observa	que	es	un	ángulo	inscrito	de	la	circunferen-
cia	que	trazaste.	
	
4 Explica en tu cuaderno por qué la figura del reto c) de la página 195 es un
rectángulo y por qué el triángulo del reto d), un triángulo rectángulo.
5 Traza tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P. Utiliza solo regla
y compás. Ten en cuenta la actividad 3.
a)	 	¿Cuántas	tangentes	pudiste	trazar?	
6 Utiliza la actividad inicial para resolver el reto a) de la página 194.
7 Halla en grupo la respuesta correcta a la pregunta inicial.
Recuerda
La	tangente	
de	una	
circunferencia	
debe	ser	
perpendicular	
al	radio	en	
el	punto	de	
tangencia.
O
P
P
TIC
En	www.e-
sm.com.mx/
matcom2-201	
hallarás	
un	video	
relacionado	con	
este	tema.
Elabora	en	tu	
cuaderno	un	
informe	con	lo	
más	importante	
del	mismo.
M
A
B
	 R.	T.	Porque	es	un	ángulo	inscrito	que	interseca	el	mismo	arco	
que	el	ángulo	central	OMP,	el	cual	mide	180°.
	 Dos.
S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 201 3/5/13 12:57 PM
Juegos y retos
202
Gráficas de línea
Las	figuras	representan	cisternas	con	las	medidas	que	se	indican.
Las	cisternas	se	llenan	con	llaves	cuyo	flujo	es	constante.	Las	gráficas	siguientes	rela-
cionan	el	tiempo	con	la	altura	del	agua	en	cada	cisterna.	Anota	en	el	paréntesis	a	qué	
tinaco	corresponde	cada	una.
6 dm
6 dm
6 dm
6 dm
a) b)
6 dm
9 dm
4 dm
9 dm
4 dm
6 dm
c)
altura
(	 	)
tiempo
altura
(	 	)
tiempo
altura
(	 	)
tiempo
altura
(	 	)
tiempo
a
b
c
S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 202 3/5/13 12:57 PM
203
Efectúa	lo	siguiente	para	determinar	qué	gráfica	corresponde	a	cada	cisterna.	
i)	 Calcula	el	volumen	de	las	cisternas.	
	 a)	V	=	 	dm3
	 b)	V	=	 	dm3
	 c)	V	=	 	dm3
ii)	 ¿Cuántos	litros	caben	en	cada	cisterna?	
	 a)	 	L	 b)	 	L	 c)	 	L
iii)	 Si	se	vierten	12	L	de	agua	en	cada	cisterna,	¿qué	altura	alcanza	el	líquido?
	 a)	 	dm	 b)	 	dm	 c)	 	dm
iv)	 ¿Cuántos	litros	de	agua	se	deben	verter	para	que	se	llenen	hasta	una	altura	de	3	dm?
	 a)	 	L	 b)	 	L	 c)	 	L
v)	 ¿Cuál	cisterna	tiene	mayor	superficie	en	la	base?	___________________________
vi)	 ¿Cómo	es	la	relación	entre	la	altura	del	agua	en	la	cisterna	y	el	tiempo	que	tarda	en	llenarse	
con	respecto	a	las	otras	dos	cisternas.	Explica	tu	respuesta.	______________________	
	 _____________________________________________________________________
	
vii)	¿Cómo	se	refleja	esto	en	las	tres	gráficas	que	seleccionaste?	__________________
	 _____________________________________________________________________
Explica	en	tu	cuaderno	cómo	seleccionaste	la	gráfica	que	corresponde	a	cada	tinaco.
•	 	Compara	tus	resultados	y	las	justificaciones	con	las	de	tus	compañeros.	Entre	todos	
redacten	una	conclusión.
PISTAS Y ESTRATEGIAS
(	 	)
tiempo
altura
(	 	)
altura
tiempo
	 216	 216	 216
	 216	 216	 216
	 0.3333	 0.5	 0.2222
	 108	 72	 162
	 La	cisterna	c).
	 R.	T.	Las	tres	se	llenan	al	
mismo	tiempo;	pero	si	la	cisterna	es	más	alta,	el	agua	sube	más	rápido.
	 R.	T.	Entre	más	baja	
es	la	cisterna,	el	ángulo	de	la	línea	con	el	eje	horizontal	es	menor.	
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204
Lección 72
PREGUNTA INICIAL
Gráficas de proporcionalidad I
¿Cómo	es	la	gráfica	de	una	relación	de	proporcionalidad?
1 Efectúa lo que se pide.
Jaime	trabaja	en	una	casa	de	cambio	en	el	aeropuerto.	Ahí	venden	monedas	de	distintos	
países.	El	precio	de	las	monedas	extranjeras	cambia	diario;	la	que	más	se	vende	es	el	
dólar.	Jaime	hizo	la	siguiente	tabla	para	saber	cuánto	debe	pagar	al	comprar	dólares.
Fuente:	www.banxico.org.mx/portal-mercado-cambiario/index.html.	Fecha	de	consulta:	5	de	octubre	de	2012.	
Dólares 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 25.50 63.75 127.50 318.75 637.50 1	275.00
a)	 Denota	con	p	la	cantidad	de	pesos	y	con	d	la	de	dólares,	y	escribe	en	la	línea	una	
expresión	que	las	relacione.	
b)	 ¿La	tabla	es	de	variación	proporcional	directa?	
•	 	Observa	las	tablas	para	otras	monedas.
Euros 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 33.04 82.60 165.20 413.00 826.00 1	652.00
c)	 ¿Las	tablas	anteriores	son	de	variación	proporcional	directa?	
d)	 Denota	con	p	la	cantidad	de	pesos	y	con	e	la	de	euros,	y	escribe	en	la	línea	una	ex-
presión	que	las	relacione.	
Libras esterlinas 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00
Pesos 41.54 103.85 207.70 519.25 1	038.50 2	077.00
e)	 Denota	con	p	la	cantidad	de	los	pesos	y	con	l	la	de	libras	en	una	expresión	que	las	
relacione.	
f)	 ¿En	qué	se	parecen	tus	expresiones	de	los	incisos	a),	d)	y	e)?	
	
Si	dos	variables,	x	y	y,	se	relacionan	de	manera	directamente	proporcional	se	cumple	que
y	=	kx,
donde	k	es	un	constante.	
Es	decir,	si	se	conoce	el	valor	de	x,	el	valor	correspondiente	de	y	se	calcula	multiplicando	x	por	k.
Investiga	en	qué	
países	se	utili-
zan	los	euros	y	
las	libras	ester-
linas.
	 p	=	12.75	d
	 Sí.
	 Sí.
	 p	=	16.52	e
	 p	=	20.77	l
	 R.	T.	En	que	todas	
consisten	en	una	constante	que	multiplica	a	la	moneda	extranjera.	
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205
Eje:	Manejo	de	la	información
Tema:	Proporcionalidad	y	funciones
Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano
cartesiano
2 En el plano cartesiano se graficaron los valores de la primera tabla de la página
anterior. Elabora en el plano cartesiano las gráficas que relacionan los pesos con
euros y con libras esterlinas. Utiliza colores distintos.
a)	 Comprueba	que	las	gráficas	que	trazaste	sean	líneas	rectas	que	pasen	por	el	punto	
(0,	0).	Si	no	es	así,	revisa	tus	resultados	y	corrige	tus	gráficas.	
b)	 ¿Cuál	línea	hace	un	ángulo	mayor	con	el	eje	horizontal?	
c)	 ¿Y	cuál	hace	un	ángulo	menor?	
d)	 ¿De	qué	depende	la	inclinación	de	las	rectas?	
e)	 ¿Por	qué	las	rectas	deben	pasar	por	el	punto	(0,	0)?	
	
	
Observa
Aunque	en	las	
gráficas	solo	
se	representan	
segmentos	de	
recta,	ya	que	
no	se	pueden	
representar	
las	rectas	
completas	
porque	la	
longitud	de	
estas	es	infinita,	
las	propiedades	
que	se	analizan	
se	refieren	a	
toda	la	recta.
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Monedas extranjeras
(pesos / dólares)
Pesos
Valores de los dólares, euros y libras esterlinas en pesos
(pesos	/	euros)
(pesos	/	libras)
	 La	de	las	libras	esterlinas																							
	 La	de	los	dólares.
	 R.	T.	Del	valor	de	la	moneda	extranjera.
	 R.	T.	Porque	por	0	monedas	
extranjeras	se	pagan	0	pesos.	
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206
Lección 73
PREGUNTA INICIAL
Gráficas de proporcionalidad II
¿Todas	las	gráficas	que	son	rectas	representan	una	relación	de	proporcionalidad?
1 Lee el texto y observa la figura.
Un	objeto	se	encuentra	a	27	m	del	suelo.	En	cierto	mo-
mento,	empieza	a	ser	jalado	mediante	una	manivela.	Por	
cada	cinco	vueltas	de	la	manivela,	el	objeto	sube	1	m.	
a)	 Completa	la	tabla	con	la	altura	que	alcanza	el	objeto.	
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 27 28
b)	 ¿La	tabla	es	de	variación	proporcional	directa?	
c)	 ¿A	qué	altura	se	encontrará	el	objeto	cuando	la	manivela	dé	siete	vueltas	y	media?	
d)	 ¿Cuántas	vueltas	tendría	que	dar	para	que	el	objeto	se	encontrara	a	40	m	de	altura?
e)	 Denota	con	v	el	número	de	vueltas	y	con h	la	altura.	Anota	una	expresión	algebraica	
	 que	relacione	ambas	variables.	
f)	 Comprueba	que	los	valores	de	la	tabla	cumplan	tu	regla	de	correspondencia	del		
inciso	anterior.	Si	no	es	así,	revisa	tu	regla	y	tus	cálculos.
g)	 Grafica	los	valores	de	la	tabla	en	el	plano	cartesiano	de	la	siguiente	página.	
h)	 Considera	que	en	lugar	de	subir	el	objeto,	la	manivela	lo	bajara:	cada	cinco	vueltas	
el	objeto	descendería	1	m.	Completa	la	tabla	como	en	el	ejemplo.	
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 27
i)	 ¿La	tabla	anterior	es	de	variación	proporcional	directa?	
La	expresión	algebraica	que	relaciona	dos	variables	que	presentan	una	relación	fun-
cional,	se	llama	regla de correspondencia.
	 29	 30	 31	 32
	 No.
A	28.5	m
65	vueltas.
	 h	=	
1
5
v	+	27
	 26	 25	 24	 23	 22
	 No.
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207
Eje:	Manejo	de	la	información
Tema:	Proporcionalidad	y	funciones
Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano
cartesiano
j)	 Escribe	la	regla	de	correspondencia	de	la	tabla	del	inciso	anterior	y	grafícala.	Utiliza	
un	color	distinto	del	que	empleaste	para	la	gráfica	anterior.	
k)	 Completa	la	tabla.	Supón	que	el	objeto	se	encuentra	en	el	suelo	y	empieza	a	ser	su-
bido	por	la	manivela.	
Vueltas 0 5 10 15 20 25
Altura (m) 0
l)	 ¿La	tabla	es	de	variación	proporcional	directa?	 	¿Por	qué?	
	
m)	Anota	la	regla	de	correspondencia	de	la	tabla	y	grafícala	en	el	plano	cartesiano.
	
2 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen, con ayuda del
profesor, las características de una gráfica de una relación de proporcionalidad
directa.
0
5
5 10 15 20 25
10
15
20
25
30
35
Altura de un objeto de la manivela
Vueltas
Altura
	 	 1	 2	 3	 4	 5
	 Sí.	 R.	T.	Porque	si	
se	divide	la	altura	entre	el	número	de	vueltas	siempre	se	obtiene	un	quinto.
h	=	
1
5
v
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208
Lección 74
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal I
¿De qué depende el valor de y en la expresión y = 34x?
1 Analiza la situación y efectúa lo que se solicita.
a) Un tren recorre una ruta que inicia en Torreón, Coahuila, y termina en Jiménez,
Chihuahua, haciendo parada en la estación de Gómez Palacio, Durango (a 10.2 km
de Torreón). Después de pasar por esa estación, el tren avanza a una velocidad
constante de 90 km/h hacia Jiménez. A los cinco minutos de haber salido de Gómez
Palacio, ¿qué distancia lleva recorrida en total? ¿Y después de 15 minutos? ¿Y en 20
minutos? Completa la tabla y responde en tu cuaderno.
Tiempo
(min)
0 1 2 5 10 15 20
Distancia
(m)
10200
i) ¿Cómo calculaste la distancia (en me-
tros) que recorre el tren en un minuto?
ii) ¿Y la que recorre en 10 min?
iii) ¿Cómo calcularías la distancia total re-
corrida por el tren a los 20.5 minutos de
pasar por Gómez Palacio?
iv) ¿Por qué se indica en la tabla que el
tren lleva recorridos 10200 m en el
tiempo 0?
v) Escribe una ecuación que permita obtener la distancia total en metros (d) que
lleva recorrido el tren en la ruta Torreón-Jiménez. Representa con t el tiempo
transcurrido (en minutos) desde que el tren pasa por Gómez Palacio.
d =
vi) Calcula con la ecuación anterior qué distancia lleva recorrida el tren a los
12 minutos de salir de Gómez Palacio.
Lleva recorridos m
Observa que a cada valor del tiempo le corresponde un valor único de la distancia.
Jiménez
Química
El Rey
Escalón
ElOro
TORREÓN
Cadena
Gómez Palacio
	 10	201.5	 10	203	 10	207.5	 10	215	 10	222.5	 10	230
	
10	200	+
	
3
2
t
	 10	218
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209
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación
mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b
b) Después de llegar a Jiménez, el tren se regresa con carga pesada hacia Torreón y
nuevamente lleva velocidad constante. En la tabla se muestra la distancia que le
falta por recorrer para llegar a Torreón. Complétala y anota en los óvalos cuánto se
debe restar a la distancia anterior para obtener la siguiente.
Tiempo
(min)
0 1 2 3 4 5
Distancia
(km)
240.7 239.4 238.1 236.8 235.5
i) ¿Qué distancia recorrió en cada minuto?
ii) ¿A qué distancia se encontraba de Torreón 8 min después de iniciar el regreso?
iii) ¿Y 12 min después?
iv) ¿Cuánto tardó en regresar a Torreón?
v) Escribe una ecuación para calcular cuántos kilómetros le faltan al tren para
llegar a Torreón después de t minutos de emprender el regreso.
d =
2 Contesta.
a) Observa que en los problemas anteriores se proporcionaron datos como la velocidad
del tren, la distancia deTorreón a Gómez Palacio y el tiempo de recorrido desde que
salió de Gómez Palacio. ¿Cuáles son variables y cuáles constantes?
