I. El documento presenta las leyes exponenciales de la potenciación, incluyendo definiciones y teoremas. II. Se explican conceptos como exponente natural, exponente cero, exponente uno, exponente entero positivo y exponente entero negativo. III. Se plantean ejemplos y ejercicios para aplicar las leyes exponenciales.

1. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Mediante ejercicios reconoce y aplica las
leyes exponenciales que rigen en la
potenciación de monomios.
2. El estudiante adquiere habilidad operativa
y reduce expresiones garantizando su
correcta definición y procedimientos.
II. COMENTARIO PREVIO
Estamos en época de grandes cambios en la
enseñanza secundaria, en todas partes del
mundo.
Es que los educadores tienen la sensación que
la brecha existente entre la enseñanza actual y
las necesidades culturales del hombre
moderno, debe ser llenado urgentemente o se
convertirá en un abismo infranqueable.
Una de las principales características de la
ciencia moderna es el uso de la matemática.
Por eso no es de extrañar que en muchos
lugares la reforma de la enseñanza comience
por esta materia. Si ella no se actualiza, será
difícil modernizar lo demás.
El doctor Luis Santaló en Por qué y para que
enseñar matemática en la escuela, sostiene:
“Posiblemente lo más importante y
Primordial es la elección de los temas a
tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y
destacar otro problema fundamental; el del
desglose, ordenación y jerarquización de
estos temas, ya que la naturaleza jerárquica de
la matemática hace muy importante para el
que aprende que quien enseña lo haga en la
secuencia adecuada.
Con lo expuesto justificamos el estudio de las
Leyes Exponenciales en tres sesiones:
Sesión Nº 01: Leyes de la Potenciación
Sesión Nº 02: Leyes de la Radicación
Sesión Nº 03: Ecuaciones Exponenciales
Ubicándonos dentro del contexto de la sesión
Nº 01 comentamos:
Con frecuencia se denomina al álgebra como
la aritmética de las siete operaciones
queriendo subrayar con ello que a las cuatro
operaciones matemáticas conocidas por
todos, el álgebra añade otras tres; la
potenciación y sus dos inversas (Radicación y
Logaritmación).
Pues bien, comencemos nuestras pláticas
algebraicas con “la quinta operación” LA
POTENCIACIÓN.
Esta operación responde a exigencias propias
de la vida práctica, ya que tiene múltiples
aplicaciones en las diferentes ramas de la
ciencia. Veamos algunos ejemplos:
Una de las aplicaciones es la teoría molecular
de la materia en la cual, Amadeo Avogadro
determina una constante llamándola el
número de Avogadro cuyo valor es N = 6,023
x 2310 . ¿Cómo sería sin la representación
exponencial?
Otra de las aplicaciones es en el campo de la
astronomía donde también se trabajan con
cantidades de gran magnitud; tales como la
velocidad de la luz, la distancia que existe de
un astro a otro, etc.
Otra aplicación importante se observa en la
física cuando se trabajan las ecuaciones
dimensionales, donde se utilizan básicamente
el exponente negativo.
Finalmente concluimos planteando el
siguiente problema de astronomía: se
acostumbra describir las distancias entre las
estrellas mediante unidades llamadas años
luz. Por definición, un año luz es la distancia
que recorre la luz en un año (365 días).
Si la luz viaja con una velocidad de 3,1x
510 Km/s aproximadamente. ¿Cuántos km
hay en un año luz?
III. CONTENIDO TEORICO
LEYES EXPONENCIALES
Son definiciones y teoremas ligadas a las
operaciones de potenciación y radicación en el
campo de los números reales.
El conocimiento del tema garantiza que el
desarrollo de los demás temas sea de la mejor
manera.
Potenciación
Es la operación matemática que permite la
presencia del exponente afectando a una
expresión llamada base y cuyo resultado se
denomina potencia.
RP;Zn;Ra;Pa n ∈∈∈=
Donde:
a: Base
n: Exponente
P: Potencia
Definiciones Importantes
1) Exponente Natural
En la potenciación, si el exponente “n” es un
número natural y la base “a” es un número
real se define:
a) Exponente Cero
Toda cantidad real a excepción del cero
elevada al exponente cero es igual a la
unidad.
0aRa,1a 0 ≠∧∈=
Ejemplo: Dar el valor si existe en:
0
9
8
63
2
35
2
15
2
3
2
E 





−+++=
Solución:
¡CUIDADO! previamente debemos analizar
la base para verificar si es distinto de cero.
9
8
9x7
2
7x5
2
5x3
2
3x1
2
−+++
9
8
9
1
7
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1 −





