Temas de IO 2

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL
CAIIOAJ)
MANUAL DE INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES II
CATEDRÁTICO:
m. c. RAÚL LEONEL GUZMÁN SAMPAYO.
REALIADO POR: CASTRO
OCHOA AGUSTIN.
ELIZALDE RAMIREZ
FERNANDO.RODRIGUEZ MARTINEZ
JOAQUIN C.
SONI SANTOS IRIS ABRIL.
ESPECIALIDAD:INGE
NIERÍA INDUSTRIAL
PERIODO:
AGOSTO-DICIEMBRE 2008
CERRO AZUL, VER.

2. ÍNDICE
UNIDAD I:
PROGRAMACIÓN DINÁMICA
1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados,
fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................4
1.2 Algunos modelos de ejemplos de Programación
Dinámica………………...61.3 Programación dinámica
determinística……………………………………..…7
1.4 Programación dinámica
probabilística………………………………….……..81.5 Problema de
dimensionalidad de Programación Dinámica…………………8
Ejercicios resueltos……………………………………………………………..…..10
Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…21
UNIDAD II:
TEORÍA DE COLAS
2.1 Introducción y casos de aplicación……………………………………………24
2.2 Definiciones características y suposiciones………………………………….24
2.3 Terminología y notación. …………………………………………………..…..26
2.4 Proceso de nacimiento y muerte
Modelos Poisson. ……………………………………………………………....27
2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………28
2.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…30
2.7 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………32
2.8 Servidores múltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…34
Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..36
Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…40
UNIDAD III:
TEORÍA DE DECISIÓN
3.1 Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..43
3.2 Criterios de decisión determinísticos y probabilísticos……………………..44
3.3 Valor de la información perfecta. ……………………………………………..45
3.4 Árboles de decisión. …………………………………………………………...46
3.5 Teoría de dualidad. ………………………………………………………….…47
3.6 Decisiones secuenciales. ………………………………………………….…..49
3.7 Análisis de sensibilidad. …………………………………………………...…..49
Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..51
Ejercicios propuestos………………………………………………………………..55
UNIDAD IV:
CADENAS DE MARKOV
4.1 Introducción. …………………………………………………………………….58
4.2 Formulación de las cadenas de Markov. ……………………………….……58
2

3. 4.3 Procesos estocásticos. …………………………………………………….…60
4.4 Propiedad Markoviana de primer orden. ……………………………………60
4.5 Probabilidades de transición estacionarias de un solo paso……………...61
4.6 Probabilidades de transición estacionarias de n pasos…………………...63
4.7 Estados absorbentes. …………………………………………………………64
4.8 Probabilidades de transición estacionarias de estados estables.
Tiempos de primer paso. ………………………………………………….65
Ejercicios resueltos…………………………………………………………………66
Ejercicios propuestos………………………………………………………………72
UNIDAD V:
OPTIMIZACIÓN DE REDES
5.1 Terminología……………………………………………………………………75
5.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas. ………………77
5.3 Problema del árbol de mínima expansión. …………………………………80
5.4 Problema de flujo máximo. …………………………………………………...81
5.5 Problema de flujo de costo mínimo. ………………………………………...83
5.6 Programación lineal en teoría de redes. ……………………………………86
5.7 Uso de programas de computación. ……………………………………..…88
Ejercicios resueltos……………………………………………………………..….95
Ejercicios propuestos……………………………………………………………..103
Bibiliografía………………………..………………………………………………..105
3

4. UNIDAD I:
PROGRAMACIÓN DINÁMICA
1.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓNDINÁMICA : ETAPAS, ESTADOS,
FÓRMULARECURSIVA, PROGRAMACIÓN EN AVANCE Y EN
RETROCESO
La programación dinámica es una técnica matemática que se utiliza parala
solución de problemas matemáticos seleccionados, en los cuales se tomauna
serie de decisiones en forma secuencial.
Proporciona un procedimiento sistemático para encontrar la
combinaciónde decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el
problema en
etapas, las que pueden ser completadas por una o más formas (estados),
yenlazando cada etapa a través de cálculos recursivos.
La programación dinámica es un enfoque general para la solución
deproblemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas.
Las
decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del
sistema,afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el
futuro
(denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro.
La programación dinámica parte de una pequeña porción del problema
yllega a la solución óptima para esa pequeña parte del problema, entonces
gradualmente se agranda el problema hallando la solución óptima en curso
apartir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solución óptima
del problema original.
El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas
deprogramación dinámica. Por tanto una manera de reconocer una situación
que
se puede formular como un problema de programación dinámica es
poderidentificar una estructura análoga a la del problema de la diligencia.
Características básicas.
1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una política
dedecisión en cada una de ellas.
2.- Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio.
Losestados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar
elsistema en cada etapa del problema.
3.- El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el
estadoactual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa.
4
4.- El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una
políticaóptima para el problema completo.

5. 5.- Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes
esindependiente de la política adoptada en etapas anteriores. Este es el
principio
de optimalidad para programación dinámica.
6.- El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para
laúltima etapa.
7.- Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para
laetapa n, dada la política óptima para la etapa n+1. La forma precisa de relación
recursiva difiere de un problema a otro de programación dinámica,
perousaremos una notación análoga a la siguiente:
N = número de etapas.
n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N)
sn = estado actual para la etapa n
xn = variable de decisión para la etapa n
xn* = valor óptimo de xn (dado sn)
fn(sn,xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n, n+1,...,N, si
elsistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisión inmediata es xn
y en adelante se toman decisiones óptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) La
relaciónrecursiva siempre tendrá la forma: fn*(sn) = mín fn(sn,xn) ó fn*(sn) =
max
fn(sn,xn)
8.- Cuando se usa esta relación recursiva, el procedimiento de solución
comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa, hasta que encuentra
la política óptima desde la etapa inicial.
Procedimiento de solución.
1. Se construye una relación recursiva que identifica la política óptima
paracada estado en la etapa n, dada la solución óptima para cada estado en
la
etapa n + l.
2. Se encuentra la decisión óptima en la última etapa de acuerdo a la
políticade decisión establecida. Comúnmente la solución de esta última
etapa es
trivial, es decir, sin ningún método establecido, tomando en cuenta
solamentela "contribución" de la última etapa.
3. La idea básica detrás de la relación recursiva es trabajar "hacia atrás",
preguntándose en cada etapa: ¿qué efecto total tendría en el problema si tomo
una decisión particular en esta etapa y actúo óptimamente en todas las etapas
siguientes? 5

6. Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primera
etapa hacia la sería necesario realizar una enumeración exhaustiva de
todaslas alternativas, que resolviéndolo "hacia
atrás" reducimos el número de alternativas
a analizar, simplificando la solución del problema. Cuando se llegaa la etapa
inicial se encuentra la solución óptima.
1.2 EJEMPLOSDEMODELOSDEPROGRAMACIÓNDINÁMICA
El problema de la diligencia.
Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia,
yquiere viajar de la forma más segura posible. Tiene los puntos de salida y
destino conocidos, pero tiene múltiples opciones para viajar a través
delterritorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como
pasajerode la diligencia.
El costo de la póliza estándar (cij ) se muestra en la tabla siguiente.
-£ y 1
E
-V
E G
B C D B 4 6 E 1 4
H
A
4 3 C 3 4 F 6 3
3 I
D 4 1 5 G 3
El problema de las monedas.
Para el problema de las monedas con programación dinámica se
necesita crear un algoritmo que permita a una máquina expendedora devolverel
cambio mediante el menor número de monedas posible. Mediante la
programación dinámica se solucionará el caso en el que el número de
monedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante el
algoritmo voraz el que el número de monedas es ilimitado.
6