Datos constantes Datos variables
b) ¿Qué datos se pedía calcular en ambos problemas?
¿Estos datos son constantes o variables?
3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
Una función es una relación de correspondencia entre dos variables, de manera que
a cada valor de la primera le corresponde uno de la segunda.
− − − −−
	 242
	 1.3	 1.3	 1.3	 1.3	 1.3
	 1.3	km
Se	encontraba	a	231.6	km
	 Se	encontraba	a	226.4	km
	 3	horas,	6	minutos	y	9	segundos.
	 240	−	1.3t
La	distancia	de	Torreón	a	Jiménez.	
La	distancia	de	Torreón	a	Gómez	Palacio.
La	velocidad	del	tren.	
	 El	tiempo	en	que	recorre	
ciertas	distancias	desde	que	sale	de	Gómez	Palacio,	y	la	distancia	para	llegar	
a	Torreón	desde	que	sale	de	Jiménez	en	determinados	tiempos.
	 Son	variables.
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210
Lección 75
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal II
Si y = 3 + 4x, ¿cómo cambia el valor de y cuando x aumenta una unidad?
1 Lee las situaciones y efectúa lo que se pide.
a) La gráfica muestra el estiramiento de un resorte al que se han colocado varios pesos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Pesos (kg)
i) Escribe de qué depende la longitud del resorte.
ii) ¿Cuánto se estira el resorte con una pesa de 1 kg?
iii) ¿Y con una de 2 kg?
iv) Anota cuánto se estira un resorte con una pesa de 10 kg.
v) Con base en lo anterior, completa la tabla.
vi) Escribe una ecuación que permita obtener la longitud del resorte a partir del
peso. Denota con L la longitud del resorte y con p el peso que se coloca.
vii) Calcula con la expresión anterior la longitud del resorte con una pesa de 6.7 kg.
La longitud del resorte es de cm.
Peso (kg) 1 3 5 7 8 9 11 12
Longitud del resorte (cm)
Longituddelresorte(cm)
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Estiramiento del resorte según el peso que carga
	 Del	peso	que	carga.
	 Se	estira	2	cm
	 Se	estira	4	cm
	 20	cm.
	 10	 14	 18	 22	 24	 26	 30	 32
	 L	=	8	+	2p
	 21.4
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211
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
b) Un automóvil que circula a 60 km/h acelera de forma constante durante quince se-
gundos. Anota en los óvalos de la tabla cuánto se debe sumar a cada velocidad para
obtener la siguiente.
Tiempo
(s)
0 1 2 3 4 5 6
Velocidad
(km/h)
60 62.9 65.8 68.7 71.6 74.5 77.4
i) ¿Cuánto aumenta la velocidad cada segundo?
ii) ¿Cuál es la velocidad del automóvil a los 12 s de empezar a acelerar?
iii) ¿Y a los 15 s?
iv) Escribe una ecuación para calcular la velocidad del automóvil (V) en el tiempo t.
V =
c) Un camión circula a 90 km/h. El conductor frena y la velocidad disminuye de manera
constante 7.5 km/h cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá el camión tras un segundo
de haber frenado? ¿Y después de 5 s? Completa la tabla y contesta.
Tiempo
(s)
0 1 2 3 4 6 8 10 12
Velocidad
(km/h)
90
i) ¿Cuál es la velocidad del camión a los 3.5 s después de frenar?
ii) ¿Y a los 4.2 s de frenar?
iii) Escribe una ecuación que permita determinar la velocidad del camión (V) en el
tiempo t.
V =
2 Grafica en tu cuaderno las situaciones de los incisos b) y c) de la actividad anterior.
3 Compara tus respuestas de esta lección con las de tres o cuatro compañeros.
Corrijan las que no sean correctas. En el caso de las ecuaciones consideren que
pueden estar escritas de distinta forma pero ser equivalentes.
4 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación
mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b
+ + + + + +	 2.9	 2.9	 2.9	 2.9	 2.9	 2.9
	 Aumenta	2.9	km/h
	 94.8	km/h
	 103.5	km/h
	 60	+	2.9t
	 82.5	 75	 67.5	 60	 45	 30	 15	 0
	 63.75	km/h
		 58.5	km/h
	 90	−	7.5t
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212
Lección 76
PREGUNTA INICIAL
Variación lineal III
¿Cuál es la regla de correspondencia de la siguiente sucesión?
2, 7, 12, 17, 22, 27, …
1 Resuelve los siguientes problemas.
a) A nivel del mar el agua hierve a 100 °C. A esta temperatura se le llama punto de ebu-
llición. Cuando la altitud cambia, el punto de ebullición también lo hace de acuerdo
con la ecuación
t = 100 − 0.001h,
donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h, la altitud
en metros.
i) Anota el punto de ebullición del agua en los siguientes lugares; la altitud aparece
entre paréntesis.
Pico de Orizaba (5747 m) Monterrey (537 m) Monte Éverest (8848 m)
ii) A mayor altitud, ¿el punto de ebullición aumenta o disminuye?
iii) ¿Cuántos grados varía el punto de ebullición por cada metro de altitud?
iv) ¿De qué depende el punto de ebullición del agua?
v) ¿Cuántos valores de punto de ebullición le corresponden a una altitud?
b) Un antropólogo puede estimar la estatura de un hombre conociendo la medida de su
húmero con la ecuación
H = 2.89h + 78.1,
donde H es la estatura y h, la longitud del húmero (ambas en centímetros).
i) Completa la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 159.02
ii) La longitud de dos húmeros difiere 1 cm. ¿Por cuánto difieren las estaturas?
El húmero es el
hueso del brazo
entre el hombro y
el codo (se mues-
tra resaltado en la
fotografía).
	 94.253∙	 99.463∙	 91.152∙
	 Disminuye.
	 0.001∙
	 De	la	altura.
	 Solo	
uno.
	 161.91	 164.8	 167.69	 170.58	 173.47	 176.36	 179.25	 182.14
Difieren	por	2.89	cm
S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 212 3/5/13 1:04 PM
213
Eje: Manejo de la información
Tema: Proporcionalidad y funciones
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación
mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b
• Un antropólogo hizo la siguiente tabla de estaturas, pero en lugar de sumar 78.1
empleó 78 como aproximación, es decir, aplicó la fórmula H = 2.89h + 78. Completa
la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 158.92
iii) Analiza con un compañero la diferencia entre los valores de esta tabla y los de la
que se elaboró con la fórmula original. Escriban sus conclusiones.
• Otro antropólogo hizo la siguiente tabla, pero usó 3 como aproximación de 2.89, es
decir, aplicó la fórmula H = 3h + 78.1. Completen la tabla.
h 28 29 30 31 32 33 34 35 36
H 162.1
iv) Analiza con un compañero cómo cambia esta tabla con respecto a la de la fórmula
original. Expresen sus conclusiones.
c) La siguiente tabla relaciona la estatura de las mujeres (M) en centímetros con la
longitud de su húmero; se elaboró con una fórmula similar a la de la estatura de los
hombres. Analicen la fórmula y anótenla.
h 27 28 29 30 31 32 33 34
M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9
M =
2 Revisa los incisos a), b) y c) de página 167.
3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen si la regla de
correspondencia es de la forma y = mx + b.
Las funciones, que se estudiaron en esta lección, como t = 100 − 0.001h
y H = 2.89h + 78.1 son de la forma y = mx + b.
Las siguientes funciones son de la forma y = mx + b. Observa que se utilizan distintas
literales para denotar las variables.
y = 3x + 2 z = 3f + 4 z = −5x + 3 y = −9s − 5
En el bloque 5 se estudiarán con más profundidad este tipo de funciones.
	 161.81	 164.7	 167.59	 170.48	 173.37	 176.26	 179.15	 182.04
R.	T.	Los	valores	de	las	estaturas	empiezan	en	un	número	distinto,	pero	la	
diferencia	es	2.89	entre	cada	una.
	 165.1	 168.1	 171.1	 174.1	 177.1	 180.1	 183.1	 186.1
R.	T.	Los	valores	de	las	estaturas	empiezan	en	otro	valor,	pero	la	diferencia		
es	3	entre	cada	una.
	 2.89h	+	70.64
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214
Lección 77
PREGUNTA INICIAL
Media ponderada
El maestro de Matemáticas de Javier califica con un examen y con tareas. Javier obtuvo
8 en el examen y 10 en tareas, y su promedio fue 7.5. ¿Qué valor se asigna a cada rubro?
1 Contesta.
Un maestro de Matemáticas califica teniendo en cuenta tres aspectos de acuerdo con
esta escala.
Examen: 55% de la calificación
Trabajo final: 25% de la calificación
Tareas: 20% de la calificación
a) Juan obtuvo las siguientes calificaciones.
i) Sin hacer cálculos, contesta: ¿cuál debe ser su promedio?
¿Por qué?
ii) Las calificaciones de tres alumnos
son las siguientes.
iii) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio mayor?
¿Por qué?
iv) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio menor?
¿Por qué?
v) Si alguien obtiene 10 de calificación en el examen y 0 en los otros dos aspectos,
¿cuál es su promedio? ¿Cómo lo calculaste?
vi) Un alumno obtuvo 10 en un aspecto, pero 0 en los otros dos. Si su promedio fue
2, ¿en qué aspecto obtuvo 10? ¿Cómo lo sabes?
vii) ¿Cuál es el valor de cada aspecto de la calificación del examen en el promedio?
¿Por qué?
Examen Trabajo Tareas
Alumno 1 8 10 8
Alumno 2 10 8 8
Alumno 3 8 8 10
Examen Trabajo Tareas
8 8 8
	 8
	 R.	T.	Porque	tuvo	8	en	todos	los	rubros.
	 	 El	alumno	2.
	 R.	T.	Porque	los	tres	tienen	dos	8	y	un	10,	pero	él	tuvo	la	
calificación	más	alta	en	el	rubro	con	mayor	valor,	de	acuerdo	con	la	escala.
	 El	alumno	1.
	 R.	T.	Porque	tuvo	10	en	el	rubro	con	menor	valor	en	la	escala.
	 Es	5.5	 R.	T.	El	examen	vale	
55%	de	la	calificación,	entonces	obtuvo	el	55%	de	10.	
	 En	tareas.	 R.	T.	Porque	
el	aspecto	vale	20%	de	10,	que	es	2.	
5.5,	2.5	y	2	 R.	T.	Porque	es	el	porcentaje	de	10	que	
corresponde	a	cada	uno.
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215
Eje: Manejo de la información
Tema: Análisis y representación de datos
Resolución de situaciones de medias ponderadas
viii) Calcula en tu cuaderno los
promedios de los siguientes
alumnos.
• Reúnete en equipo. Comparen sus respuestas del inciso a) y, si es necesario, corrijan
sus errores. Comenten los procedimientos que usaron para calcular los promedios en
el inciso viii) y redacten el que les parezca más eficiente en sus cuadernos. Después,
compárenlo con el de los otros equipos y elijan el mejor con ayuda de su profesor.
2 Resuelve lo siguiente. Después compara tus respuestas con las de tus compañeros.
a) Se evaluó la calidad de cinco marcas de televisiones teniendo en cuenta cuatro
aspectos: Duración (D), Calidad de imagen (I), Calidad de sonido (S) y Ahorro de ener-
gía (A). Cada aspecto recibe una calificación de 1 a 10, pero corresponde a una parte
de la calificación final de acuerdo con la siguiente escala.
D = 1
3
I = 1
6
S = 1
6
A = 1
3
• Completa la tabla.
D I S A Promedio
Marca 1 7 7 7 7
Marca 2 7 7 8 7.5
Marca 3 8 8 10 8
Marca 4 7 6 6 6
b) Un profesor califica con un examen oral y uno escrito. Si asigna 75% de la calificación
al examen escrito, ¿cuánto debe asignar al examen oral? ¿Por qué?
c) Roberto estudia con el profesor del inciso b) y obtuvo 7.5 de promedio. ¿Qué califica-
ciones pudo obtener en cada aspecto? Anota dos posibilidades.
3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Con la calculadora puedes
darte cuenta de que hay una diferencia constante entre un término y el siguiente.
Calcula cuál es esta diferencia.
La media ponderada de un conjunto de datos es un valor representativo de estos cuando
no todos tienen la misma importancia; a cada uno se le asigna un valor llamado peso.
Por ejemplo: un profesor asigna calificaciones de esta forma: 80%, examen; 20% ta-
reas. Entonces, el examen tiene un peso de 80%, o 0.8, y las tareas, de 20%, o 0.2.
Examen Trabajo Tareas Promedio
Alumno 4 7 8 9
Alumno 5 7 10 10
Alumno 6 8 9 10
Alumno 7 9 7 8
Alumno 8 6 10 8
	 7.65
	 8.35
	 8.65
	 8.3
	 7.4
	 7
	 8
	 6
	 	 5
	 25%	 R.	T.		
Porque	debe	cubrir	100%	para	obtener	la	calificación.
	
	 R.	T.	7.5	en	ambos	
exámenes,	o	10	en	el	examen	escrito	y	0	en	el	oral.
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216
TIC
Sucesiones con calculadora
Para generar sucesiones puedes usar una calculadora científica. Observa el siguiente
ejemplo:
Supongamos que debes continuar la siguiente sucesión.
−7.004, −6.801, −6.598
Entonces, para continuar la serie debes restar esta diferencia al término anterior. Esto
se hace fácilmente de la siguiente manera.
Teclea el número 6.598 y presiona la tecla +/- . En la pantalla aparece:
Oprime la tecla ∙ dos veces. Después teclea el número que es la diferencia que
calculaste y presiona las teclas +/- y ∙ .
En la pantalla se lee:
que es el siguiente término de la sucesión. Para calcular los siguientes solo necesitas
presionar la tecla ∙ .
• Escribe cuatro términos de una sucesión en tu cuaderno e intercámbialo con un
compañero para que escriba otros diez términos usando la calculadora.