−+





−+





−+





−
0
9
8
9
1
1 =−−
∴ 10E 0 ≠=
No tiene sentido calcular 00 pues es
indeterminado
b) Exponente Uno
Toda cantidad real elevada el exponente
natural uno es igual a la misma cantidad.
Ra,aa 1 ∈∀=
Ejemplo : reduce la expresión :
9732
51
1
12
5
1
++





Solución :
5
16
3
5
1
12
5
1
=+=++
c) Exponente entero positivo
Una cantidad real elevada a un exponente
“n” natural mayor que uno (1), equivale a
multiplicar “n” veces dicha cantidad
(base).
1nNn;Ra;aa.a.aa n 〉∧∈∈= 
Ejemplos:
  
veces5
5
3x3x3x3x33 =
= 243
(- 5)3
= (- 5) (- 5) (- 5) = - 125
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I
LEYES

2. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
  

vecesn
xx.x.x
= xn
, n ∈ N ; n > 1
Observación : Lo expuesto anteriormente en
(1) se puede esquematizar de la siguiente
forma :





∈=
≠=
〉∧∈
=
Ra,1n;a
0a,0n;1
1nNn;aa.a.a
an

2) Exponente Entero Negativo
Nos indica que la base diferente de cero afectada
de exponente negativo se invierte. (inverso
multiplicativo)
n
n
n
a
1
a
1
a
:defineseNn0aSi






==
∈∧≠
−
Ejemplos :
9
1
3
1
3
2
2
==−
( )
( ) 125
1
125
1
5
1
5
3
3
−=
−
=
−
=− −
( ) 6
2 −
− =
( )62
1
−
=
64
1
2
1
6
=
27
125
3
5
3
5
5
3
3
333
==





=





−
Observación :
definidoNo,0 n−
LEYES EXPONENCIALES
DE LA POTENCIACIÓN
TEOREMAS:
A continuación enunciamos los teoremas :
Sea : {a;b} ⊂ R ∧ {m; n; p} ⊂ Z
1. nmnm
aa.a +
=
2. 0a;a
a
a nm
n
m
≠= −
3. ( ) p.n.m
p
nm
aa =





4. ( ) nnn
b.ab.a =
n.pn.m
n
pm b.ab.a =




5. 0b,
b
a
b
a
n
nn
≠=





0b,
b
a
b
a
n.p
mn
n
p
m
≠=








Observaciones importantes :
a. La potenciación es distributiva respecto a la
multiplicación y división (teoremas 4 y 5)
b.
( ) 

cadenaenonentesexp
conPotencia
m
potencia
dePotencia
p
nm
pn
aa ≠





c. Una potencia con exponentes en cadena, se
reduce desde la parte superior.
a
m
n
p
w
a
m
w
T
a
T
I= = =
d. [ (a ) ]m n p
[ (a ) ]m p n
=
e. Recordar que la igualdad goza de la
propiedad simétrica, es decir:
Rb,a,abba ∈∀=↔=
f. Los teoremas expuestos son fácilmente
demostrables para exponentes naturales. Es
necesario que puedan ampliarse a exponentes
reales, pero para su demostración es necesario
otros elementos de matemática superior.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Ejemplo 1: Simplificar : 294
336
30x14x15
80x35x21
Solución :
Se recomienda descomponer las bases como
producto de factores primos, obteniéndose
bases iguales :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )294
3436
5x3x2x7x2x5x3
5x2x7x5x7x3
Aplicando potencia de un producto :
2229944
3123366
5x3x2x7x2x5x3
5x2x7x5x7x3
Multiplicando y dividiendo potencias con
bases iguales :
91166
12696
7x2x5x3
2x5x7x3
= 2
Ejemplo 2: Al reducir :
E = 1x1x2xx2
1xx2x1x2
3.53.5
3.53.5
−−
−+
−
−
Se puede afirmar que :
I. Si x es una cantidad positiva muy grande,
las expresión es uno.
II. Si x = 8 la expresión igual a 5.
III. La expresión no depende de x.
Solución :
Factorizando en el numerador y denominador :
1x1x2
3.5 −−
E =
( )13.53.5
53.53.5
1x1x2
21x1x2
−




 −
−−
−−
E = 5E
14
70
=⇒
Al obtener como resultado una expresión numérica
donde la letra x ya no aparece, concluimos que la
expresión es independiente de x, es decir para
cualquier valor que tome x, la respuesta siempre
será 5.
Luego :
I) F
II) V
III) V
Ejemplo 3: Si :
xx
x
x = 2. Calcular
w =
xxxxxxxx
x
x
++
Solución :
Recordar :
1. nmnm
a.aa =+
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3. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
2. ( ) ( )mnnmn.m
aaa ==
3.
n
pnpnp a
ma.mm
aaa 