7. El problema de la mochila.
Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. El
pesomáximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochila
conobjetos, tal que se maximice el beneficio.
Los pasos que vamos a seguir son los siguientes:
• Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman.
• Buscar ecuaciones recurrentes para el problema.
• Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.
1.3 PROGRAMACIÓNDINÁMICADETERMINÍSTICA
Los problemas determinísticos de programación dinámica son aquellos
enlos cuales el estado asociado en la etapa
siguiente está totalmente
determinado por el estado y la política de decisión de la etapa actual.
Lasiguiente figura describe el funcionamiento de la
programación dinámica
determinística.
Sn Sn +1
n n n Contribución n objetivo
n al f n+1* (Sn+1* )
f (S ,X ) C (X )
Los problemas de programación dinámica determinística son aquéllos
enlos que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado
porel estado y la política en la etapa actual.
Una manera de catalogar los problemas de programación
dinámicadeterminística es por la forma de la función objetivo. Por ejemplo, el
objetivo podría ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas
individuales, o
bien minimizar un producto de tales términos y así sucesivamente. En un
problema de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas.
7

8. 1.4 PROGRAMACIÓNDINÁMICAPROBABILÍSTICA
La programación dinámica probabilística difiere de la programación
dinámica determinística en que el estado de la etapa siguiente no
quedacompletamente determinado por el estado y la decisión de la política
en elestado actual. En lugar de ello existe una distribución de probabilidad
para lo
que será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución de
probabilidadtodavía esta completamente determinada por el estado y la
decisión de lapolítica del estado actual. En la siguiente figura se describe
diagramáticamentela estructura básica que resulta para la programación
dinámica probabilística,en donde N denota el número de estados posibles en la
etapa n+1.
Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados
ydecisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de árbol
dedecisión. Si el árbol de decisión no es demasiado grande, proporciona
unamanera útil de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.
1.5 PROBLEMADEDIMENSIONALIDAD
EN PROGRAMACIÓN
DINÁMICA
La programación dinámica tradicional permite obtener las trayectorias
óptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo de
funcional o índice de desempeño y con restricciones en las variables. Los
algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cómputo digital
ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicación de estos algoritmos a
sistemas continuos exige la discretización de las ecuaciones diferenciales que
modelan el proceso o sistema, así como la cuantificación de las variables de
estado, de las variables de decisión o control y del tiempo.
Para obtener resultados útiles se debe construir una rejilla de estados
suficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, se
deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las
variables de decisión cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza el
índice de desempeño. Se generan requisitos adicionales de cálculo cuando la
trayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado
cuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizar
interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisión o control
óptima y del índice de costo.
tradicionales de programación dinámica
Con un número del orden de cinco variables de estado, los algoritmos
exigen elevados requisitos de memoria
dimensionalidad” cálculo a los sistemas de procesamiento digital. Esta
y de tiempo de
característica dinámica metodología fue denominada “maldición de
programación de la
por el propio Bellman, lo cual desalentó el empleo de la
tradicional durante más de veinte años.
8

9. Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programación
dinámica para la solución de problemas de control óptimo, tales como, la
obtención de una solución óptima global, el tratamiento de sistemas no lineales
y variantes, la utilización de cualquier índice de desempeño, y el hecho de que
cuanto más restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de
tiempo de cómputo y memoria, promovieron el interés de muchos
investigadores por encontrar métodos alternativos para superar los problemas
que presenta la técnica tradicional
9

10. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio # 1
Considere la siguiente red en la que cada número junto a una
ligadurarepresenta la distancia real entre el par de nodos que conecta. El
objetivo esencontrar la ruta mas corta del origen al destino.
Utilice programación dinámica para resolver este problema
construyendomanualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.
f*i(A>=l l
fi(C)=13
Solución:
n=3
S3 f3*(s) X3*
D 6 T
D 7 T
n=2
sx2 D E --------- f2*(s) X2*
A 5+6=11 - 11 D
B 7+6=13 - 8+7015 13 13 DE
C --------- 6+7=13
n=1
sx1 A B C f1(s) X1*
O 9+11=20 6+13=19 7+13=20 19 B
Ruta: 0→B→D→T
10

11. Ejercicio # 2
Una compañía esta planeando una estrategia de publicidad durante
elaño próximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son
bastantediferentes, cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un solo
producto. Sedispone de un total de 6 millones de dólares para esta campaña de
publicidad y
se supone que el gasto para cada producto deberá ser un número
enteromayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha
establecido elobjetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto
con el fin demaximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento
estimado enventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en
publicidad:
Gasto en 7
Producto 1 Producto 2
48 Producto 3
69
publicidad 10 11 13
12 14 14 15
34 17
Utilice programación dinámica para resolver este problema.
Solución:
n=3
S3 f3*(s) X3*
1 6 1
2 9 13 23
3 15 4
4
11

12. n=2
X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10
X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13
X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14
X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17
X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17
X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17
12

13. X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 = 19
X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 = 21
X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 = 20
X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 = 20
X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*
S2
1 10 10 12
2 13 14 14 1,2,3
3 17 17 17 17 2
4 19 21 20 20 21
n=1
X1 = 1 f1(6,1) = P1(1) + f2*(6-1) = 7+21 = 28
X1 = 2 f1(6,2) = P1(2) + f2*(6-2) = 10+17 = 27
X1 = 3 f1(6,3) = P1(3) + f2*(6-3) = 14+14 = 28
X1 = 4 f1(6,4) = P1(4) + f2*(6-4) = 7+10 = 27
X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*
S2
6 28 27 28 27 28 1,3
1→2→3 = 7+8+13 = 28
3→2→1 = 14+8+6 = 28
13

14. Ejercicio # 3
El World Health Council, se dedica a mejorar la atención médica en
lospaíses subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas médicas
paraasignarlas a 3 de estos países con el fin de mejora el cuidado de la
salud, laeducación para la salud y los programas de capacitación, entones, el
consejo
necesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno
deestos países para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas.
Losequipos deben mantenerse como están formados
por lo que el número asignado a cada país debe
ser un entero.
La medida de desempeño se tomara en términos de los años de
vidaadicionales por persona (para una país especifico, esta medida es igual
alincremento en el promedio de vida esperado en años, multiplicado por
supoblación). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos años de
vidaadicionales de vida por persona (en múltiplos de mil) para cada país y
para
cada número posible de brigadas médicas asignadas.
¿Cual es la asignación que maximiza la medida de desempeño?
Brigadas Medicas País 1 País 2 País 3
0 0 0 0
123 45 70 20 45 50 70
45 90 75 80
105 110 100
120 150 130
14