877 8 99
-6.598
877 8 99
-6.395
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217
Matemáticas para la vida
Reúnete con un compañero. Respondan lo siguiente en sus cuadernos.
1. Observa los siguientes datos.
Estatura (m)
Longitud del
pie (m)
Longitud del paso
de punta a punta (m)
Persona 1 1.63 0.266 0.506
Persona 2 1.78 0.29 0.552
Persona 3 1.86 0.304 0.578
Persona 4 1.58 0.258 0.49
Persona 5 1.65 0.269 0.512
a) Determinen una constante de proporcionalidad (k) y escriban una expresión de la forma y = mx
para determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud del pie. Hagan lo mismo para
el caso en que se conozca la longitud de la huella.
b) Usen sus fórmulas para determinar la estatura de algunos compañeros conociendo la longitud de
su pie y de sus pasos.
Las huellas de una persona
Es posible determinar la estatura de
una persona si se conoce la longitud
de su pie o de sus pasos. Estos datos
pueden obtenerse, por ejemplo, de
las huellas que una persona deja so-
bre la arena.
Por medio del análisis de varios datos
estadísticos, se ha descubierto que la
estatura de una persona guarda una
relación directamente proporcional
con el tamaño de su pie y con la lon-
gitud de sus pasos.
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218
Evaluación
Subraya la respuesta correcta.
1 Cuál es la regla de la sucesión 3, 0, –3, –6, –9…
a) 3n + 6 b) 3n − 6
c) −3n + 6 d) −3n − 6
2 ¿Cuál es la solución de 4(x – 1
2
) = 2?
a) −1 b) 1 c) 1
2
d) −1
2
3 Elena pensó un número, le restó un cuarto, multiplicó el resultado por 2 y sumó 5.
Sergio pensó el mismo número que Elena, le restó un medio, multiplicó el resultado
por 3, restó 6 y obtuvo el mismo resultado que Elena. ¿Qué número pensaron?
a) −10 b) −12 c) 12 d) 10
4 El triple de un número más la mitad del que le sigue da como resultado 18. ¿Cuál
es el número?
a) 1
2
b) 1 c) 5 d) 18
5 ¿Qué ecuación es equivalente a 3x + 4 – 2x = 5 – 2x – 1
a) −x = −5 b) 3x = 0 c) 3x + 1 = 0 d) −3x + 1 = 0
6 ¿Qué afirmación es cierta?
a) El ángulo A mide la mitad que B.
b) El ángulo A mide el doble que B.
c) Los ángulos A y B miden lo mismo.
d) La suma de las medidas de A y B es 180°.
A B
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219
7 ¿Qué gráfica corresponde a una función de la forma y = mx?
a) I
b) II
c) III
d) IV
8 Un automóvil consume un litro de gasolina por cada doce kilómetros recorridos.
La capacidad del tanque es de 40 litros. Si se representa con y la cantidad de litros
en el tanque y con x los kilómetros recorridos, ¿qué expresión relaciona x y y a
partir del tanque lleno?
a) x = 40 −
1
12y b) y = 40 −
1
12x c) y = 40x d) y =
1
12x
9 En la tabla se registra la longitud de un resorte al que se le cuelgan distintos
pesos.
Peso (kg) 1 2 3 4
Longitud (cm) 13 16 19 21
Si l representa la longitud del resorte y p, el peso, ¿cuál es la fórmula que relaciona am-
bas cantidades?
a) l = 3p b) p = 3l c) l = 3p + 10 d) p = 3l + 10
10 Un profesor de Matemáticas califica con un examen, tareas y una exposición.
Elena obtuvo 4 en el examen, 9 en tareas y 10 en la exposición. Si obtuvo 5.5 de
promedio, ¿qué afirmación es cierta?
a) La exposición tiene menos peso que los otros dos aspectos.
b) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos.
c) El examen tiene más peso que los otros dos aspectos juntos.
d) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos juntos.
I
II III
IV
X
Y
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Bloque 4

  • 1. BLOQUE 4 166 Aprendizajes esperados • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. • Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. • Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propie- dades de la media y la mediana. El atletismo es un deporte que consta de varias disciplinas clasificadas como carreras, saltos, lanzamientos, pruebas combinadas y marcha. La mayoría de estas pruebas se llevan a cabo en una pista especial formada por dos rectas paralelas y dos semicírculos. Las carreras se clasifican de acuerdo con la distancia a cubrir: de velocidad (distancias hasta 400 m), de medio fondo (entre 600 m y 3000 m) y de fondo, en las que se cubren distancias mayores. También hay carreras de obstáculos y pruebas de equipo denominadas carreras de relevos. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 166 3/6/13 12:04 PM
  • 2. 167 Trabaja en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. También pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen. El esquema es de una pista de atletismo. Las distancias están en metros. a) Calculen las longitudes de la línea roja (parte interior de la pista) y la línea azul (parte exterior). Tomen 3.1416 como el valor de π. b) Las pistas de atletismo se dividen en cua- tro, seis y ocho carriles de 1.22 m de an- cho. ¿Cuántos carriles tiene la pista del diagrama? La línea verde es la ruta teó- rica que seguiría un corredor del primer carril. ¿Cuál es la longitud de esta línea? c) Hallen la longitud de la ruta teórica de los otros carriles con la expresión π2x + 168.6, donde x representa el radio del se- micírculo correspondiente. Recuerden que los carriles miden 1.22 m de ancho. Comprueben que esta fórmula es útil para calcular las respuestas de los incisos anteriores. ¿De dónde sale el número 168.6? 84.3 36.8 36.5 46.2 S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 167 3/6/13 12:04 PM
  • 3. Juegos y retos 168 Cuadrados mágicos Un cuadrado mágico está compuesto de números ubicados en un arreglo cuadrado de manera que al sumar los de cualquier columna, fila o diagonal siempre se obtiene el mismo número. Los cuadrados mágicos se llaman así por propiedades que veremos, pero no tienen nada que ver con la magia ni con algo sobrenatural. Enseguida tenemos un cuadrado mágico de 3 × 3, que llamaremos cuadrado mágico modelo de 3 × 3. 8 1 6 8 + 1 + 6 = 15 3 5 7 3 + 5 + 7 = 15 4 9 2 4 + 9 + 2 = 15 En este caso, la suma constante es 15, por lo que podemos decir que la constante del cuadrado mágico es 15. Observa que los números en el cuadrado modelo son la serie del 1 al 9. Aunque hay cuadrados mágicos muy simples, como el siguiente, son más interesantes aquellos en que los números tienen una secuencia. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Completa el siguiente cuadrado mágico de 4 × 4 con los números del 1 al 16 que faltan. La constante es 34. 8 13 10 6 4 9 14 2 7 6+7+2=15 1+5+9=15 8+3+4=15 4 + 5 + 6 = 15 8 + 5 + 2 = 15 1 12 15 3 5 16 11 S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 168 3/6/13 12:04 PM
  • 4. 169 Construye cuadrados mágicos de 3 × 3 con cada sucesión numérica. −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 En los cuadrados mágicos podemos encontrar algunas propiedades; una es que si cada número se suma, resta, multiplica o divide por la misma cantidad, se obtiene otro cua- drado mágico. Efectúa las operaciones que se indican en el cuadrado modelo de 3 × 3. Verifica que ob- tengas cuadrados mágicos y anota su constante. Suma 4 Resta 6 Multiplica por −1 constante: constante: constante: Contesta. a) ¿Qué operación aplicarías al cuadrado modelo de 3 × 3 para obtener uno con solo números pares? b) ¿Y para obtener uno con números distintos, cuya constante sea cero? c) Menciona dos maneras de obtener un cuadrado mágico de constante 30 a partir del cuadrado modelo. d) ¿Cómo cambia la constante de un cuadrado mágico de 3 × 3 si a cada número se aumenta 1? e) ¿Y la de un cuadrado mágico de 4 × 4? PISTAS Y ESTRATEGIAS 3 −4 1 24 3 18 −2 0 2 9 15 21 −1 4 −3 12 27 6 12 5 10 2 −5 0 −8 −1 −6 7 9 11 −3 −1 1 −3 −5 −7 8 13 6 −2 3 −4 −4 −9 −2 27 −3 −15 R. T. Multiplicar por un número par. R. T. Restar 5. R. T. Sumar cinco y multiplicar por dos. R. T. Aumenta tres. R. T. Aumenta cuatro. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 169 3/6/13 12:04 PM
  • 5. 170 Lección 58 PREGUNTA INICIAL Sucesiones I ¿Cómo puede calcularse el término 45 de la siguiente sucesión? 3, 7, 11, 15… 1 Completa el cuadrado restando 7 a los términos del cuadrado modelo de 3 × 3. −6 −5 a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante? b) Relaciona los números del cuadrado anterior con los que le corresponden en el cua- drado modelo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c) ¿Los números que anotaste van aumentando o disminuyendo? d) Observa que has obtenido una sucesión de números cuyo primer término es −6. ¿Cuál es el octavo? e) Si la sucesión continuara, ¿cuál sería el décimo? ¿Y el vigésimo? ¿Cuál sería el centésimo? f) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior? 2 Completa el cuadro con los términos del cuadrado modelo de 3 × 3 multiplicados por –2. a) Verifica que sea un cuadrado mágico. ¿Cuál es su constante? −6 −2 −4 de nuevo el reto 1 −1 −4 −2 0 −3 2 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 R. T. Aumentando. R. T. Es uno. 3 13 93 R. T. Se suma uno. −16 −12 −6 −10 −14 −8 −18 Es −30. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 170 3/6/13 12:04 PM
  • 6. 171 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones b) ¿Cuál es la sucesión de este cuadrado? Anótala enseguida. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen? d) ¿Cuál es el undécimo término de la sucesión? ¿Y el vigésimo? e) ¿Cómo se obtiene el siguiente término de la sucesión a partir del anterior? 3 Comenta en equipo tus respuestas. Efectúen lo siguiente. a) Discutan cuál es la forma más sencilla de hallar el quincuagésimo sexto término de la sucesión del cuadrado de la actividad 1 y escríbanla. b) Anoten una expresión algebraica para calcular el término n de la sucesión de la actividad 1. c) Encuentren la manera más sencilla de calcular el octogésimo tercer término de la sucesión de la actividad 2. d) Escriban una expresión algebraica para calcular el término colocado en la posición n de la sucesión de la actividad 2. 4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial con tus compañeros. Escribe las conclusiones que obtuvieron a continuación. Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros Observa Para denotar una posición cualquiera en una sucesión podemos usar una letra. Por ejemplo: n. La regla de una sucesión permite hallar cualquier término y puede indicarse con una expresión algebraica. Por ejemplo: La regla 3n − 10 genera la sucesión −7, −4, −1, 2, 5…, ya que n 1 2 3 4 5 3n − 10 3 − 10 = −7 6 − 10 = − 4 9 − 10 = −1 12 − 10 = 2 15 − 10 = 5 −2 −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18 R. T. Disminuyen. −22 −40 R. T. Se resta dos. R. T. Se resta siete a 56 y se obtiene 49. n − 7 R. T. Se multiplica 83 por −2 y se obtiene −166. −2n R. P. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 171 3/6/13 12:04 PM
  • 7. 172 Lección 59 PREGUNTA INICIAL Sucesiones II ¿Cuál es la regla que genera la sucesión 8, 5, 2, −1, −4…? 1 Observa la sucesión y responde. −13, −11, −9, −7… a) Anota los siguientes diez términos de la sucesión. b) ¿Los valores de la sucesión aumentan o disminuyen? c) ¿Cómo cambia un término de la sucesión con respecto al anterior? d) ¿Es una sucesión con progresión aritmética? ¿Por qué? e) ¿Cuál es el vigésimo cuarto término? f) Subraya la expresión que es regla de la sucesión. −2n + 5 −2n − 3 2n + 3 2n + 1 2 Anota los diez primeros términos de las sucesiones. Después contesta. Regla Valor n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4n − 11 3n − 5 −n + 8 −2n + 10 −5n − 5 −7n − 4 a) ¿Las sucesiones anteriores tienen progresión aritmética? ¿Porqué? b) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones aumentan? R. T. −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 R. T. Aumentan. R. T. Aumenta dos unidades. Sí. R. T. Porque la diferencia entre un término y el siguiente es constante. R. T. Es 45. −7 −3 1 5 9 13 17 21 25 29 −2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 −50 −55 −11 −18 −25 −32 −39 −46 −53 −60 −67 −74 Sí. R. T. Porque la diferencia entre un término y el siguiente es constante. R. T. 4n − 11 y 3n − 5. Son aquellas en las que el coeficiente de n es positivo. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 172 3/6/13 12:04 PM
  • 8. 173 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones c) ¿Con qué reglas los términos de las sucesiones disminuyen? 3 Responde las preguntas con respecto a las sucesiones. a) Escribe la regla algebraica de la sucesión 11, 7, 3, −1, −5, −9… i) Explica cómo la determinaste. b) Escribe la regla algebraica de la sucesión −5, −10, −15, −20, −30… i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? ii) ¿Cuáleslarelaciónentreesadiferenciayloscoeficientesqueaparecenenlaregla algebraica?Justificaturespuesta. c) ¿Cuál es la regla algebraica de la sucesión −11, −16, −21, −26, −31, −36… i) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión? ii) ¿Cuál es la relación entre la regla algebraica de la sucesión del inciso b) y la del inciso c)? Explica tu respuesta. 4 Comenta en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión. Comenten cómo pueden verificar que la regla que escribieron sea la regla algebraica de esa sucesión. Escriban sus conclusiones y preséntenlas a los demás equipos. Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros R. T. −n + 8, −2n + 10, −5n − 5, −7n − 4. Son las que tienen coeficiente negativo en n. −4n + 15 R. T. El coeficiente de n es la diferencia entre un término y el siguiente. Para determinar el término independiente se suma 15 a −4(1) = −4 para obtener 11, que es el primer término de la sucesión. −5n −5 R. T. La diferencia entre cada término es el coeficiente de n. −5n − 6 −5 R. T. La diferencia es el término independiente, que es −6; entonces, el primer término de cada sucesión cambia. R. P. S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 173 3/6/13 12:04 PM