==
+
Luego en w se obtiene :
W =
xxxxxxxx
x.x
x
+
W =
xxxx.
xxxxx
x.xx
W =


























xxxx
xxx
xx
x
x
x
W = 1622 42 2
==
PRACTICA DE CLASE
01. Si A = 111
325 −−−
++
N =
1
19
30
−






. Hallar A + N
a)
3
5
b) 2 c) 1/3
d) 31/30 e) 19/30
02. Reducir :
   
veces6veces6veces6
2xx2.22.2.2.22.2.2.2 ++
a) 64 b) 36 c) 192
d) 128 e) N.a.
03.Reducir :
E =
5,0
4x2xx
4x2xx
777
777








+−
+−
−−
++
a) 1/7 b) 7 c) 343
d) 7 e) 49
04.La edad de José es el cuádruplo de la edad de
Carlos. Si Carlos tiene en años.
( )
2
3
5,0
2
64
44
2
−
−


















Entonces dentro de dos años dichas edades
sumarán :
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
05.Reducir :
( )
( )
































+
+
−
+
2n6
veces3n2
veces2n4
6n3
x
1
x
xx.x.x
xx.x.x
x


 
a) x b) x2
c) x3
d) x4
e) x5
06.Calcular el valor de E :
E =
2
1
12222
6
1
7
1
3
1
2
3
2
5
1














+





+





+





+





−−−−
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
07.Si : E = ,
3.3
33
1n
1n3n
−
++
−
P =
92n91n
91n90n
22
22
++
++
+
+
Entonces P. E es:
a) 12 b) 24 c) 48
d) 8 e) N.A.
08.Si : xx
= 5, Reducir :
( )
( )1xx
xx
4x
xxx5 x
x
+
+
+
+
−
a) 1 b) x c) x+1
d) x2
e) x5
09.Simplificar :
3xx5x
1x4x2x
2.22.152
2.622.5
++
−++
−−
+−
a) 1 b) 2x
c) 2x - 1
d) 7 e) N.a.
10.Efectuar : E =
10
432
63
6x35x30
15x14x24








a) 15 b) 157
c) 1510
d) 2255
e) c y d
TAREA DOMICILIARIA
01.Simplificar :
x1x2x3x4x
x1x2x3x4x
3737373737
3737373737
++++
++++
−−−−
++++
a) 37 b) 372
c) 373
d) 374
e) N.a.
02.Si xx
= 2, calcular el valor de:
E =
x1
x2x
x
+
+
a) 32 b) 16 c) 128
d) 256 e) 64
03.Proporcionar el exponente final de x11
en la
expresión :
E = ( ) ( ) ( ) ( )1310635241
xx.x.x  x ≠
0; 1
a) 550 b) 50 c) 11
d) 55 e) N.a.
04.Si : xx
= 2, Calcular :
x
1x
x
xxxx2 x
1x
x1x
xxxx 





−





++ −−
+
+
a) 4 b) 16 c) 24
d) 20 e) N.a.
05.Si A =
3n
3n
53
53
3
3
2
2
32








−







 −−
B =
14
6
4
22






















 
Hallar el valor de:
( )A2
B
7
2
n
1
−
Donde : 1 x 2 x 3 x ……x7 = n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
06.Si tenemos la expresión S definida como :
S =
x8x9x10x
10x2x1xx
2222
2222
++++
++++
−−−
+++


Halle :
32
S
a) 64 b) 32 c) 128
d) 256 e) 1024
07.Determinar el valor de verdad de las
proposiciones :
I) ∀ x∈ R; x0
= 1 ⇒ (- 2)0
= 1
II) Si xm
.xn
= xm+n
⇒ 33
.33
= 99
III) ∀ x ∈ R; (- x)2
= x2
∨ (- 3)2
= - 9
a) VFV b) VVF c) VVV
d) VFF e) FFF
08.Determinar la veracidad o falsedad de las
proposiciones :
I) ∀ x ∈ R; n ∈ N : (-x)2n
= x2n
II) ∀ x ∈ R; n ∈ N: (-x)2n+1
= - x2n+1
III) ∀ x ∈ R; x2
≥ 0
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4. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
IV) ∀ x ∈ R; x3
∈ R
a) VVFF b) VFVF c) VVVF
d) FFVV e) N.a.
09.Si P(x) =
( )
x
2x1xx
5
555x ++
++
Calcular : P(10)
a) 31 b) 310 c) - 310
d) - 3100 e) 300
10.Si : k5
= 35
– k3
El valor de : M =
( )
   