15. Solución:
n=3
S3 f3*(s3) X3*
0 0 0
1 50 70 12
2 80 34
3 100 5
4 130
5
n=2
X2 = 0 f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0
X2 = 0 f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50
X2 = 1 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20
15

16. X2 = 0 f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70
X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70
X2 = 2 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45
X2 = 0 f2(3,0) = P2(0) + f3*(3-0) = 0+80 = 80
X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 20+70 = 90
X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 45+50 = 95
X2 = 3 f2(3,3) = P2(3) + f3*(3-3) = 75+0 = 75
X2 = 0 f2(4,0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 = 100
X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 = 100
X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 = 115
X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 = 125
X2 = 4 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 110
X2 = 0 f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 X2
=1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120
X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 X2
=3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145
X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160
X2 = 5 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150
X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*
S2
0 0 50 0 50 00
1 70 20 70 0,1
2 80 70 45 95 2
3 100 90 95 75 125 34
4 130 100 115 125 110 160
5 120 125 145 160 150
n=1
X2 = 0 f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 = 160
X2 = 1 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 = 170
X2 = 2 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 = 165
X2 = 3 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 = 160
X2 = 4 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 = 155
X2 = 5 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 120
16

17. X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*
S2
5 160 170 165 160 155 120 170 1
1→3→1 = 45+75+50=170
Ejercicio # 4
Una estudiante universitaria tiene 7 días para preparar los
exámenesfinales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para
estudiar de lamanera más eficiente posible. Necesita por lo menos un día para
cada curso yquiere concentrarse solo en un curso cada día, por lo que quiere
asignar 1, 2, 3ó 4 días a cada curso. Como hace poco tomó un curso de
investigación de
operaciones, ha decidido aplicar programación dinámica para hacer
estasasignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4
cursos.Estima que las distintas opciones de días de estudio redituarán
puntos decalificación según la siguiente tabla:
Puntos de calificación estimados
Número de Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4
Días 3 5 2 6
12 5 5 4 7
34 6 6 7 9
7 9 8 9
17

18. n=4
S4 F4*(s4) X4*
1 6 1
2 79 23
3 9 4
4
n=3
X3 = 1 f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8
X3 = 1 f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 X3
=2 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10
X3 = 1 f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11
X3 = 2 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11
X3 = 3 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13
X3 = 1 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11
X3 = 2 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13
X3 = 3 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14
X3 = 4 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14
F3*(s3)
X3 1 2 3 4 X3*
S3
1 89 8 12
2 11 10 10 2
3 11 11 13 13 3,4
4 13 14 14 14
n=2
X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13
X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15
X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13
X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18
X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15
X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14
X2 = 1 f2(6,1) = P2(1) + f3*(6-1) = 5+14 = 19
X2 = 2 f2(6,2) = P2(2) + f3*(6-2) = 5+13 = 18
X2 = 3 f2(6,3) = P2(3) + f3*(6-3) = 6+10 = 16
X2 = 4 f2(6,4) = P2(4) + f3*(6-4) = 9+8 = 17
18

19. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*
S2
1 13 13 1
2 15 13 15 1
3 18 15 14 18 1
4 19 18 16 17 19 1
X1 = 1 f2(7,1) = P1(1) + f2*(7-1) = 3+19 = 22
X2 = 2 f2(7,2) = P1(2) + f2*(7-2) = 5+18 = 23
X3 = 3 f2(7,3) = P1(3) + f2*(7-3) = 6+15 = 21
X4 = 4 f2(7,4) = P1(4) + f2*(7-4) = 7+13 = 20
X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*
S2
7 22 23 21 20 23 2
2→1→3→1 =5+5+7+6=23
Ejercicio # 5
Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto al
mercadomuy competido y está planeando su estrategia de comercialización. Ha
tomado
la decisión de introducir el producto en 3 fases.
La fase 1 incluirá ofertas especiales de introducción a un precio
muyreducido para atraer a los compradores de primera vez.
La fase 2 comprenderá una campaña intensa de comerciales y
anunciospara persuadir a estos compradores de primera vez, que continúen
comprando
el producto a precio normal. Se sabe que otra compañía introducirá otro
nuevoproducto competitivo más o menos cuando termine la fase 2.
La fase 3 entonces, incluirá una campaña de seguimiento de
promociónpara tratar de evitar que los clientes regulares cambien al
producto de la
competencia.
Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dólares para
estacampaña comercial. El problema consiste ahora en determinar como
asignareste dinero de la manera más efectiva a las 3 fases. Sean m el
porcentaje de
mercado inicial que se logra en las fases, f 2 la fracción de este mercado que
seretiene en la fase 2 y f 3 la fracción restante del porcentaje de mercado que
seretiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, aplique
programacióndinámica para determinar cómo asignar los $ 4 millones de
dólares paramaximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo
producto, es decir,
maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades
enterasmúltiplos de 1 millón en cada fase y que el mínimo permisible es 1 para 19
la fase1 y 0 para las fases 2 y 3.

20. n=3
S3 F3*(s3) X3*
0 0.3 0
1 0.5 0.6 12
2 0.7 3
3
X2 = 0 f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1 X2
=1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12
X2 = 0 f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12
X2 = 1 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2
X2 = 2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15
X2 = 0 f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 = 0.14
X2 = 1 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 = 0.24
X2 = 2 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 = 0.25
X2 = 3 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 = 0.18
F2*(s2)
X2 0 1 2 3 X2*
S2
0 0.6 0.2 0
1 0.1 0.12 0.12 1
3 0.12 0.2 0.15 0.2 1
3 0.14 0.24 0.25 0.18 0.250 2
X1 = 0 f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 = 5 X1
=1 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 = 6
X1 = 2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 = 4.8
X1 = 3 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2 = 10
20

21. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*
S2
4 5 6 4.8 10 10 3
3 millones en la 1a fase
1 millones en la 2a fase
0 millones en la 3a fase
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio Propuesto # 1
El gerente de ventas de una editorial de libros de texto
universitariostiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones
distintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos un
agente y quecada agente individual debe quedar restringido a una de estas
regiones con el
fin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en las
ventas de cada región si se le asignan diferentes cantidades de agentes.
Agentes Región 1 Región 2 Región 3
1 35 21 28
23 48 70 42 56 41 63
4 89 70 75
Ejercicio Propuesto # 2
Una campaña política se encuentra en su última etapa y las
preliminaresindican que la elección está pareja. Uno de los candidatos tiene
suficientes
fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas
demayor audiencia en estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Con base
enla información de las preliminares se hizo una estimación del número de
votos
adicionales que se pueden ganar en las diferentes áreas de difusión según
elnúmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en
lasiguiente tabla en miles de votos.
Comerciales Área 1 Área 2 Área 3 Área 4
0 0 0 0 0
12 47 68 59 37
345 9 12 15 10 11 11 10 9 12 14
12 16
21