  • 9. 174 Lección 60 PREGUNTA INICIAL Sucesiones III ¿Cuál es la regla de una sucesión cuyo primer término es 1 y el décimo, −26? 1 Escribe, a partir de la regla, los seis primeros términos de la sucesión. a) 3n + 4 b) 2n − 2 c) 2 − 2n d) 3n − 4 e) 4 − 3n • Contesta. f) ¿En qué sucesiones los términos van aumentando? g) ¿En qué sucesiones los términos van disminuyendo? h) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 3 en 3? i) ¿En qué sucesiones los términos cambian de 2 en 2? j) ¿Cómo cambiarías la regla de la sucesión 3n + 4 para que el primer término fuera 10? Justifica tu respuesta. k) ¿Cómo cambiarías la regla 3n + 4 para que los términos de la sucesión aumentaran de 2 en 2? 2 Completa las sucesiones y escribe cómo se calcula el término n. a) −5, −4, , , −1, ... término n: b) −3, −6, , −12, , ... término n: c) −2.3, −1.3, , , 1.7, ... término n: d) −3.5, −7, , , −17.5; ... término n: e) 1, 0.3, , −1.1, , −2.5 … término n: f) −4, −2.5, , , , 3.5 … término n: g) 2, 11 8 , , , −11 2 , ... término n: h) −51 4 , −33 4 , , , , 21 4 … término n: de nuevo el reto 7, 10, 13, 16, 19, 22 0, 2, 4, 6, 8, 10 0, −2, −4, −6, −8, −10 −1, 2, 5, 8, 11, 14 1, −2, −5, −8, −11, −14 R. T. En a), b) y d). R. T. En c) y e). R. T. En a), d) y e). R. T. En b) y c). R. T. Cambiaría el término independiente por 7, porque 3(1) + 7 = 10. R. T. Cambiaría el coeficiente de n por 2. −3 −2 0 n − 6 −9 −15 −18 −3n −0.3 0.7 2.7 n − 3.3 −10.5 −14 −21 −3.5n −0.4 −1.8 −0.7n + 1.7 −1 0.5 2 1.5n − 5.5 1 4 − 5 8 −2 3 8 − 7 8 n + 2 7 8 −2 1 4 − 3 4 3 4 3 2 n − 6 3 4 S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 174 3/6/13 12:04 PM
  • 10. 175 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 3 Contesta considerando las sucesiones de la actividad anterior. a) ¿Cuál es el término 10 en a)? b) ¿Cuál es el término 11 en b)? c) ¿Cuál es el término 22 en c)? d) ¿Cuál es el término 15 en d)? e) ¿Cuál es el término 30 en e)? f) ¿Cuál es el término 20 en f)? 4 Responde y haz lo que se indica. a) ¿Cuál es el primer término positivo de la sucesión cuya regla es n − 12? b) Escribe los cinco mayores términos negativos de la sucesión −1 4 n − 4. c) Anotalosdosmenorestérminospositivosdelasucesión−1 2 n+11 4 . 5 Relaciona cada sucesión con su regla anotando en el paréntesis la letra que corresponda. a) −4, −5, −6, −7, −8, −9… ( ) n2 − 5 b) −4, −6, −6, −4, 0, 6… ( ) n(n − 5) c) −4, −11, −18, −25, −32, −39… ( ) 3n − 7 d) −4, −1, 4, 11, 20, 31… ( ) −n − 3 e) −4, −1, 2, 5, 8, 11… ( ) −7n + 3 6 Elabora un cuadrado mágico de 4 × 4 cuyo primer término de su sucesión sea ∙8 y el último, 22. Puedes basarte en el cuadrado de 4 × 4 que completaste en la página 168. 7 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros TIC En www.e- sm.com.mx/ matcom2-175 podrás hallar más información sobre sucesiones. Anota en tu cuaderno lo nuevo que aprendiste en la página. 4 −33 18.7 −52.5 −12.3 39.5 1 −4 1 4 , −4 1 2 , −4 3 4 , −5, −5 1 4 , −5 1 2 3 4 , 1 4 d b e a c −8 6 16 14 20 10 −4 2 −2 0 22 8 18 12 −6 4 S-COM_MAT2-B4-166-175C.indd 175 3/6/13 12:04 PM
  • 11. Juegos y retos 176 La liebre y la tortuga Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem- pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista, una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad sin pre- cedentes para una tortuga. Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se carcajeó más de media hora antes de aceptar la apuesta. —¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera? —En un mes —dijeron las tortugas. Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así ganaría. En cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar ni de bajar de peso. Estaba muy confiada. Llegóporfineldíadelacarreraytodoslosanimalessereunieronparapresenciarla.Seindicó la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia inició entre grandes aplausos. La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que iba sin parar a 1 km/h, pronto se quedó muy atrás. Después de quince minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida. Después de mucho tiempo la tortuga llegó a donde estaba la liebre. —Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tor- tuga a la liebre con actitud muy deportiva. —Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de Morfeo. De repente, la liebre despertó y miró su reloj. —¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo mientras se levantaba y volvía a correr a 16 km/h. Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad era suficiente para empatar la carrera. —Le pondré un poco de emoción. Todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre. Los espectadores veían cómo la liebre alcanzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emo- cionados; iba a ser un final de fotografía. S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 176 3/5/13 12:55 PM
  • 12. 177 Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga, pensó en acelerar para ganar; todavía le quedaban muchas reservas de energía y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo: tropezó con una piedra y quedó tendida, retorciéndose de dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tor- tuga cruzara la meta y ganara la carrera. Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír de todos los animales. Esopo (adaptación) Contesta las preguntas en tu cuaderno. ¿De qué distancia fue la carrera de la liebre y la tortuga? ¿Cuánto tiempo duró la competencia? Trabaja con un compañero. Determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga, 1 km. Supongan que ambos competidores empataron la competencia y completen la ta- bla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzaría a la tortuga si no se hubiera caído y sabrán cuándo cruzó la meta la tortuga. Tiempo (horas) Distancia de la salida (km) Liebre Tortuga 0 0 0 0.1 1.6 0.2 0.25 0.5 0.6 0.7 Recuerden que 1 hora es igual a 60 min. ¿Cuántos minutos son un cuarto de hora? ¿Y 0.1 horas? ¿A qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre reanuda la carrera? ¿Y tres minutos después de que la liebre reanuda la carrera? PISTAS Y ESTRATEGIAS 0.1 3.2 0.2 4 0.25 4 0.5 4 0.6 4 0.7 1 4 1 1.5 4 1.5 2 4 2 2.5 4 2.5 3 4 3 3.25 4 3.25 4 4 4 5.25 4 5.25 5.28 4.53 5.28 5.31 5.06 5.31 5.34 5.59 5.34 5.38 6.13 5.38 15 minutos 6 minutos A 1.25 km A 1.3 km S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 177 3/5/13 12:55 PM
  • 13. 178 Lección 61 PREGUNTA INICIAL Planteamiento de ecuaciones ¿Qué valor de x hace verdadera la igualdad 5x = x + 1? 1 Lee el problema, responde las preguntas y efectúa lo que se pide. A 30 km de la frontera se comete un atraco. Los ladrones huyen a 90 km/h. Cuatro minutos más tarde la policía sale en su persecución a 120 km/h. ¿Conseguirá alcanzar a los ladrones antes de que lleguen a la frontera? a) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco están los ladrones cuando la policía inicia la persecución? b) ¿A qué distancia de donde se cometió el atraco se encuentran los policías y los ladro- nes cinco minutos después de que inicia la persecución? c) Subraya la ecuación que permita calcular a qué distancia del atraco (d) está la policía t horas después de que inicia la persecución. i) d = 120t ii) d = 90t iii) d = 120 t iv) d = 90 t d) Subraya la ecuación que determine a qué distancia del atraco (d) se encuentran los ladrones t horas después de que inicia la persecución. i) d = 90t − 6 ii) d = 90t + 6 iii) d = 90 t + 6 iv) d = 90 t + 6 e) Observa las ecuaciones que escogiste en los incisos c) y d). Nota que cuando el valor de d sea igual en ambas, los policías habrán alcanzado a los ladrones. Escribe la expresión que resulta de igualar ambas ecuaciones. f) Halla el valor de t para el cual d tiene el mismo valor en los incisos c) y d). Anota tu procedimiento enseguida. Después compáralo con el de tus compañeros. Decidan cuál es correcto. Recuerda Una ecuación es una igualdad formada por literales y números relacionados mediante expresiones aritméticas. En una ecuación las literales se llaman incógnitas. A 6 km R. T. Los policías están a 10 km, y los ladrones a 13.5 km 120t = 90t + 6 R. T. 120t = 90t + 6 La policía alcanzará a los ladrones 120t − 90t = 6 en 0.2 horas, o 12 minutos, después 30t = 6 de que empiece la persecución. t = 0.2 Sí. S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 178 3/5/13 12:55 PM
  • 14. 179 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 2 Lee los problemas y haz lo que se indica. a) Escribe una ecuación que relacione dos lados del triángulo. Recuerda la característica que cumplen los lados de un triángulo isósceles. b) La edad de una madre es 40 años y las edades de sus tres hijas suman 28 años. ¿Den- tro de cuántos años las edades de las hijas sumarán las de la madre? i) Completa la tabla. Representa con x los años que deben transcurrir para que la edad de la madre sea igual a la suma de las edades de sus hijas. Hoy Dentro de x años Edad de la madre Suma de las edades de las hijas ii) La suma de las edades de las hijas en x años no es 28 + x. ¿Cuánto suma tu edad y la de uno de tus amigos? ¿Cuánto sumarán sus edades dentro de un año? ¿Y en dos años? iii) Escribe la ecuación que involucra el problema. 3 Inventa un problema que involucre a la ecuación 3x + 5 = x + 4. 4 Compara las ecuaciones que encontraste en las actividades 1 y 2 con las de tus compañeros. Determinen, con ayuda del profesor, cuáles son correctas. Si hay errores corríjanlos, pero consideren que puede haber varias soluciones. 5 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos 5x + 20 3x+ 16 x+ 196 3x + 16 = x + 196 R. T. 4 años. 40 40 + x 28 28 + 3x R. T. 26 años. R. T. 28 años. R. T. 32 años. 40 + x = 28 + 3x R. T. El triple de un número más cinco es igual que el mismo número más cuatro. ¿Cuál es el número? S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 179 3/5/13 12:55 PM
  • 15. 180 Lección 62 PREGUNTA INICIAL Solución de ecuaciones I ¿La ecuación x + 2 = 3 y la ecuación 2x + 6 = 9 − x tienen la misma solución? 1 Subraya las acciones que dejarían en equilibrio la balanza. Las medidas de las pesas están dadas en kilogramos y los botes pesan lo mismo. a) Pasar una pesa de 3 kg del platillo derecho al izquierdo b) Añadir 2 kg a cada platillo c) Quitar 1 kg a cada platillo d) Pasar un bote del platillo izquierdo al derecho e) Eliminar dos botes del platillo izquierdo y uno del derecho f) Quitar un bote de cada platillo g) Agregar un bote a cada platillo 2 Escribe qué se hizo en cada platillo de la balanza. Anota si se conserva el equilibrio y explica por qué. Acción ¿Se conserva el equilibrio? a) ¿Cuánto pesa cada bote? 3 Representa con una literal el peso de cada bote y escribe la ecuación que representa la balanza de la actividad 1, así como cada balanza de la actividad 2. Actividad 1 Actividad 2 a) b) c) • Comprueba que las ecuaciones tengan la misma solución. OoooooO OoooooO OoooooO OoooooO 1 1 33 1 1 33 OoooooO OoooooO 33 OoooooO OoooooO 3 OoooooO Se quitó un bote de cada platillo Se quitó una pesa de 1 kg de cada platillo Se quitó la mitad del peso de cada platillo Sí, porque se quitó un objeto del mismo peso de cada platillo Sí, porque las pesas que se quitaron son iguales Sí, porque cada platillo tenía el mismo peso. Al quitar la mitad de cada uno se sigue conservando el mismo peso Pesa 3 kg 3x + 1 = x + 7 2x + 1 = 7 2x = 6 x = 3 S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 180 3/5/13 12:55 PM
  • 16. 181 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 4 Relaciona cada balanza con su respectiva ecuación escribiendo en el paréntesis la letra que corresponda. Después contesta las preguntas en tu cuaderno. a) b) c) d) e) ( ) x + 5 − 5 = 15 − 5 ( ) 2x + 5 − x = x + 15 − x ( ) 2x + 5 = x + 15 ( ) x = 10 ( ) x + 5 = 15 f) ¿Cuánto pesa cada bote? g) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza b)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio? ¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación a la otra? h) ¿Qué cambio se efectuó en la balanza c)? ¿Por qué la balanza conserva el equilibrio? ¿Las ecuaciones respectivas son equivalentes? ¿Cuál es el cambio de una ecuación a la otra? i) Anota qué cambia de una balanza a la siguiente y qué en cada ecuación. 5 Comenta en grupo tu repuesta a la pregunta inicial. Lleguen a una conclusión. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 5 5 5 5 frijolitos frijolitos frijolitos frijolitos 5 5 frijolitos 5 5 frijolitos 5 5 5 5 frijolitos 5 5 5 5 frijolitos 5 5 frijolitos d b a e c R. T. Pesa 10 kg S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 181 3/5/13 12:55 PM
  • 17. 182 Lección 63 PREGUNTA INICIAL Un ecuación tiene dos miembros separados por el signo =. x + 5 = 2x − 2 1er miembro 2o miembro Solución de ecuaciones II ¿Cómo puede hallarse una ecuación equivalente a otra? 1 Completa las ecuaciones y contesta. Bloques Ecuaciones 3y = + 5 3y − 2y = 2y + 5 − y = a) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el segundo paso? Bloques Ecuaciones 5z + = 5z + 6 − = 8z − 6 = 3z 3 = b) ¿Qué operación se efectuó en ambos miembros en el tercer paso? y y y y y 1 1 11 1 = y y y y y 1 1 11 1 = y 1 1 1 1 1 = z 1z z z z 1 1 1 1 1 z z z z z z zz = z 1z z z z 1 1 1 1 1 z z z z z z zz = 1 1 1 1 1 1 z z z 1 z1 = = { { 2y 2y 5 R. T. Se restó 2y. 6 8z 5z 5z 3 2 z R. T. Se dividió entre 3. S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 182 3/5/13 12:55 PM