factores1k
k
3
5
3x3xx3x3x3
+
es
a) 16
9 b) 8
9 c) 243
3
d) 81
27 e) hay 2 correctas
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .
1. Mediante leyes reconoce las clases de
exponentes en la radicación de monomios.
2. Relacione las leyes exponenciales de la
radicación de monomios en la resolución de
ejercicios.
II. COMENTARIO PREVIO
En la sesión anterior se hizo referencia a la
potenciación, como la quinta operación
matemática y que presenta dos inversas
(radicación y logaritmación).
Luego de haber estudiado la potenciación
nos asiste el imperativo de realizar el estudio
de una inversa de ésta, en este caso: LA
RADICACIÓN
III. CONTENIDO TEORICO .
RADICACIÓN EN R.
Es una operación inversa a la potenciación,
donde a partir de dos cantidades: Indice y
Radicando obtendremos otra cantidad
llamada raíz. La operación de radicación la
definimos, así:
1nNn;rara nn
>∧∈=⇔=
donde:
a
n
= r
Indice (n N)ε
Raíz enésimaRadicando
como se trabaja únicamente en R se establece
(observe el cuadro anterior).
• Si n es par ∧ a ≥ 0 → 
principalraíz
0r ≥
• Si n es par ∧ a <0 → r ∉ R
• Si n es impar ∧ a ≥ 0 → r ≥ 0
• Si es impar ∧ a < 0 → r < 0
Ejemplos:

principal
realraíz
4
381 =
⇒
34
= 81
5
32 = 2 ⇒ 25
= 32
3
125− = - 3
125 = -5 ⇒ (-5)3
= -125
Definición de Exponente Fraccionario
n mn
m
aa =
;
n
m
es una fracción
irreductible
Ejemplos:
•
288 33
1
==
•
3
1
38181 1144
1
=== −−−
• 55 35
3
12555 ==
• 7
5
7 5
22 =
Leyes Exponenciales de la Radicación
A continuación enunciamos los siguientes
teoremas:
1) nnn
b.aab = ; { } Rb;a nn
⊂
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
2) n
n
n
b
a
b
a
= ; b ≠ 0 , { } Rb;a nn
⊂
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b > 0
3) mnpm n p
aa = ; m , n,p ∈ R
Si mnp > 0 → a ≥ 0
4)
mnp cbpanp
mnp cmn bm am n p cba
z.y.x
z.y.xzyx
=
=
OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las
bases x, y z son iguales, se concluye a una forma
practica de reducir, veamos:
4.1) mnp cp)ban(m n p cba
xxxx ++
=
4.2) mnp cp)ban(m n p cba
xx:x:x +−
=
+ - +
5) Valor principal de una radicación:
)2n(NnRAsi;rA
n n ≥∈∧∈= +
Luego:



<−
≥
==
0xsi;a
0xsi;a
aa
n2 n2
Ejemplos:
3|3|32
==
( ) 3|3|3 2
=−=−
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¡IMPORTANTE! La radicación es distributivo
con respecto alamultiplicación y división.
¡IMPORTANTE! La radicación es distributivo
con respecto alamultiplicación y división.
Leyes
de
Waltor
LEYES
EXPONEN

5. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
3252534
4
−=



 − ; 3 - 5 2 <
0
36366
6
−=



 − ; 6 - 3 > 0
COROLARIO
aa
1n2 1n2
=
+ +
Ejemplos:
( ) 223 3
−=−
33
5 5
=
COROLARIO
b cab ac
xx =
Si a.b es par → x ∈ R ∧ x ≥ 0
TEOREMAS ADICIONALES
1)
n
m
1m
1
n
m
radicalesn
m m m m aa.....aaa −
−
=
  
2)
n
n
m
1m
1m
radicalesn
m m m m a:a....:a:a:a +
+
=
  
Si “n” es impar
3)
n
n
m
1m
1m
radicalesn
m m m m a:a....:a:a:a +
−
=
  
Si “n” es par
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
1) 1nn n n
x...xxx −
=∞ ; x ∈ R, ∀n ∈ R
- {0 ; -1}
2) 1nn n n x...:x:x:x +
=∞ ; x ∈ R, ∀n
∈ R-{0;-1}
En ambos teoremas: n ∈ N ∧ n ≥ 2 sólo en
el caso de que “n” sea un número par el
radicando “x” deberá ser positivo.
3) 1 + x + x2
+ x3
+ … =
x1
1
−
; 0 < x < 1
4)
xx
x
x
x
xx
=