22. Utilice programación dinámica para determinar como deben
distribuirselos 5 comerciales entre las 4 áreas con el fin de maximizar el número
estimado
de votos ganados.
Ejercicio Propuesto # 3
El propietario de una cadena de tres supermercados compró 5 cargas
defresas frescas. La distribución de probabilidad
estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de
que se echen a perder difiere entre los 3
supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas
alas tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones
administrativasno quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, esta
de acuerdo enasignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla
proporciona laganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades
de cargas:
Numero de cargas Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3
0 0 0 0
12 59 6 11 49
34 14 17 15 19 13 18
5 21 22 20
Utilice programación dinámica para determinas cuantas cargas
debenasignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.
Ejercicio Propuesto # 4
La presidenta de un partido político en un estado está haciendo
planespara las próximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboración
de 6voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar
a 4
distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa que
seríaineficiente asignar un voluntario a más de un distrito pero está dispuesta
a noasignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr más en otro distrito.
La
siguiente tabla da el aumento estimado en el número de votos para el
candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos números
devoluntarios:
Voluntarios Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 4
0 0 0 0 0
12 49 7 11 5 10 6 11
3456 15 18 22 16 18 20 15 18 21 14 16 17
24 21 22 18
22

23. Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos
voluntariosdeben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total
esperado
en la popularidad del candidato del partido. Utilice programación dinámica
paraencontrar todas las soluciones óptimas, para que la presidenta del
partidopueda hacer una selección tomando en cuenta otros factores.
Ejercicio Propuesto # 5
Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo
PERT,donde el número junto al arco es el tiempo
requerido para la actividad
correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria más
grande(el mayor tiempo total) a través de esta red desde el vento uno
(inicio delproyecto) al evento 9 (terminación del proyecto), ya que la trayectoria
más larga es la ruta crítica.
a) ¿Cuáles son las etapas y los estados para la formulación de
programación dinámica de este problema?
b) Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo
las tablas usuales.
23

24. UNIDAD II:
TEORÍA DE COLAS
2.1 INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN.
Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas:
Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en
unbanco, Estudiantes esperando por obtener
copias en la fotocopiadora, vehículos esperando
pagar ante una estación de peaje o continuar su camino,
ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento de
estossistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades
de
mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones
enplanta, etc.).
Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los
pacientesque esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas
esperando
reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren
derecursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure
o
se los haga funcionar nuevamente.
2.2 DEFINICIONES CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES.
Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección
demodelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares
o
sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen
compromisoentre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de
espera para un
sistema dado.
Los sistemas de colas son modelos de sistemas que
proporcionanservicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en
donde los
trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen
despuésde que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los
sistemas de
este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas
interconectadas formando una red de colas
sistema desde una determinada
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de
líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un
“lugar”demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta
capacidad deatención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el
24
cliente decide
esperar, entonces se forma la línea de espera.

25. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un
fuente demandando un servicio. Los
servidores del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla

26. predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente
seleccionadotermina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio)
abandona el sistema,
pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas.
Fuente
Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las
unidadesque piden un servicio. Si el número de unidades potenciales es finito,
se dice
que la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita.
Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que
seproduzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de
lafuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de
sistemasde colas con fuentes infinitas.
Tiempo entre llegadas
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:
Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo
detiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble,
en
donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo.
Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto
yvariable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante
unadistribución de probabilidad.
Mecanismos de servicio
Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden
serservidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un
solo
servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un
servidor,multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la
demanda de un
cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio.
uno de los
Disciplina de la cola
• El
En • El
sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con
• El siguientes criterios (prioridades):
• El
que llegó antes.
que llegó el último.
que menos tiempo de servicio requiere.
que más requiere.
25

27. Supuestos
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en
lassiguientes suposiciones:
a) Un solo prestador del servicio y una sola fase.
b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.
c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.
d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas
lasllegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad
deuna longitud infinita en la cola.
2.3 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN.
Características operativas.- Medidas de desempeño para una línea
deespera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema,
la
cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc.
Operación de estado estable.-Operación normal de la línea de espera
después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las
características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones
de estado estable.
Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades
quellegan en un periodo dado.
Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades que
puede atender una instalación de servicio en un periodo dado.
Línea de espera de canales múltiples.- Línea de espera con dos
omás instalaciones de servicio paralelas.
Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a
lalínea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades
bloqueadas
pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las
líneasde espera tienen una capacidad finita.
Población infinita.- Población de clientes o unidades que pueden
buscar servicio, no tiene un límite superior especificado.
Población finita.- Población de clientes o unidades que pueden
buscarservicio, tiene un valor fijo y finito.
Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología
estándar:
26

28. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema
Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera
L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y
clientes que están siendo atendidos).
Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.
W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.
Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.
Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el
servicio.
Todas estas características operativas de estado estable se
obtienenmediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera
que se
este manejando. Para calcular éstas, se necesitan los siguientes datos:
λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de
llegadas)
μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de
servicio)
2.4 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. MODELOS
POISSON.
La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que
lasentradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del
sistema
ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante
proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas.
Sinembrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere
a
llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere ala
salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado
por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempot.
El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos
cómocambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y
muertesindividuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de
ocurrencia
dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las
suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:
SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual
deltiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial
27
con
parámetro (n=0,1,2,….).

29. SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual
deltiempo que falta para la próxima muerte
(terminación de servicio) es
exponencial con parámetro (n=1,2,….).
SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que
faltahasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2
(eltiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.
Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de
nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en
condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta
distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener
unbuen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta
distribucióndespués de que el sistema ha alcanzado la condición de estado
estable (encaso de que pueda alcanzarla).
Distribución de llegadas.
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica
determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un
periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada
llegadaocurre aleatoria e independientemente de
otras llegadas y no podemos
predecir cuando ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has
encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una
buena descripción del patrón de llegadas.
La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de
xllegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue:
x -λ
e
P(x)= μ
x!
para x= 0,1,2,…
2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA.
Para los modelos de línea de espera introducidos hasta ahora,
lapoblación de unidades o clientes que llegan para servicio se han considerado
ilimitadas. En términos técnicos, cuando no se pone límite respecto a
cuántasunidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una
población
infinita. Bajo esta suposición, la tasa media de llegada λ permanece
constantesin importar cuántas unidades hay en el sistema de línea de
espera. Esta 28
suposición de una población infinita se hace en la mayoría de los modelos de

30. línea de espera.
En otros casos, se asume que la cantidad máxima de unidades o
clientesque pueden buscar servicio es finita. En esta situación, la tasa
media dellegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de
unidades en lalínea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tiene
una población
finita. Las fórmulas para las características operativas de los modelos de
líneade espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la
población
finita.
1.Las llegadasde población finita que se expone en esta sección se basa
El modelo para cada unidad
enlas siguientes suposiciones.
2. Los tiempos de servicio siguen una distribución dede
siguen una probabilidad
dePoisson, con una tasa media de llegada λ.
3. La población de unidades que pue distribución finita.probabilidad
servicio es
exponencial, con una tasa media de servicio μ.
den buscar
Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce
comomodelo M/M/1 con una población finita.
La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una población
finitase define en función de cuán a menudo llega o busca servicio cada
unidad.
Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera anteriores en los queλ
denotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una población finita,la
tasa media de llegada para el sistema varía, dependiendo de la cantidad de
unidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada del
sistemacambiante, en el modelo de población finita λ indica la tasa media de
llegada
para cada unidad.
Características operativas para, el modelo M/M/1 con una población
finitade demandantes.
Las siguientes formulas se usan para determinar las
característicasoperativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una
población finita
donde:
1.
λ = la tasa media de llegada para cada unidad
μ= la tasa media de servicio p
N = el tamaño de la población
° = i N)
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
£ (N-n)f ¿
0
m 29