  • 18. 183 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos 2 Representa con bloques cada ecuación. Ecuaciones Bloques 5x + 4 = 2x + 7 5x + 4 − 2x = 2x + 7 − 2x 3x + 4 = 7 3x + 4 − 4 = 7 − 4 3x = 3 x = 1 a) ¿Cuál es la solución de estas ecuaciones? 3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan, con ayuda del profesor, conclusiones y anótenlas en sus cuadernos. Si en ambos miembros de una ecuación se efectúa la misma operación, se conserva la igualdad y se obtiene una ecuación equivalente. x x x x 1 1 1 11 1 1 11 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = = = x = 1. S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 183 3/5/13 12:55 PM
  • 19. 184 Lección 64 PREGUNTA INICIAL Solución de ecuaciones III ¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 6x = 24? 1 Encuentra las medidas de cada ángulo sin hacer mediciones. ∡CBA = ∡BAC = ∡ACB= 2 Trabaja con tres o cuatro integrantes. Comparen sus respuestas de la actividad anterior y comenten los procedimientos que siguieron para encontrar x. Escriban el que les parezca mejor. Si lo desean, ahora pueden medir la figura para verificar sus respuestas. 3 Resuelve la ecuación –2y = 215 y comenta con tus compañeros de equipo por qué es equivalente a 3y + 5y – 10y = 190 +25. 4 Contesta. Justifica tu respuesta. ¿La ecuación 3y + 5y − 10y = 190 + 25 se puede transformar en la ecuación −2y = 215? • Comenta tu respuesta en grupo. Digan cuáles son correctas y por qué. 5 Revisa en equipo la actividad 2 de la página 178. Identifiquen en qué pasos se reducen términos semejantes. 2 1 2 x 3 5 x 1 2 x B A C 125° 30° 25° R. T. La suma de las medidas de los ángulos debe ser 180°. Entonces se obtiene que, 3 5 x + 5 2 x + 1 2 x = 180°. Así, 18 5 x = 180° y x = 50°. R. T. Sí se puede transformar porque la suma algebraica de términos semejantes es 3y + 5y − 10y = −2y, y la de los términos independientes es 190 + 25 = 215 S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 184 3/5/13 12:55 PM
  • 20. 185 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos 6 Calcula el peso de los botes en cada balanza. Cada bote pesa g. Cada bote pesa kg. 7 Escribe una ecuación para cada balanza de la actividad anterior y comenta procedimientos para resolverla. Ecuaciones Procedimientos a) b) 8 Lee lo siguiente y revisa si te sirve para resolver las ecuaciones de la actividad anterior o para mejorar los procedimientos que anotaste. 9 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen al grupo un método para resolver la ecuación aplicando lo estudiado en la lección. Para resolver una ecuación conviene aplicar las mismas operaciones en ambos miem- bros de la igualdad, de manera que los términos semejantes queden en un miembro. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 5 se puede restar 3x en ambos miembros. 5x + 7 = 3x + 5 5x + 7 − 3x = 3x + 5 − 3x 2x + 7 = 5 Observa que al reducir términos semejantes se eliminan los términos con x en el segundo miembro. Después, se resta 7 en ambos miembros. 2x + 7 = 5 2x + 7 − 7 = 5 − 7 2x = −2 Se divide entre 2 ambos miembros, , entonces x = −1.x = − 2__ 2 1 2 __ 75g 75g 50g 75g 75g 3 kg 5 kg 6 kg10 kg x + 200 = 2x + 150 2y + 8 = y + 16 50 8 R. T. Se resta x en ambos miembros de la ecuación; después se resta 150 en ambos miembros y queda 50 = x En ambos miembros se resta y de la ecuación; después se les resta 8 y queda y = 8. S-COM_MAT2-B4-176-185C.indd 185 3/5/13 12:55 PM
  • 21. 186 Lección 65 PREGUNTA INICIAL Solución de ecuaciones IV ¿Cuál es la solución de la ecuación 3x − 4x = 24 + 2x? 1 Explica los pasos para resolver las ecuaciones. Observa los ejemplos. a) z + 4 = 2z z + 4 − 2z = 2z − 2z Se resta 2z en ambos miembros. −z + 4 = 0 Se reducen términos semejantes. −z + 4 − 4 = −4 −z = −4 (−1)z = (−1)4 z = 4 b) 3y + 12 = 7y 3y + 12 − 7y = 7y − 7y −4y + 12 = 0 −4y + 12 − 12 = −12 −4y = −12 −4y −4 = −12 −4 Se dividen ambos miembros entre −4. y = 3 c) 2 3 x − 3 4 = 1 2 x 2 3 x − 3 4 − 1 2 x = 1 2 x − 1 2 x 1 6 x − 3 4 = 0 1 6 x − 3 4 + 3 4 = 0 + 3 4 1 6 x = 3 4 1 6 x = 3 4 1 6 1 6 x = 18 4 = 9 2 • Sustituye los valores que encontraste y comprueba que solucionen las ecuaciones. Se resta 4 en ambos miembros. Se reducen términos semejantes. Se multiplican por −1 ambos miembros. Se efectúan los productos. Se resta 7y en ambos miembros. Se reducen términos semejantes. Se resta 12 en ambos miembros. Se reducen términos semejantes. Se efectúan las divisiones. Se resta 1 2 x en ambos miembros. Se reducen términos semejantes. Se suma 3 4 en ambos miembros. Se reducen términos semejantes. Se dividen ambos miembros entre 1 6 . Se efectúan las operaciones y se simplifica la fracción. S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 186 3/6/13 12:09 PM
  • 22. 187 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos 2 Efectúa las operaciones para resolver las ecuaciones. a) −30t = −20t + 15 Suma 20t en ambos miembros de la ecuación. Reduce términos semejantes. Divide ambos miembros de la ecuación entre −10. Efectúa la división. b) 3x + 5 = 4x − 1 Resta 4x en ambos miembros de la ecuación. Reduce términos semejantes. Resta 5 en ambos miembros de la ecuación. Reduce términos semejantes. Multiplica ambos miembros por −1. Efectúa los productos. 3 Resuelve las ecuaciones. a) 3y = 5y + 6 y = b) −4.3z = −7.8z + 3.5 z = c) −2x − 4 = −x − 1 x = d) 2.4 + 5.1w = 4.2w − 6.6 w = 4 Plantea un problema que se resuelva con la ecuación 4x + 3 = 7 + 2x. Puedes enunciarlo o dibujarlo. Intercámbialo y resuelve el que haya planteado uno de tus compañeros. 5 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con un compañero. Comprueben su solución. −30t + 20t = −20t + 15 + 20t −10t = 15 −10t −10 = 15 −10 t = −1 5 10 = −1 1 2 3x + 5 − 4x = 4x − 1 − 4x −x + 5 = − 1 −x + 5 − 5 = − 1 − 5 −x = −6 −x(−1) = −6(−1) x = 6 −3 1 −3 −10 R. T. Si Juan comprara cuatro dulces le sobrarían tres pesos, pero si comprara dos le quedarían siete pesos. ¿Cuánto cuesta cada dulce y cuánto dinero tiene Juan? S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 187 3/6/13 12:09 PM
  • 23. 188 Lección 66 PREGUNTA INICIAL Ecuaciones con paréntesis ¿Qué relación tienen las ecuaciones 4(x + 5) = 80 y 4x + 20 = 80? 1 Lee la afirmación de Claudia y haz lo que se indica. Claudia dice “La solución de la ecuación 3(x + 2) = 3x + 6 puede ser cualquier número.” Explica en el espacio de la derecha si Claudia tiene razón. Puedes utilizar di- bujos, figuras o esquemas. 2 Lleva a cabo con un compañero lo que se pide. El precio de 1 L de leche en la tienda “La Baratera” es $0.80 menor que en “La Inflación”. ¿Cuál es el precio del litro en cada tienda si con la misma cantidad de dinero se pueden comprar 11 L en “La Baratera” mientras que solo 10 L en “La Inflación”? a) Subrayen las ecuaciones que permitan resolver el problema. 10(x − 0.8) = 11x 10(y + 0.8) = 11y 11(z − 0.8) = 10z 11(w + 0.8) = 10w b) Comenten qué significa la incógnita en cada ecuación que subrayaron. c) Resuelvan en sus cuadernos una de esas ecuaciones mediante el método que prefie- ran. Verifiquen que con la solución se cumplan las condiciones del problema. 3 Completa los pasos para resolver la ecuación. a) Si no resolvieron la ecuación que escogieron en la actividad 2 o lo hicieron con un método diferente, resuélvela con este. b) ¿Cuál es el precio de la leche en cada tienda? 7(x − 3) = 5(x + 7) Se multiplican por 7 los términos del primer paréntesis. 7x − = 5(x + 7) Se multiplica por 5 cada término dentro del paréntesis. 7x − = + Se resta 5x en ambos miembros de la ecuación. 7x − − 5x = + − 5x Se reducen términos semejantes. − 21 = 35 Se suma 21 en ambos miembros. − 21 + 21 = 35 + 21 Se reducen términos semejantes. = Se dividen ambos miembros entre 2. R. T. Por la propiedad distributiva, 3(x + 2) es igual que 3x + 6 sin que importe el valor de x; por lo tanto, la igualdad se cumple para cualquier valor de x. 21 21 5x 35 21 5x 35 2x 2x 2x 56 x = 28 $8.00 y $8.80 S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 188 3/6/13 12:09 PM
  • 24. 189 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Completa la solución. Continúa donde indica la flecha. 3(x + 4) = 6x − 9 3(x + 4) 3 = 6x − 9 3 x = x + 4 = 6x 3 − 9 3 5 Plantea y resuelve en equipo los problemas con ecuaciones. a) Un paquete de tres botellas de crema corporal vale $750.00. El tamaño chico vale lo mismo que el mediano menos $50.00. El precio del tamaño mediano es p. El tamaño grande cuesta el doble que el mediano. i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelvalordeltamañochico?______________ ii) ¿Cómoseexpresaelcostodeltamañogrande?____________________________ iii) Planteen una ecuación que indique el costo total de las tres botellas. _________________________________________________________________ iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon. v) ¿Cuál es el costo de cada botella? ______________________________________ b) El perímetro de un cuadrado es el doble que el perímetro de un triángulo. Cada lado del cuadrado mide x. Dos lados del triángulo miden 6 cm y el otro lado mide x + 3. i) ¿Quéexpresiónalgebraicarepresentaelperímetrodeltriángulo?_____________ ii) ¿Y el del cuadrado? _________________________________________________ iii) ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalosdosperímetros?______________________ iv) Resuelvan en sus cuadernos la ecuación que plantearon. v) Indiquen el perímetro de cada figura. ___________________________________ _________________________________________________________________ c) Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Concha exceden por quince años a la de su hija. Si hace cuatro años la edad de la madre era el doble que la de su hija, ¿cuál es la edad de ambas? Plantea una ecuación y resuélvela en tu cuaderno. Las edades son ________________________________________________________ 6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Plantea en tu cuaderno un problema que se resuelva con la ecuación, intercámbialo y resuelve el de tu compañero.4 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros fraccionarios o decimales, positivos y negativos TIC En www.e- sm.com.mx/ matcom2-189 podrás ver un video sobre la solución de ecuaciones. Comenta con tus compañeros qué aprendiste en él. x + 4 = 2x − 3 x + 4 − 2x = 2x − 3 − 2x −x + 4 = −3 −x + 4 − 4 = −3 − 4 −x = −7 x = 7 7 p − 50 2p p − 50 + p + 2p = 750 $150.00, $200.00 y $400.00 x + 15 4x 4x = 2(x + 15) El perímetro del cuadrado mide 60 cm y el del triángulo, 30 cm. 68 y 36 años. La ecuación es 3 4 x + 15 = x − 4 2 + 4 S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 189 3/6/13 12:09 PM
  • 25. 190 Lección 67 PREGUNTA INICIAL Ecuaciones con coeficientes fraccionarios ¿Qué relación tienen las ecuaciones 1 2 x + 3 4 x = 1 8 y 4x + 6x = 8? 1 Subraya la ecuación con que se resuelve el problema. En una bolsa hay canicas rojas y azules. La tercera parte de las rojas más la cuarta de las mismas es igual a la mitad de las azules. Si en total son 52 canicas, ¿cuántas rojas hay? a) 1 4 r + 1 3 r = 52 2 b) 1 4 r + 1 3 r = 52 − r c) 1 4 r + 1 3 r = 1 2 (52 − r) d) (1 4 + 1 3 )r = 1 2 (r − 52) • Comenta en grupo cómo elegiste la ecuación que subrayaste. Determinen, con ayuda del profesor, si es la correcta y resuélvanla. 2 Contesta con un compañero. a) Multipliquen por 12 ambos miembros de la ecuación que subrayaron. ¿Obtuvieron una ecuación equivalente? b) Resuelvan la ecuación que obtuvieron en el siguiente espacio. c) Comenten en equipo sus procedimientos de solución y determinen cuáles de ellos son correctos. d) Comenten en grupo si fue más sencillo resolver la ecuación multiplicándola por 12. Anoten sus conclusiones. El coeficiente de una variable es el número que la multiplica. Por ejemplo, en la ecua- ción −3 4 x + 5y = 9 el coeficiente de x es −3 4 , y el de y, 5. Una ecuación con coeficientes fraccionarios es aquella donde los términos coeficientes son fracciones. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones con coeficientes fraccionarios. 1 2 x + 3 4 = 0 3x = 2 7 4y + 1 3 = 6 R. T. Sí. 12[1 4 r + 1 3 r] = 12[1 2 (52 − r)] 3r + 4r = 6(52 − r) 13r = 312 12 4 r + 12 3 r = 12 2 (52 − r) 7r = 312 − 6r r = 312 13 = 24 R. P. S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 190 3/6/13 12:09 PM
  • 26. 191 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones 3 Trabaja con un compañero. Observen la ecuación y contesten las preguntas. 2 5 x + 1 3 = 1 6 + 1 10 x a) Si se multiplican ambos miembros de la ecuación por 5, ¿queda una ecuación sin co- eficientes fraccionarios? b) ¿Si se multiplican por 3? c) ¿Qué tal si se multiplican por 6? d) ¿Y si se multiplican por 30? e) Anoten otros números por los que se puedan multiplicar. f) ¿Cuál es el menor entero por el que se puede multiplicar la ecuación para obtener otra sin coeficientes fraccionarios? 4 Reúnete en equipo. Expliquen por qué es correcto lo siguiente. Si a b = c d , entonces ad = bc • Analicen cómo pueden usar lo anterior para resolver la ecuación 3x + 1 2 = 5x + 1 3 . Expongan sus conclusiones ante el grupo. 5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) z + 6z + 3 2 + 1 = z + 5z + 3 4 − 2 z = b) 3y − 2 4 = y − 5 −3 y = c) 3 7 f − 4f − 26 7 = 5 + 2 3 f + 4 f = d) 1 3 = w + 4 w − 2 w = • Comenta en grupo tus procedimientos. Determinen cuáles son correctos. 6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Pidan a algunos compañeros que justifiquen las suyas. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos Para resolver una ecuación con coeficientes fraccionarios se pueden multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores. No, quedan fracciones con denominadores 3, 6 y 2. . No, quedan fracciones con denominadores 5, 2 y 10. . No, quedan los denominadores 5, 3 y 10. Sí, quedan sin coeficientes fraccionarios. R. T. 60, 90, 120, 150... R. T. Es 30. −3 3 4 2 −3 −7 S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 191 3/6/13 12:09 PM