⇔ 0 < x < e
e = 2,7182….
EJERCICIOS EXPLICATIVOS N° 2
Ejemplo 01. Proporcionar el valor de:
W =
3
4
5
2
2
3
23
5
2
81.4
27.32
Solución:
Aplicando la definición de exponente
fraccionario en cada radical, se obtiene:
W =
35
4
3
6
5
4
3
2
5
3
4
5
6
3.2
27.32
81.4
27.32 








=
W =
35
46
3.2
3.2
⇒ W = 6
Ejemplo 2: Reducir:
4
2
1
44
4004525
7514812
3






















−+
−+
−
Solución:
( )
4
2
1
4 24 2
205x95
3x253x163x4
3
























−+
−+
−






















−+
−+
− 4x
2
1
20535
353432
3
22
3
52
3
52
3
3








=








−
→
( )( )( ) 20
3
543
=
/
/
Ejemplo 3: Halle el exponente de x
x en:
x1x xx2 x1
1
x x.xx
x
−
++








Solución:
( ) xx
x
x xxx
x
x
x xx
x
++








( )
1xxx xxx
x
−
=
Luego el exponente de x
x es e 1x
x −
Ejemplo 4: Efectuar:
E = ( ) ( )
1
5
3
5
2 3
3232
−
−−
−










−+−
Solución:
( ) ( )
4
1
323232
2
55 25
2
=



 −=−=−
−
−
−
( ) ( )
8
1
23232 3
3
55
3
−=−=



 −=− −
−−
En E se obtiene:
E = 3
1
8
1
4
1
−






−
E = 28
8
1 3
1
3
1
==





−
Ejemplo 5: Calcular el valor de:
P =
04412
13825
16932
168100
−−−−
−−−−
++
Solución:
Efectuando cada uno de los términos por
separado:
* 100
32
- 25
1/2
1/5
- 8
1/2
- 3
-1 1/3
= 10
* 8
9
- 2
= 8
- 1
9
- 1/2
= 8 = 2
1/3
* 16
16
- 4
1/2
1/4
- 4
1
0
416 2
1
=
Reemplazando los valores en P:
P = 10 + 2 + 4
P = 16
Ejemplo 6: Reducir:
( )
77 5
5
3
3 4 4
2−
Solución:
( )
77 5
5
3
3 4 4
2
// /
/
−
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

6. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
( )
3
3 4 4
2
/
/
−
( ) 224 4
=−
Si simplificamos directamente se podría llegar a
una contradicción, pero la expresión si existe
pues ( ) 44
22 =− es positivo.
Ejercicio 7: Reducir a su forma más simple:
M = 3 3 3 3 2222
x....xxx , n
radicales.
Solución:
Por inducción y aplicamos la ley de Walter:
1 radical: 3 2
x = 3 13
x −
2 radical: 3 3 22
xx =
2 23 13
x −
3 radical: 3 3 3 222
xxx =
3 33 13
x − .
.
.
.
n radicales:
n
3 133 3 3 3 2222 n
xx...xxx −
=
PRACTICA DE CLASE
01.Reducir :
M = 5x
x5x5
5x5x
157
715−
−−
−−
−
−
a) 107 b) 7 c) 103
d) 95 e) 105
02. Al reducir:
x
7
2
x
7
256
x
5
1x
7
2
7














+
se obtiene:
3
5
7
−
;
hallar el valor de: 2x
x −
a) 27 b) 3 c) 9
d) 30
e) 81
03.Hallar el exponente final de x.
m
1m
m
1m
m
1m
x
x
x
−
−
−
..
.
Sabiendo que existen “t” radicales.
a) m-t
+ 1 b) m-t
- 1 c) mt+1
- 1
d) mt
- 1 e) m-t+1
- 1
04.Reducir:
( ) ( )
yx yx
yx
x2
3
3213
yx
y2
− +
− −
+
a) 17 b) 10 c) 24
d) 4 e) 8
05.Calcular:
A = 4 42
22981 )()( −+−
a) 10-4 2 b) 4 2 c) 10
d) 23
e) 10 + 2 8
06.Al reducir:
A = 5 56 6
32585 )()( −+−
se obtiene:
a) 2 6 b) 6 2 c) -2 2
d) 2 e) N.A.
07.Efectuar:
A = 5 5253
643227 )()( −+−+−+−
a) -15 b) 5 c) -7
d) -5 e) N.A.
08.Reducir:
2xx
x4 x51x
250
42
),(
)( , −+
a) -22
b) 212
c) (1/2)-2
d) 2-3
e) (1/2)2
09. Dar el equivalente de:
16
523
5 23 5
ba
ba
−
.
.
/
a) a . 6
b b) a 5
b c) ab2
d) b2
e) a2
b
10.Si “n” es un número entero positivo mayor
que 2; simplifique:
12n 12nn
1n n 1n n
n
− +
− +