31. 2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:
X + fi
L„ = N - — - P )
1 0
3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:
L = L + (1 - P )
q 0
4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:
i r . - -
q í* -
(N - L)X
5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por
elservicio:
P = 1 -P
w 0
7. Probabilidad de n unidades en el sistema:
P NI AY 1 0
P para n = 0 , 1 , . N
" (N -nVA/i ' 0
2.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA.
Las fórmulas que pueden usarse para determinar las características ope-
rativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal se citarán
más adelante. Las fórmulas son aplicables si las llegadas siguen una
distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen
unadistribución de probabilidad exponencial. Mostramos cómo pueden usarse
lasfórmulas para determinar las características de operación de un sistema de
un
servidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a la
administración información útil para la toma de decisiones.
La metodología matemática usada para derivar las fórmulas para
lascaracterísticas operativas de las líneas de espera es bastante compleja.
Sin
embargo, el propósito no es proporcionar el desarrollo teórico de estos
modelos, sino mostrar cómo las fórmulas que se han elaborado pueden
darinformación acerca de las características operativas de la línea de espera.
30

32. Características operativas.
Las fórmulas siguientes pueden usarse para calcular las
característicasoperativas de estado estable para una línea de espera de un
solo canal conllegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde:
λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada).
μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio).
P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:
Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera:
2
=
A
q
- X)
L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y
clientes que están siendo atendidos):
Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera:
W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.
Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.
31

33. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el
servicio.
2.7 SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA INFINITA, FUENTE
INFINITA.
Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o
máscanales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de
su
capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan
en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas.
Laoperación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema
dedos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura
muestraun diagrama de la línea de espera de dos canales de Burger Dome.
En esta sección presentamos fórmulas que pueden usarse para
determinar las características operativas de estado estable para una línea de
espera de varios canales. Estas fórmulas son aplicables si existen las
siguientes condiciones.
1.-Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
2.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de
probabilidadexponencial.
3.- La tasa media de servicio μ es la misma para cada canal.
4.- Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer
canal disponible para el servicio.
Sistema
-' m-m .
Canal 1
i
Empleado A
Los
Los clientes clientes se
Llegadas van
de pasan al
siguiente canal después de
clientes que les
I abierto
. Línea de espera surten su
I pedido
i
I ("anal 2
| Empleado B j
Características Operativas
32

34. Pueden usarse las siguientes fórmulas para calcular las
característicasoperativas de estado estable para líneas de espera con
canales múltiples,
donde:
λ.- la tasa media de llegada para el sistema.
μ.- la tasa media de servicio para cada canal.
k.- la cantidad de canales.
P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema
1
ku
« =o A2I
Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera
2
(k - l)(kpi - A)
L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y
clientes que están siendo atendidos).
Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.
W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.
w = w +- a
Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.
k
para n^
k
para n >
Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el
servicio:
33

35. kfi) kfi - X)
Debido a que μ es la tasa media de servicio para cada canal, kμ es
latasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. Como sucedió
conel modelo de línea de espera de un solo canal,
las fórmulas para lascaracterísticas operativas de las líneas de espera con
múltiples canales sólopueden aplicarse en situaciones donde la tasa media
de servicio para el
sistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras,
lasfórmulas son aplicables sólo si kμ es mayor que λ.
2.8 SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA.
Este tipo de modelo es el M/M/c : DG/∞/∞, donde el límite del sistema
esfinito igual a N; eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N – c.
Las
tasas de llegada y de servicio son λ y μ.
Las características operativas para este sistema se calculan como sigue:
í , < n < N
0 , N
O
[nL, < n < c
n >
C|x, n < N
O
c <
Probabilidad de n unidades en el sistema:
O <
c < n < TV
c
n <
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
34

36. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:
c
p (N - c){N - c + 1)
2c! -Po,
Para determinar W q, W y L, se calcula el valor de λef como sigue:
—
^•perdido ^PN
= =
Kf r A-perdido 0- ~ PN)^
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio Resuelto # 1
Marty’s Barber Shop tiene una peluquería. Los clientes llegan a la
tasade 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de
cinco
35

37. por hora. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de
serviciosexponenciales para responder las siguientes preguntas.
a.-¿Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?
b.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo
ynadie este esperado?
c.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo
yun cliente este esperando?
d.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo
ydos cliente este esperando?
λ = 2.2 clientes/hr. = 0.037 clientes/min.
μ = 5 cortes/hr. = 0.083 cortes/min.
a) P0 = 1 - 2.2 = 0.56
5
0
b) P0 = 2.2 0.56 = 0.56
5
1
c) P1 = 2.2 0.56 = 0.2464
5
2
d) P2 = 2.2 0.56 = 0.1084
5
Ejercicio Resuelto # 2
Willow Brook Bank opera una ventanilla para atención de
automovilistasque permite a los clientes completar sus transacciones
bancarias desde sus
autos, en las mañanas de los días hábiles, las llegadas a las
ventanillasocurren al azar, con una tasa media de llegada de 24 clientes por
hora o 0.4clientes por minuto.
a.- ¿Cuál es la cantidad media o esperada de clientes que llegara en
unperiodo de cinco minutos?
b.- Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson
paradescribir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso a
y
36

38. calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0, 1, 2 y 3
clientesdurante un periodo de cinco minutos.
c.- Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodo
de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras?
a) 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. = λ
b) P0 = (2)0 e -2 = 0.1353
0!
P1 = (2)1 e -2 = 0.2707
1!
P2 = (2)2 e -2 = 0.2707
2!
P3 = (2)3 e -2 = 0.1804
3!
c) P(demoras) = 1 – (0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804) = 0.1429
Ejercicio Resuelto # 3
En el sistema de línea de Willow Brook National Bank, suponga que
lostiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen
unadistribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de
36
clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribución de probabilidad
exponencial para responder las siguientes preguntas.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o
menos?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o
menos?
c.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de do
minutos?
-0.6(1)
= 0.4512
a) P (tiempo de servicio ≤ 1 min) = 1 – e
37

39. b) P (tiempo de servicio ≤ 2 min) = 1 – e-0.6(2) = 0.6988
c) P (tiempo de servicio ≥ 2 min) = 1 – 0.6988 = 0.3012
Ejercicio Resuelto # 4
Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media
de2.8 pacientes por hora.
El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3
pacientespor hora. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientes
muestra que,en promedio, un paciente espera 30 min de ver al dentista.
a) ¿Cuáles son las tasas medias de llegada y de tratamiento en función de
pacientes por minuto?
b) ¿Cuál es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera?
c) Si un paciente llega a las 10: 10 A. M. ¿A que hora se espera que
salgadel consultorio?
λ = 2.8 pacientes / hrs.
µ = 3 pacientes / hrs.
Wq = 30 min.
a) λ = 2.8 / 60 = 0.0467 pacientes / min.
µ = 3 / 60 = 0.05 pacientes / min.
b) Lq = (0.0467 * 30) = 1.401 pacientes
c) Wq = 30 min.
W = 30 + (1/0.05) = 50 minutos
10: 10 + 50 min. = 11: 00 A. M.
Ejercicio Resuelto # 5
Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de
ensamblado;suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora.
Los tiempos
de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución la probabilidad
38