  • 27. 192 Lección 68 PREGUNTA INICIAL Problemas que se resuelven con ecuaciones ¿Qué problema puede solucionarse con la ecuación 3x + 5 = x − 3? 1 Resuelve los problemas. a) ¿Cuánto mide cada ángulo del cuadrilátero? ∡A = ∡B = ∡C = ∡D = b) ¿Cuál es el número que cumple la condición de que si a su doble se le resta 17 da lo mismo que si se le sumara 5? El número es c) Los libros de la balanza pesan lo mismo. ¿Cuánto pesa cada uno? Cada libro pesa g. d) Si al doble de un número se le resta 6, se obtiene ese número más 6. ¿Qué número es? El número es e) Un padre tiene el triple de edad que su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la hija, ocho más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno? El padre tiene años y la hija años. f) En un supermercado el kilogramo de manzana cuesta el doble que el de plátano. Araceli compró 3 kg de manzana, 2 kg de plátano y un mamey, que le costó $4.50. Silvia compró 2 kg de manzana y 3 kg de plátano. Si Silvia pagó $8.70 menos, ¿cuánto cuesta el kilogramo de plátano? El kilogramo de plátano cuesta $ g) Juan Antonio gastó $110.00 en un regalo y su envoltura. Si el regalo costó $100.00 más que la envoltura, ¿cuánto pagó por la envoltura? La respuesta no es $10.00. Juan Antonio pagó $ por la envoltura. 1 kg 100 g 100 g B A C D 4x − 18 2x + 20 x − 1 4x − 26 34° 122° 90° 114° 22 200 12 57 19 4.20 5.00 S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 192 3/6/13 12:09 PM
  • 28. 193 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones h) Al encargado de un comercio le preguntaron lo siguiente. —¿Cuántas personas trabajan aquí? —No muchas —contesta—. Tres cuartas partes de los que somos más tres cuartas partes de persona. ¿Cuántos empleados son? Son empleados. i) Hace ocho años un padre tenía siete veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo tres veces la edad del hijo. ¿Cuáles son las edades de ambos? La edad del padre es años y la del hijo años. j) Resuelve con una ecuación el problema 1 de la página 178. Los policías alcanzarán a los ladrones antes de que lleguen a la frontera. 2 Efectúa lo siguiente con base en el cuento de la liebre y la tortuga, de las páginas 176 y 177. a) Escribe a qué distancia del árbol se encuentra la tortuga cuando la liebre empieza a correr de nuevo. b) Subraya la ecuación que represente la distancia (d) a que la tortuga se encuentra del árbol t horas después de que la liebre empieza a correr de nuevo. d = t + 1.25 d = 1.25t d = t d = t − 1.25 (Verifica que cuando t = 0, d debe ser igual a la distancia a la que se encuentra la tortuga del árbol cuando se encuentra a la liebre.) c) Subraya la ecuación que relacione la distancia a la que se encuentra la liebre res- pecto al árbol desde el momento en que despierta. d = 16t d = t + 16 d = 16t + 1.25 d = 16t − 1.25 d) Observa que cuando la liebre alcanza a la tortuga, ambos corredores se encuentran a la misma distancia del árbol. Iguala las expresiones que subrayaste en los incisos anteriores y encuentra cuánto tardó la liebre en alcanzar a la tortuga después de despertar. Anota tu respuesta en minutos. La liebre alcanza a la tortuga en minutos. 3 Revisa en grupo, y con ayuda del profesor, tus respuestas de la lección. • Intercambia el problema que planteaste en la actividad inicial con el de un compañero y comprueba que pueda resolverse con la ecuación propuesta.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos de nuevo el reto 3 36 12 sí A 1.25 km 5 S-COM_MAT2-B4-186-193C.indd 193 3/6/13 12:09 PM
  • 29. Juegos y retos 194 Círculos y figuras inscritas en círculos a) ¿Qué círculo rojo es más grande? b) Dobla un círculo de papel por la mitad dos veces, traza una línea punteada como la que se muestra en la fotografía. Recorta por la línea punteada y desdobla el pa- pel. ¿Qué figura es? ¿Cómo puedes comprobar que se trata de esa figura? S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 194 3/5/13 12:57 PM
  • 30. 195 c) Efectúa los siguientes dobleces y recortes con otro círculo de papel. i) Dobla el círculo por la mitad. ii) Desdobla el círculo y vuelve a doblarlo por la mitad de forma distinta. iii) Desdobla y recorta por las líneas punteadas que se muestran en la fotografía. ¿Qué figura se formó? ¿Cómo puedes comprobar que se trata de esa figura? d) Elabora un triángulo de papel. i) Dobla el círculo por la mitad. ii) Desdobla el círculo y vuelve a doblarlo por la mitad de forma distinta. iii) Desdobla y recorta por las líneas punteadas. Según la medida de los ángulos, ¿qué tipo de triángulo obtuviste? Haz con un compañero lo siguiente. a) Vean el primer reto. Propongan maneras para comparar el tamaño de los círculos sin calcarlos ni superponerlos. b) Comparen las figuras de papel que obtuvieron en el inciso b). Determinen si los do- bleces y los cortes fueron hechos correctamente. c) Comparen las figuras de papel que obtuvieron. Determinen si los dobleces y los cortes fueron hechos correctamente. Busquen semejanzas y diferencias entre sus figuras. PISTAS Y ESTRATEGIAS S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 195 3/5/13 12:57 PM
  • 31. 196 Lección 69 PREGUNTA INICIAL Ángulos en el círculo I ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos A y B? 1 Efectúa lo que se pide. En un teatro circular se colocaron tres reflectores. Lo anterior se representa en la figura, donde los puntos A, B y C representan los reflectores; el punto O, el centro del círculo; y la zona azul, el escenario. Se desea que cada reflector ilumine exactamente el escenario completo. Para ello, se necesita saber en qué ángulos se debe abrir cada haz de luz. a) El ángulo que corresponde al reflector del punto B ya está trazado. Traza los que co- rresponden a los de los puntos A y C. Anota la medida de los ángulos de cada reflector. ∡A = ∡B = ∡C= b) Elige tres puntos, D, E y F, donde también se puedan colocar reflectores. Traza los ángulos correspondientes y mídelos. ∡D = ∡E = ∡F= c) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Qué observas? d) Supón que se colocará un reflector en el centro del círculo. Traza el ángulo que co- rresponde y mídelo. ∡O = e) ¿Cuál es la relación entre el ángulo O y los otros? A B Los ángulos inscritos tienen el vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas. Los siguientes son ángulos inscritos. Observa que cada ángulo inscrito abarca un arco. Un arco es una parte de la circun- ferencia limitada entre dos puntos de la misma. En las figuras, los arcos que abarca cada ángulo inscrito se señalan con rojo. A B C O 30° 30° 30° 30° 30° 30° R. T. Que la medida de todos los ángulos es igual. 60° Mide el doble. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 196 3/5/13 12:57 PM
  • 32. 197 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida 2 Efectúa lo siguiente en tu cuaderno. a) Traza tres circunferencias. En cada una marca un ángulo central. b) En cada circunferencia traza un ángulo inscrito que abarque el mismo arco que el ángulo central que marcaste. c) Mide los ángulos y anótalos en la tabla. Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3 Ángulo central Ángulo inscrito d) ¿Qué relación hay entre los ángulos centrales y los inscritos de cada circunferencia? Explica. e) Compara, con ayuda del profesor, tus respuestas de los incisos c) y d) con las de tus compañeros. Obtengan una conclusión. 3 Determina el ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la conclusión de la actividad anterior. a) b) c) ∡A = ∡A = ∡A = d) e) f) ∡A = ∡A = ∡A = • Comprueba tus respuestas midiendo con transportador. Compara tus resultados con los de tus compañeros. 4 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial en grupo. Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones Un ángulo central de una circunferen- cia es aquel cuyo vértice es el centro de la misma. Un ángulo central tam- bién abarca un arco de circunferencia. Un ángulo inscrito y un ángulo central pueden abarcar el mis- mo arco de circunferencia. A 70° A 280° 60° A 45° A 220° A 150° A R. T. 90° 70° 120° 45° 35° 60° 35° 120° 110° 140° 90° 75° S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 197 3/5/13 12:57 PM
  • 33. 198 Lección 70 PREGUNTA INICIAL Ángulos en el círculo II ¿Cuál es la relación entre las medidas de A y B? 1 Efectúa lo que se pide. El ∠α es el ángulo exterior del triángulo. Observa que el ∠α y el ∠ACB son suplementarios. Es decir, sus medidas suman 180°. a) Explica por qué ∡α es igual a la suma de los otros ángulos del triángulo: ∡α = ∡CAB + ∡ABC. b) ¿Lo anterior es válido para cualquier triángulo? 2 Traza tres circunferencias en tu cuaderno y efectúa lo siguiente. a) En la primera, traza un ángulo inscrito que tenga dentro el centro de la circunfe- rencia. Después traza el ángulo central que determina el mismo arco. b) En la segunda, traza un ángulo inscrito de manera que el centro no se encuentre dentro del mismo. c) En la tercera, traza un ángulo inscrito de manera que uno de sus lados pase por el centro de la circunferencia. d) Revisa con dos o tres compañeros que tus trazos cumplan las condiciones pedidas. 3 Trabaja en equipo. Examinen la figura y contesten. a) Observen el ángulo inscrito ∠ACB. ¿Dónde está el centro de la circunferencia con respecto a este ángulo? b) ¿Cuál es el ángulo central que determina el mismo arco que ∠ACB? c) Observen los lados del triángulo AOC. Expliquen por qué es un triángulo isósceles. d) Usen el resultado de la actividad 1 para explicar por qué 2∡ACB = ∡BOA. A B Recuerda Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. A B C α A C O B R. T. Porque los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. La suma de ∡ACB + ∡CAB + ∡AB dan 180°; entonces, el ∡α es igual a ∡CAB + ∡ABC. R. T. Sí. Está en un lado del ángulo. El ∠AOB. R. T. Porque los lados OA y OC miden lo mismo, ya que son radios del círculo. R. T. Porque ∡ACB + ∡OAC es igual a ∡BOA, pero ∡OAC = ∡ACB por ser ángulos de un triángulo isósceles, entonces 2∡ACB =∡BOA. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 198 3/5/13 12:57 PM
  • 34. 199 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones 4 Trabaja con un compañero. Contesten en sus cuadernos. Observen que ∠ABC es inscrito y el centro de la circun- ferencia está dentro de él. También noten que el ángulo central que abarca el mismo arco es ∠AOC. a) ∡AOC se puede expresar como la suma de dos ángu- los centrales. ¿Cuáles? b) ∡ABC se puede expresar como la suma de dos ángulos inscritos. Además, estos tienen un lado sobre el centro de la circunferencia. ¿Cuáles son? c) Escriban en sus cuadernos, con base en lo anterior y el resultado de la actividad 3, por qué ∡AOC = 2∡ABC. Identifiquen el ángulo central que abarca el mismo arco que ∠ABC. Observen que su medida puede expresarse como la resta de ∡DOA y ∡DOC. Noten que ∡ABC es igual a la resta de dos ángulos inscritos que tienen un lado sobre el centro de la circunferencia. d) Escriban en sus cuadernos, con base en lo anterior y el resultado de la actividad 3, por qué ∡AOC = 2∡ABC. • Comparen, con ayuda del profesor, sus respuestas, incluyendo las de la pregunta inicial, con las de sus compañeros. Si observamos la ubicación de un ángulo inscrito en una circunferencia con respecto al centro de la misma, se pueden presentar tres casos. El centro está sobre un lado del ángulo. El centro está dentro del ángulo. El centro está fuera del ángulo. En la lección anterior observaste que varios ángulos centrales miden el doble que el inscrito que abarca el mismo arco. En matemáticas no es suficiente hacer muchas observaciones para obte- ner una conclusión o determinar una propiedad. Es necesario demostrar que lo que se dice es válido siempre. En la actividad 3 de esta lección, se demostró que un ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el central que abarca el mismo arco. Pero esto solo se hizo para cualquier caso en que el centro de la circunferencia esté sobre un lado del triángulo. El propósito de la siguiente actividad es que obtengas una demostración de los otros dos. O C B A D D C A O B S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 199 3/5/13 12:57 PM
  • 35. 200 Lección 71 PREGUNTA INICIAL Ángulos en el círculo III ¿Cuál es la suma de los ángulos A y B? 1 Traza cinco ángulos inscritos que abarquen el mismo arco que el ángulo central B y contesta. a) ¿Cuál es la medida del ángulo B? b) ¿Y la de los ángulos que trazaste? ¿Por qué? 2 Escribe la medida del ángulo A en cada caso. No hagas ninguna medición; utiliza la conclusión de la actividad anterior. Observa cuál es el arco del ángulo. ∡A = ∡A = ∡A = Si un lado de un triángulo inscrito en una circunferencia coincide con un diámetro de la misma, entonces es un triángulo rectángulo. B A A A A B 180° 90° R. T. Porque abarcan el mismo arco que un ángulo central de 180°. 90° 90° 90° S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 200 3/5/13 12:57 PM