a) n-1
b) 1
n
−
c) n
d) n-n
e) nn
11.Efectuar:
1nm n
m
3
m
2
mm
2nn
xxxx
xx
−
......
a) 2-1
b) 1 c) x2
d) 2 e) x
12.Efectuar:
E =
31816
81
/−−−
a) 34
b) 3-1
c) 3-3
d) 3-2
e) 3
TAREA DOMICILIARIA
01. Al efectuar :
-1
-3
84
. 4(-2)
-1
-3
-27
125
1
-1
-2
-4
16
1
.S =
Obtendríamos :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
02. Indique Ud. El exponente final de 





M
1
Si :
25
333
4 3 23
x......x.x
x.x.x
10 multiplicaciones indicadas
M =
120
a) 27 b) 15 c) 57
d) 75 e) 37
03. Cuál será el valor más simple de la
expresión :
R= n227
n23
3 1n23
125









 +
a) 5 b) 52
c) 5-1
d) 5-3
e) N.a.
04. Reducir :
A = 2n
2n2n
2n2n
52
25+
−−−−
++
−
−
a) 2-1
b) 10-1
c) 10
d) 5 e) 2
05. Si al efectuar :
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

7. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
5 5 5 5 3333
x.....xxx
Se obtiene xm
siendo : m =
n
5
465
;
Hallar el valor de “n” siendo este el número
de radicales de la expresión dada.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6 e) 2
06. Reducir :
yx yx
yx yyx x
2
4184
− +
−−
+
a) 9 b) 11 c) 10
d) 5 e) N.A.
07. El equivalente de:
A = 3 4
49
4
4
49
2
7
7
2






es 4
abcdef,0 . Calcular: (a+c+e)-(b+d+f)
a) 11 b) -11 c) 9
d) -9 e) N.a.
08. Reducir :
M =
8 85 56 6
)13()323()31( −+−+−
a) 2 32− b) 6° c) 323 −
d) )13(4 − e) N.a.
09. Calcular :
R = 18 63
63
3
1
9.
3
1
9
9
1
3.
9
1
3






+





−






+





−
a) 9 b)
1
3
−
c) 3
d) 2
1
27
e) 18
3
10. Calcular :
B = 1x
x2x
3x31x
)2(4)3(9
2)6(3
+
++
+
+
a) 2
1
3
b) 2
1
4
c) 2-1
d) 4 e) 2x+1
11.Reducir: a>0
2a
a
2
a322a
a.a.....a.a.aa2P
−






−=
a)
2
a b)
a
a c)
a
d)
3
a e)
1a
a
+
12. Sabiendo que (a - b) es impar ; al efectuar :
ab baba ab
)ab()ba(R − −− −
−+−=
Se obtiene :
a)
ba
b.a
+
b)
ba
b.a
−
c) 0
d) 1 e) 2
13. Al reducir :
    
Radicales50Radicales50
3.........3.......333H =
Se obtiene :
a) 1 b)
3
1
c) 3100
d) 350
e) 3
14. Si :
3 3 3 3 ............55555M =
4 4 4 4
.............5555N =
Calcular:
N
M
.
a) 3
55 b) 5
5 c)
6
55
d) 4
55 e). 6
5
15. Al efectuar :
................3333A =
......5.5.5.55B 20126
=
Dar la suma de las cifras de : B - A
a) 2 b) 5 c) 7
d) 16 e) N.A.
16. Señalar verdadero o falso :
I) Rx;xx
4
44 4
∈∀=
II) Rx;xx
5
55 5
∈∀=
III)
Rx;xx2nzn:Si
a
nn a
∈∀=→≥∧∈ +
IV) 333
4.832 −=−
a) VVFV b) FVFF c) VVVV
d) FVVV e) FVFV
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .
1. Reconoce y transforma una ecuación
trascendente a ecuación algebraica, para su
posterior resolución.
II. COMENTARIO PREVIO .
Se hizo referencia a la potenciación y
radicación con el estudio de sus respectivas
leyes.
La aplicación de dichas leyes se encuentra
con frecuencia en la resolución de ecuaciones
exponenciales.
III. CONTENIDO TEORICO
ECUACIONES EXPONENCIALES
Reciben este nombre las ecuaciones
trascendentes reductibles a ecuaciones
algebraicas, y se caracterizan por tener la
incógnita como exponente.
Para resolver ecuaciones exponenciales es
necesario tener presente la siguiente
propiedad :
En una igualdad de potencias que presentan
igual base; es necesario que los exponentes
sean iguales para cumplir con la relación de
igualdad.
Am
= An
→ m = n ; A ≠ 0; 1; − 1
En algunos casos, cuando la incógnita se
presenta en la base y en el exponente, su valor
se puede obtener formando expresiones
análogas en los dos miembros de la ecuación.
Veamos los ejemplos :
si : xx
= 55
→ x = 5
si : a 3a − = 8 38 − → a = 8
Es necesario recordar estructuras que
caracterizan a cierto tipo de ejercicio, donde
se aplican criterios de la teoría exponencial y
Ecuaciones Exponenciales.
1. Hallar “x” en :
→=nX
nX
XX
...
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
Si n = # par
X = n n±
Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+
− {0}
X = n n
ECUACIONES CON
EXPRESIONES

8. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
2. Resolver :
→=
∞
nX
XX
...
3. Reducir :
nEnE
n nn nn =→=
∞
;∀ n ∈ R+
−
{0}
4. Reducir :
1nn n n XE...XXXE −
=→∞=
;∀n ∈ R−{0;1}
x > 0
5. Reducir :
1nn n n XEXXXE +=→= ...:::
;∀n∈R−{0; −1}
x > 0
6. Efectuar :
1nE1nn1nnE +=→++++= ...)()(
;
∀ n ( n + 1 ) ∈ R+
− { 0 }
7. Efectuar :
nE1nn1nnE =→−+−+= ...)()(
;
∀ n ( n + 1 ) ∈ R+
− { 0 }
¡Importante! : Por la frecuencia en la
presentación de dichos ejercicios, es
necesario que los alumnos reconozcan la
forma o estructura de los mismos y de
inmediato indicar el resultado.
Se sugiere que las estructuras expuestas ( 1 al
7); sean demostradas en clase por el profesor.
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar “x” si:
( ) 813/1 /2
=x
a) -2 b) -1/2 c) -1
d) -3 e) N.A.
02. Hallar el valor de “x” si:
34 13 2
. aaa xx
=−
a) 1 b) -1 c) 4/7
d) 7/4 e) -4/7
03.Si “r” y “s” son las soluciones de la ecuación:
)3(927 52 xx
= , r+s es:
a) 7/2 b) -5/2 c) -3/2
d) 3/2 e) -7/2
04. Resolver:
)5/(3
3
1 −
= x
x
a
a
a) x=0 b) x=-1/2 c) x=3
d) x=1/2 e) x= -5
05.Hallar el valor de “a” si:
255 3
55 −
=a
a) 6 b) 2 c) -5
d) -2 e) N.a.
06.El valor de “x” si:
12
98
125
−−−− x = 5 5 es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
07.Reducir siendo x > 0.
M = 2
3 3 3 222
3
4 4 4
....:::
.......








∞








∞
xxx
xxx
a) 1 b) -1 c) 3
d) 4 e) N.a.
08.Siendo:
x = ...303030 +++
calcular:
E = 3 3 3
....xxx +++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
09. Resolver el sistema:
162 15
)yx2(
=
−
813 3 =
−yx
dar como respuesta el valor de x.y
+ x + y.
a) 1824 b) 1820 c) 1816
d) 1812 e) N.a.
10.Siendo:
2
22/1
=x
x hallar el valor
de:
P = 16 12/1 −−
− xx x
a) 2 2 b) 2 c) 2 /2
d) 1 e) 0
11.A partir de:
2
22
=
−
−
x
x
Calcular x x
a) 2 b) 2-1
c) 22
d) 23
e) 24
12.Resolver:
33 55125
232
+
−
=
x
x
a) 0,5 b) 0,2 c) 1,2
d) 0,6 e) N.a.
13. Después de resolver:
2893 18116
=+ −+ xx
se obtiene un número decimal de la forma:
mnp,0 . Hallar p.
a) 1 b) 8 c) 5
d) 3 e) 6
14.Si:
P = 

15 1515 1
1
110 110110 1
1
5
5 1
10
10 1
5
10
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Calcular:
E =
P
P
P
PP
P
a) 1/2 b) 2 c) 5
d) 10 e) 50
15.Resolver:
x .
1xx 16
16
+
= 21x
x )( +
a) 2 b) 22
c) 23
d) 28
e) N.a.
16.Si:
51875I250T25W
5ITW ===
Calcular: R =
( ) 31
1250
.I.T.W
a) 531
b) 562
c) 52
d) 53
e) 54
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
Si n = # par
X = n n±
Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+
− {0}
X = n n

9. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
TAREA DOMICILIARIA
01. Al reducir :
4 3
3 4 x
555
555
se obtiene
5x
;
el valor de 2x es :
a)
23
7
b) 1 c)
23
14
d) 2 e)
13
7
02. Al reducir :
12a
2a 1a 11a 2
xx
−
+ + −−








Se obtiene : x 5
x . Hallar (a+2) .
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
03. Al reducir :
x32
x316 x2 1x32
5












+
se obtiene
52
5
−
; hallar el valor de : 2x
x −
a) 16 b) 3 c) 125
d) 20
e) 1276
04. Si el equivalente de :
8
x
3 4 )6,0(es
25
9
9
25
3
5
5
3 ;
Hallar : xx
.
a) 1 b) 27 c) 4
d) 55
e) 363
05. Si : 18)1x2(3
6)1x2( =− − . Hallar
x+1.
a) 4 , 5 b) 3 , 5 c) 2 , 5
d)
3
7
e) 1,5
06. Al efectuar :
12
1
x 2xx 12x
125.525 




 +−
Se obtiene 15 7
5
Hallar la suma de cifras del valor de x.
a) 7 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
07. Si al efectuar :
3 2
1
36
6
1
2
1
4
1
33
ba
ba
−
−










se obtiene
n
a
b






;
Hallar “n”.
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 7
08. Resolver :
x24x23
2781 =
a) 1 b)
2
1 c)
2
1−
d) –1 e)
4
1
09. Hallar x . y en :
2
y
9x
16y227)x3( =



∧=
a) 2 2 b) 218 c) 29
d) 23 e) N.a.
10. Hallar x . y en :
1,0y3x
25y3x −
=∧=
a)
5
33
b)
5
3 c)
4
32,0
d) 1 e) N.A.
11. Hallar E = x . 16
Z
Si :
1717z4525x
17)z17(;5x ==
a) 5 b) 3
517 c) 4
517
d) 5
517 e) N.a.
12. Hallar x . z en :
16
5,0z
33 x
5,0Z;
3
9
x ==
a) 23 9− b) 49
23− c)
83 9−
d) 89
4.3 −− e) N.a.
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

10. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
TAREA DOMICILIARIA
01. Al reducir :
4 3
3 4 x
555
555
se obtiene
5x
;
el valor de 2x es :
a)
23
7
b) 1 c)
23
14
d) 2 e)
13
7
02. Al reducir :
12a
2a 1a 11a 2
xx
−
+ + −−








Se obtiene : x 5
x . Hallar (a+2) .
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
03. Al reducir :
x32
x316 x2 1x32
5












+
se obtiene
52
5
−
; hallar el valor de : 2x
x −
a) 16 b) 3 c) 125
d) 20
e) 1276
04. Si el equivalente de :
8
x
3 4 )6,0(es
25
9
9
25
3
5
5
3 ;
Hallar : xx
.
a) 1 b) 27 c) 4
d) 55
e) 363
05. Si : 18)1x2(3
6)1x2( =− − . Hallar
x+1.
a) 4 , 5 b) 3 , 5 c) 2 , 5
d)
3
7
e) 1,5
06. Al efectuar :
12
1
x 2xx 12x
125.525 




 +−
Se obtiene 15 7
5
Hallar la suma de cifras del valor de x.
a) 7 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
07. Si al efectuar :
3 2
1
36
6
1
2
1
4
1
33
ba
ba
−
−










se obtiene
n
a
b






;
Hallar “n”.
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 7
08. Resolver :
x24x23
2781 =
a) 1 b)
2
1 c)
2
1−
d) –1 e)
4
1
09. Hallar x . y en :
2
y
9x
16y227)x3( =



∧=
a) 2 2 b) 218 c) 29
d) 23 e) N.a.
10. Hallar x . y en :
1,0y3x
25y3x −
=∧=
a)
5
33
b)
5
3 c)
4
32,0
d) 1 e) N.A.
11. Hallar E = x . 16
Z
Si :
1717z4525x
17)z17(;5x ==
a) 5 b) 3
517 c) 4
517
d) 5
517 e) N.a.
12. Hallar x . z en :
16
5,0z
33 x
5,0Z;
3
9
x ==
a) 23 9− b) 49
23− c)
83 9−
d) 89
4.3 −− e) N.a.
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