40. exponencial. A continuación se muestra dos diseños propuestos para la
operación de ensamblado de la planta.
TIEMPO DE SERVICIO
DISEÑO MEDIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
A 6. 0 3. 0
B 6. 25 0. 6
a) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada
diseño?
b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, ¿Qué diseño parece
proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rápida?
c) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en
horas?
d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las características operativas para
cada diseño
e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿Por
qué?
λ = 5 trabajos / hra = 0.0833 trabajos / min.
a)
Para A.- µ = 6.0 min. / trabajo = 10 trab / hra = 0. 167 trabajos / min.
Para B.- µ = 6.25 min. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.16 trabajos / min.
b)
La del diseño A
c)
A.- σ = 3.0 min / 60 min. = 0.05 hrs
B.- σ = .6 min / 60 min. = 0.01 hrs
d)
A.-
Po = 1 – 5/10 = 0.5
Lq = (52 * 0.052)+ (5 /10)2 = 0.3125 trabajos
2* (1-(5/10)
L = 0.3125 + 5/10 = 0.8125 trabajos
Wq = 0.3125 / 5 = 0.0625 hrs.
W = 0.0625 + 1/ 10 = 0.1625 hrs.
Pw = 5/10 = 0.5
B.-
Po = 1 – 5/ 9.6 = 0.4792
Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.6)2 = 0.2857 trabajos
2 * (1 – 5)/9.6)
39

41. L = 0.2857 + 5/9.6 = 0.8065 trabajos
Wq = 0.2857/ 5 = 0.0571 hrs
W = 0.2857 + 1/9.6 = 0.1613 hrs
Pw = 5 / 9.6 = 0.5208
e) El diseño B. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor y
existemayor probabilidad de que no haya ningún cliente en la fila.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio Propuesto # 1
El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe
solicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribución de
probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora
quedescribe el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguen
una
distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de
12solicitudes de ayuda en el sistema?
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en
elsistema?
b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio?
c.- ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empiece
elservicio?
d.- ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en
minutos(tiempos de espera mas tiempo de servicio?
e.- ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por
elservicio?
Ejercicio Propuesto # 2
El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidad
deagrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerse
para
cargar combustible y recibir servicio de manera simultanea. Suponga que
latasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de servicio
para cada canal es de 10 por hora.
a)
b)
¿Cuál es la probabilidad de que el muelle estará ocioso?
¿Cuál es a cantidad promedio de embarcaciones que estará esperando
por servicio?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara una embarcación esperando
e) por servicio en el muelle?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle?
Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft, ¿Estaría
satisfechocon el nivel d servicio que proporcionara su sistema? ¿Por qué?
40

42. Ejercicio Propuesto # 3
Un estudio de una operación de servicio de comidas con canales
múltiples en el parque de béisbol Red Birds muestra que el tiempo
promedioentre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido
surtido es
de 10 minutos. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de
4por minuto. La operación de servicio de comida requiere un promedio de
2minutos por pedido del cliente.
a)
¿Cuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por
minuto?
b) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un
pedido?
c) En promedio ¿Cuántos clientes hay en el sistema del servicio de
comidas?
Ejercicio Propuesto # 4
3.-Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y
DVDpara clientes que ven películas en casa. Durante las noches entre semana,
los
clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientes
porminuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de
dosclientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson
y tiempos de servicio
exponenciales.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?
b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio?
c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience
elservicio?
d.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar
porel servicio?
e.- ¿ Las características operativas indican que el sistema de mostrador con
unsolo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable?
Ejercicio Propuesto # 5
Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceitey
lubricación de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2.5
automóviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automóviles
porhora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad
dePoisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribución exponencial.
a.- ¿Cuál es la capacidad promedio de automóviles en el sistema?
b.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil para que comience
elservicio de aceite y lubricación?
c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?
41

43. d.- ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por
elservicio?
UNIDAD III:
TEORÍA DE DECISIÓN
42

44. 3.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LA TEORÍA DE
DECISIONES.
En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación ahora
serefiere a tomar quizá una sola decisión (o a lo más una secuencia de
unascuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No
obstante,todavía se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que
crean ciertaincertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes
cursos de
acción.
El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una
metodología para la toma de decisiones racional en este contexto. Una
pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este
momento o hacer primero algunas pruebas (con algún costo) para reducir
elnivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión.
Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de prueba
deun nuevo producto propuesto para ver la reacción del consumidor antes
detomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a
gran
escala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizar
experimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma de
decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación.
Ejemplo prototipo.
La GOFERBROKE COMPANY es dueña de unos terrenos en los
quepuede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado a la gerencia
que
piensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petróleo. Debido a
estaposibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90
000.
Sin embargo, la Goferbroke está considerando conservarla para perforar
ellamisma. Si encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compañía
seráaproximadamente de $700 000; incurrirá en una pérdida de $100 000
si
encuentra un pozo seco (sin petróleo). Sin embargo, otra opción anterior
atomar una decisión es llevar a cabo una exploración sísmica detallada en el
área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar
petróleo.
Este caso es de una toma de decisiones con experimentación, y en
esemomento se proporcionarán los datos adicionales necesarios. Esta
compañíaestá operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100
000 sería
bastante seria.
43

45. 3.2 CRITERIOS DE DECISIÓN DETERMINÍSTICOS Y
PROBABILÍSTICOS.
Determinísticos.
Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren un
conocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apro -
piados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianza
en su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable
unanálisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones
enfoquesdiferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de
decisionesnecesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el
enfoqueespecífico que, de acuerdo con su juicio, sea el más apropiado.
Enfoque optimista
El enfoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en función
delmejor resultado que pueda ocurrir. La
alternativa de decisión que se recomienda es la
que da el mejor resultado posible. Para un problema en elque se desea la
ganancia máxima el enfoque optimista conduciría al tomador
de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia.
Paraproblemas que implican minimización, este enfoque
conduce a elegir la
alternativa con el resultado más pequeño.
Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejor
resultado para cada alternativa de decisión; luego, seleccionamos la
alternativade decisión que proporciona el máximo resultado
global. Estos pasos
identifican de manera sistemática la alternativa de decisión que proporciona
lamayor ganancia posible
Enfoque conservador
El enfoque conservador evalúa cada alternativa de decisión desde
elpunto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión
recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados
posibles.Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia el
enfoqueconservador conduciría al tomador de decisiones a elegir la
alternativa que
maximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Para
problemasque implican minimización, este enfoque identifica la alternativa que
minimizaráel resultado máximo.
Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos el
resultadomínimo para cada una de las alternativas de decisión, luego,
seleccionamos laalternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo.
Este enfoque dedecisión se considera conservador debido a que identifica 44
el
peor resultado