  • 36. 201 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones 3 Efectúa lo que se pide. a) Traza el segmento OP. b) Localiza el punto medio de OP y llámalo M. c) Traza una circunferencia con centro en M que pase por O y P. d) La circunferencia que trazaste interseca a la otra en dos puntos. Llámalos A y B. e) Explica por qué ∠PAO es recto. Observa que es un ángulo inscrito de la circunferen- cia que trazaste. 4 Explica en tu cuaderno por qué la figura del reto c) de la página 195 es un rectángulo y por qué el triángulo del reto d), un triángulo rectángulo. 5 Traza tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P. Utiliza solo regla y compás. Ten en cuenta la actividad 3. a) ¿Cuántas tangentes pudiste trazar? 6 Utiliza la actividad inicial para resolver el reto a) de la página 194. 7 Halla en grupo la respuesta correcta a la pregunta inicial. Recuerda La tangente de una circunferencia debe ser perpendicular al radio en el punto de tangencia. O P P TIC En www.e- sm.com.mx/ matcom2-201 hallarás un video relacionado con este tema. Elabora en tu cuaderno un informe con lo más importante del mismo. M A B R. T. Porque es un ángulo inscrito que interseca el mismo arco que el ángulo central OMP, el cual mide 180°. Dos. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 201 3/5/13 12:57 PM
  • 37. Juegos y retos 202 Gráficas de línea Las figuras representan cisternas con las medidas que se indican. Las cisternas se llenan con llaves cuyo flujo es constante. Las gráficas siguientes rela- cionan el tiempo con la altura del agua en cada cisterna. Anota en el paréntesis a qué tinaco corresponde cada una. 6 dm 6 dm 6 dm 6 dm a) b) 6 dm 9 dm 4 dm 9 dm 4 dm 6 dm c) altura ( ) tiempo altura ( ) tiempo altura ( ) tiempo altura ( ) tiempo a b c S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 202 3/5/13 12:57 PM
  • 38. 203 Efectúa lo siguiente para determinar qué gráfica corresponde a cada cisterna. i) Calcula el volumen de las cisternas. a) V = dm3 b) V = dm3 c) V = dm3 ii) ¿Cuántos litros caben en cada cisterna? a) L b) L c) L iii) Si se vierten 12 L de agua en cada cisterna, ¿qué altura alcanza el líquido? a) dm b) dm c) dm iv) ¿Cuántos litros de agua se deben verter para que se llenen hasta una altura de 3 dm? a) L b) L c) L v) ¿Cuál cisterna tiene mayor superficie en la base? ___________________________ vi) ¿Cómo es la relación entre la altura del agua en la cisterna y el tiempo que tarda en llenarse con respecto a las otras dos cisternas. Explica tu respuesta. ______________________ _____________________________________________________________________ vii) ¿Cómo se refleja esto en las tres gráficas que seleccionaste? __________________ _____________________________________________________________________ Explica en tu cuaderno cómo seleccionaste la gráfica que corresponde a cada tinaco. • Compara tus resultados y las justificaciones con las de tus compañeros. Entre todos redacten una conclusión. PISTAS Y ESTRATEGIAS ( ) tiempo altura ( ) altura tiempo 216 216 216 216 216 216 0.3333 0.5 0.2222 108 72 162 La cisterna c). R. T. Las tres se llenan al mismo tiempo; pero si la cisterna es más alta, el agua sube más rápido. R. T. Entre más baja es la cisterna, el ángulo de la línea con el eje horizontal es menor. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 203 3/5/13 12:57 PM
  • 39. 204 Lección 72 PREGUNTA INICIAL Gráficas de proporcionalidad I ¿Cómo es la gráfica de una relación de proporcionalidad? 1 Efectúa lo que se pide. Jaime trabaja en una casa de cambio en el aeropuerto. Ahí venden monedas de distintos países. El precio de las monedas extranjeras cambia diario; la que más se vende es el dólar. Jaime hizo la siguiente tabla para saber cuánto debe pagar al comprar dólares. Fuente: www.banxico.org.mx/portal-mercado-cambiario/index.html. Fecha de consulta: 5 de octubre de 2012. Dólares 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00 Pesos 25.50 63.75 127.50 318.75 637.50 1 275.00 a) Denota con p la cantidad de pesos y con d la de dólares, y escribe en la línea una expresión que las relacione. b) ¿La tabla es de variación proporcional directa? • Observa las tablas para otras monedas. Euros 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00 Pesos 33.04 82.60 165.20 413.00 826.00 1 652.00 c) ¿Las tablas anteriores son de variación proporcional directa? d) Denota con p la cantidad de pesos y con e la de euros, y escribe en la línea una ex- presión que las relacione. Libras esterlinas 2.00 5.00 10.00 25.00 50.00 100.00 Pesos 41.54 103.85 207.70 519.25 1 038.50 2 077.00 e) Denota con p la cantidad de los pesos y con l la de libras en una expresión que las relacione. f) ¿En qué se parecen tus expresiones de los incisos a), d) y e)? Si dos variables, x y y, se relacionan de manera directamente proporcional se cumple que y = kx, donde k es un constante. Es decir, si se conoce el valor de x, el valor correspondiente de y se calcula multiplicando x por k. Investiga en qué países se utili- zan los euros y las libras ester- linas. p = 12.75 d Sí. Sí. p = 16.52 e p = 20.77 l R. T. En que todas consisten en una constante que multiplica a la moneda extranjera. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 204 3/5/13 12:57 PM
  • 40. 205 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano 2 En el plano cartesiano se graficaron los valores de la primera tabla de la página anterior. Elabora en el plano cartesiano las gráficas que relacionan los pesos con euros y con libras esterlinas. Utiliza colores distintos. a) Comprueba que las gráficas que trazaste sean líneas rectas que pasen por el punto (0, 0). Si no es así, revisa tus resultados y corrige tus gráficas. b) ¿Cuál línea hace un ángulo mayor con el eje horizontal? c) ¿Y cuál hace un ángulo menor? d) ¿De qué depende la inclinación de las rectas? e) ¿Por qué las rectas deben pasar por el punto (0, 0)? Observa Aunque en las gráficas solo se representan segmentos de recta, ya que no se pueden representar las rectas completas porque la longitud de estas es infinita, las propiedades que se analizan se refieren a toda la recta. 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Monedas extranjeras (pesos / dólares) Pesos Valores de los dólares, euros y libras esterlinas en pesos (pesos / euros) (pesos / libras) La de las libras esterlinas La de los dólares. R. T. Del valor de la moneda extranjera. R. T. Porque por 0 monedas extranjeras se pagan 0 pesos. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 205 3/5/13 12:57 PM
  • 41. 206 Lección 73 PREGUNTA INICIAL Gráficas de proporcionalidad II ¿Todas las gráficas que son rectas representan una relación de proporcionalidad? 1 Lee el texto y observa la figura. Un objeto se encuentra a 27 m del suelo. En cierto mo- mento, empieza a ser jalado mediante una manivela. Por cada cinco vueltas de la manivela, el objeto sube 1 m. a) Completa la tabla con la altura que alcanza el objeto. Vueltas 0 5 10 15 20 25 Altura (m) 27 28 b) ¿La tabla es de variación proporcional directa? c) ¿A qué altura se encontrará el objeto cuando la manivela dé siete vueltas y media? d) ¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el objeto se encontrara a 40 m de altura? e) Denota con v el número de vueltas y con h la altura. Anota una expresión algebraica que relacione ambas variables. f) Comprueba que los valores de la tabla cumplan tu regla de correspondencia del inciso anterior. Si no es así, revisa tu regla y tus cálculos. g) Grafica los valores de la tabla en el plano cartesiano de la siguiente página. h) Considera que en lugar de subir el objeto, la manivela lo bajara: cada cinco vueltas el objeto descendería 1 m. Completa la tabla como en el ejemplo. Vueltas 0 5 10 15 20 25 Altura (m) 27 i) ¿La tabla anterior es de variación proporcional directa? La expresión algebraica que relaciona dos variables que presentan una relación fun- cional, se llama regla de correspondencia. 29 30 31 32 No. A 28.5 m 65 vueltas. h = 1 5 v + 27 26 25 24 23 22 No. S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 206 3/5/13 12:57 PM
  • 42. 207 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano j) Escribe la regla de correspondencia de la tabla del inciso anterior y grafícala. Utiliza un color distinto del que empleaste para la gráfica anterior. k) Completa la tabla. Supón que el objeto se encuentra en el suelo y empieza a ser su- bido por la manivela. Vueltas 0 5 10 15 20 25 Altura (m) 0 l) ¿La tabla es de variación proporcional directa? ¿Por qué? m) Anota la regla de correspondencia de la tabla y grafícala en el plano cartesiano. 2 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen, con ayuda del profesor, las características de una gráfica de una relación de proporcionalidad directa. 0 5 5 10 15 20 25 10 15 20 25 30 35 Altura de un objeto de la manivela Vueltas Altura 1 2 3 4 5 Sí. R. T. Porque si se divide la altura entre el número de vueltas siempre se obtiene un quinto. h = 1 5 v S-COM_MAT2-B4-194-207C.indd 207 3/5/13 12:57 PM
  • 43. 208 Lección 74 PREGUNTA INICIAL Variación lineal I ¿De qué depende el valor de y en la expresión y = 34x? 1 Analiza la situación y efectúa lo que se solicita. a) Un tren recorre una ruta que inicia en Torreón, Coahuila, y termina en Jiménez, Chihuahua, haciendo parada en la estación de Gómez Palacio, Durango (a 10.2 km de Torreón). Después de pasar por esa estación, el tren avanza a una velocidad constante de 90 km/h hacia Jiménez. A los cinco minutos de haber salido de Gómez Palacio, ¿qué distancia lleva recorrida en total? ¿Y después de 15 minutos? ¿Y en 20 minutos? Completa la tabla y responde en tu cuaderno. Tiempo (min) 0 1 2 5 10 15 20 Distancia (m) 10200 i) ¿Cómo calculaste la distancia (en me- tros) que recorre el tren en un minuto? ii) ¿Y la que recorre en 10 min? iii) ¿Cómo calcularías la distancia total re- corrida por el tren a los 20.5 minutos de pasar por Gómez Palacio? iv) ¿Por qué se indica en la tabla que el tren lleva recorridos 10200 m en el tiempo 0? v) Escribe una ecuación que permita obtener la distancia total en metros (d) que lleva recorrido el tren en la ruta Torreón-Jiménez. Representa con t el tiempo transcurrido (en minutos) desde que el tren pasa por Gómez Palacio. d = vi) Calcula con la ecuación anterior qué distancia lleva recorrida el tren a los 12 minutos de salir de Gómez Palacio. Lleva recorridos m Observa que a cada valor del tiempo le corresponde un valor único de la distancia. Jiménez Química El Rey Escalón ElOro TORREÓN Cadena Gómez Palacio 10 201.5 10 203 10 207.5 10 215 10 222.5 10 230 10 200 + 3 2 t 10 218 S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 208 3/5/13 1:04 PM
  • 44. 209 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b b) Después de llegar a Jiménez, el tren se regresa con carga pesada hacia Torreón y nuevamente lleva velocidad constante. En la tabla se muestra la distancia que le falta por recorrer para llegar a Torreón. Complétala y anota en los óvalos cuánto se debe restar a la distancia anterior para obtener la siguiente. Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 Distancia (km) 240.7 239.4 238.1 236.8 235.5 i) ¿Qué distancia recorrió en cada minuto? ii) ¿A qué distancia se encontraba de Torreón 8 min después de iniciar el regreso? iii) ¿Y 12 min después? iv) ¿Cuánto tardó en regresar a Torreón? v) Escribe una ecuación para calcular cuántos kilómetros le faltan al tren para llegar a Torreón después de t minutos de emprender el regreso. d = 2 Contesta. a) Observa que en los problemas anteriores se proporcionaron datos como la velocidad del tren, la distancia deTorreón a Gómez Palacio y el tiempo de recorrido desde que salió de Gómez Palacio. ¿Cuáles son variables y cuáles constantes? Datos constantes Datos variables b) ¿Qué datos se pedía calcular en ambos problemas? ¿Estos datos son constantes o variables? 3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Una función es una relación de correspondencia entre dos variables, de manera que a cada valor de la primera le corresponde uno de la segunda. − − − −− 242 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 km Se encontraba a 231.6 km Se encontraba a 226.4 km 3 horas, 6 minutos y 9 segundos. 240 − 1.3t La distancia de Torreón a Jiménez. La distancia de Torreón a Gómez Palacio. La velocidad del tren. El tiempo en que recorre ciertas distancias desde que sale de Gómez Palacio, y la distancia para llegar a Torreón desde que sale de Jiménez en determinados tiempos. Son variables. S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 209 3/5/13 1:04 PM
  • 45. 210 Lección 75 PREGUNTA INICIAL Variación lineal II Si y = 3 + 4x, ¿cómo cambia el valor de y cuando x aumenta una unidad? 1 Lee las situaciones y efectúa lo que se pide. a) La gráfica muestra el estiramiento de un resorte al que se han colocado varios pesos. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Pesos (kg) i) Escribe de qué depende la longitud del resorte. ii) ¿Cuánto se estira el resorte con una pesa de 1 kg? iii) ¿Y con una de 2 kg? iv) Anota cuánto se estira un resorte con una pesa de 10 kg. v) Con base en lo anterior, completa la tabla. vi) Escribe una ecuación que permita obtener la longitud del resorte a partir del peso. Denota con L la longitud del resorte y con p el peso que se coloca. vii) Calcula con la expresión anterior la longitud del resorte con una pesa de 6.7 kg. La longitud del resorte es de cm. Peso (kg) 1 3 5 7 8 9 11 12 Longitud del resorte (cm) Longituddelresorte(cm) 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Estiramiento del resorte según el peso que carga Del peso que carga. Se estira 2 cm Se estira 4 cm 20 cm. 10 14 18 22 24 26 30 32 L = 8 + 2p 21.4 S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 210 3/5/13 1:04 PM
  • 46. 211 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones b) Un automóvil que circula a 60 km/h acelera de forma constante durante quince se- gundos. Anota en los óvalos de la tabla cuánto se debe sumar a cada velocidad para obtener la siguiente. Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 Velocidad (km/h) 60 62.9 65.8 68.7 71.6 74.5 77.4 i) ¿Cuánto aumenta la velocidad cada segundo? ii) ¿Cuál es la velocidad del automóvil a los 12 s de empezar a acelerar? iii) ¿Y a los 15 s? iv) Escribe una ecuación para calcular la velocidad del automóvil (V) en el tiempo t. V = c) Un camión circula a 90 km/h. El conductor frena y la velocidad disminuye de manera constante 7.5 km/h cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá el camión tras un segundo de haber frenado? ¿Y después de 5 s? Completa la tabla y contesta. Tiempo (s) 0 1 2 3 4 6 8 10 12 Velocidad (km/h) 90 i) ¿Cuál es la velocidad del camión a los 3.5 s después de frenar? ii) ¿Y a los 4.2 s de frenar? iii) Escribe una ecuación que permita determinar la velocidad del camión (V) en el tiempo t. V = 2 Grafica en tu cuaderno las situaciones de los incisos b) y c) de la actividad anterior. 3 Compara tus respuestas de esta lección con las de tres o cuatro compañeros. Corrijan las que no sean correctas. En el caso de las ecuaciones consideren que pueden estar escritas de distinta forma pero ser equivalentes. 4 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b + + + + + + 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 Aumenta 2.9 km/h 94.8 km/h 103.5 km/h 60 + 2.9t 82.5 75 67.5 60 45 30 15 0 63.75 km/h 58.5 km/h 90 − 7.5t S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 211 3/5/13 1:04 PM
  • 47. 212 Lección 76 PREGUNTA INICIAL Variación lineal III ¿Cuál es la regla de correspondencia de la siguiente sucesión? 2, 7, 12, 17, 22, 27, … 1 Resuelve los siguientes problemas. a) A nivel del mar el agua hierve a 100 °C. A esta temperatura se le llama punto de ebu- llición. Cuando la altitud cambia, el punto de ebullición también lo hace de acuerdo con la ecuación t = 100 − 0.001h, donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados y h, la altitud en metros. i) Anota el punto de ebullición del agua en los siguientes lugares; la altitud aparece entre paréntesis. Pico de Orizaba (5747 m) Monterrey (537 m) Monte Éverest (8848 m) ii) A mayor altitud, ¿el punto de ebullición aumenta o disminuye? iii) ¿Cuántos grados varía el punto de ebullición por cada metro de altitud? iv) ¿De qué depende el punto de ebullición del agua? v) ¿Cuántos valores de punto de ebullición le corresponden a una altitud? b) Un antropólogo puede estimar la estatura de un hombre conociendo la medida de su húmero con la ecuación H = 2.89h + 78.1, donde H es la estatura y h, la longitud del húmero (ambas en centímetros). i) Completa la tabla. h 28 29 30 31 32 33 34 35 36 H 159.02 ii) La longitud de dos húmeros difiere 1 cm. ¿Por cuánto difieren las estaturas? El húmero es el hueso del brazo entre el hombro y el codo (se mues- tra resaltado en la fotografía). 94.253∙ 99.463∙ 91.152∙ Disminuye. 0.001∙ De la altura. Solo uno. 161.91 164.8 167.69 170.58 173.47 176.36 179.25 182.14 Difieren por 2.89 cm S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 212 3/5/13 1:04 PM
  • 48. 213 Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b • Un antropólogo hizo la siguiente tabla de estaturas, pero en lugar de sumar 78.1 empleó 78 como aproximación, es decir, aplicó la fórmula H = 2.89h + 78. Completa la tabla. h 28 29 30 31 32 33 34 35 36 H 158.92 iii) Analiza con un compañero la diferencia entre los valores de esta tabla y los de la que se elaboró con la fórmula original. Escriban sus conclusiones. • Otro antropólogo hizo la siguiente tabla, pero usó 3 como aproximación de 2.89, es decir, aplicó la fórmula H = 3h + 78.1. Completen la tabla. h 28 29 30 31 32 33 34 35 36 H 162.1 iv) Analiza con un compañero cómo cambia esta tabla con respecto a la de la fórmula original. Expresen sus conclusiones. c) La siguiente tabla relaciona la estatura de las mujeres (M) en centímetros con la longitud de su húmero; se elaboró con una fórmula similar a la de la estatura de los hombres. Analicen la fórmula y anótenla. h 27 28 29 30 31 32 33 34 M 148.67 151.56 154.45 157.34 160.23 163.12 166.01 168.9 M = 2 Revisa los incisos a), b) y c) de página 167. 3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen si la regla de correspondencia es de la forma y = mx + b. Las funciones, que se estudiaron en esta lección, como t = 100 − 0.001h y H = 2.89h + 78.1 son de la forma y = mx + b. Las siguientes funciones son de la forma y = mx + b. Observa que se utilizan distintas literales para denotar las variables. y = 3x + 2 z = 3f + 4 z = −5x + 3 y = −9s − 5 En el bloque 5 se estudiarán con más profundidad este tipo de funciones. 161.81 164.7 167.59 170.48 173.37 176.26 179.15 182.04 R. T. Los valores de las estaturas empiezan en un número distinto, pero la diferencia es 2.89 entre cada una. 165.1 168.1 171.1 174.1 177.1 180.1 183.1 186.1 R. T. Los valores de las estaturas empiezan en otro valor, pero la diferencia es 3 entre cada una. 2.89h + 70.64 S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 213 3/5/13 1:04 PM
  • 49. 214 Lección 77 PREGUNTA INICIAL Media ponderada El maestro de Matemáticas de Javier califica con un examen y con tareas. Javier obtuvo 8 en el examen y 10 en tareas, y su promedio fue 7.5. ¿Qué valor se asigna a cada rubro? 1 Contesta. Un maestro de Matemáticas califica teniendo en cuenta tres aspectos de acuerdo con esta escala. Examen: 55% de la calificación Trabajo final: 25% de la calificación Tareas: 20% de la calificación a) Juan obtuvo las siguientes calificaciones. i) Sin hacer cálculos, contesta: ¿cuál debe ser su promedio? ¿Por qué? ii) Las calificaciones de tres alumnos son las siguientes. iii) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio mayor? ¿Por qué? iv) Sin hacer cálculos, contesta: ¿quién obtuvo el promedio menor? ¿Por qué? v) Si alguien obtiene 10 de calificación en el examen y 0 en los otros dos aspectos, ¿cuál es su promedio? ¿Cómo lo calculaste? vi) Un alumno obtuvo 10 en un aspecto, pero 0 en los otros dos. Si su promedio fue 2, ¿en qué aspecto obtuvo 10? ¿Cómo lo sabes? vii) ¿Cuál es el valor de cada aspecto de la calificación del examen en el promedio? ¿Por qué? Examen Trabajo Tareas Alumno 1 8 10 8 Alumno 2 10 8 8 Alumno 3 8 8 10 Examen Trabajo Tareas 8 8 8 8 R. T. Porque tuvo 8 en todos los rubros. El alumno 2. R. T. Porque los tres tienen dos 8 y un 10, pero él tuvo la calificación más alta en el rubro con mayor valor, de acuerdo con la escala. El alumno 1. R. T. Porque tuvo 10 en el rubro con menor valor en la escala. Es 5.5 R. T. El examen vale 55% de la calificación, entonces obtuvo el 55% de 10. En tareas. R. T. Porque el aspecto vale 20% de 10, que es 2. 5.5, 2.5 y 2 R. T. Porque es el porcentaje de 10 que corresponde a cada uno. S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 214 3/5/13 1:04 PM
  • 50. 215 Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Resolución de situaciones de medias ponderadas viii) Calcula en tu cuaderno los promedios de los siguientes alumnos. • Reúnete en equipo. Comparen sus respuestas del inciso a) y, si es necesario, corrijan sus errores. Comenten los procedimientos que usaron para calcular los promedios en el inciso viii) y redacten el que les parezca más eficiente en sus cuadernos. Después, compárenlo con el de los otros equipos y elijan el mejor con ayuda de su profesor. 2 Resuelve lo siguiente. Después compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Se evaluó la calidad de cinco marcas de televisiones teniendo en cuenta cuatro aspectos: Duración (D), Calidad de imagen (I), Calidad de sonido (S) y Ahorro de ener- gía (A). Cada aspecto recibe una calificación de 1 a 10, pero corresponde a una parte de la calificación final de acuerdo con la siguiente escala. D = 1 3 I = 1 6 S = 1 6 A = 1 3 • Completa la tabla. D I S A Promedio Marca 1 7 7 7 7 Marca 2 7 7 8 7.5 Marca 3 8 8 10 8 Marca 4 7 6 6 6 b) Un profesor califica con un examen oral y uno escrito. Si asigna 75% de la calificación al examen escrito, ¿cuánto debe asignar al examen oral? ¿Por qué? c) Roberto estudia con el profesor del inciso b) y obtuvo 7.5 de promedio. ¿Qué califica- ciones pudo obtener en cada aspecto? Anota dos posibilidades. 3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Con la calculadora puedes darte cuenta de que hay una diferencia constante entre un término y el siguiente. Calcula cuál es esta diferencia. La media ponderada de un conjunto de datos es un valor representativo de estos cuando no todos tienen la misma importancia; a cada uno se le asigna un valor llamado peso. Por ejemplo: un profesor asigna calificaciones de esta forma: 80%, examen; 20% ta- reas. Entonces, el examen tiene un peso de 80%, o 0.8, y las tareas, de 20%, o 0.2. Examen Trabajo Tareas Promedio Alumno 4 7 8 9 Alumno 5 7 10 10 Alumno 6 8 9 10 Alumno 7 9 7 8 Alumno 8 6 10 8 7.65 8.35 8.65 8.3 7.4 7 8 6 5 25% R. T. Porque debe cubrir 100% para obtener la calificación. R. T. 7.5 en ambos exámenes, o 10 en el examen escrito y 0 en el oral. S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 215 3/5/13 1:04 PM
  • 51. 216 TIC Sucesiones con calculadora Para generar sucesiones puedes usar una calculadora científica. Observa el siguiente ejemplo: Supongamos que debes continuar la siguiente sucesión. −7.004, −6.801, −6.598 Entonces, para continuar la serie debes restar esta diferencia al término anterior. Esto se hace fácilmente de la siguiente manera. Teclea el número 6.598 y presiona la tecla +/- . En la pantalla aparece: Oprime la tecla ∙ dos veces. Después teclea el número que es la diferencia que calculaste y presiona las teclas +/- y ∙ . En la pantalla se lee: que es el siguiente término de la sucesión. Para calcular los siguientes solo necesitas presionar la tecla ∙ . • Escribe cuatro términos de una sucesión en tu cuaderno e intercámbialo con un compañero para que escriba otros diez términos usando la calculadora. 877 8 99 -6.598 877 8 99 -6.395 S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 216 3/5/13 1:04 PM
  • 52. 217 Matemáticas para la vida Reúnete con un compañero. Respondan lo siguiente en sus cuadernos. 1. Observa los siguientes datos. Estatura (m) Longitud del pie (m) Longitud del paso de punta a punta (m) Persona 1 1.63 0.266 0.506 Persona 2 1.78 0.29 0.552 Persona 3 1.86 0.304 0.578 Persona 4 1.58 0.258 0.49 Persona 5 1.65 0.269 0.512 a) Determinen una constante de proporcionalidad (k) y escriban una expresión de la forma y = mx para determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud del pie. Hagan lo mismo para el caso en que se conozca la longitud de la huella. b) Usen sus fórmulas para determinar la estatura de algunos compañeros conociendo la longitud de su pie y de sus pasos. Las huellas de una persona Es posible determinar la estatura de una persona si se conoce la longitud de su pie o de sus pasos. Estos datos pueden obtenerse, por ejemplo, de las huellas que una persona deja so- bre la arena. Por medio del análisis de varios datos estadísticos, se ha descubierto que la estatura de una persona guarda una relación directamente proporcional con el tamaño de su pie y con la lon- gitud de sus pasos. S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 217 3/5/13 1:04 PM
  • 53. 218 Evaluación Subraya la respuesta correcta. 1 Cuál es la regla de la sucesión 3, 0, –3, –6, –9… a) 3n + 6 b) 3n − 6 c) −3n + 6 d) −3n − 6 2 ¿Cuál es la solución de 4(x – 1 2 ) = 2? a) −1 b) 1 c) 1 2 d) −1 2 3 Elena pensó un número, le restó un cuarto, multiplicó el resultado por 2 y sumó 5. Sergio pensó el mismo número que Elena, le restó un medio, multiplicó el resultado por 3, restó 6 y obtuvo el mismo resultado que Elena. ¿Qué número pensaron? a) −10 b) −12 c) 12 d) 10 4 El triple de un número más la mitad del que le sigue da como resultado 18. ¿Cuál es el número? a) 1 2 b) 1 c) 5 d) 18 5 ¿Qué ecuación es equivalente a 3x + 4 – 2x = 5 – 2x – 1 a) −x = −5 b) 3x = 0 c) 3x + 1 = 0 d) −3x + 1 = 0 6 ¿Qué afirmación es cierta? a) El ángulo A mide la mitad que B. b) El ángulo A mide el doble que B. c) Los ángulos A y B miden lo mismo. d) La suma de las medidas de A y B es 180°. A B S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 218 3/5/13 1:04 PM
  • 54. 219 7 ¿Qué gráfica corresponde a una función de la forma y = mx? a) I b) II c) III d) IV 8 Un automóvil consume un litro de gasolina por cada doce kilómetros recorridos. La capacidad del tanque es de 40 litros. Si se representa con y la cantidad de litros en el tanque y con x los kilómetros recorridos, ¿qué expresión relaciona x y y a partir del tanque lleno? a) x = 40 − 1 12y b) y = 40 − 1 12x c) y = 40x d) y = 1 12x 9 En la tabla se registra la longitud de un resorte al que se le cuelgan distintos pesos. Peso (kg) 1 2 3 4 Longitud (cm) 13 16 19 21 Si l representa la longitud del resorte y p, el peso, ¿cuál es la fórmula que relaciona am- bas cantidades? a) l = 3p b) p = 3l c) l = 3p + 10 d) p = 3l + 10 10 Un profesor de Matemáticas califica con un examen, tareas y una exposición. Elena obtuvo 4 en el examen, 9 en tareas y 10 en la exposición. Si obtuvo 5.5 de promedio, ¿qué afirmación es cierta? a) La exposición tiene menos peso que los otros dos aspectos. b) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos. c) El examen tiene más peso que los otros dos aspectos juntos. d) Las tareas tienen menos peso que los otros dos aspectos juntos. I II III IV X Y S-COM_MAT2-B4-208-219C.indd 219 3/5/13 1:04 PM