46. posible y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad
deresultados extremadamente "malos".
Probabilísticos.
En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener
evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando
estándisponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor
esperadopara identificar la mejor alternativa de decisión. Definamos primero
el valoresperado de una alternativa de decisión.
Sea
N= el número de estados de la naturaleza
P(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj
Debido a que puede ocurrir uno y sólo uno de los N estados de
lanaturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones:
P(sj) |f O para todos los estados de la naturaleza
jlÍ| ;lililí P(5 ) + ••• + F(^ ) = 1
S 2
El valor esperado (VE) de la alternativa de decisión d 1 se define como
sigue:
N
V E ( 4 ) § ^PiSjWtj
En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la
sumade los resultados ponderados para la alternativa de decisión. El peso
para un
resultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y,
porconsiguiente, la probabilidad de que ocurrirá el resultado.
3.3 VALOR DE LA INFORMACIÓN PERFECTA.
Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor
potencial. Existe un método que supone (de manera poco realista) que
laexperimentación eliminará toda la incertidumbre sobre cuál es el estado de
lanaturaleza verdadero y después hace un cálculo rápido sobre cuál sería la
mejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentación).
Estacantidad, llamada valor esperado de la información perfecta proporciona
una
45

47. cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces, si esta
cotasuperior es menor que el costo del experimento, este definitivamente
debe
llevarse a cabo.
Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva
cuales el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esto,
información
“perfecta”. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado,
seelegirá la acción con el máximo pago para ese estado. No se sabe
deantemano cuál estado se identificará, por lo que el cálculo del pago
esperadocon la información perfecta (ignorando el costo de la experimentación)
requiereponderar el pago máximo para cada estado de la naturaleza con la
probabilidad
a priori de ese estado.
Para evaluar si debe de realizarse el experimento, se usa la cantidad
delpago esperado para calcular el valor esperado de la información
perfecta(VEIP); éste se calcula como:
VEIP= pago esperado con información perfecta – pago esperado sin
experimentación.
Así, como la experimentación casi nunca puede proporcionar
información perfecta, el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado de
la experimentación.
3.4 ÁRBOLES DE DECISIÓN.
Un árbol decisión proporciona una forma para desplegar visualmente
elproblema y después organizar el trabajo de cálculos. Estos árboles de
decisión
son especialmente útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones.
Ejemplo de un árbol de decisión:
46

48. Pago
670
-130
60
670
-130
60
700
-100
90
Figura 20.1 El árbol de decisión (antes de realizar los cálculos) para el problema de la Goferbroke Co.
Los nodos del árbol de decisión se conocen como nodos de decisión
ylos arcos se llaman ramas. Un nodo de
decisión, representado por un
cuadrado, indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del
proceso.Un nodo de probabilidad, representado por un círculo, indica que
ocurre un
evento aleatorio en ese punto.
3.5 TEORÍA DE DUALIDAD.
El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de
unmodelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados
atal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos
problemasconduce en forma automática a la solución óptima del otro.
El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay
unaasociación y una relación muy importante con otro problema de
programación
lineal, llamado precisamente dual.
Si el Primal es:
47

49. Máx Z = CX
s.a.
AX≤ b xi≥ 0
El Dual es:
Min Z = b
Ys.a. T
A Y≥
Cyi≥ 0 T
T
Usos de la formulación dual.
Las estructuras duales permiten entre otras cosas:
a ) Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que
actividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal
por medio de una computadora está en función del número de filas de la
matriz A y no en el número de columnas, al aplicarse la dualidad a un
problema primal donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde el
número de filas n es menor al número de columnas m.
b ) Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los
problemas de programación lineal.
Crear nuevos algoritmos para la solución de problemas de redes
c) deoptimización.
Generar métodos como el dual simples para el análisis de
d) sensibilidadde los programas de programación lineal.
Propiedades del primal y del dual.
Si el Primal es un problema de Maximización (Minimización), el Dual
a) esun problema de Minimización (Maximización).
b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes
de la función objetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de la
función objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual.
c) La matriz de los coeficientes tecnológicos del Dual es la matriz
transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal. Y como (A ) =A
entonces el Dual(Dual)=Primal. T T
d) El número de restricciones del Primal es igual al número de variables de
decisión del Dual, es decir, por cada restricción del Primal existe una
variable Dual asociada.
48

50. e) El número de variables de decisión del Primal es igual al número de
restricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe una
restricción asociada del Dual.
f) Si una restricción del Primal esta en la forma canónica problema, la
delvariable Dual asociada es no negativa y viceversa.
g) Si una restricción del Primal no esta en la forma canónica del problema,
la variable Dual asociada es no positiva y viceversa.
h) Si una restricción del Prima es una igualdad, la variable Dual asociada
es sin restricción de signo y viceversa.
3.6 DECISIONES SECUENCIALES.
Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante
quese resuelve con lo que se denomina un árbol de decisiones. Para estos
casos
es necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativasa
la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que se
desea ofertar y ello arrojaría un % tal que sería el peso subjetivo que
seutilizaría en el árbol de decisiones. a su vez los rendimientos según
alternativas
se haría con el valor actualizado de una anualidad constante, a fin de
conocerel van (valor actualizado neto) según cada inversión para cada
con sus
alternativa. Perosiempre considerando el van de la decisión de no hacer nada o
sea de seguir
servicios actuales.
Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidad
decontratar por 10 años sus servicios para una nueva operación diferente a
suactual operación. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo
500.000
unidades monetarias por año, y tendría que abandonar ese servicio
paraaceptar el nuevo contrato, que incluso le supone realizar una nueva
inversión
estimada en 6 millones de unidades monetarias, entonces se deben comparara
valor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir.
3.7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
El análisis de sensibilidad puede usarse para determinar cómo los
cambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o los
cambiosen los resultados afectan la alternativa de decisión recomendada. En
muchos
casos, las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados 49
sebasan en afirmaciones subjetivas. El análisis de sensibilidad ayuda al
tomador

51. de decisiones a entender cuáles de estas entradas son críticas para la
elecciónde la mejor alternativa de decisión. Si un cambio pequeño en el valor de
una de

52. las entradas causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada,
lasolución para el problema de análisis de decisión es sensible a esa entrada
particular. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional para
asegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. Por
otraparte, si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradas
nocausa un cambio en la alternativa de decisión recomendada, la solución
al
problema de análisis de decisión no es sensible a esa entrada particular. No
serequeriría tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entrada
estimado.
Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar
valoresdiferentes para las probabilidades de los estados de la naturaleza
y los
resultados y luego resolver el problema de análisis de decisiones. Si cambia
laalternativa de decisión recomendada, sabemos que la solución es sensible
alos cambios hechos.
Es obvio que podríamos continuar modificando las probabilidades de
losestados de la naturaleza y aprender aún más acerca de cómo afectan
loscambios en las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada.
Elinconveniente de este enfoque son los numerosos cálculos que se requieren
para evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidades
delestado de la naturaleza. Para el caso
particular de dos estados de la
naturaleza, puede usarse un procedimiento gráfico, para determinar
cómoafectan los cambios de las
probabilidades a la alternativa de decisión
recomendada.
EJERCICIOS RESUELTOS 50
Ejercicio # 1

53. Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado,
que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamínicas.
Estaempresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten
lasvitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante
lospreparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de
las
pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2.
Sean y1, y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C
respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que
consiganmaximizar sus beneficios pero que además resulten
atractivo para los responsables de la granja.
a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5
unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que
deberíapagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de
vitaminas en
pastillas sería: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultarían rentables
laspastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 ≤ 2.
b) Cada kilogramo del preparado P 2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3
unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio que
debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de
c) Por supuesto, los precios 3y 1+3y2+1,5y3. A lavitamínicasle deben ser
vitaminas en pastillas sería: de las pastillas granja no resultarían
rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 ≤ 3.
positivos, por tanto se tienen además las condiciones de no
negatividadde y1, y2 y y3.
Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas,
compraránjustamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del
ganado de
cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían
27unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto
los
ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de Z =
lineal:
27y1+15y2+9y3 por animal y día.
Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programa
PRIMAL
Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3
s.a.
5y1 + 1,5y2 + 1y3 ≤ 2
3y1 + 3y2 +1,5y3 ≤ 3
y1, y2, y3 ≥ 0
DUAL
51
Max = 2y1 + 3y2

54. s. a.
5y1 + 3y2 ≥ 27
1.5y1 + 3y2 ≥ 15
y1 + 1.5y2 ≥ 9
Solución:
(1.5) 5y1 + 3y2 = 27
(-5) 1.5y1 + 3y2 = 15
7.5y1 + 4.5y2 = 40.5
-7.5y1 - 15y2 = - 75
- 10.5y2 = -34.5
y2 = - 34.5 / - 10.5
y2 = 3.29
y1 + 1.5y2 = 9
y1 = 9 – 1.5(3.29)
y1 = 4.07
Max = 2(4.07) + 3(3.29) = 18.01
Ejercicio # 2
Suponga que de sea invertir $10, 000, en el mercado de
valores,comprando acciones de una de dos compañías: A y B. Las acciones
de la
compañía A son arriesgadas, pero podrían producir un rendimiento de
50%sobre la inversión durante el próximo año. Si las condiciones del mercado
de
valores no son favorables, las acciones pueden perder el 20% de su valor.
Laempresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado a la alza
y
solo 5% en un mercado a la baja. Todas las publicaciones que
consultopredicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alza
y 40%
de que este a la baja. ¿Dónde debería invertir su dinero?
Invertir Mercado a la alza (0.6)
en 52
acciones de A $ 5, 000

55. 2
Mercado a la baja (0.4)
- $ 2, 000
1
Invertir enMercado a la alza (0.6)
acciones de B $1, 500
3
Mercado a la baja (0.4)
$ 500
Para las acciones A = $ 5, 000 *0.6 + (-200) * 0.4 = $2200
Para las acciones B = $ 1, 500 * 0.6 + $ 500 * 0.4 = $ 1100
En base a estos cálculos se recomienda invertir en la empresa A.
Ejercicio # 3
Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en los
que se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicación
proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del Triangulo
Dorado, donde se unen los ríos Allegheny y Monongahela para formar el rió
Ohio. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre
$300,000 y $ 1 400 000 cada una.
PDC comisiono los bocetos arquitectónicos preeliminares para tres
proyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios, otro con 60 y uno
más con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del
complejode condominios y del evento fortuito para la demanda que exista
de losinmuebles. El problema de decisión de PDC es seleccionar el
tamaño del
nuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre en
lademanda de los condominios.
d1 = complejo pequeño con 30 condominios.
d2 = complejo mediano con 60 condominios.
d3 = complejo grande con 90 condominios.
Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de la
naturaleza son para PDC:
s1 = Demanda fuerte para los condominios.
s2 = Demanda débil para los condominios.
Enfoque optimista
Alternativa de dedición Resultado máximo
53

56. Complejo pequeño, d1 8
Complejo mediano, d2 14
Complejo grande, d3 20
• El máximo de los valores de resultados máximos es 20, por lo que se
recomienda la alternativa de decisión de un complejo de
condominiosgrande.
Enfoque conservador
Primero, identificamos el resultado mínimo para cada una de las
alternativas de decisión; luego, seleccionamos la alternativa de decisión
quemaximiza el resultado mínimo.
Alternativa de dedición Pago mínimo
Complejo pequeño, d1 7
Complejo mediano, d2 5 -9
Complejo grande, d3
• El máximo de los valores de resultados mínimos es 7, por lo que se
recomienda la alternativa de decisión de un complejo de
condominiospequeños.
Enfoque de arrepentimiento mínimax.
Suponga que PDC construya un complejo de condominios pequeños y
lademanda resulta ser fuerte. LA ganancia resultante para PDC seria de $8, 000,
000 sin embargo, dado que ha ocurrido en el estado de la naturaleza
dedemanda fuerte, nos damos cuenta que la decisión d construir un complejo
decondominios grande, que produce una ganancia de $20, 000, 000, abría
sido
al mejor decisión. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa
dedecisión y el pago por la dedición de construir un complejo de condominios
pequeño es la perdida de oportunidad o arrepentimiento.
Para este caso la perdida de oportunidad o arrepentimiento es:
$ 20 000 000 - $ 8 000 000 = $12 000 000.
de
Generalmente, al siguiente expresión representa la perdida
oportunidad o arrepentimiento:
Rij = | Vj* - Vij |
El siguiente paso es enlistar el arrepentimiento máximo para
cadaalternativa de decisión.
Tabla de pérdida de oportunidad o arrepentimiento.
Estado de la naturaleza
Alternativa de dedición Demanda fuerte s1 Demanda débil s2
Complejo pequeño, d1 12 0
54

57. Complejo mediano, d2 6 2
Complejo grande, d3 0 16
Arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión
Alternativa de dedición Arrepentimiento máximo
Complejo pequeño, d1 12
Complejo mediano, d2 6 16
Complejo grande, d3
Se toma el mínimo del arrepentimiento máximo que es 6, el
cualcorresponde a un complejo mediano.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio # 1
Tiene usted oportunidad de invertir en tres fondos de ahorros:
servicios,de crecimientos agresivos y globales. El valor de su inversión
cambiara,dependiendo de las condiciones del mercado. Hay 10% de
probabilidades de
que el mercado baje, 50% de que quede estable, y 40% de probabilidades
deque suba. La tabla siguiente muestra el cambio porcentual en el valor de
la
inversión bajo las tres condiciones:
Rendimientos en un año por inversión de $10,000
Alternativa Mercado baja (%) Mercado moderado (%) Mercado sube
Servicios +5 +7 +8
Crecimiento -10 +5 +7 +30
global
a) +2 +20
b)
Represente el problema con un árbol de decisión
¿Cuál fondo de ahorro deberá seleccionar?
Ejercicio # 2
Escribir el dual del siguiente problema y determinar su solución
óptimausando la base primal optima.
Minimizar z = 3x + 5y
Sujeto a:
x1 + 2 x2 + x3 =5
- x1 + 3 x2 + x4 = 2
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